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数学模型考核封面
贵州民族大学本科生课程考核试卷
课程名称数学模型
学院理学院
年级2010级
专业数学与应用数学
学年2012至2013学年
学期第一学期
姓名钟敏
学号20101001047
任课教师储昌木
2012年12月22日
一.输入矩阵A=
用两种方法提取该矩阵的2、3、5列得到一个新矩阵B,求A*B,并求该矩阵的转置、行列式、秩、特征值及相应的特征向量、逆;(相关结果以分式形式输出)
解:
在matlab中输入
A=[15-3271;408350;2631/35-4;-533155;1/75-81/521/3;3-21/3491/2]
A=
1.00005.0000-3.00002.00007.00001.0000
4.000008.00003.00005.00000
2.00006.00003.00000.33335.0000-4.0000
-5.00003.00003.00001.00005.00005.0000
0.14295.0000-8.00000.20002.00000.3333
3.0000-2.00000.33334.00009.00000.5000
>>formatrat
>>A
A=
15-3271
408350
2631/35-4
-533155
1/75-81/521/3
3-21/3491/2
1.用两种方法提取该矩阵的235列得到新矩阵B
(1)从A矩阵提取235列
>>B=A(:
[235])
B=
5-37
085
635
335
5-82
-21/39
得到
B=
(2)从A中删去146列
>>A(:
[146])=[]
A=
5-37
085
635
335
5-82
-21/39
B=A
B=
5-37
085
635
335
5-82
-21/39
得到
B=
2.求A*B
在matlab中输入
A=[15-3271;408350;2631/35-4;-533155;1/75-81/521/3;3-21/3491/2]
A=
15-3271
408350
2631/35-4
-533155
1/75-81/521/3
3-21/3491/2
>>A*B
ans=
26-65/350
102-1993
6232/3104/3
1138/355
-3922/10589/315-6
73-503/6331/6
得到
3.A的转置
在matlab中输入
>A'
ans=
142-51/73
50635-2
-3833-81/3
231/311/54
755529
10-451/31/2
所以A'=
4.A的行列式
在matlab中输入
det(A)
ans=
-14011/3
所以A的行列式为det(A)=-14011/3
5,A的秩
在matlab中输入
>>rank(A)
ans=
6
即A的秩为rank(A)=6
6.特征值及相应的特征向量
在matlab中输入
[V,D]=eig(A)
V=
Columns1through4
329/5168+214/2349i329/5168-214/2349i701/186601229/3393
472/2759-781/2753i472/2759+781/2753i376/3087-159/1739
67/304+587/5306i67/304-587/5306i290/1831-98/5681
-583/1729-643/1391i-583/1729+643/1391i-1705/2107-362/423
-199/1867+416/1163i-199/1867-416/1163i93/853111/460
544/919544/919288/533491/1862
Columns5through6
-592/2823-731/3021i-592/2823+731/3021i
-1348/2253-1348/2253
-520/979+517/3885i-520/979-517/3885i
-419/1574-658/9399i-419/1574+658/9399i
841/7620-330/1591i841/7620+330/1591i
-74/2003-725/2213i-74/2003+725/2213i
D=
Columns1through4
-1338/379+5601/1475i000
0-1338/379-5601/1475i00
00-6244/16350
0001093/1999
0000
0000
二、在同一平面内分别画出Z=XY和
要求:
1)在图形上加格栅、图例和标注
2)定制坐标
解:
1)在同一平面内画Z=XY和
的图像,
在matable中编辑程序
x=0:
0.5:
10;[x,y]=meshgrid(x);
>>z=x*y;
subplot(1,2,1);surf(x,y,z);
title('z=xy');legend('z=xy');xlabel('x轴');ylabel('y轴');zlabel('z轴');
z=sqrt(9-(x*x+y*y));
subplot(1,2,2);
surf(x,y,z);
title('z=sqrt(9-(x^2+y^2))');legend('z=sqrt(9-(x^2+y^2))');xlabel('x轴');ylabel('y轴');zlabel('z轴');
>>得到图形,如图
(1)
图
(1)
(2)定制坐标;
在matable中编辑程序
axis([-44-44-44])
得到图形,如图
(2)
图
(2)
三、以不同的视角观察球面
和圆柱面
所围区域
解:
在matable中编辑程序
t=[0:
0.01:
2*pi+0.01]';s=t';
x=3*sin(t)*cos(s);y=2*sin(t)*sin(s);z=2*cos(t)*(0*s+1);
t1=[0:
0.01:
2*pi+0.01]';s1=[-2:
0.01:
2];
x1=1+cos(t1)*(0*s1+1);y1=sin(t1)*(0*s1+1);
>>z1=(0*t1+1)*s1;
>>figure('color',[1,1,1]);
>>h=surf(x,y,z);
>>holdon
>>h1=surf(x1,y1,z1);
>>holdoff;view(140,9)
>>light('position',[212]);axisequal;
>>shadinginterp;axisoff;camlight(-220,-170)
>>set(h,'facecolor',[0,0.8,0]);
>>set(h1,'facecolor',[1,0,1]);
得到图形,如图(3)
图(3)
换另一角度,view(110,9)得到图形,如图(4)
图(4)
换一角度,view(180,30),得到图形,如图(5);
图(5)
四、求极限
。
解:
在matlab中输入以下命令
symsxy;
y=((1+x)*(1+2*x)*(1+3*x)-1)/x
limit(y,x,0)
y=
((1+x)*(1+2*x)*(1+3*x)-1)/x
ans=
6
所以,
=6。
五、求函数
的导数
解:
在matlab中输入以下命令:
>>symsxy
>>y=acos(cos(x)^2);
>>diff(y,x)
ans=
2*cos(x)*sin(x)/(1-cos(x)^4)^(1/2)
所以,
的导数为
六、求二重积分
,其中D是由直线y=x,抛物线
所围成的平面区域。
解:
在matlab中输入以下命令:
symsxy
f=sin(y)/y;y1=x;y2=sqrt(x);jfy=int(f,y,y1,y2);jfx=int(jfy,x,0,1);
jf2=vpa(jfx)(精确值)
jf2=
0.158********210349334749767836970
因此,
=0.158********210349334749767836970。
七、某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过800箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论:
1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资.
