导数在函数中的应用导数好题解析版.docx
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导数在函数中的应用导数好题解析版
导数在函数中的应用(导数好题解析版)
第十讲导数的应用 教学目标教学重点及相应策略分类总结. 导数应用求解函数的单调区间,极值最值和恒成立问题.教学难点及相应策略 熟悉掌握导数应用各类题型的出题方式,举一反三. 掌握典型例题的典型方法. 在掌握导数求导的前提下,熟悉并掌握导数应用的题型,典型例题与课本知教学方法建议识相结合,精讲精练.复习与总结同时进行,逐步掌握导数应用的方法.A类选材程度及数量B类C类道道道道道道课堂精讲例题道搭配课堂训练题道课后作业道 掌握导数应用的题型,总结归纳解题方法导数应用求解函数的单调区间,极值最值和恒成立问题.分析相关题型进行知识梳理 1.函数的单调性:
在某个区间内,如果f?
(x)?
0,那么函数y?
f(x)在这个区间内单调递增;如果f?
(x)?
0,那么函数y?
f(x)在这个区间内单调递减.如果f?
(x)?
0,那么函数y?
f(x)在这个区间上是常数函数. 注:
函数y?
f(x)在内单调递增,则f?
(x)?
0,f?
(x)?
0是y?
f(x)在内单调递增的充分不必要条件. 2.函数的极值:
曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正. xf(x0)是极大值的方法是:
一般地,当函数y?
f(x)在点0处连续时,判断 如果在如果在 x0附近的左侧f’(x)?
0,右侧f’(x)?
0,那么f(x0)是极大值.x0附近的左侧f’(x)?
0,右侧f’(x)?
0,那么f(x0)是极小值. 注:
导数为0的点不一定是极值点 知识点一:
导数与函数的单调性 方法归纳:
在某个区间内,如果f?
(x)?
0,那么函数y?
f(x)在这个区间内单调递增;如果 f?
(x)?
0,那么函数y?
f(x)在这个区间内单调递减.如果f?
(x)?
0,那么函数y?
f(x)在这个区间上是常数函数. 注:
函数y?
f(x)在内单调递增,则f?
(x)?
0,f?
(x)?
0是y?
f(x)在内单调递增的充分不必要条件. 【例1】已知函数f(x)?
x3?
bx2?
cx?
d的图象过点P(0,2),且在点M(?
1,f(?
1))处的切线方程为6x?
y?
7?
0. 求函数y?
f(x)的解析式;求函数y?
f(x)的单调区间. 【解题思路】注意切点既在切线上,又原曲线上.函数f(x)在区间[a,b]上递增可得:
f’(x)?
0;函数f(x)在区间[a,b]上递减可得:
f’(x)?
0. 【解析】f(x)的图象经过P(0,2),知d?
2, 所以f(x)?
x?
bx?
cx?
2.所以f?
(x)?
3x?
2bx?
c. 在M(?
1,f(?
1))处的切线方程是6x?
y?
7?
0, 232(?
1)?
6. 知?
6?
f(?
1)?
7?
0,即f(?
1)?
1,f′?
3?
2b?
c?
6,?
2b?
c?
3,所以?
即?
解得b?
c?
?
3. ?
1?
b?
c?
2?
?
c?
0.?
?
故所求的解析式是f(x)?
x?
3x?
3x?
2. 2因为f?
(x)?
3x?
6x?
3, 32令3x?
6x?
3?
0,即x?
2x?
1?
0,解得x1?
1?
2,x2?
1?
2. 当x?
1?
2或x?
1?
2时,f’(x)?
0, 22当1?
2?
x?
1?
2时,f’(x)?
0, 故f(x)?
x3?
3x2?
3x?
2在(?
?
1?
2]内是增函数,在[1?
2,1?
2]内是减函数,在[1?
2,?
?
)内是增函数. 【例2】若f(x)?
ax3?
x在区间[-1,1]上单调递增,求a的取值范围. 【解题思路】利用函数f(x)在区间[a,b]上递增可得:
f’(x)?
0;函数f(x)在区间[a,b]上递减可得:
f’(x)?
0.得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解.【解析】?
f?
(x)?
