初中几何辅助线大全最全汇总.docx
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初中几何辅助线大全最全汇总
三角形中作辅助线的常用方法举例
一、延长已知边构造三角形:
例如:
如图7-1:
已知AC=BD,AD⊥AC于A,BC⊥BD于B,求证:
AD=BC
分析:
欲证AD=BC,先证分别含有AD,BC的三角形全等,有几种方案:
△ADC与△BCD,△AOD与△BOC,△ABD与△BAC,但根据现有条件,均无法证全等,差角的相等,因此可设法作出新的角,且让此角作为两个三角形的公共角。
证明:
分别延长DA,CB,它们的延长交于E点,
∵AD⊥ACBC⊥BD(已知)
CAE=∠DBE=90°(垂直的定义)
在△DBE与△CAE中
EE(公共角)
DBECAE(已证)
BDAC(已知)
∴△DBE≌△CAE(AAS)
∴ED=ECEB=EA(全等三角形对应边相等)
∴ED-EA=EC-EB
即:
AD=BC。
例如:
如图9-1:
在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BD的延长于E。
求证:
BD=2CE
分析:
要证BD=2CE,想到要构造线段2CE,同时CE
与∠ABC的平分线垂直,想到要将其延长。
证明:
分别延长BA,CE交于点F。
∵BE⊥CF(已知)
∴∠BEF=∠BEC=90°(垂直的定义)
在△BEF与△BEC中,
12(已知)
BEBE(公共边)
BEFBEC(已证)
∴△BEF≌△BEC(ASA)∴CE=FE=1CF(全等三角形对应边相等)
2
∵∠BAC=90°BE⊥CF(已知)
∴∠BAC=∠CAF=90°∠1+∠BDA=90°∠1+∠BFC=90°
∴∠BDA=∠BFC
在△ABD与△ACF中
BACCAF(已证)
BDABFC(已证)
AB=AC(已知)
ABD≌△ACF(AAS)∴BD=CF(全等三角形对应边相等)∴BD=2CE
四、取线段中点构造全等三有形。
例如:
如图11-1:
AB=DC,∠A=∠D求证:
∠ABC=∠DCB。
分析:
由AB=DC,∠A=∠D,想到如取AD的中点N,连接NB,NC,再由SAS公理有△
ABN≌△DCN,故BN=CN,∠ABN=∠DCN。
下面只需证∠NBC=∠NCB,再取BC的中点
M,连接MN,则由SSS公理有△NBM≌△NCM,所以∠NBC=∠NCB。
问题得证。
证明:
取AD,BC的中点N、M,连接NB,NM,NC。
则AN=DN,BM=CM,在△ABN和△DCN
ANDN(辅助线的作法)
AD(已知)
ABDC(已知)
∴△ABN≌△DCN(SAS)
ABN=∠DCNNB=NC(全等三角形对应边、角相等)
在△NBM与△NCM中
NB=NC(已证)
BM=CM(辅助线的作法)
NM=NM(公共边)
∴△NMB≌△NCM,(SSS)∴∠NBC=∠NCB(全等三角形对应角相等)∴∠NBC+∠
ABN=∠NCB+∠DCN即∠ABC=∠DCB。
巧求三角形中线段的比值
例1.如图1,在△ABC中,BD:
DC=1:
3,AE:
ED=2:
3,
AF:
FC。
所以AF:
FC=
AF=FC所以AF:
AC=1:
2
DG:
FC=1:
4,FC=4DG
DG:
AF=DE:
AE又因为AE:
ED=2:
3
所以DG:
AF=3:
2
例2.如图2,BC=CD,AF=FC,求EF:
FD
解:
过点C作CG//DE交AB于点G,则有EF:
EF:
GC=1:
2,
DE=2GC
所以BC:
BD=1:
2CG:
DE=1:
2
FD=ED-EF=
所以EF:
FD=
以上两例中,辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处,
请再看两例,让我们感受其中的奥妙!
