人教版七年级数学下册第八章教案.docx
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人教版七年级数学下册第八章教案
8.1二元一次方程组
教学目标:
1.认识二元一次方程和二元一次方程组.
2.了解二元一次方程和二元一次方程组的解,会求二元一次方程的整数解.
教学重点:
理解二元一次方程组的解的意义.
教学难点:
求二元一次方程的正整数解.
教学过程:
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分.负一场得1分,某队为了争取较好的名次,想在全部22场比赛中得到40分,那么这个队胜负场数分别是多少?
思考:
这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件?
设胜的场数是x,负的场数是y,你能用方程把这些条件表示出来吗?
由问题知道,题中包含两个必须同时满足的条件:
胜的场数+负的场数=总场数,
胜场积分+负场积分=总积分.
这两个条件可以用方程
x+y=22
2x+y=40
表示.
上面两个方程中,每个方程都含有两个未知数(x和y),并且未知数的指数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.
把两个方程合在一起,写成
x+y=22
2x+y=40
像这样,把两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.
探究:
满足方程①,且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些?
把它们填入表中.
x
y
上表中哪对x、y的值还满足方程②
一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.
二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.
例1
(1)方程(a+2)x+(b-1)y=3是二元一次方程,试求a、b的取值范围.
(2)方程x∣a∣–1+(a-2)y=2是二元一次方程,试求a的值.
例2 若方程x2m–1+5y3n–2=7是二元一次方程.求m、n的值
例3 已知下列三对值:
x=-6 x=10 x=10
y=-9 y=-6 y=-1
(1)
x-y=6
2x+31y=-11
哪几对数值使方程
x-y=6的左、右两边的值相等?
(2)哪几对数值是方程组 的解?
例4 求二元一次方程3x+2y=19的正整数解.
课堂练习:
教科书第102页练习
习题8.1 1、2题
8.2消元
(一)
教学目标:
1.会用代入法解二元一次方程组.2.初步体会解二元一次方程组的基本思想――“消元”.3.通过研究解决问题的方法,培养学生合作交流意识与探究精神.
重点:
用代入消元法解二元一次方程组.
难点:
探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程.
教学过程:
一、复习提问:
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分.负一场得1分,某队为了争取较好的名次,想在全部20场比赛中得到38分,那么这个队胜负场数分别是多少?
解:
设这个队胜x场,根据题意得
解得 x=18
则 20-x=2
答:
这个队胜18场,负2场.
二、新课:
在上述问题中,我们可以设出两个未知数,列出二元一次方程组,
设胜的场数是x,负的场数是y, x+y=20
2x+y=38
那么怎样求解二元一次方程组呢?
上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?
可以发现,二元一次方程组中第1个方程x+y=20说明y=20-x,将第2个方程2x+y=38的y换为20-x,这个方程就化为一元一次方程
.
二元一次方程组中有两个未知数,如果消去其中一个未知数,将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程,我们就可以先解出一个未知数,然后再设法求另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法,叫做消元思想.
三、归纳:
上面的解法,是由二元一次方程组中一个方程,将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来,再代入另一方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法,简称代入法.
例1 把下列方程写成用含x的式子表示y的形式:
(1)2x-y=3
(2)3x+y-1=0
例2 用代入法解方程组 x-y=3 ①
3x-8y=14 ②
例3 根据市场调查,某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250g)两种产品的销售数量比(按瓶计算)为2:
5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨,这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶?
四、小结:
用代入消元法解二元一次方程组的步骤:
(1)从方程组中选取一个系数比较简单的方程,把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.
(2)把
(1)中所得的方程代入另一个方程,消去一个未知数.(3)解所得到的一元一次方程,求得一个未知数的值.(4)把所求得的一个未知数的值代入
(1)中求得的方程,求出另一个未知数的值,从而确定方程组的解.
五、课堂练习:
教科书第107页2、3、4题
六、作业:
教科书第111页第1题 第112页第2题
8.2 消元
(二)(第一课时)
一、知识与技能目标
1.用代入法、加减法解二元一次方程组.毛2.了解解二元一次方程组时的“消元思想”,“化未知为已知”的化归思想.3.会用二元一次方程组解决实际问题.4.在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程解决实际问题的意识和能力.5.将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体,进一步提高解方程组的技能.
二、过程与方法目标
1.通过探索二元一次方程组的解法的过程,了解二元一次方程组的“消元”思想,培养学生良好的探索习惯.2.通过对具体实际问题分解,组织学生自主交流、探索,去发现列方程建模的过程,培养学生用数学的意识.
三、情感态度与价值观目标
1.在学生了解二元一次方程组的“消元”思想,从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想中,享受学习数学的乐趣,增强学习数学的信息。
2.培养学生合作交流,自主探索的良好习惯。
3.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型,培养应用数学的意识。
4.在用方程组解决实际问题的过程中,体验数学的实用性,提高学习数学的兴趣。
教学过程:
一、创设情境,导入新课
甲、乙、丙三位同学是好朋友,平时互相帮助。
甲借给乙10元钱,乙借给丙8元钱,丙又给甲12元钱,如果允许转帐,最后甲、乙、丙三同学最终谁欠谁的钱,欠多少?