3ax2?
1又f(x)在区间[-1,1]上单调递增 ?
f?
(x)?
3ax2?
1?
0在[-1,1]上恒成立即a?
?
1在x?
[-1,1]时恒成立.3x211?
a?
?
故a的取值范围为[?
?
?
] 33a【例3】已知函数f(x)?
lnx,g(x)?
(a?
0),设F(x)?
f(x)?
g(x). x求函数F(x)的单调区间; 若以函数y?
F(x)(x?
(0,3])图像上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率 k?
1恒成立,求实数a的最小值;2【解题思路】注意函数的求导法则.注意对数函数定义域.在某点处的切线的斜率为该点的导数值. 【解析】F?
x?
?
f?
x?
?
g?
x?
?
lnx?
a1ax?
a?
x?
0?
,F’?
x?
?
?
2?
2?
x?
0?
xxxx∵a?
0,F’?
x?
?
0?
x?
?
a,?
?
?
,∴F?
x?
在?
a,?
?
?
上单调递增. F’?
x?
?
0?
x?
?
0,a?
,∴F?
x?
在?
0,a?
上单调递减. ∴F?
x?
的单调递减区间为?
0,a?
,单调递增区间为?
a,?
?
?
.F’?
x?
?
x?
a0?
x?
3?
,2?
xk?
F’?
x0?
?
x0?
a?
12?
a?
?
x?
x0?
x?
3恒成立?
?
?
00?
?
x022?
?
max121x0?
x0取得最大值.22当x0?
1时,?
∴a?
11,∴amin=.22【课堂练习】 1.)已知函数曲线在点M处的切线恰好与直线x?
9y?
0垂直.f(x)?
ax3?
bx2的图像经过点M(1,4),求实数a,b的值; 若函数f(x)在区间[m,m?
1]上单调递增,求m的取值范围. 【解题思路】两条直线垂直斜率互为负倒数.在区间[m,m?
1]上单调递增,即[m,m?
1]为函数的递增区间的子集. 【解析】f(x)?
ax?
bx的图象经过点M(1,4)∴a?
b?
4 2∵f?
(x)?
3ax?
2bx,∴f?
(1)?
3a?
2b 32已知条件知f?
(1)?
(?
)?
?
1即3a?
2b?
9 19∴解?
?
a?
1?
a?
b?
4得:
?
?
b?
3?
3a?
2b?
9322知f(x)?
x?
3x,f?
(x)?
3x?
6x令f?
(x)?
3x?
6x?
0则x?
?
2或x?
0 ∵函数f(x)在区间[m,m?
1]上单调递增∴[m,m?
1]?
(?
?
?
2]?
[0,?
?
)∴m?
0或m?
1?
?
2即m?
0或m?
?
32.设函数g(x)?
21212x?
ax?
bx(a,b?
R),在其图象上一点P处的切32线的斜率记为f(x). ?
2和4,求f(x)的表达式; 若方程f(x)?
0有两个实根分别为若g(x)在区间[?
1,3]上是单调递减函数,求a?
b的最小值. 【解题思路】注意一元二次方程韦达定理的应用条件.在区间[-1,3]上单调递减,即导函数在相应区间上恒小于等于0.再者注意目标函数的转化. 22【解析】根据导数的几何意义知f(x)?
g?
(x)?
x2?
ax?
b 已知-2、4是方程x2?
ax?
b?
0的两个实根韦达定理,?
?
?
2?
4?
?
a?
a?
?
2?
?
f(x)?
x2?
2x?
8 ?
?
2?
4?
?
b?
b?
8g(x)在区间[—1,3]上是单调递减函数,所以在[—1,3]区间上恒有 f(x)?
g?
(x)?
x2?
ax?
b?
0,即f(x)?
x2?
ax?
b?
0在[?
1,3]恒成立?
f(?
1)?
0?
a?
b?
1这只需满足?
即可,也即?
?
f(3)?
0?
b?
3a?
9?
a?
b?
122而a?
b可视为平面区域内的点到原点距离的平方,?
b?
3a?
9?
其中点距离原点最近, 所以当?
?
a?
?
2时,a2?
b2有最小值13 ?
b?
312x?
mlnx?
