九年级数学上册 第二十九章相似形教案 冀教版.docx
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九年级数学上册第二十九章相似形教案冀教版
2019-2020年九年级数学上册第二十九章相似形教案冀教版
【概述】
1.通过丰富的实例,经历认识相似形的过程,并通过观察与思考、操作、交流、类比、归纳等活动,进一步培养学生的空间观念.
2.了解线段的比的概念,了解成比例线段以及比例的基本性质,通过建筑、艺术等方面的实例了解黄金分割.
3.通过观察、操作使学生了解相似三角形的概念,经历两个三角形相似条件的探索过程,掌握两个三角形相似的条件,会利用两个三角形相似的条件判断两个三角形相似.
4.经历探索相似三角形性质的过程,掌握相似三角形的性质,会利用相似三角形的性质解决一些实际问题.
5.了解相似多边形,经历探索相似多边形性质的过程,知道相似多边形的对应边成比例,周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方.
6.了解图形的位似,会利用尺规,根据作位似图形的方法将一个图形放大或缩小,以及利用图形的位似解决一些实际问题.
29.1形状相同的图形
[学习目标解读]
1.通过对丰富实例的观察、思考,经历认识形状相同的图形的过程.
2.在学习活动中,通过学生主动观察、操作、比较、归纳,以及相互交流,提高他们的数学思考,发展探索精神和与他人合作的意识.
[重点问题解析]
例1.下列图形中形状相同的图形是( ).
A. B. C. D.
答:
A
2.把你认为形状相同的图形用线连起来.
[综合能力测评]
1.在如图所示的四组图形中,哪些组的两个图形看上去形状相同?
2.我们学过很多几何图形,你认为哪些类型的图形一定都是形状相同的呢?
例:
所有的等边三角形都是形状相同的图形.请你再举出几个这样的例子.
3.从望远镜中看到的物体与原来的实物的形状相同吗?
4.你看到过哈哈镜吗?
你在哈哈镜中的形象与你本人是否相同?
5.如图,在ΔABC中,取AB的中点D,取AC的中点E,连结DE,得到ΔADE,那么ΔADE与ΔABC的形状相同吗?
若再分别取AD、AE的中点M、N,连结MN,得到ΔAMN,那么ΔAMN与ΔABC的形状相同吗?
请画出图形观察后回答.
6.在图中,找出你认为形状相同的图形,用线连起来.
[实践活动探究]
1.在图的直角坐标系中,描出下列各点:
A(4,0)、B(7,0)、C(5,4)、D(2,4).
(1)用线段顺次连结A,B,C,D,A,得到一个图形.
(2)把上面四个点的横、纵坐标都乘,描出对应的点,再用线段顺次连结各对应点,得到一个图形.(3)这两个图形的形状是否相同?
2.如图,在格点图中有一个四边形,请你在此格点图中画一个与该四边形形状相同的四边形,并和你的同伴交流一下,怎样画才能做到又快又好?
29.2比例线段
[学习目标解读]
1.了解线段的比和成比例线段的概念,知道两条线段的比与所采用的度量单位
无关.
2.理解并掌握比例的基本性质,了解比例中项的概念.
3.了解黄金分割,会利用比例的基本性质解决一些简单的问题.
[重点问题解析]
例如图:
平面图得比例尺是1∶5000,根据图中所示的尺寸(单位:
厘米),求围墙的长度
解:
设围墙的实际长度为xcm,∵围墙的图上长度是:
2+4+2.6+4.5=13.1
根据题意:
1:
5000=13.1:
x∴解得x=65500
答:
围墙的实际长度是655米.
[课堂自我测评]
一.填空题
1.若5,3,10的第四比例项是x,则x的值是.
2.、、的第四比例项是.
3.a、b、c、的第四比例项是.
4.线段AB=12cm,点C在线段AB上,且AC=40mm,则AC:
AB=.
5.已知:
a=4、b=5,则a、b的比例中项是.
6.若=,则=.
7.如果=,那么=;如果==,那么=.
