高考数学理科一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案.docx

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高考数学理科一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案

高考数学（理科）一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案

本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址　　学案30　等比数列及其前n项和

　　导学目标：

1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．

　　自主梳理

　　．等比数列的定义

　　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示．

　　2．等比数列的通项公式

　　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝______________.

　　3．等比中项：

　　如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．

　　4．等比数列的常用性质

　　通项公式的推广：

an＝am•________．

　　若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n，则__________________________．

　　若{an}，{bn}是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an•bn}，anbn仍是等比数列．

　　单调性：

a1>0，q>1或a1<00<q<1⇔{an}是________数列；a1>0，0<q<1或a1<0q>1⇔{an}是________数列；q＝1⇔{an}是____数列；q<0⇔{an}是________数列．

　　5．等比数列的前n项和公式

　　等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；

　　当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1qn－1q－1＝a1qnq－1－a1q－1.

　　6．等比数列前n项和的性质

　　公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为______．

　　自我检测

　　．“b＝ac”是“a、b、c成等比数列”的

　　A．充分不必要条件

　　B．必要不充分条件

　　c．充要条件

　　D．既不充分也不必要条件

　　2．若数列{an}的前n项和Sn＝3n－a，数列{an}为等比数列，则实数a的值是

　　A．3

　　B．1

　　c．0

　　D．－1

　　3．设f＝2＋24＋27＋…＋23n＋1，则f等于

　　A.27

　　B.27

　　c.27

　　D.27

　　4．已知等比数列{an}的前三项依次为a－2，a＋2，a＋8，则an等于

　　A．8•32n

　　B．8•23n

　　c．8•32n－1

　　D．8•23n－1

　　5．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.

　　探究点一　等比数列的基本量运算

　　例1　已知正项等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求数列{an}的通项an和前n项和Sn.

　　变式迁移1　在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2•an－1＝128，Sn＝126，求n和q.

　　探究点二　等比数列的判定

　　例2　已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*.

　　证明数列{an＋1}是等比数列；

　　求{an}的通项公式以及Sn.

　　变式迁移2　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝Sn＋2n．

　　求a2，a3的值；

　　求证：

数列{Sn＋2}是等比数列．

　　探究点三　等比数列性质的应用

　　例3　在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝8，且1a1＋1a2＋1a3＋1a4＋1a5＝2，求a3.

　　变式迁移3　已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，求b5＋b9的值；

　　在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44.

　　分类讨论思想与整体思想的应用

　　例　设首项为正数的等比数列{an}的前n项和为80，它的前2n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的第2n项．

　　【答题模板】

　　解　设数列{an}的公比为q，

　　若q＝1，则Sn＝na1，S2n＝2na1＝2Sn.

　　∵S2n＝6560≠2Sn＝160，∴q≠1，[2分]

　　由题意得a11－qn1－q＝80，　　①a11－q2n1－q＝6560.

　　②[4分]

　　将①整体代入②得80＝6560，

　　∴qn＝81.[6分]

　　将qn＝81代入①得a1＝80，

　　∴a1＝q－1，由a1>0，得q>1，

　　∴数列{an}为递增数列．[8分]

　　∴an＝a1qn－1＝a1q•qn＝81•a1q＝54.

　　∴a1q＝23.[10分]

　　与a1＝q－1联立可得a1＝2，q＝3，

　　∴a2n＝2×32n－1．[12分]

　　【突破思维障碍】

　　分类讨论的思想：

①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：

当a1>0，q>1或a1<0,0<q<1时为递增数列；当a1<0，q>1或a1>0,0<q<1时为递减数列；当q<0时为摆动数列；当q＝1时为常数列．函数的思想：

等比数列的通项公式an＝a1qn－1＝a1q•qn常和指数函数相联系．整体思想：

应用等比数列前n项和时，常把qn，a11－q当成整体求解．

　　本题条件前n项中数值最大的项为54的利用是解决本题的关键，同时将qn和a11－qn1－q的值整体代入求解，简化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和的题目时应灵活运用．

　　．等比数列的通项公式、前n项公式分别为an＝a1qn－1，Sn＝na1，　　q＝1，a11－qn1－q，

　　q≠1.

　　2．等比数列的判定方法：

　　定义法：

即证明an＋1an＝q．

　　中项法：

证明一个数列满足a2n＋1＝an•an＋2．

　　3．等比数列的性质：

　　an＝am•qn－m；

　　若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n，则ak•al＝am•an；

　　设公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.

　　4．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法．

　　5．等差数列与等比数列的关系是：

　　若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；

　　若{an}是等比数列，且an>0，则{lgan}构成等差数列．

　　一、选择题

　　．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于

　　A.152

　　B.314

　　c.334

　　D.172

　　2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2等于

　　A．－11

　　B．－8

　　c．5

　　D．11

　　3．在各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝3，前三项的和S3＝21，则a3＋a4＋a5等于

　　A．33

　　B．72

　　c．84

　　D．189

　　4．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是

　　A．T10

　　B．T13

　　c．T17

　　D．T25

　　5．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则S10S5等于

　　A．－3

　　B．5

　　c．－31

　　D．33

　　题号

　　2

　　3

　　4

　　5

　　答案

　　二、填空题

　　6．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为________．

　　7．在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.