(m?
1)x,m?
R.当m?
0时,讨论函数f(x)23.已知函数f(x)?
的单调性. 【解题思路】注意函数的定义域.在确定函数的定义域之后再对函数进行单调性的讨论 mx2?
(m?
1)x?
m(x?
1)(x?
m)?
【解析】∵f?
(x)?
x?
?
(m?
1)?
, xxx∴当?
1?
m?
0时,若x?
?
0,?
m?
时,f?
(x)?
0,f(x)为增函数; x?
?
?
m,1?
时,f?
(x)?
0,f(x)为减函数;x?
?
1,?
?
?
时,f?
(x)?
0,f(x)为增函数. 当m?
?
1时,x?
?
0,1?
时,f?
(x)?
0,f(x)为增函数; x?
?
1,?
m?
时,f?
(x)?
0,f(x)为减函数;x?
?
?
m,?
?
?
时,f?
(x)?
0,f(x)为增函数. 知识点二:
导数与函数的极值最值 方法归纳:
1.求函数的极值的步骤:
(1)确定函数的定义域,求导数f’(x).
(2)求方程f’(x)?
0的根. (3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义域分成若干小开区间,并列成表格.检查 f’(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果 左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值. 2.求函数在[a,b]上最值的步骤:
求出f(x)在(a,b)上的极值. 求出端点函数值f(a),f(b). 比较极值和端点值,确定最大值或最小值. x?
x0处取得极值是f’(x0)?
0的充分不必要条件.注:
可导函数y?
f(x)在 【例4】若函数f(x)?
mcosx?
1?
sin2x在x?
处取得极值,则m?
.24’【解题思路】若在x0附近的左侧f(x)?
0,右侧f?
(x)?
0,且f’(x0)?
0,那么f(x0)是 f(x)的极大值;若在x0附近的左侧f’(x)?
0,右侧f’(x)?
0,且f’(x0)?
0,那么f(x0)是f(x)的极小值. ’【解析】因为f(x)可导,且f(x)?
?
msinx?
cos2x,所以f()?
?
msin’?
?
44?
cos?
2?
0, 解得m?
0.经验证当m?
0时,函数f(x)?
1?
sin2x在x?
处取得极大值.24【注】若f(x)是可导函数,注意f?
(x0)?
0是x0为函数f(x)极值点的必要条件.要确定极值点还需在x0左右判断单调性. 【例5】已知函数求 f?
x?
?
?
x?
k?
ex, f?
x?
的单调区间;求 f?
x?
在区间 ?
0,1?
上的最小值. 【解题思路】注意求导的四则运算;注意分类讨论. /x/f?
x?
(?
?
k?
1)f(x)?
(x?
k?
1)ef【解析】,令(x)?
0?
x?
k?
1;所以在上 递减,在(k?
1,?
?
)上递增; 当k?
1?
0,即k?
1时,函数 f?
x?
在区间 ?
0,1?
上递增,所以f(x)min?
f(0)?
?
k; f?
x?
在区间 当0?
k?
1?
1即1?
k?
2时,知,函数 k?
1f(x)?
f(k?
1)?
?
emin上递增,所以; ?
0,k?
1?
上递减,(k?
1,1]当k?
1?
1,即k?
2时,函数 f?
x?
在区间 ?
0,1?
上递减,f(x)min?
f
(1)?
(1?
k)e. 所以 【例6】设x?
1,x?
2是f?
x?
?
alnx?
bx?
x函数的两个极值点. 试确定常数a和b的值;试判断x?
1,x?
2是函数【解析】f’f?
x?
的极大值点还是极小值点,并求相应极值. ?
x?
?
a?
2bx?
1,x2?
a?
2b?
1?
0a?
?
?
’?
?
?
?
f?
1?
?
0?
3?
?
1已知得:
?
’ ?
?
1f2?
0a?
4b?
1?
0?
?
b?
?
?
?
?
?
?
2?
6?
x变化时.f?
(x),f(x)的变化情况如表:
x—10极小值+20极大值—f,?
x?
f?
x?
542?
ln2fxfx故在x?
1处,函数?
?
取极小值6;在x?
2处,函数?
?