二.选择题
1.下列各组线段中,不成比例的是()
A.a=6mm,b=8mm,c=15mm,d=10mm
B.a=7cm,b=4cm,c=0.7cm,d=0.4mm
C.a=5dm,b=3dm,c=5dm,d=3dm
D.a=0.3m,b=1.5m,c=0.6m,d=3m
2.丽水市第一座横跨瓯江的单塔斜拉式大桥——紫金大桥正在建造中,在比例尺为1:
500的图纸上,大桥的长度约为1.04米,则大桥的实际长度是()
A.104米B.1040米C.5200米D.520米
3.把长度为10cm的线段黄金分割后,其中较短的线段的长度是()
A.B.10-5C.15-5D.15-10
4.若=,且2y-x=5,则x+y的值为
()A.3B.5C.7D.9
5.如果==≠0,那么的值是()
A.7B.8C.9D.10
6.已知,在RT△ABC中,∠BAC=90。
,D为BC的中点,则AD:
BC等于()
A.1:
2B.1:
3C.2:
3D.不能确定
7.等边三角形的一边与这一边上的高的比是()
A.:
2B.:
1C.2:
D.1:
8.若三角形三边长为2、3、4,它个边上的高依次是x、y、r,则x:
y:
r等于()
A.1:
2:
3B.2:
3:
4C.3:
4:
6D.6:
4:
3
9.正方形ABCD中,E是AB上任意一点,作EF⊥BD于F,则EF:
BE为()
A.1:
2B.1:
C.:
D.不能确定
10.若k===,则k的值为()
A.或-1B.C.-1D.
11.已知:
线段a=3,b=6,c=4,那么下面说法正确的是( )
A.a、b、c的第四比例项是a+b B.a、b、c的第四比例项是(2a+3b)
C.a、b的比例中项是c
D.线段2a是线段b、c的比例中项。
[综合能力测评]
1.如图,在RtΔABC中,∠C=90°,∠A=45°,斜边AB=2,求,,.
2.延长线段AB到C,使BC=2AB,求
(1)AC:
AB;
(2)AB:
BC;(3)BC:
AC.
3.A、B两地的实际距离AB=250m,画在图上的距离A´B´=5cm,则图上的距离与实际距离的比是多少?
4.在比例尺是1:
25的图纸上画出一个零件的长度是20mm,请你求这个零件的实际长度是多少mm?
5.已知两数4和8,试写出第三个数,使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项.第三个数可能是多少?
[实践活动探究]
1.已知:
线段a=1,b=,c=.试说明b是a、c的比例中项.
2.已知C是线段AB的黄金分割点,≈0.618,求的近似值.
29.3相似三角形
[学习目标解读]
1.经历相似三角形、相似比概念的形成过程,了解相似三角形的含义.
2.了解表示两个相似三角形的方法,体会成比例线段与相似三角形之间的内在联系
3.在学习活动中,注意引导学生主动观察、操作、归纳,发展他们的概括能力,提高他们
进行数学思考的意识和能力.
[重点问题解析]
例一个钢筋三角架的三边长为40cm,100cm,120cm,现要做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm、50cm的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边,问有几种不同截法?
试说出来.
解:
当30cm的钢筋为最长边时,设其余两边的长分别为xcm、ycm,由相似三角形的定义可知:
==,∴x=10(cm),y=25(cm).
当30cm的钢筋为次长边时,设其余两边的长分别为xcm、ycm,则==,∴x=12(cm),y=36(cm).
[课堂自我测评]
一.填空题
三角形甲的各边之比为2:
5:
6,和它相似的一个三角形乙的最长边为24,则三角形乙的最短边为,周长为.
二.选择题
1.已知:
△ABC∽△A'B'C',∠A=45°∠B=105°,则∠C'的度数是()
A.30。
B.45。
C.30。
或45。
D.75。
2.△ABC∽△A1B1C1且相似比为,△A1B1C1∽△A2B2C2且相似比为,则△ABC与△A2B2C2的相似比为()
A.B.C.或D.
[综合能力测评]
1.如图,△ABC中,D为边AB上任一点,作DE∥BC,交边AC与E,用刻度尺量一量,判断△ADE和△ABC是否相似.
2.在右图中,AB∥CF,根据图中标出的数据判断△ABE和△FCE是否相似。
3.已知:
ΔABC的三边长分别为5、12、15,和ΔABC相似的ΔA´B´C´的最大边长为30,求ΔA´B´C´的另两条边长和周长.
4.如图,ΔABC∽ΔADE,AD=7,AB=10.5,DE=4,求BC的长.
5.如图,△ABC中,AB的中点为D,AC的中点为E,连结ED,则△AED与△ABC的相似吗?
请说明理由.若相似,相似比是多少?
6.如图,,已知ΔADE∽ΔABC,且AB=16,AD=10,BC=14,求DE的长.
7.已知ΔABC∽ΔA1B1C1,ΔA1B1C1∽ΔA2B2C2.试说明ΔABC∽ΔA2B2C2.
[实践活动探究]
如图,已知ΔAEF∽ΔABC,ΔCDF∽ΔCBA.
(1)试说明四边形EBDF为平行四边形.
(2)若AE=1.8厘米,BE=1.2厘米,CD=1.4厘米,求BD的长.