例3.如图3,BD:
DC=1:
3,AE:
EB=2:
3,求AF:
FD。
二由角平分线想到的辅助线
图中有角平分线,可向两边作垂线。
也可将图对折看,对称以后关系现。
角平分线平行线,等腰三角形来添。
角平分线加垂线,三线合一试试看。
角平分线具有两条性质:
a、对称性;b、角平分线上的点到角两边的距离相
等。
对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线;
②利用角平分线,构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。
通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下
考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线
(一)、截取构全等
例1.如图1-2,AB//CD,BE平分∠BCD,
CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:
BC=AB+C。
D
分析:
此题中就涉及到角平分线,可以利
用角平分线来构造全等三角形,即利用解平分
线来构造轴对称图形,同时此题也是证明线段
的和差倍分问题,在证明线段的和差倍分问题
延长短的线段或在长的线段长截取一
部分使之等于短的线段。
但无论延长还是截取都要证明线段的相等,延长要证明
延长后的线段与某条线段相等,截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等,
进而达到所证明的目的。
例2.已知:
如图1-3,AB=2AC,∠BAD=∠CAD,DA=D,求证BDC⊥AC
构造的方法还是截取线段
分析:
此题还是利用角平分线来构造全等三角形。
相等。
其它问题自已证明。
例3.已知:
如图1-4,在△ABC中,∠C=2∠B,AD
平分∠BAC,求证:
AB-AC=CD
分析:
此题的条件中还有角的平分线,在证明
中还要用到构造全等三角形,此题还是证明线段的
和差倍分问题。
用到的是截取法来证明的,在长的
线段上截取短的线段,来证明。
试试看可否把短的延长来证明呢?
过角平分线上一点向角两边作垂线,利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例1.如图2-1,已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=B。
C
求证:
∠ADC+∠B=180
分析:
可由C向∠BAD的两边作垂线。
近而证∠ADC
与∠B之和为平角。
例2.如图2-2,在△ABC中,∠A=90,AB=AC,∠ABD=∠CBD。
求证:
BC=AB+AD
分析:
过D作DE⊥BC于E,则AD=DE=C,则构造出E
全等三角形,从而得证。
此题是证明线段的和差倍分问题,
从中利用了相当于截取的方法。
例3.已知如图2-3,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。
求证:
∠BAC
的平分线也经过点P。
分析:
连接AP,证AP平分∠BAC即可,也就是证P到AB、
AC的距离相等。
(三):
作角平分线的垂线构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线,使之与角的两边相交,则截得一个等腰三角形,
垂足为底边上的中点,该角平分线又成为底边上的中线和高,以利用中位线的性质与等腰三
角形的三线合一的性质。
(如果题目中有垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一边相交)。
例1.已知:
如图3-1,∠BAD=∠DAC,AB>AC,CD⊥AD于D,H是BC中点。
1
求证:
DH=(AB-AC)
2
分析:
延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。
问题可证。
例2.已知:
如图3-2,AB=AC,∠BAC=90,AD为∠A
BC的平分线,CE⊥BE.求证:
BD=2C。
E
分析:
给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的
垂线,可延长此垂线与另外一边相交,近而构造出等腰三角形。
例3.已知:
如图3-3在△ABC中,AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线,
过顶点B作BFAD,交AD的延长线于F,连结FC并延长
交AE于M。
求证:
AM=M。
E
分析:
由AD、AE是∠BAC内外角平分线,可得EA
AF,从而有BF//AE,所以想到利用比例线段证相等。
例4.已知:
如图3-4,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD=AB,CM⊥AD交AD
1
延长线于M。
求证:
AM=(AB+AC)
2
分析:
题设中给出了角平分线AD,自然想到以AD为轴作对称变换,作△AB
1
D关于AD的对称△AED,然后只需证DM=1EC,另外
1
由求证的结果AM=(AB+AC),即2AM=AB+A,也可C
2
尝试作△ACM关于CM的对称△FCM,然后只需证DF=C
F即可。
由线段和差想到的辅助线
线段和差及倍半,延长缩短可试验。
线段和差不等式,移到同一三角去。
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长补短法:
1、截长:
在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条;
2、补短:
将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段。
对于证明有关线段和差的不等式,通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边,故可想办法放在一个三角形中证明。
注意:
利用三角形外角定理证明不等关系时,通常将大角放在某三角形的外角位置上,小角放在这个三角形的内角位置上,再利用不等式性质证明。
例1.如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB,且∠B+∠D=180°,求证:
