数量关系.docx
- 文档编号:23102007
- 上传时间:2023-04-30
- 格式:DOCX
- 页数:34
- 大小:39.08KB
数量关系.docx
《数量关系.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数量关系.docx(34页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
数量关系
浙江公务员考试数量关系专题
一、行程问题
(一)、基本知识点:
1、基本公式:
距离=速度×时间
2、相遇追及问题:
相遇距离=(大速度+小速度)×相遇时间;追及距离=(大速度-小速度)×追及时间
3、环形运动问题:
环形周长=(大速度+小速度)×相向运动的两人两次相遇的时间间隔;环形周长=(大速度-小速度)×同向运动的两人两次相遇的时间间隔
4、流水行船问题:
顺流路程=顺流速度×顺流时间=(船速+水速)×顺流时间;逆流路程=逆流速度×逆流时间=(船速-水速)×逆流时间
5、电梯运动问题:
能看到的电梯级数=(人速+电梯速度)×沿电梯运动方向运动所需时间;能看到的电梯级数=(人速-电梯速度)×逆电梯运动方向运动所需时间
6、钟面问题(此类问题很多可以转化为追及问题)
(1)假设时钟一圈是12格,则时针每小时转1格,分针每小时转12格。
(2)钟面上每两格之间为30°,时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。
(3)时针与分针一昼夜重合22次,垂直44次,成180°也是22次。
(二)、例题和解题思路
1、甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行,两车在离B地64千米处第一次相遇.相遇后两车仍以原速继续行驶,并且在到达对方出发点后,立即沿原路返回,途中两车在距A地48千米处第二次相遇,问两次相遇点相距多少千米?
解析:
先画示意图:
可以看到它们到第二次相遇时共走了3个AB全程。
当甲、乙两车共同走完一个AB全程时,乙车走了64千米,因此,我们可以理解为乙车一共走了3个64千米,再由上图可知:
乙车一共走过的路程减去一个48千米后,正好等于一个AB全程。
①AB间的距离是 64×3-48=192-48=144(千米)
②两次相遇点的距离为144—48-64=32(千米)
2、甲、乙二人从相距100千米的A、B两地同时出发相向而行,甲骑车,乙步行,在行走过程中,甲的车发生故障,修车用了1小时.在出发4小时后,甲、乙二人相遇,又已知甲的速度为乙的2倍,且相遇时甲的车已修好,那么,甲、乙二人的速度各是多少?
解析:
甲的速度为乙的2倍,因此,乙走4小时的路,甲只要2小时就可以了,因此,甲走100千米所需的时间为(4—1+4÷2)=5小时.这样就可求出甲的速度。
甲的速度为:
100÷(4-1+4÷2)=10O÷5=20(千米/小时),乙的速度为:
20÷2=10(千米/小时)
3、在一条直的公路上,甲、乙两个地点相距600米,张明每小时行4公里,李强每小时行5公里.8点整,张李二人分别从甲、乙两地同时出发相向而行,1分钟后他们都调头反向而行,再经过3分钟,他们又调头相向而行,依次按照1,3,5,…(连续奇数)分钟数调头行走,那么张、李二人相遇时是8点几分?
解析无论相向还是反向,张李二人每分钟都共走4000÷60+5000÷60=150(米).如果两人一直相向而行,那么从出发经过600÷150=4(分钟)两人相遇。
画图可知:
在16分钟(=1+3+5+7)之内两人不会相遇.在这16分钟之内,他们相向走了6分钟(=1+5),反向走了10分钟(=3+7),此时两人相距600+[150×(3+7-1-5)]=1200米,因此,再相向行走,经过1200÷150=8(分钟)就可以相遇。
所以是600+150×(3+7-1-5)=1200(米)
1200÷(4000÷60+5000÷60)=8(分钟)
1+3+5+7+8=24(分钟)
两人相遇时是8点24分
4、姐弟俩出游,弟弟先走一步,每分钟走40米,走80米后姐姐去追他。
姐姐每分钟走60米,姐姐带的小狗每分钟跑150米。
小狗追上弟弟又转去找姐姐,碰上姐姐又转去追弟弟,这样跑来跑去,直到姐弟相遇小狗才停下来。
问小狗共跑了多少米?