　　8．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.

　　三、解答题

　　9．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．

　　求数列{an}的通项；

　　求数列{2an}的前n项和Sn.

　　0．已知数列{log2}为等差数列，且a1＝3，a2＝5.

　　求证：

数列{an－1}是等比数列；

　　求1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1an＋1－an的值．

　　1．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．

　　求数列{an}与{bn}的通项公式；

　　设数列{cn}对n∈N*均有c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋cXX.

　　答案

　　自主梳理

　　．公比　q　2.a1•qn－1　4.qn－m　ak•al＝am•an

　　递增　递减　常　摆动　6.qn

　　自我检测

　　．D　2.B　3.B　4.c　5.－9

　　课堂活动区

　　例1　解题导引　在等比数列的通项公式和前n项和公式中共有a1，an，q，n，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量．解题时，将已知条件转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解；

　　本例可将所有项都用a1和q表示，转化为关于a1和q的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化．

　　解　方法一　由已知得：

　　a21q4＋2a21q6＋a21q8＝100，a21q4－2a21q6＋a21q8＝36.①②

　　①－②，得4a21q6＝64，∴a21q6＝16.③

　　代入①，得16q2＋2×16＋16q2＝100.

　　解得q2＝4或q2＝14.

　　又数列{an}为正项数列，∴q＝2或12.

　　当q＝2时，可得a1＝12，

　　∴an＝12×2n－1＝2n－2，

　　Sn＝121－2＝2n－1－12；

　　当q＝12时，可得a1＝32.

　　∴an＝32×12n－1＝26－n.

　　Sn＝321－12n1－12＝64－26－n.

　　方法二　∵a1a5＝a2a4＝a23，a2a6＝a3a5，a3a7＝a4a6＝a25，

　　由a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，

　　可得a23＋2a3a5＋a25＝100，a23－2a3a5＋a25＝36，

　　即2＝100，2＝36.

　　∴a3＋a5＝10，a3－a5＝±6.解得a3＝8，a5＝2，或a3＝2，a5＝8.

　　当a3＝8，a5＝2时，q2＝a5a3＝28＝14.

　　∵q>0，∴q＝12，由a3＝a1q2＝8，

　　得a1＝32，∴an＝32×12n－1＝26－n.

　　Sn＝32－26－n×121－12＝64－26－n.

　　当a3＝2，a5＝8时，q2＝82＝4，且q>0，

　　∴q＝2.

　　由a3＝a1q2，得a1＝24＝12.

　　∴an＝12×2n－1＝2n－2.

　　Sn＝122－1＝2n－1－12.

　　变式迁移1　解　由题意得

　　a2•an－1＝a1•an＝128，a1＋an＝66，

　　解得a1＝64，an＝2或a1＝2，an＝64.

　　若a1＝64，an＝2，则Sn＝a1－anq1－q＝64－2q1－q＝126，

　　解得q＝12，此时，an＝2＝64•12n－1，

　　∴n＝6.

　　若a1＝2，an＝64，则Sn＝2－64q1－q＝126，∴q＝2.

　　∴an＝64＝2•2n－1.∴n＝6.

　　综上n＝6，q＝2或12.

　　例2　解题导引　证明数列是等比数列的两个基本方法：

　　①an＋1an＝q．

　　②a2n＋1＝anan＋2．

　　证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明，也可用反证法．

　　证明　由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*，

　　可得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，

　　两式相减得Sn＋1－Sn＝2＋1，

　　即an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2，

　　当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，

　　所以a2＋a1＝2a1＋6，

　　又a1＝5，所以a2＝11，

　　从而a2＋1＝2，

　　故总有an＋1＋1＝2，n∈N*，

　　又a1＝5，a1＋1≠0，从而an＋1＋1an＋1＝2，

　　即数列{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．

　　解　由得an＋1＝6•2n－1，

　　所以an＝6•2n－1－1，

　　于是Sn＝6•1－2－n＝6•2n－n－6.

　　变式迁移2　解　∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝Sn＋2n，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；

　　当n＝2时，a1＋2a2＝＋4，∴a2＝4；

　　当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2＋6，

　　∴a3＝8.

　　证明　∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan

　　＝Sn＋2n，①

　　∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋an－1

　　＝Sn－1＋2．②

　　①－②得nan＝Sn－Sn－1＋2＝n－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.