二、师生互动,课堂探究
(一)提高问题,引发讨论
①②
我们知道,对于方程组
可以用代入消元法求解。
这个方程组的两个方程中,y的系数有什么关系?
利用这种关系你能发现新的消元方法吗?
(二)导入知识,解释疑难
1.问题的解决
①②
上面的两个方程中未知数y的系数相同,②-①可消去未知数y,得(2x+y)-(x+y)=40-22即x=18,把x=18代入①得y=4。
另外,由①-②也能消去未知数y,得(x+y)-(2x+y)=22-40即-x=-18,x=18,把x=18代入①得y=4.
2.想一想:
联系上面的解法,想一想应怎样解方程组
分析:
这两个方程中未知数y的系数互为相反数,因此由①+②可消去未知数y,从而求出未知数x的值。
解:
由①+②得19x=11.6x=
把x=
代入①得y=-
∴这个方程组的解为
3.加减消元法的概念
从上面两个方程组的解法可以发现,把两个二元一次方程的两边分别进行相加减,就可以消去一个未知数,得到一个一元一次方程。
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法,简称加减法。
①②
4.例题讲解
用加减法解方程组
分析:
这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同,直接加减两个方程不能消元,试一试,能否对方程变形,使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。
解:
①×3,得9x+12y=48③
②×2,得10x-12y=66④
③+④,得19x=114x=6
把x=6代入①,得3×6+4y=164y=-2,y=-
所以,这个方程组的解是
议一议:
本题如果用加减法消去x应如何解?
解得结果与上面一样吗?
解:
①×5,得15x+20y=80③
②×3,得15x-18=99④
③-④,得38y=-19y=-
把y=-
代入①,得3x+4×(-
)=163x=18x=6
所以,这个方程组的解为
如果求出y=-
后,把y=
代入②也可以求出未知数x的值。
5.做一做
①②
解方程组
点评:
当方程组比较复杂时,应先化简,并整理成标准形式.本题还可以把2x+3y和2x-3y当成两个整体,用换元法,设2x+3y=A,2x-3y=B,转化为以A、B为未知数的二元一次方程组.
6.想一想
(1)加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么?
(2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些?
师生共析:
(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.
(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤:
第一步:
在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.
第二步:
如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元.
第三步:
对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑.
(三)归纳总结,知识回顾
本节课,我们主要是学习了二元一次方程组的另一解法──加减法.通过把方程组中的两个方程进行相加或相减,消去一个未知数,化“二元”为“一元”.
8.2 消元
(二)(第二课时)
一、创设情境,导入新课
七年级(3)班在上体育课时,进行投篮比赛,体育老师做好记录,并统计了在规定时间内投进n个球的人数分布情况,体育委员在看统计表时,不慎将墨水沾到表格上(如下表).
进球数n
0
1
2
3
4
5
投进球的人数
1
2
7
●
●
2
同时,已知进球3个和3个以上的人平均每人投进3.5个球;进球4个和4个以下的人平均每人投进2.5个球,你能把表格中投进3个球和投进4个球对应的人数补上吗?
二、师生互动,课堂探究
(一)指出问题,引发讨论
你能不能用二元一次方程组,帮助体育委员把表格中的两个数字补上呢?
(经过学生思考、讨论、交流)
(二)导入知识,解释疑难
1.例题讲解(见P109)
分析:
如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷,那么2台大收割机和5台小收割机1小时收割小麦______公顷,3台大收割机和2台小收割机1小时收割小麦_______公顷.
解:
设1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦x公顷和y公顷.根据两种工作方式中的相等关系,得方程组
①②
去括号,得
②-①,得11x=4.4
解这个方程,得x=0.4
把x=0.4代入①,得y=0.2
这个方程组的解是
答:
1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦0.4公顷和0.2公顷.
2.上面解方程组的过程可以用下面的框图表示:
3.做一做
为了保护环境,某校环保小组成员收集废电池,第一天收集1号电池4节,5号电池5节,总重量为460克,第二天收集1号电池2节,5号电池3节,总重量为240克,试问1号电池和5号电池每节分别重多少克?
分析:
如果1号电池和5号电池每节分别重x克,y克,则4克1号电池和5节5号电池总重量为4x+5y克,2节1号电池和3节5号电池总重量为2x+3y克.
解:
设1号电池每节重x克,5号电池每节重y克,根据题意可得
①②
②×2-①,得y=20
把y=20代入②,得2x+3×20=240,x=90
所以这个方程组的解为
答:
1号电池每节重90克,5号电池每节重20克.
4.练一练:
P111练习第2、3题.
(三)归纳总结,知识回顾
这节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程,体会到方程组是刻画现实世界的有效模型,从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能.
作业:
1.王大伯承包了25亩土地,今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜,用去了
44000元,其中种茄子每亩用了1700元,获纯利2400元,种西红柿每亩用了1800元,获纯利2600元,问王大伯一共获纯利多少元?