()
A、600 B、800 C、1200 D、1600
解析:
由于小狗的运动规律不规则,但速度保持不变,故求出小狗跑的总时间即可。
由于姐姐和小狗同时出发,同时终止,小狗跑的时间也就是姐姐追弟弟的时间。
这个时间为80÷(60-40)=4分钟
小狗跑了150×4=600米
5、小明放学后,沿某路公共骑车路线以不变的速度不行回家,该路公共汽车也以不变速度不停地运行。
每隔30分钟就有辆公共骑车从后面超过他,每隔20分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。
问:
该路公共汽车每隔多少分钟发一次车?
()
A、20 B、24 C、25 D、30
解析:
设两辆车间距为S。
有S=(V车+V人)×20,S=(V车-V人)×30,求得V车=5V人,故发车间隔为:
T=S/V车=24分钟
6、商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶,两个孩子嫌扶梯走得太慢,于是在行驶的扶梯上,男孩每秒钟向上走2个梯级,女孩每2秒向上走3个梯级。
结果男孩用40秒钟到达,女孩用50秒钟到达。
则当该扶梯静止时,可看到的扶梯级有:
A.80级 B.100级 C.120级 D.140级
解析;总路程为“扶梯静止时可看到的扶梯级”,速度为“男孩或女孩每个单位向上运动的级数”,如果设电梯匀速时的速度为X,则可列方程如下,
(X+2)×40=(X+3/2)×50
解得X=0.5 也即扶梯静止时可看到的扶梯级数=(2+0.5)×40=100
7、甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发,8分钟后两人第三次相遇。
已知甲每秒钟比乙每秒钟多行0.1米,那么,两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是
A.166米 B.176米 C.224米 D.234米
解析,此题为典型的速度和问题,为方便理解可设甲的速度为X米/分,乙的速度为Y米/分,则依题意可列方程8X+8Y=400×3
X-Y=6 (速度差0.1米/秒=6米/分)
从而解得X=78 Y=72
由Y=72,可知,8分钟乙跑了576米,显然此题距起点的最短距离为176米。
8、甲、乙、丙三人沿湖边散步,同时从湖边一固定点出发,甲按顺时针方向行走,乙与丙按逆时针方向行走,甲第一次遇到乙后1又1/4分钟遇到丙,再过3又3/4分钟第二次遇到乙。
已知乙的速度是甲的2/3,湖的周长为600米,则丙的速度为;
A.24米/分 B.25米/分 C26米/分 D.27米/分
『解析』解题关键点为“相遇问题的核心是‘速度和’的问题”可设甲的速度为
,则乙的速度为2x/3,又根据“甲第一次遇到乙后1又1/4分钟遇到丙,再过3又3/4分钟第二次遇到乙”,可知(+2x/3)×(1+1/4+3+3/4)=600,则=72,如果设丙的速度为,则有(+)×(1+1/4+3+3/4+1+1/4)=600,从而解得=24。
9、某校下午2点整派车去某厂接劳模作报告,往返需1小时。
该劳模在下午1点整就离厂步行向学校走来,途中遇到接他的车,便坐上车去学校,于下午2点30分到达。
问汽车的速度是劳模的步行速度的几倍?
A.5倍 B.6倍 C.7倍 D.8倍 (2003年中央B类)
解析,如果接劳模往返需1小时,而实际上汽车2点出发,30分钟便回来,这说明遇到劳模的地点在中点,也即劳模以步行速度(时间从1点到2点15分)走的距离和汽车所行的距离(2点到2点15分)相等。
设劳模的步行速度为A/小时,汽车的速度是劳模的步行速度的X倍,则可列方程
5/4A=1/4AX
解得X=5
所以,正确答案为A。
10、某时刻钟表时针在10点到11点之间,此时刻再过6分钟后分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上,则时刻为几点几分?
A、10点15分 B、10点19分 C、10点20分 D、10点25分
解析:
设此时刻是10点X分。
3分钟前是10点X-3分;6分钟后是10点X+6分。
则:
10点X-3分时,时针从12点位置上转过了300°+(X-3)×30°/60
10点x+6分时,分针从12点位置上转过了(X+6)×12×30°/60
300°+(X-3)×30/60°-(X+6)×12×30°/60=180°=>X=15
所以选A
注:
一般时针问题都有简便的方法来解
比如此题,可以使用代入法
B,C,D的时刻的3分钟前都还是10点多,因此时针在钟面上的10与11之间,而3个时刻6分钟以后已经至少是25分了,即分针已经在钟面上的5上或者之后了。
而钟面上10与11之间反过来对应的是4和5之间,所以这三项都不符。
选择A
11、有一只钟,每小时慢3分钟,早晨4点30分的时候,把钟对准了标准时间,则钟走到当天上午10点50分的时候,标准时间是多少?