29.4三角形相似的条件
(一)
[学习目标解读]
经历两个三角形相似条件的探索过程,进一步发展学生的探究、交流能力,培养善于观察、动手操作、猜想、研究问题的习惯.
[重点问题解析]
例
(1)如图①,可以算出一个正方形的对角线长为,求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长,n个呢?
(2)根据图②,求证:
△BCE∽△BED
(3)由图③,在下列所给的三个结论中,通过合情推理选出一个正确的结论加以证明:
①∠BEC+∠BDE=45°;②∠BEC+∠BED=45°③∠BEC+∠DFE=45°.
解:
1)n个正方形时,对角线长为
(2)因为BE=,BC=1,BD=2,所以.
又∠EBC=∠DBE,所以△BCE∽△BED.
(3)②∠BEC+∠BED=45°③∠BEC+∠DFE=45°都正确.
选②证明如下.由△BCE∽△BED得∠BED=∠BCE,
∠BCE+∠BEC=∠ABE=45°,所以∠BEC+∠BED=45°.
[课堂自我测评]
一.判断题:
(1)三个角对应相等的两个三角形必相似.()
(2)有一个角相等的两个等腰三角形相似.()
(3)有一个底角相等的两个等腰三角形相似.()
(4)有一个角是100°的两个等腰三角形相似.()
(5)一个角等于其它两个角之和的两个等腰三角形相似.()
(6)在△ABC和△A'B'C'中,若∠B=∠B'=75°、∠C=50°、∠A'=55°,
则△ABC∽△A'B'C'.()
(7)三角形的一条中位线截出的三角形与原三角形相似.()
二.填空题
1.如图,在RtΔABC中,CD是斜边上的高,则∽∽.
2.如图,DE∥AC,AD=0.7,AB=2.1,DE=3,则AC=.
三.选择题
如图,在RtΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,DE⊥AC于E,则和ΔABC相似的三角形有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
[综合能力测评]
1.如图,已知DG∥EH∥FI∥BC,请写出图中所有相似的三角形.
2.判断下列各组中的两个三角形是否相似,并简单说明理由.
(1)在ΔABC中,∠B是直角,∠A=30°;
在ΔA´B´C´中,∠B´是直角,∠C´=60°.
(2)ΔABC与ΔA´B´C´中,∠B=∠B´=75°,∠C=50°,∠A´=55°.
3.如图,已知:
∠B=∠ADE.试说明ΔADE∽ΔABC.
4.如图,四边形ABCD是老王家的一个养鱼池,已知∠A=∠C=90°,∠D=120°,AD=54m,DC=36m,为确定放养鱼苗的数量,需先算出它的面积,请你帮他计算一下.(精确到1米2)
5.已知;如图,RtΔABC中,∠C=90°,MN⊥AB于M.
(1)试说明ΔAMN∽ΔACB.
(2)若AM=8cm,AC=AB,求AN的长.
6.如图,已知:
∠BDF=∠CEF,试说明ΔABE∽ΔACD.
7.如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB.试说明△ADE∽△EFC.
8.如图,在平行四边形ABCD中,AC是对角线,F是AB上的点,连结DF并延长交CB的延长线于点G,交AC于点E.观察图形,请写出4对以上的相似三角形,并从你所写的相似三角形中任选一对说明理由.
[实践活动探究]
1.为防水患,在漓江上游修筑了防洪堤,其截面为一梯形,如图,堤的上底宽AD和堤高DF都是6米,其中∠B=∠CDF.
(1)求证:
ΔABE∽ΔCDF;
(2)若AE:
BE=2:
1,求堤的下底BC的长.
2.如图,ΔABC中,∠B=∠CAM,MN∥AC.
(1)试说明ΔBMN∽ΔACM;
(2)试说明ΔACM∽ΔBCA;
(3)若BM=10cm,MC=8cm,试求MN的长.
29.4三角形相似的条件
(二)
[学习目标解读]
初步掌握两个三角形相似的判断条件,并能够运用三角形相似的判断方法解决一些简单
的问题,进一步发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理意识.
[重点问题解析]
例如图,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端在CB,CD上滑动,请你说明当CM的长为多少时,△AED与以M,N,C为顶点的三角形相似?
解:
因为,由勾股定理可得:
.分两种情况:
(1)当,即,时,△AED∽△CMN.
(2),即,时,△AED∽△CNM.
[课堂自我测评]
一.
填空题
如图,在ΔABC中,点P在AB上,以下给出了四个条件:
①∠ACP=∠B ②∠APC=∠ACB
③AC:
AB=AP:
AC④PC:
BC=AC:
AB
条件能保证△ACP∽△ABC.