2)若每100箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划
要求:
建立相应线性规划模型,并分别用Matlab和Lingo软件求解。
解:
设某工厂应生产甲饮料x1百箱,乙饮料x2百箱。
(一)在Lingo中输入以下程序
max=10*x1+9*x2;
6*x1+5*x2<=60;
10*x1+20*x2<=150;
x1<=8;
得:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
102.8571
Totalsolveriterations:
2
VariableValueReducedCost
X16.4285710.000000
X24.2857140.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1102.85711.000000
20.0000001.571429
30.0000000.5714286E-01
41.5714290.000000
解得最优解为,该工厂生产甲饮料
=6.428571,乙饮料
=4.285714,
获取最大利润为z=102.857
(1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资?
因为0.8<1.5714289可以做这项投资
Ling中的灵敏度分析如下:
Rangesinwhichthebasisisunchanged:
ObjectiveCoefficientRanges
CurrentAllowableAllowable
VariableCoefficientIncreaseDecrease
X110.000000.80000005.500000
X29.00000011.000000.6666667
RighthandSideRanges
RowCurrentAllowableAllowable
RHSIncreaseDecrease
260.000005.50000022.50000
3150.000090.0000022.00000
48.000000INFINITY1.571429
x1的系数范围(10.8,4.5)x2的系数范围(20,8.3333333)
.
(2)若每100箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划?
X1的系数由10变为11,不在范围内,应该改变生产计划
(二)Matlab解法:
先化成matlab标准形
,
Matlab程序如下:
f=[-10;-9];
a=[6,5;10,20];
b=[60,150];
lb=0;
ub=8;
>>[x,z]=linprog(f,a,b,[],[],lb,ub);
Optimizationterminated.
>>x,z=-z
x=
6.4286
4.2857
z=
102.8571
解得最优解
最大利润
=102.8571
(1)若投资0.8万元可增加原料1千克,则
,
Matlab程序如下:
f=[-10,-9];
a=[6,5;10,20];b=[61;150];
lb=0;ub=8;
[x,z]=linprog(f,a,b,[],[],lb,ub);
x,z=-zOptimizationterminated.
x=
6.7143
4.1429
z=
104.4286
因为102.5871+0.8=103.3871<104.4286,所以应该做这项投资。
(2)若每100箱甲饮料获利可增加1万元,则
(2)若每100箱甲饮料获利可增加1万元,则
,
Matlab程序如下:
f=[-11;-9];
a=[6,5;10,20];
b=[60,150];
lb=0;
ub=8;
>>[x,z]=linprog(f,a,b,[],[],lb,ub);
Optimizationterminated.
>>x,z=-z
x=
8.0000
2.6000
z=
111.4000
因为111.4000>102.5871,所以应该改变计划。
八、某市为了方便小学生上学,拟定在新建的8个居民小区
增设若干个小学,经过论证备选校址有
,他们能够覆盖的居民小区如表2.1所示。
表2.1校址选择数据
备选校址
B1
B2
B3
B4
B5
B6
覆盖的居民小区
A1,A5,A7
A1,A2,A5,A8
A1,A3,A5
A2,A4,A8
A3,A6
A4,A6,A8
试建立一个数学模型,确定出最小个数的建校地址,是其能覆盖所有的居民小区。
解:
这是一个0-1整数规划问题,引入0--1变量,
上述整数规划问题的数学模型为
(一)在Lingo中输入以下程序:
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;
x1+x2+x3>=1;
x2+x4>=1;
x3+x5>=1;
x4+x6>=1;
x5+x6>=1;
x1=1;
x2+x4+x6>=1;
得Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
3.000000
Totalsolveriterations:
7
VariableValueReducedCost
X11.0000000.000000
X20.0000001.000000
X30.0000000.000000
X41.0000000.000000
X51.0000000.000000
X60.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
13.000000-1.000000
20.0000000.000000
30.0000000.000000
40.000000-1.000000
50.000000-1.000000
60.0000000.000000
70.000000-1.000000
80.0000000.000000
求得最优方案为
最优值为3
所以,应在B1,B4,B5建校。
(二)
Matlab解法:
先化成matlab标准形,即
在Matlab中程序如下:
f=[1,1,1,1,1,1];
>>a=[-1,-1,-1,0,0,0;0,-1,0,-1,0,0;0,0,-1,0,-1,0;0,0,0,-1,0,-1;0,0,0,0,-1,-1;0,-1,0,-1,0,-1];
>>b=[-1,-1,-1,-1,-1,-1,];
>>aeq=[1,0,0,0,0,0];
>>beq=1;
>>[x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(6,1));
Optimizationterminated.