　　∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，

　　∴Sn＋2＝2．

　　∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，

　　∴Sn＋2Sn－1＋2＝2，

　　故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．

　　例3　解题导引　在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am•an＝ap•aq”，可以减少运算量，提高解题速度．

　　解　由已知得

　　a1＋1a2＋1a3＋1a4＋1a5

　　＝a1＋a5a1a5＋a2＋a4a2a4＋a3a23

　　＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5a23＝8a23＝2，

　　∴a23＝4，∴a3＝±2.若a3＝－2，设数列的公比为q，

　　则－2q2＋－2q－2－2q－2q2＝8，

　　即1q2＋1q＋1＋q＋q2

　　＝1q＋122＋q＋122＋12＝－4.

　　此式显然不成立，经验证，a3＝2符合题意，故a3＝2.

　　变式迁移3　解　∵a3a11＝a27＝4a7，

　　∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，

　　∵{bn}为等差数列，∴b5＋b9＝2b7＝8.

　　a1a2a3a4＝a1•a1q•a1q2•a1q3＝a41q6＝1.①

　　a13a14a15a16＝a1q12•a1q13•a1q14•a1q15

　　＝a41•q54＝8.②

　　②÷①：

a41•q54a41•q6＝q48＝8⇒q16＝2，

　　又a41a42a43a44＝a1q40•a1q41•a1q42•a1q43

　　＝a41•q166＝a41•q6•q160＝•10

　　＝1•210＝1024.

　　课后练习区

　　．B　[∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，

　　∴设{an}的公比为q，则q>0，且a23＝1，即a3＝1.

　　∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝1q2＋1q＋1＝7，即6q2－q－1＝0.

　　故q＝12或q＝－13，∴a1＝1q2＝4.

　　∴S5＝41－12＝8＝314.]

　　2．A　[由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，所以q＝－2，则S5S2＝a1a1＝－11.]

　　3．c　[由题可设等比数列的公比为q，

　　则31－q＝21⇒1＋q＋q2＝7⇒q2＋q－6＝0

　　⇒＝0，

　　根据题意可知q>0，故q＝2.

　　所以a3＋a4＋a5＝q2S3＝4×21＝84.]

　　4．c　[a3a6a18＝a31q2＋5＋17＝3＝a39，即a9为定值，所以下标和为9的倍数的积为定值，可知T17为定值．]

　　5．D　[因为等比数列{an}中有S3＝2，S6＝18，

　　即S6S3＝a11－qa11－q＝1＋q3＝182＝9，

　　故q＝2，从而S10S5＝a11－qa11－q

　　＝1＋q5＝1＋25＝33.]

　　6．127

　　解析　∵公比q4＝a5a1＝16，且q>0，∴q＝2，

　　∴S7＝1－271－2＝127.

　　7.1207

　　解析　∵S99＝30，即a1＝30，

　　∵数列a3，a6，a9，…，a99也成等比数列且公比为8，

　　∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝4a11－8

　　＝4a17＝47×30＝1207.

　　8．4n－1

　　解析　∵等比数列{an}的前3项之和为21，公比q＝4，

　　不妨设首项为a1，则a1＋a1q＋a1q2＝a1＝21a1＝21，∴a1＝1，∴an＝1×4n－1＝4n－1.

　　9．解　由题设知公差d≠0，

　　由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列，

　　得1＋2d1＝1＋8d1＋2d，…………………………………………………………………………

　　解得d＝1或d＝0．

　　故{an}的通项an＝1＋×1＝n.……………………………………………………

　　由知2an＝2n，由等比数列前n项和公式，

　　得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝21－2

　　＝2n＋1－2.………………………………………………………………………………

　　0．证明　设log2－log2＝d，因为a1＝3，a2＝5，所以d＝log2－log2＝log24－log22＝1，…………………………………………………………

　　所以log2＝n，所以an－1＝2n，

　　所以an－1an－1－1＝2，所以{an－1}是以2为首项，2为公比的等比数列．………

　　解　由可得an－1＝•2n－1，

　　所以an＝2n＋1，…………………………………………………………………………

　　所以1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1an＋1－an

　　＝122－2＋123－22＋…＋12n＋1－2n

　　＝12＋122＋…＋12n＝1－12n.………………………………………………………………

　　1．解　由已知有a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，

　　∴2＝．

　　解得d＝2．……………………………………………………………………

　　∴an＝1＋•2＝2n－1.………………………………………………………………

　　又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，

　　∴数列{bn}的公比为3，

　　∴bn＝3•3n－2＝3n－1.………………………………………………………………………

　　由c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1得

　　当n≥2时，c1b1＋c2b2＋…＋cn－1bn－1＝an.

　　两式相减得：

当n≥2时，cnbn＝an＋1－an＝2.……………………………………………

　　∴cn＝2bn＝2•3n－1．

　　又当n＝1时，c1b1＝a2，∴c1＝3.

　　∴cn＝3　　2•3n－1

　　.……………………………………………………………

　　∴c1＋c2＋c3＋…＋cXX

　　＝3＋6－2×3XX1－3＝3＋＝3XX.…………………………………………