二.
选择题
1.如图,ΔABC中,D、E分别是AB、AC上的点,在下列条件中:
①∠AED=∠B;②=;
③=,能够判断ΔADE∽ΔABC相似的是()
A.①B.①②C.①③D.①②③
2.如图,若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点,为使△ABC∽△PQR,则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的()
A.甲B.乙C.丙D.丁
3.如图,ABCD是正方形,E是CD的中点,P是BC上一点,下列条件中,不能推出ΔABP∽ΔECP相似的是()
A.∠APB=∠EPCB.∠APE=90°
C.BP:
BC=2:
3D.P是BC的中点.
4.如图,AD∥BC,∠D=90°,DC=7,AD=2,BC=3,若在边DC上有点P使ΔPAD与ΔPBC相似,则这样的点P有()
A.1个B.2个
C.3个D.4个
[综合能力测评]
1.根据下列各组条件,判定ΔABC与ΔA´B´C´是不是相似,并说明理由.
(1)∠A=65°,AB=7厘米,AC=14厘米,∠A´=65°,A´B´=3厘米,A´C´=6厘米;
(2)AB=12厘米,BC=15厘米,AC=24厘米,A´B´=20厘米,B´C´=15厘米,A´C´=40厘米.
2.ΔABC中,∠A=47°,AB=1.5cm,AC=2cm,
ΔDEF中,∠E=47°,ED=2.8cm,EF=2.1cm.
这两个三角形相似吗?
为什么?
如果相似,写出表示式.
3.小明画了如图,的两个三角形,现在想使△ABC∽△ADE,只能添加一个条件,请你说说你的添加方案和理由。
4.已知:
如图,AB∥DE,BC∥EF,试说明ΔOAC∽ΔODF.
5.如图,D、E、F分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点,试说明ΔDEF∽ΔABC.
6.如图,已知:
AD·AC=AE·AB,试说明ΔAED∽ACB.
[实践活动探究]
1.如图,已知∠ACB=∠CBD=90°,AC=b,CB=a,当BD与a、b之间满足怎样的关系时,ΔACB∽ΔCBD?
2.如图,正方形ABCD边长是2,BE=CE,MN=1,线段MN的两端在CD、AD上滑动,当DM等于多少时,ΔABE与以D、M、N为顶点的三角形相似?
29.5相似三角形的性质
[学习目标解读]
1.经历探索相似三角形性质的过程,理解并掌握两个相似三角形周长的比等于它们的相似
比;对应高的比等于它们的相似比;面积的比等于它们相似比的平方.
2.能利用相似三角形的性质解决一些简单的问题.
3.在探究相似三角形性质的过程中发展学生积极的情感、态度,体会前后知识的联系及解决问题的多样性.
[重点问题解析]
例如图1,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,四边形DEFG为△ABC的内接正方形,若设正方形的边长为x,容易算出x的长为.
探究与计算:
(1)如图2,若三角形内有并排的两个全等的正方形,它们组成的矩形内接于△ABC,则正方形的边长为;
(2)如图3,若三角形内有并排的三个全等的正方形,它们组成的矩形内接于△ABC,则正方形的边长为.
猜想与证明:
如图4,若三角形内有并排的n个全等的正方形,它们组成的矩形内接于△ABC,请你猜想正方形的边长是多少?
并对你的猜想进行证明.
解:
探究与计算:
(1);
(2).猜想与证明:
若
三角形内有并排的n个全等的正方形,它们组成的矩形内
接于△ABC,正方形的边长是.证明如下:
如图5,过点C作CN⊥AB,垂足为N,交GF于点
M.设小正方形的边长为x.∵四边形GDEF为矩形,
∴GF
∥AB.CM⊥GF.容易算出.∴.
即
.∴x=.即小正方形的边长是.
[课堂自我测评]
一.填空题
1.相似三角形的周长比等于;对应高的比等于;对应中线的比等于;对应角平分线的比等于;面积比等于;
2.如果两个相似三角形对应高分别是2cm,3cm,那么它们的面积比是.
3.两个相似三角形的面积比是4:
25,那么它们的周长比为:
.
4.如图,铁道口栏杆的短臂长为1.2m,长臂长为8m,当短臂端点下降0.6m时,长臂端点升高m(杆的粗细忽略不计)。
5.在ΔABC和ΔBED中,===,且ΔABC和ΔBED的周长之差为10cm,则ΔABC的周长为cm.
6.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB。
(1)此图中共有三个三角形相似,它们是.
(2)当△ABC∽△ACD时,=,所以AC2=。
(3)当△ABC∽△CBD时,有:
BC2=.