>>x,y=y
x=
1.0000
0.0000
0.0000
1.0000
1.0000
0.0000
y=
3.0000
求得最优方案
最优值为3
所以,应在B1,B4,B5建校。
九、某工厂向用户提供发动机,按合同规定,其交货数量和日期是:
第一季度末交40台,第二季度末交60台,第三季末交80台。
工厂的最大生产能力为每季100台,每季的生产费用是
(元),此处x为该季生产发动机的台数。
若工厂生产得多,多余的发动机可移到下季向用户交货,这样,工厂就需支付存储费,每台发动机每季的存储费为4元。
问该厂每季应生产多少台发动机,才能既满足交货合同,又使工厂所花费的费用最少(假定第一季度开始时发动机无存货)?
解:
确定决策变量
设:
表示第i个季度的产量,(i=1,2,3)
约束条件:
(1)每季度的最大生产能力是100,即
100(i=1,2,3)
(2)每季度交货的数量限制
第一季度:
40;
第二季度:
;
第三季度:
;
目标函数:
三个季度花费的总费用
第一季度:
;
第二季度:
;
第三季度:
;
所以建立模型为,
+
+
s.t.
(1)lingo解法
在lingo中输入以下程序
min=50*x1+0.2*x1*x1+4*(x1-40)+50*x2+0.2*x2*x2+4*(x1+x2-100)+50*x3+0.2*x3*x3;
x1>=40;
(x1-40)+x2>=60;
(x1-40)+x2-60+x3>=80;
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
11280.00
Extendedsolversteps:
5
Totalsolveriterations:
42
VariableValueReducedCost
X150.000000.000000
X260.000000.000000
X370.000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
111280.00-1.000000
210.000000.000000
310.000000.000000
40.000000-78.00000
解得
=50,
=60,
=70,最优解为11280
(2)matlab解法
先化简得
在matlab中输入以下程序:
(1)、编写M文件fun1.m定义目标函数:
functionf=fun1(x);
f=sum(0.2*x.^2+50*x)+8*x
(1)+4*x
(2)-560
(2)、编写主程序文件如下:
A=[-100;-1-10;-1-1-1]
b=[-40;-100;-180]
[x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),A,b,[],[],0,100,[])
运行程序结果如下:
x=
50.0000
60.0000
70.0000
y=
11280
解得
=50,
=60,
=70,最优解为11280
所以,第一季度生产50台,第二季度生产60台,第三季度生产70台,就可以满足要求,最小花费为11280元。
3.4求下列问题的解
解:
(一)在lingo中输入以下程序
max=2*x1+3*x1*x1+3*x2+x2*x2+x3;
x1+2*x1*x1+x2+2*x2*x2+x3<=10;
x1+x1*x1+x2+x2*x2-x3<=50;
2*x1+x1*x1+2*x2+x3<=40;
x1*x1+x3=2;
x1+2*x2>=1;
得到
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
14.33314
Extendedsolversteps:
5
Totalsolveriterations:
56
VariableValueReducedCost
X11.4142140.000000
X21.2847290.000000
X30.0000001.479112
RowSlackorSurplusDualPrice
114.333141.000000
20.0000000.9072380
343.650530.000000
432.602110.000000
50.0000001.571874
62.9836720.000000
解得
=1.414214,
=1.284729,
=0,最优解14.33314
(二)matlab解法:
(1)编写M函数fun1.m定义目标函数
functionf=fun1(x);
f=-2*x
(1)-3*x
(1)*x
(1)-3*x
(2)-x
(2)*x
(2)-x(3);
(2)编写M函数fun2.m定义非线性约束条件
function[g,h]=fun2(x);
g=[x
(1)+2*x
(1)*x
(1)+x
(2)+2*x
(2)*x
(2)+x(3)-10;
x
(1)+x
(1)*x
(1)+x
(2)+x
(2)*x
(2)-x(3)-50;
2*x
(1)+x
(1)*x
(1)+2*x
(2)+x(3)-40];
h=[x
(1)*x
(1)+x(3)-2];
(3)编写主程序文件如下
a=[-1,-2,0];
b=[-1];
c=[0,-inf,-inf]';
d=[inf,inf,inf]';
>>[x,fval]=fmincon('fun1',rand(
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