取得极大值33. 【课堂练习】 211(,?
?
)f(x)?
?
x3?
x2?
2ax324.设.若f(x)在3上存在单调 递增区间,求a的取值范围. 【解题思路】在某区间上存在单调区间等价于在该区间上有极值. 2(,?
?
)【解析】f(x)在3上存在单调递增区间,2(m,n)?
(,?
?
)’f3即存在某个子区间使得(x)?
0. 11f’(x)?
?
x2?
x?
2a?
?
(x?
)2?
?
2a24,22[,?
?
)f’()?
0f(x)在区间33上单调递减,则只需即可. ’221f’()?
?
2a?
0a?
?
9,39解得 a?
?
所以,当 12(,?
?
)9时,f(x)在3上存在单调递增区间. ?
5.设f(x)?
lnx,g(x)?
f(x)?
f(x).1g()求g(x)的单调区间和最小值;讨论g(x)与x的大小关系; 【解题思路】先求出原函数f(x),再求得g(x),然后利用导数判断函数的单调性,并求出最小值;作差法比较,构造一个新的函数,利用导数判断函数的单调性,并单调性判断函数的正负;对任意x>0成立的恒成立问题转化为函数g(x)的最小值问题. f(x)?
lnx,g(x)?
lnx?
【解】题设知 x?
11g?
(x)?
2,x令g?
(x)?
0得x=1,x,∴ ?
当x∈时,g(x)<0,g(x)是减函数,故是g(x)的单调减区间.?
当x∈时,g(x)>0,g(x)是增函数,故是g(x)的单调递增区间, 因此,x=1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以g(x)的最小值为g
(1)?
1. 111(x?
1)2g()?
?
lnx?
xh(x)?
g(x)?
g()?
lnx?
x?
h?
(x)?
?
xx,则x2,
(2)x,设1g(x)?
g()x,当x?
(0,1)?
(1,?
?
)时,h?
(x)?
0,当x?
1时,h
(1)?
0,即 1g(x)?
g().x因此,h(x)在(0,?
?
)内单调递减,当0?
x?
1时,h(x)?
h
(1)?
0,即 32f(x)?
x?
3ax?
(3?
6a)x?
12a?
4(a?
R)6.已知函数 (Ⅰ)证明:
曲线y?
f(x)在x?
0的切线过点(2,2);若 f(x)在x?
x0处取得极小值,x0?
(1,3),求a的取值范围. f’(x0)?
0. 【解题思路】在某点处取得极值可得 2f?
(x)?
3x?
6ax?
(3?
6a),f?
(0)?
3?
6a,又f(0)?
12a?
4【解析】(Ⅰ) 曲线y?
f(x)在x?
0的切线方程是:
y?
(12a?
4)?
(3?
6a)x,在上式中令 x?
2,得y?
2. 所以曲线y?
f(x)在x?
0的切线过点(2,2); 2?
f(x)?
0得x?
2ax?
1?
2a?
0, 当?
2?
1?
a?
2?
1时,f(x)没有极小值; (ii)当a?
2?
1或a?
?
2?
1时,f?
(x)?
0得 x1?
?
a?
a2?
2a?
1,x2?
?
a?
a2?
2a?
1故 x0?
x2.题设知1?
?
a?
a2?
2a?
1?
3,当a?
2?
1时,不等式 1?
?
a?
a2?
2a?
1?
3无解; 5?
a?
?
2?
121?
?
a?
a?
2a?
1?
32a?
?
2?
1当时,解不等式得 ?
5(?
?
2?
1)综合(i)(ii)得a的取值范围是2. 【例7】当x?
0时,求证e?
1?
x【解题思路】先移项,再证左边恒大于0 【解析】设函数f(x)?
e?
(1?
x)?
f?
(x)?
e?
1 x当x?
0时,e?
e?
1,?
f?
(x)?
e?
1?
0故f(x)在[0,?
?
)递增,?
当x?
0x0?
f(x)?
0,时,f(x)?
f(0),又f(0)?
e?
(1?
0)?
0,即e?
(故e?
1?
x.1?
)x?
0, xx0xxx【注】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数,往往构造函数,借助于函数的单调性来 证明 【例8】已知函数f(x)?