()
A、11点整 B、11点5分 C、11点10分 D、11点15分
解析:
坏表问题的基本解题思路是找准坏表的“标准比”,然后按照比例来计算。
设此时的标准时间为y时,得到这样的比较:
标准钟 慢钟
时刻1:
4+30/60 4+30/60
时刻2:
y 10+50/60
两次时间差:
y-(4+30/60) (10+50/60)-(4+30/60)
标准比:
60 57
列出比例关系:
y-(4+30/60):
(10+50/60)-(4+30/60)=60:
57
解得y=11+10/60,即此时的标准时间为11时10分。
(三)、练习
1.甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离A地4千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地3千米处第二次相遇,求两次相遇地点之间的距离.
2.一列快车和一列慢车相向而行,快车的车长是280米,慢车的车长为385米,坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒,那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少?
3.前进钢铁厂用两辆汽车从距工厂90千米的矿山运矿石,现有甲、乙两辆汽车,甲车自矿山,乙车自钢铁厂同时出发相向而行,速度分别为每小时40千米和50千米,到达目的地后立即返回,如此反复运行多次,如果不计装卸时间,且两车不作任何停留,则两车在第三次相遇时,距矿山多少千米?
4.甲乙两地有公共骑车,每隔3分钟就从两地各发一辆汽车,30分钟驶完全程。
如果车速均匀,一个人坐上午9点的车从甲地开往乙地,一共遇上多少辆汽车?
A 15 B18 C19 D20
5.甲、乙两人站在匀速上升的自动扶梯从底部向顶部走,甲每分钟走扶梯的级数是乙的2倍;当甲走了36级到达顶部,而乙走了24级到达顶部。
那么,自动扶梯有多少级露在外面?
A68 B56 C72 D85
6、绕湖一周是20千米,甲、乙二人从湖边某一地点同时出发反向而行,甲以每小时4千米的速度每走一小时以后休息5分钟,乙以每小时6千米的速度每走50分钟后休息10分钟,则两人从出发到第一次相遇用了多少分钟?
A120 B125 C130 D136
7、人乘竹排沿江顺流漂流而下,迎面遇到一艘逆流而上的快艇,他问快艇员:
你后面有轮船开过来吗?
快艇员回答:
半小时前我超过一艘轮船。
竹排继续顺水漂流了1小时遇到了迎面开来的这艘轮船。
那么快艇静水速度是轮船静水速度的几倍?
A2 B2.5 C3 D3.5
8、某司机开车从A城到B城。
如果按原定速度前进,可准时到达。
当路程走了一半时,司机发现前一半路程中,实际平均速度只可达到原定速度的11/13.现在司机想准时到达B城,在后一半的行程中,实际平均速度与原速度之比是()
A11:
9 B12:
7 C11:
8 D13:
8
9、在一圆形跑道上,甲从A点、乙从B点同时出发反向而行,8分钟后两人相遇,再过6分钟甲到B点,又过10分钟两人再次相遇,则甲环行一周需要()?
A24分钟 B26分钟 C28分钟 D30分钟
10、一个圆的周长为1.26米,两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行。
这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米,他们每爬行1秒,3秒,5秒……(连续的奇数),就掉头爬行,那么,他们相遇时已爬行的时间是多少秒?
()
A46 B47 C48 D49
解析:
1.解:
①A、B两地间的距离:
4×3—3=9(千米).
②两次相遇点的距离:
9-4-3=2(千米).
2.解:
280÷(385÷11)=8(秒).
提示:
在这个过程中,对方的车长=两列车的速度和×驶过的时间.而速度和不变.
3.解:
①第三次相遇时两车的路程和为:
90+90×2+90×2=450(千米).
②第三次相遇时,两车所用的时间:
450÷(40+50)=5(小时).
③距矿山的距离为:
40×5—2×90=20(千米).
4、C解析:
乙站在上午8点半到9点半,共发送21辆车,这21辆车也就是甲站九点钟发出所应遇到的,除去首尾就是途中遇到的即21-2=19辆车。
5、C解析:
甲乙到达顶部所用的时间之比是36/2:
24=3:
4
假设扶梯的速度为x,那么36+3x=24+4x,得到x=12,所以扶梯长为36+3×12=72.