AE=AD+B。
E
例3已知:
如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,
求证:
BC=AB+D。
C
例4如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD是∠CAB的平分线,DM⊥AB
1
于M,且AM=M。
求证:
BCD=2DB。
1.如图,AB∥CD,AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE,求证:
AD=AB+C。
D
2.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B,C
在AE的异侧,
BD⊥AE于D,CE⊥AE于E。
求证:
BD=DE+CE
由中点想到的辅助线
例2.如图3,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,BA、
CD的延长线分别交EF的延长线G、H。
求证:
∠BGE∠=CHE。
证明:
连结BD,并取BD的中点为M,连结ME、MF,
ME是ΔBCD的中位线,
MECD,∴∠MEF=∠CHE,
MF是ΔABD的中位线,
MFAB,∴∠MFE=∠BGE,
AB=CD,∴ME=M,∴∠FMEF=∠MFE,
从而∠BGE=∠CHE。
三角形中两中点,连接则成中位线。
三角形中有中线,延长中线等中线。
例3.图4,已知ΔABC中,AB=5,AC=3,连BC上的中线AD=2,求BC的长。
解:
延长AD到E,使DE=AD,则AE=2AD=×22=4。
在ΔACD和ΔEBD中,
AD=ED,∠ADC∠=EDB,CD=B,D
∴ΔACD≌ΔEBD,∴AC=BE,
从而BE=AC=。
3
在ΔABE中,因AE2+BE2=42+32=25=AB2,故∠E=90°,
∴BD===,故BC=2BD=2
AD又是BC边上的中
例4.如图5,已知ΔABC中,AD是∠BAC的平分线,
线。
求证:
ΔABC是等腰三角形。
证明:
延长AD到E,使DE=AD。
仿例3可证:
ΔBED≌ΔCAD,
故EB=AC,∠E=∠2,
又∠1=∠2,
∴∠1=∠E,
AB=EB,从而AB=AC,即ΔABC是等腰三角形。
例5.如图6,已知梯形ABCD中,AB//DC,AC⊥BC,AD⊥BD,求证:
AC=BD。
证明:
取AB的中点E,连结DE、CE,则DE、CE分别为RtΔABD,RtΔABC
斜边AB上的中线,故DE=CE=AB,因此∠CDE=∠DCE。
∵AB//DC,
∴∠CDE∠=1,∠DCE∠=2,
∴∠1=∠2,
在ΔADE和ΔBCE中,
DE=CE,∠1=∠2,AE=BE,
ADE≌ΔBCE,∴AD=BC,从而梯形ABCD是等腰梯形,因此AC=BD。
、角平分线且垂直一线段,应想到等腰三角形的中线
例6.如图7,ΔABC是等腰直角三角形,∠BAC=9°,0BD平分∠ABC交AC
于点D,CE垂直于BD,交BD的延长线于点E。
求证:
BD=2C。
E
证明:
延长BA,CE交于点F,在ΔBEF和ΔBEC中,
∵∠1=∠2,BE=BE,∠BEF=∠BEC=9°,0
∴ΔBEF≌ΔBEC,∴EF=EC,从而CF=2CE。
又∠1+∠F=∠3+∠F=90°,故∠1=∠3。
90,
在ΔABD和ΔACF中,∵∠1=∠3,AB=AC,∠BAD=∠CAF=
ABD≌ΔACF,∴BD=C,∴FBD=2C。
E
注:
此例中BE是等腰ΔBCF的底边CF的中线。
口诀:
三角形中有中线,延长中线等中线。
题目中如果出现了三角形的中线,常延长加倍此线段,再将端点连结,便可
得到全等三角形。
1如图,AB=CD,E为BC的中点,∠BAC=∠BCA,求证:
AD=2AE。
3如图,AB=AC,AD=AE,M为BE中点,∠BAC=∠DAE=90°。
求证:
AM⊥DC。
5.已知:
如图AD为△ABC的中线,AE=EF,求证:
BF=ACA
D
五全等三角形辅助线
(一)、倍长中线(线段)造全等
1:
(“希望杯”试题)已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是
2:
如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,
E+CF与EF的大小.
3:
如图,△ABC中,BD=DC=A,CE是DC的中点,求证:
AD平分∠BAE.
例题:
以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰Rt
ACE,BADCAE90,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究:
AM
与DE的位置关系及数量关系.
(1)如图①当ABC为直角三角形时,AM与DE的位置关系是
线段AM与DE的数量关系是;
(2)将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后,
如图②所示,
(1)问中得到的两个结论是否发生改变?
并说明理由.
1.如图,ABC中,AB=2AC,AD平分BAC,且AD=BD,求证:
CD⊥AC
2:
如图,AC∥BD,EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA,CD过点E,求证;AB=AC+
BD
0
3:
如图,已知在VABC内,
BAC60
C400,P,Q分别在BC,CA
上,并且AP,
=AB+BP
4:
如图,在四边形
证:
AC
BQ分别是BAC,ABC的角平分线。
求证:
ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分
B
5
1800
1:
如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:
OE
=OD
D
2:
(06郑州市中考题)如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,
DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
(1)说明BE=CF的理由;
(2)如果AB=a,AC=b,
求AE、BE的长.