(a?
1)lnx?
ax2?
1. 讨论函数f(x)的单调性; 设a?
?
2,证明:
对任意x1,x2?
(0,?
?
),|f(x1)?
f(x2)|?
4|x1?
x2|.【解题思路】利用导数考察函数的单调性,注意对数求导时定义域.第二问构造函数证明函数的单调性 a?
12ax2?
a?
1?
2ax?
【解析】(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+?
),f?
(x)?
.xx当a≥0时,f?
(x)>0,故f(x)在(0,+?
)单调增加;当a≤-1时,f?
(x)<0,故f(x)在(0,+?
)单调减少; 当-1<a<0时,令f?
(x)=0,解得x=?
a?
1.当x∈(0,2a?
?
a?
1)时,f?
(x)>0;2ax∈(?
a?
1,+?
)时,f?
(x)<0,故f(x)在单调增加,在单调减少. (Ⅱ)不妨假设x1≥x2.于a≤-2,故f(x)在单调减少.所以f(x1)?
f(x2)?
4x1?
x2等价于 即 f(x1)?
f(x2)?
4x1?
4x2, f(x2)?
4x2?
f(x1)?
4x1 令g(x)?
f(x)?
4x,则 a?
12ax2?
4x?
a?
1g?
(x)?
?
2ax+4=. xx?
4x2?
4x?
1?
(2x?
1)2于是g?
(x)≤=≤0. xx从而g(x)在单调减少,故 g(x1)?
g(x2), 故对任意x1,x2∈(0,+?
),f(x1)?
f(x2)?
4x1?
x2.【例9】设函数f(x)?
(x?
a)x,a?
R. 2
(Ⅰ)若x?
1为函数y?
f(x)的极值点,求实数a; 求实数a的取值范围,使得对任意的x∈(?
?
2],恒有f(x)≤4成立.【解析】(Ⅰ)f?
(x)?
(x?
a)(3x?
a) f?
(1)?
(1?
a)(3?
a)?
0 a?
1或a?
3,检验知符合题意(x?
a)2x?
4在x∈(?
?
2]时恒成立当x?
0时,显然恒成立 当0?
x?
2时(x?
a)2x?
4得a?
x?
2x在x∈(0,2]时恒成立 x?
22在x∈(0,2]时恒成立?
a?
x?
xx令g(x)?
x?
22,h(x)?
x?
x?
(0,2],xx在(0,2]单调递增∴g(x)max?
g
(2)?
2?
2g(x)?
x?
2xh?
(x)?
1?
1xx?
xx?
1xx 0?
x?
1时,h(x)单调递减,1?
x?
2时h(x)单调递增 ∴h(x)min?
h
(1)?
3 ∴2?
2?
a?
3【课堂练习】 7.已知函数f(x)?
3.求f(x)的单调区间;4.证明:
lnx 【解题思路】注意求导时的定义域;先移项,再证左边恒大于0【解析】函数f(x)的定义域为(0,?
?
),f?
(x)?
x?
1?
alnx 1ax?
2ax?
1?
?
x2x?
12xx?
1①当a?
0时,f?
(x)>0,f(x)在(0,?
?
)上递增 222②当a?
0时,令x?
2ax?
1得x?
4ax?
4a?
0解得:
x1?
2a2?
2aa2?
1,x2?
2a2?
2aa2?
1,因x1?
0,故在(0,2a2?
2aa2?
1)上f?
(x)0,f(x)递增.知g(x)?
x?
1?
lnx在(0,2?
22)内递减,在(2?
22,?
?
)内递增. [g(x)]min?
g(2?
22)?
1?
2?
ln(2?
22) 故x?
1?
lnx?
1?
2?
ln(2?
22),又因2?
22?
5?
e故1?
2?
ln(2?
22)?
1?
2?
lne2?
2?
1?
0,得x?
1?
lnx8.已知函数f(x)?
(x?
1)lnx?
x?
1.若xf’(x)?
x?
ax?
1,求a的取值范围;证明:
(x?
1)f(x)?
0. 【解题思路】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力,同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想. 22f?
(x)?
【解析】 x?
11?
lnx?
1?
lnx?