6、D解析:
两人相遇时间要超过2小时,出发130分钟后,甲、乙都休息完2次,甲已经行了4×2=8千米,乙已经行了6×(130-20)/60=11千米。
相遇还需要(20-8-11)/(4+6)=0.1小时=6分钟,故两人从出发到第一次相遇用了130+6=136分钟。
7、C解析:
对于竹排来说,它自身不动,而快艇、轮船都以它们在静水中的速度向它驶来。
快艇半小时走的路程,轮船用了1个半小时。
因此快艇静水中的速度是轮船静水速度的3倍。
8、A解析:
前一半路程用的时间是原定的13/11.多用了2/11.要想准时到达,后一半路程只能用原定时间的1-2/11=9/11。
所以后一半行程的速度是原定速度的9/11.即11:
9。
9、C解析:
甲、乙两人从第一次相遇到第二次相遇,用了6+10=16分钟。
也就是说,两人16分钟走了一圈。
从出发到两人第一次相遇用了8分钟,所以两人共走版权,即从A到B是半圈,A从A到B用了8+6=14分钟,故甲环行一周需要14*2=28分钟。
10、D解析:
半圆周长63厘米。
如果蚂蚁不掉头走,用63/(5.5+3.5)=7秒即相遇。
由于13-11+9-7+5-3+1=7,所以经过13+11+9+7+5+3+1=49秒,两只蚂蚁相遇。
二、排列组合问题
(一)基本概念
(1)加法原理:
分类的用加法
乘法原理:
分步的用乘法
排列:
与顺序有关
组合:
与顺序无关
(2)主要解题技巧:
逆向考虑法,特殊位置先排,隔板法,插空法,分类法,捆绑法等。
因为这部分内容比较多,所以抽屉原理另外在下一个专题里单独讲。
(二)习题与解析:
1、用1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个没有重复数字的五位数?
解析:
这是一个从8个元素中取5个元素的排列问题,由排列数公式,共可组成:
P85=8*7*6*5*4=6720
2、由数字0、1、2、3可以组成多少个没有重复数字的偶数?
解析:
分类法
注意到由四个数字0、1、2、3可组成的偶数有一位数、二位数、三位数、四位数这四类,所以要一类一类地考虑,再由加法原理解决.
第一类:
一位偶数只有0、2,共2个;
第二类:
两位偶数,它包含个位为0、2的两类.若个位取0,则十位可有C13种取法;若个位取2,则十位有C12种取法.故两位偶数共有(C13+C12)种不同的取法;
第三类:
三位偶数,它包含个位为0、2的两类.若个位取0,则十位和百位共有P23种取法;若个位取2,则十位和百位只能在0、1、3中取,百位有2种取法,十位也有2种取法,由乘法原理,个位为2的三位偶数有2×2个,三位偶数共有(P23+2×2)个;
第四类:
四位偶数.它包含个位为0、2的两类.若个位取0,则共有P33个;若个位取2,则其他3位只能在0、1、3中取.千位有2种取法,百位和十位在剩下的两个数中取,再排成一列,有P22种取法.由乘法原理,个位为2的四位偶数有2×P22个.所以,四位偶数共有(P33+2×P22)种不同的取法.
由加法原理知,共可以组成
2+(C13+C12)+(P23+2×2)+(P33+2×P22)
=2+5+10+10
=27个不同的偶数.
3、从5幅国画,3幅油画,2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室,问有几种选法?
解析:
分类法。
首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况,即可分三类,自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时,利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理.
解:
符合要求的选法可分三类:
设第一类为:
国画、油画各一幅,可以想像成,第一步先在5张国画中选1张,第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有5×3=15种选法.第二类为国画、水彩画各一幅,由乘法原理有5×2=10种选法.第三类油画、水彩各一幅,由乘法原理有3×2=6种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的.
因此,依加法原理,选取两幅不同类型的画布置教室的选法有15+10+6=31种.
运用加法和乘法原理时要注意:
①抓住两个基本原理的区别,千万不能混.
不同类的方法(其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完)数之间做加法,可求得完成事情的不同方法总数.
不同步的方法(全程分成几个阶段(步),其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段)数之间做乘法,可求得完成整个事情的不同方法总数.
②在研究完成一件工作的不同方法数时,要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例:
从若干件产品中抽出几件产品来检验,如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类:
第一类抽出的产品中有2件次品,第二类抽出的产品中有1件次品,那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如:
把能被2、被3、或被6整除的数分为三类:
第一类为能被2整除的数,第二类为能被3整除的数,第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分.
③在运用乘法原理时,要注意当每个步骤都做完时,这件事也必须完成,而且前面一个步骤中的每一种方法,对于下个步骤不同的方法来说是一样的.
4、一学生把一个一元硬币连续掷三次,试列出各种可能的排列.