(4)当△ACD∽△CBD时,有:
CD2=.
7.在△ABC中,若D、E分别是边AB、AC上的点,且DE∥BC,AD=1,DB=2,则△ADE与△ABC的面积比为________.
二.
选择题
1.如果两个等腰直角三角形斜边的比是1:
2,那么它们面积的比是()
A.1:
1B.1:
C.1:
2D.1:
4
2.如图,DE是ΔABC的中位线,则ΔADE与ΔABC的面积之比是()
A.1:
1B.1:
2C.1:
3D.1:
4
3.厨房角柜的台面是三角形,如图,如果把各边中点连线围成的三角形铺成黑色大理石,其余部分铺成白色大理石,那么黑色大理石的面积与白色大理石的面积比是()
A.1:
4B.4:
1C.1:
3D.3:
4
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,若AD=1,BD=4,则CD=()
A.2B.4C.D.3
[综合能力测评]
1.古时候,有赵、李两个庄主,赵庄主的土地大约是李庄主的4倍,土地的形状都接近正方形,有一天两个庄主打赌,李庄主说:
“我骑马围着自己的土地跑一圈,要一个半小时,围你的土地跑一圈三个半小时足够”。
赵庄主不信,说:
“如果你三个半小时前跑回来,我这个庄园归你,如果你三个半小时跑不回来,那么你的庄园归我”。
李庄主说:
“一言为定”。
然后就催马而去,你知道谁是胜利者吗?
请说说理由.
2.两个相似三角形的一对对边长分别是35厘米和14厘米,它们的周长相差60厘米,求这两个三角形的周长.
3.如图,D为△ABC中AB边上一点,∠ACD=∠ABC.
试说明:
AC2=AD·AB
[实践活动探究]
1.已知:
如图,ΔCDE是等边三角形,∠ACB=120°.
(1)求证:
ΔACD∽ΔBCE
(2)AD·EB=DE2.
2.已知如图,E是四边形ABCD的对角线上的一点,且AB︰AE=AC︰AD,∠1=∠2,试说明∠ABC=∠AED.
29.6相似多边形及其性质
[学习目标解读]
1.了解相似多边形的概念,知道相似多边形的对应角相等、对应边成比例,以及表示两个
相似多边形的方法.
2.经历探究相似多边形性质的过程,知道相似多边形周长的比等于它们的相似比,面积的
比等于它们的相似比的平方.
3.理解并初步掌握相似多边形的性质,并能用来解决一些简单的问题.
[重点问题解析]
例一矩形ABCD花坛四周修筑小路,使得相对两条小路的宽均相等,如果花坛AB=20米,AD=30米,试问小路的宽x与y的比值为多少时,能使得小路四周所围成的矩形A1B1C1D1能与矩形ABCD相似?
请说明理由
解:
两个矩形相似只需对应边成比例,由题意得:
所以20(30+2x)=30(30+2y)
解得
[课堂自我测评]
一.填空题
一个多边形的边长依次为1、2、3、4、5、6,与它相似的另一个多边形的最大边为8,那么另一个多边形的周长为.
二.选择题
1.下列说法正确的是( )
A. 所有的矩形都相似 B.所有的菱形都相似
C.所有的等腰梯形都相似 D.所有的正方形都相似
2.若作业本的一页纸整张和半张是相似的,则作业本的长和宽的比是()
A.2:
1B.4:
1C.:
1D.1.5:
1
[综合能力测评]
1.如图,正方形的边长a=10,菱形的边长b=5,它们相似吗?
请说明理由.
2.已知:
四边形ABCD∽四边形A´B´C´D´,且AB=4cm,A´B´=7cm,四边形A´B´C´D´的周长和面积分别为56cm和147cm2,求四边形ABCD的周长和面积.
3.已知:
五边形ABCDE∽五边形A´B´C´D´E´,它们的面积比为4:
9,周长的和是200厘米,求这两个五边形的周长.
4.已知:
六边形ABCDEF∽六边形A´B´C´D´E´F´,它们的相似比为3:
2,面积之差是25,求这两个六边形的面积.
5.已知:
如图,四边形ABCD相似于四边形EFGH,求未知边x、y的长度和角度α的大小。
6.已知:
如图,四边形ABCD相似于四边形EFGH,求四边形EFGH的周长.
[实践活动探究]
已知:
如图,四边形ABCD相似于四边形EFGH.求
(1)∠A;
(2)EF.
29.7位似图形
[学习目标解读]
1.了解位似图形及其有关的概念,知道位似图形是具有特殊位置关系的相似图形.
2.能够利用位似图形选择恰当的方法将一个图形进行放大或缩小.
3.能够利用图形的位似解
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