再探实际问题与二元一次方程组教学设计
教学设计思想
本节主要内容是用二元一次方程组解决实际问题。
例题分析与讲解时根据学生的实际情况,为学生构造恰当的探索、研究、交流的空间,老师不能代替学生思维,而是引导学生学会“逐步抽象”,将实际情景中的数量关系抽象出来,使学生分析问题和解决问题的能力通过这一具体化的途径得以提高,加深对数学模型的认识。
最后通过反馈练习,检查学生掌握知识的情况,以便有针对性地进行差漏补缺。
教学目标
知识与技能
会根据具体问题中的数量关系,经过自主探索、互相交流,列出二元一次方程组并求解,养成对所得结果进行检验的意识;
能熟练地列二元一次方程组解决简单的实际问题;
通过将实际问题中的数量关系转化为二元一次方程组,体会数学化的过程,提高用数学分析和解决问题的能力。
过程与方法
经历探索、研究、交流的过程,将实际情景中的数量关系抽象出来。
情感态度价值观
通过实际问题,感受二元一次方程组的广泛应用,加深对数学模型的认识,增强数学的应用意识。
重点难点
重点:
根据简单应用题的题意列出二元一次方程组。
难点:
将实际情景中的数量关系抽取出来,并用二元一次方程组表示。
解决办法:
通过反复读题、审题,分析出题目中存在的两个相等关系是列方程组的关键。
教具准备
多媒体,或投影仪、自制胶片。
课时安排
1课时
前面我们结合实际问题,讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组。
本节我们继续探究如何用二元一次方程组解决实际问题。
同学们可以先独立分析问题中的数量关系,列出方程组,得出问题的解答,然后再互相交流。
(一)探究1
养牛场原有30只母牛和15只小牛,l天约需用饲料675kg;一周后又购进12只母牛和5只小牛,这时1天约需用饲料940kg。
饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需饲料18~20kg,每只小牛1天约需饲料7~8kg。
你能否通过计算检验他的估计?
分析:
设平均每只母牛和每只小牛1天各约需饲料xkg和ykg。
根据两种情况的饲料用量,找出相等关系,列方程组
(1)
解这个方程组,得
(2)
这就是说,平均每只母牛1天约需饲料_______kg,每只小牛1天约需饲料_______kg。
饲养员李大叔对母牛的食量估计_______,对小牛的食量估计________。
(3)
答案
(1)
(2)
(3)20,5。
较准确,偏高。
(二)探究2
据以往的统计资料,甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:
1.5,现要在一块长200m,宽100m的长方形土地上种植这两种作物,怎样把这块地分为两个长方形,使甲、乙两种作物的总产量的比是3:
4(结果取整数)?
问题中要达到的结果是“甲、乙两种作物的总产量的比是3:
4”,而为达到这一点就需要适当确定两个长方形。
本题具有开放性,即它的答案不唯一。
分析:
如图8.3—l,一种种植方案为:
甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE。
设AE=xm,BE=ym,根据问题中涉及长度、产量的数量关系,列方程组
(1)
解这个方程组,得
(2)
过长方形土地的长边上离一端约_______处,把这块地分为两个长方形。
较大一块地种_______种作物,较小一块地种_______种作物。
(3)
答案
(1)
(2)
(3)106m,甲种,乙种。
注:
还有其他方案,例如画出与这块土地的长平行的一条线,将这块土地分割为两个长方形。
这条直线的具体确定方法,可以通过列方程组产生。
(三)探究3
图中黑白相间的线表示铁路,其他线表示公路。
如图8.3—2,长青化工厂与A,B两地有公路、铁路相连。
这家工厂从A地购买一批每吨l000元的原料运回工厂,制成每吨8000元的产品运到B地。
公路运价为1.5元/(吨·千米),铁路运价为1.2元/(吨·千米),这两次运输共支出公路运费15000元,铁路运费97200元。
这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?
问题中的一些已知条件是用图及其标注数据给出的。
分析:
销售款与产品数量有关,原料费与原料数量有关。
设产品重x吨,原料重y吨。
根据题中数量关系填写下表。
产品x吨
原料y吨
合计
公路运费(元)
铁路运费(元)
价值(元)
(1)
题目所求数值是______,为此需先解出______与______。
(2)
由上表,列方程组
(3)
解这个方程组,得
(4)
因此,这批产品的销售款比原料费与运输费的和多_______元。
(5)
答案
(1)
产品x吨
原料y吨
合计
公路运费(元)
1.5×20x
1.5×10y
1.5×(20x+10y)
铁路运费(元)
1.2×110x
1.2×120y
1.2×(110x+120y)
价值(元)
8000x
1000y
(2)产品销售款-(原料费+运输费)
产品重(x),原料重(y)。
(3)
(4)
(5)1887800
从以上探究可以看出,方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具。
列出方程组要根据问题中的数量关系,解出方程组的解后,应进一步考虑它是否符合问题的实际意义。
(四)小结引导学生总结本节的知识点,解题思路。
(五)板书设计
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- 人教版 七年 级数 下册 第八 教案