解析:
画图
由此可知,排列共有如下八种:
正正正、正正反、正反正、正反反、
反正正、反正反、反反正、反反反.
5、参加会议的人两辆都彼此握手,有人统计共握手36次,到会共有多少人?
()
A、9B、10C、11D、12
解析:
两人握手与顺序无关,(甲与乙握手和乙与甲握手是一样的),假设共有N个人,两两彼此握手可以握C2N次,有C2N=N(N-1)/2*1=36.解得N=9,选A
6、五个瓶子都贴了标签,其中恰好贴错了三个,则错的可能情况共有多少种?
()
A、6B、10C、12D、20
解析:
第一步:
从五个瓶子中选出三个瓶子共有C35=10种方法
第二步:
对这三个瓶子进行错位排列,共有D3=2种方法
第三步:
根据乘法原理,所有可能的方法数为10*2*1=20种
PS:
有关错位排列问题。
请看下一题。
将有比较详细的解释。
7、甲乙丙丁四个人站成一排,已知:
甲不站在第一位,乙不站在第二位,丙不站在第三位,丁不站在第四位,则所有可能的站法数为多少种?
()
A、6B、12C、9D、24
解析:
甲不能站在第一位,因此甲必然站在后三个位置中的某一个位置。
如果甲站在第二位,则共有三种可能:
乙甲丁丙,丙甲丁乙,丁甲丙乙
如果甲站在第三位,则共有三种可能,乙丁甲丙,丙丁甲乙,丁丙甲乙
如果甲站在第四位,则共有三种可能,乙丙丁甲,丙丁乙甲,丁丙乙甲
因此一共有9种可能
总结:
错位排列问题:
有N封信和N个信封,则每封信都不装在自己的信封里,可能的方法的种数记作Dn。
则D1=0,D2=1,D3=2,D4=9,D5=44,D6=265。
。
8、A、B、C、D、E五个人排成一排,其中A、B两个人不站在一起,共有()种排法。
解析:
采用插空法。
第一步:
CDE排成一排,共有P33=6种排法
第二步:
口C口D口E口,共有4个空,将A、B插入这4个空中,共有P24=12种排法
根据乘法原理,共有不同的排法6*12=72种
9、A、B、C、D、E五个人排成一排,其中A、B两人必须站在一起,共有()种排法。
解析:
采用捆绑法。
第一步:
将A、B捆绑在一起,共有P22=2种捆法。
第二步:
用它们的整体和CDE一起拍,共有P44=24种排法
根据乘法原理,共有不同排法2*24=48种。
总结:
相邻问题---捆绑法。
不邻问题---插空法。
10、有10颗糖,每天至少吃一粒,直到吃完为止,共有多少种不同的吃法?
解析:
10片药并成一排,内部形成9个空。
想象每个空上方都有一块隔板,如果隔板放下了,就是把那部分的糖果分成2天来吃了。
每个隔板都有放下和不放下的2个选择。
所以一共的可能性是2^9=512种方法。
这个就是插板法。
是为了解决相同元素的分配问题的。
11、6人站在一排,要求甲站在乙的左边,有多少种不同的排法?
解析:
这里,甲站在乙的左边的排法和甲站在乙的右边的排法是对称的,那么排在左边的排法就是P66÷2=360种。
三、十字交叉法
十字交叉法是数算里面的一个重要方法,很多比例问题,都可以用十字交叉法来很快地解决,而在资料分析中,也能够派上很大用场,所以应该认真掌握它。
(一)原理介绍
通过一个例题来说明原理。
例:
某班学生的平均成绩是80分,其中男生的平均成绩是75,女生的平均成绩是85。
求该班男生和女生的比例。
方法一:
男生一人,女生一人,总分160分,平均分80分。
男生和女生的比例是1:
1。
方法二:
假设男生有A,女生有B。
(A*75+B85)/(A+B)=80
整理后A=B,因此男生和女生的比例是1:
1。
方法三:
男生:
755
80
女生:
855
男生:
女生=1:
1。
一个集合中的个体,只有2个不同的取值,部分个体取值为A,剩余部分取值为B。
平均值为C。
求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。
假设A有X,B有(1-X)。
AX+B(1-X)=C
X=(C-B)/(A-B)
1-X=(A-C)/(A-B)
因此:
X:
(1-X)=(C-B):
(A-C)
上面的计算过程可以抽象为:
AC-B
C
BA-C
这就是所谓的十字相乘法。
十字相乘法使用时要注意几点:
第一点:
用来解决两者之间的比例关系问题
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数量 关系