)?
xln?
x,1xx,xf?
(x2?
xf(x)?
x?
ax?
1等价于lnx?
x?
a.题设 令g(x)?
lnx?
x,则 ’g?
(x)?
1?
1x ’1,g(x)>0;当x≥1时,g(x)≤0,x?
1是g(x)的最大值点,当0<x<?
?
1,?
?
?
. g(x)≤g
(1)?
?
1,综上,a的取值范围是 (Ⅱ)有知,g(x)≤g
(1)?
?
1即lnx?
x?
1≤0. 1时,f(x)?
(x?
1)lnx?
x?
1?
xlnx?
(lnx?
x?
1)≤0;当0<x<当x≥1时,f(x)?
lnx?
(xlnx?
x?
1)?
lnx?
x(lnx?
1?
1)x ?
lnx?
x(ln 所以(x?
1)f(x)≥09.设函数f(x)?
11?
?
1)≥0xx13x?
(1?
a)x2?
4ax?
24a,其中常数a>13(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围. 【解题思路】本题考查导数与函数的综合运用能力,涉及利用导数讨论函数的单调性,第一问关键是通过分析导函数,从而确定函数的单调性,第二问是利用导数及函数的最值,恒成立条件得出不等式恒成立条件从而求出的范围. 【解析】f?
(x)?
x2?
2(1?
a)x?
4a?
(x?
2)(x?
2a) a?
1知,当x?
2时,f?
(x)?
0,故f(x)在区间(?
?
2)是增函数;当2?
x?
2a时,f?
(x)?
0,故f(x)在区间(2,2a)是减函数;当x?
2a时,f?
(x)?
0,故f(x)在区间(2a,?
?
)是增函数. 综上,当a?
1时,f(x)在区间(?
?
2)和(2a,?
?
)是增函数,在区间(2,2a)是减函数.知,当x?
0时,f(x)在x?
2a或x?
0处取得最小值. 1f(2a)?
(2a)3?
(1?
a)(2a)2?
4a?
2a?
24a 34?
?
a3?
4a2?
24af(0)?
24a 3 ?
a?
1,?
a?
1?
4?
?
假设知?
f(2a)?
0, 即?
?
a(a?
3)(a?
6)?
0,解得1 ?
3?
f(0)?
0,?
?
?
24a?
0.故a的取值范围是 【例11】(两县城A和B相距20km,现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和,记C点到城A的距离为xkm,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明:
垃圾处理厂对城A的影响度与 所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k,当垃圾处理厂建在响度为 将y表示成x的函数; 讨论中函数的单调性,并判断弧 上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂 的中点时,对城A和城B的总影 对城A和城B的总影响度最小?
若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理.【解题思路】先把文字语言转化成数学式子,再利用导数求最值.【解析】 解法一:
如图,题意知AC⊥BC,BC?
400?
x,y?
224k?
(0?
x?
20)22x400?
xC x A B 其中当x?
102时,y=,所以k=9所以y表示成x的函数为y?
49?
(0?
x?
20)x2400?
x249y?
2?
x400?
x289?
(?
2x)18x4?
8(400?
x2)2,y’?
?
3?
?
22x(400?
x)x3(400?
x2)2,令 y’?
0得 18x4?
8(400?
x2)2,所以x2?
160,即x?
410,当0?
x?
410时,18x4?
8(400?
x2)2,即y’?
0所以函数为单调减函数,当46?
x?
20时,18x4?
8(400?
x2)2,即y’?
0所以函数为单调增函数.所以当x?
410时,即当C点到城 A的距离为410时,函数y?
【课堂练习】 10.某企业拟建造如图所示的容器,其中容器的中间为圆柱形, 左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为 49?
(0?
x?
20)有最小值.x2400?
x280?
立方米,且l≥2r.假设该容3器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元,设该容器的建造费用为y千元.写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;求该容器的建造费用最小时的r. 【解题思路】先把文字语言转化成数学式子,再利用导数求最值.【解析】设容器的容积为V, 题意知V?
?
rl?
24380?
?
r,又V?
334V?
?
r38044203故l?
?
?
r?
(2?
r)
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- 导数 函数 中的 应用 题解