直线与方程 B级学生版.docx
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直线与方程B级学生版
直线与方程
内容
要求层次
重难点
直线
与方
程
直线的倾斜角和斜率
B
直线与方程
①在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.
②理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
④掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.
⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.
⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
过两点的直线斜率的计算公式
C
两条直线平行或垂直的判定
C
直线方程的点斜式、两点式及一般式
C
两条相交直线的交点坐标
B
两点间的距离公式、点到直线的距离公式
C
两条平行线间的距离
B
知识内容
1.倾斜角
当直线与轴相交时,我们取轴作为基准,轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.
直线的取值范围是:
.
2.直线的斜率
(1)倾斜角不是的直线,它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,即.
(2)经过两点的直线的斜率公式是:
3.斜率与倾斜角的关系
(1)当时,直线平行于轴或与轴重合.
(2)当时,直线的倾斜角为锐角;值增大,直线的倾斜角也随着增大;
(3)当时,直线的倾斜角为钝角;值增大,直线的倾斜角也随着增大;
(4)垂直于轴的直线倾斜角等于
【例1】若直线的倾斜角为,则()
A.等于B.等于C.等于D不存在
【答案】C
4.正切的图像
5.方向向量
直线上的向量及其它的平行向量都成为直线的方向向量.直线的方向向量的坐标是,当直线与轴不垂直,,此时也是直线的方向向量,且它的坐标是,即,其中是直线的斜率.
6.距离公式
(1)数轴上两点间距离公式:
已知数轴上两点,则.
(2)已知,,则
(3)中点公式:
已知,,则中点坐标为:
,
(4)点到直线的距离公式
点到直线:
的距离的计算公式:
(5)平行线之间的距离公式
两条平行直线与的距离为
7.直线的方程
①点斜式方程:
②斜截式方程:
③两点式方程:
④一般式:
(、不全为零)
8.两条直线的位置关系:
:
,:
(1)两条直线相交、平行与重合条件:
①相交的条件:
②平行的条件:
且
③重合的条件:
,,
(2)两条直线垂直的条件:
(3)斜率存在的情况下:
两条直线为:
;:
相交的条件:
;平行的条件:
且;重合的条件:
,.
两条直线垂直的条件:
1.直线的斜率和倾斜角
【例1】(2011年门头沟一模)直线将圆平分,则直线的方向向量是
A.B.C.D.
【例2】若直线与线段有交点,其中,求实数的取值范围.
【例3】已知实数满足,当时,求的最大值与最小值.
【例4】求函数的值域.
【例5】已知实数满足,,试求的最大值和最小值.
【例6】(2010年重庆)直线与圆心为的圆交与、两点,则直线与的倾斜角之和为()
A.B.C.D.
【例7】直线过,且斜率为,将直线绕点按逆时针方向旋转得直线,若直线和直线分别与轴交于点,则当为何值时,的面积最小?
并求出面积的最小值.
2.直线方程
【例8】若的顶点,,,求的平分线所在的直线的方程.
【例9】(2009年江西16)设直线系,对于下列四个命题:
A.中所有直线均经过一个定点
B.存在定点不在中的任一条直线上
C.对于任意整数,存在正边形,其所有边均在中的直线上
D.中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号).
【例10】(06江西卷)已知圆M:
,直线,下面四个命题:
A.对任意实数与θ,直线l和圆M相切;
B.对任意实数与θ,直线l和圆M有公共点;
C.对任意实数θ,必存在实数,使得直线l与和圆M相切;
D.对任意实数,必存在实数θ,使得直线l与和圆M相切.
其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号)
【例11】在平面直角坐标系中,设三角形的顶点分别为,点在线段上(异于端点),设均为非零实数,直线分别交于点,一同学已正确算的的方程:
,则的方程:
.
3.距离公式
【例12】(06湖南卷)已知则的最小值是.
【例13】(2011年丰台二模)已知直线:
(不全为0),两点,,若,且,则
A.直线与直线不相交
B.直线与线段1的延长线相交
C.直线与线段的延长线相交
D.直线与线段相交
【例14】(2008年全国)若直线通过点,则()
A.B.C.D.
【例15】(2010年丰台一模)已知点,点,点是直线上动点,当的值最小时,点的坐标是.
【例16】(2010年福建)设不等式组,所表示的平面区域是,平面区域与关于直线对称,对于中的任意点与中的任意点,的最小值等于()
A.B.C.D.
【例17】求函数的最小值.
【例18】求函数的值域.
【例19】(2011年海淀期末14)在平面直角坐标系中,为坐标原点.定义、两点之间的“直角距离”为为.若点,则=;已知,点M为直线上动点,则的最小值为.
【例1.】
【例2.】
【例20】(2006年福建)对于直角坐标平面内的任意两点,定义它们之间的一种“距离”:
给出下列三个命题:
①若点C在线段AB上,则
②在中,若则
③在中,
其中真命题的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
【例21】(2006年上海)如图,平面中两条直线和相交于点O,对于平面上任意一点M,若、分别是M到直线和的距离,则称有序非负实数对(,)是点M的“距离坐标”.已知常数≥0,≥0,给出下列命题:
O
M(,)
①若==0,则“距离坐标”为(0,0)的点
有且仅有1个;
②若=0,且+≠0,则“距离坐标”为
(,)的点有且仅有2个;
③若≠0,则“距离坐标”为(,)的点有且仅有4个.
上述命题中,正确命题的个数是
A.0B.1C.2D.3
【例22】(2010年广东21)坐标系上的两点,现定义由点到点的一种折线距离为
对于平面上给定的不同的两点,,
(1)若点是平面上的点,试证明
(2)在平面上是否存在点,同时满足
若存在,请求出所有符合条件的点,请予以证明。
【习题1】(2010年上海16)直线的参数方程是,则的方向向量是可以是
A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,1)D.(1,-2)
【习题2】已知实数满足,试求的最大值和最小值.
【习题3】已知直线过点,且与以,为端点的线段相交,求直线的斜率的取值范围.
【习题4】在直线上求两点、,使得到和的距离之差的绝对值最大;到和的距离之和最小.
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