3.如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为
对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、
BCA的平分线,AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
(2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而
(1)中的其它条件不变,
请问,你在
(1)中所得结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明B
理由。
(第23题图)
2:
D为等腰RtABC斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F
BDC1200,以D为顶点做一个600角,使其两边分别交AB于点M,交AC于
点N,连接MN,则AMN的周长为
BC,∠ABC120o,
4.已知四边形ABCD中,ABAD,BCCD,AB
MBN60o,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长
线)于E,F.
论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,线段
AE,CF,EF又有怎样的
数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
5.已知:
PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD使,P、D两点落在直线AB
.
(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;
(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.
6.在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为VABC外
一点,且MDN60,BDC120,BD=DC.探究:
当M、N分别在直线AB、AC
上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L
I)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数
量关系是;此时Q;
L
7.II)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DMDN时,猜想(I)问的两个
结论还成立吗?
写出你的猜想并加以证明;
8.III)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,
若AN=x,则Q=(用x、L表示).
解:
过点B作BM//AD交CD于点M,
在△BCM中,BM=AD=,4
CM=C-DDM=C-DAB=8-3=5,
所以BC的取值范围是:
5-4 2、平移两腰: 例3如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B+∠C=90°,AD=1,BC=3,E、F 分别是AD、BC的中点,连接EF,求EF的长。 解: 过点E分别作AB、CD的平行线,交BC于点G、H,可得 ∠EGH+∠EHG∠=B+∠C=90° 则△EGH是直角三角形 因为E、F分别是AD、BC的中点,容易证得F是GH的中点 11 所以EFGH(BCBGCH)22 11 (BCAEDE)[BC(AEDE)] 22 11 (BCAD)(31)1 22 3、平移对角线: 例4、已知: 梯形ABCD中,AD//BC,AD=1,BC=4,BD=3,AC=4,求梯形AB CD的面积. 例5如图,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AD=3,BC=7,BD=5,求证: A C⊥BD。 解: 过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E, 易得四边形BCED是平行四边形, 则DE=BC,CE=BD5=2, 所以AE=AD+DE=AD+BC=3+7=10。 在等腰梯形ABCD中,AC=BD5=2, 所以在△ACE中,AC2CE2(52)2(52)2100AE2, 从而AC⊥CE,于是AC⊥BD。 例6如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AC=15cm,BD=20cm,高DH=12cm,求 梯形ABCD的面积。 解: 过点D作DE//AC,交BC的延长线于点E, 则四边形ACED是平行四边形, 即SABDSACDSDCE。 所以S梯形ABCDSDBE EHDE2DH2AC2DH 1521229(cm) BHBD2DH220212216(cm) 112 SDBEBEDH(916)12150(cm2) 所以22,即梯形ABCD的面积是 例7如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B=50°,∠ C=80°,AD=2,BC=5, 求CD的长。 解: 延长BA、CD交于点E。 在△BCE中,∠B=50°,∠C=80°。 所以∠E=50°,从而BC=EC=5 同理可得AD=ED=2 所以CD=E-CED=5-2=3 例8.如图所示,四边形ABCD中,AD不平行于 ABCD的形状,并证明你的结论. 解: 四边形ABCD是等腰梯形. 证明: 延长AD、BC相交于点E,如图所示. ∵AC=BD,AD=BC,AB=BA, ∴△DAB≌△CBA. ∴∠DAB=∠CBA. ∴EA=EB. 又AD=BC,∴DE=CE,∠EDC=∠ECD. 而∠E+∠EAB+∠EBA=∠E+∠EDC+∠ECD=180, ∴∠EDC=∠EAB,∴DC∥AB. 又AD不平行于BC, ∴四边形ABCD是等腰梯形. 例9如图6,在直角梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥AD,BC=C,DBE⊥CD于点E, AD=DE。 解: 连结BD, 由AD//BC,得∠ADB=∠DBE; 由BC=C,得∠DDBC=∠BDC。 所以∠ADB=∠BDE。 又∠BAD=∠DEB=9°,0BD=BD, 所以Rt△BAD≌Rt△BED, 得AD=D。 E 1、作一条高 例10如图,在直角梯形ABCD中,AB//DC,∠ABC
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