学年山东省聊城市高一上学期期末数学试题解析版.docx
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学年山东省聊城市高一上学期期末数学试题解析版
2020-2021学年山东省聊城市高一上学期期末数学试题
一、单选题
1.若集合,则A的真子集个数为()
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【分析】先求出集合A,再求A的真子集.
【详解】因为集合,所有集合,
所以A的真子集个数为:
.
故选:
C
【点睛】
(1)离散型的数集用韦恩图;连续型的数集用数轴;
(2)一个集合有n个元素,则它的子集个数为,真子集个数为,非空真子集个数为-2.
2.已知,,则的值为()
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的基本关系求出,;
【详解】解:
因为,,所以,因为,所以,所以
故选:
A
3.关于命题,,下列说法正确的是()
A.,B.不能判断p的真假
C.p是假命题D.p是真命题
【答案】D
【分析】根据基本不等式可判断命题的真假,从而可知其否定的真假.
【详解】由基本不等式可得为真命题,故BC错,D正确.
而的否定为:
,,故A错误.
故选:
D.
4.方程解的个数为()
A.1B.3C.5D.7
【答案】B
【分析】方程的解转化为函数与的交点,在同一平面直角坐标系中画出函数图象,数形结合即可得解;
【详解】解:
方程解的个数,即的解得个数,即函数与的交点个数,再同一平面直角坐标系上画出与的图象如下:
由函数图象可知,与有个交点,
故选:
B
5.已知,则下列不等式一定成立的是()
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】先求出题设不等式的等价条件,再逐项判断各项的正误,从而可得正确的选项.
【详解】等价于,故,,故AB错误.
因为,故成立,故D正确.
取,则成立,但,故C错误.
故选:
D.
6.已知定义在R上的奇函数满足,若,则()
A.B.C.0D.2
【答案】B
【分析】由条件可得是周期函数,周期为4,然后可得答案.
【详解】因为定义在R上的奇函数满足,所以
所以,所以是周期函数,周期为4
所以
故选:
B
7.《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动,刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”,掷铁饼者的肩宽约为米,一只手臂长约为米,“弓”所在圆的半径约为米,则掷铁饼者双手之间的直线距离约为()
A.米B.米C.米D.米
【答案】C
【分析】利用弧长公式可求圆心角的大小,再利用解直角三角形的方法可求弦长.
【详解】
掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”即如图中的及弦,
取的中点,连接.
由题设可得的弧长为,而,
故,故的长度为,
故选:
C.
8.已知函数,当时,,若在上的最大值为2,则()
A.9B.4C.3D.2
【答案】A
【分析】根据的图像判断,结合对数运算求得的关系式,根据在上的最大值求得的另一个关系式,由此求得,进而求得的值.
【详解】画出图像如下,
由于时,,所以,
且由得,所以
由于,所以,所以,
所以在上的最大值为,,,所以,所以.
故选:
D
二、多选题
9.下列命题正确的是()
A.,函数恒过定点
B.,
C.若,则为第一象限角
D.若,则
【答案】ABD
【分析】对于A:
利用指数函数、对数函数过定点验证;
对于B:
存在性问题,取特殊值验证,取x=10时;
对于C:
由sinα,cosα同号,α可能为第一或第三象限角;
对于D:
构造基本不等式,求最值.
【详解】对于A:
恒过(1,1),恒过(1,0)所以恒过定点,故A正确;
对于B:
当x=10时,,所以,,故B正确;
对于C:
若,则sinα,cosα同号,α可能为第一或第三象限角,故C错误;
对于D:
若,则
故D正确.
故选:
ABD
10.为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律,建立如图所示的平面直角坐标系,设秒针针尖位置为点.若初始位置为点,秒针从(规定此时)开始沿顺时针方向转动,则点P的纵坐标y与时间t的函数关系式可能为()
A.B.
C.D.
【答案】CD
【分析】根据题意,设y与时间t的函数关系式为,求得初相,再根据周期,即可判断选择.
【详解】设y与时间t的函数关系式为,由题意可得,初始位置为,即初相为,故可得,,则,.
又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转,即T==60,
所以|ω|=,即ω=-.
故满足题意的函数解析式为:
.
故选:
CD.
11.不等式的解集是,对于系数a,b,c,下列结论正确的是()
A.B.C.D.
【答案】ABC
【分析】根据一元二次不等式的解集以及韦达定理即可求解.
【详解】不等式的解集是,
可得,且的两个根为,
韦达定理,所以,故A正确,D错误;
由,则,故C正确;
二次函数开口向下,函数的零点为,
当时,,故B正确;
故选:
ABC.
12.已知定义域为A的函数,若对任意的,都有,则称函数为“定义域上的优美函数”以下函数是“定义域上的优美函数”的有()
A.,B.,
C.,D.,
【答案】ACD
【分析】根据“定义域上的优美函数”的定义,对A、B、C、D一一验证.
【详解】由题意:
定义域为A的函数,若对任意的,都有,则称函数为“定义域上的优美函数”:
对于A:
,,
.,故A正确;
对于A:
,,
当,此时,
不符合,故B错误;
对于C:
,
,而,
,
,即,故C正确;
对于D:
,
当时,恒成立.
,
,故D正确.
故选:
ACD
【点睛】多项选择题是2020年高考新题型,需要要对选项一一验证.
三、填空题
13.函数的定义域为A,函数的值域为B,则__________.
【答案】
【分析】求出后可得.
【详解】,,
故,
故答案为:
.
14.已知,,则的值为__________.
【答案】1
【分析】,然后利用两角和的正切公式可得答案.
【详解】
故答案为:
1
15.设函数,则满足的x的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据分段函数的表达式,分别讨论的取值范围,进行求解即可.
【详解】解:
因为
①当时,
,
,
故,
②当,即时,
,
,故,
恒成立,
故,
③当且,即时,
,
,
,
恒成立,
故,
综上所述,即
故答案为:
.
【点睛】本题主要考查不等式的求解,结合分段函数的不等式,利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键.
四、双空题
16.已知函数,(其中,为常数,且)有且仅有5个零点,则a的值为__________,的取值范围是__________.
【答案】1
【分析】由条件可得函数必有一个零点为,即可求出,然后令可得,然后可建立不等式求解.
【详解】因为函数,为偶函数,有且仅有5个零点
所以必有一个零点为,所以,即
令,可得,即,即
因为有且仅有5个零点,所以,解得
故答案为:
1;
五、解答题
17.已知集合,集合,其中.
(1)当时,求;
(2)若是的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
【答案】
(1);
(2).
【分析】
(1)首先求出集合,,再根据交集的定义计算可得;
(2)首先求出集合,依题意可得,即可得到不等式组,解得即可;
【详解】解:
(1)由,得,所以;
当时,由,得,
所以.
所以.
(2)由及,得.即
因为是的必要不充分条件,所以
所以,且等号不同时成立,解得.
又,所以实数m的取值范围是.
【点睛】本题考查必要不充分条件求参数的取值范围,一般可根据如下规则判断:
(1)若是的必要不充分条件,则对应集合是对应集合的真子集;
(2)是的充分不必要条件,则对应集合是对应集合的真子集;
(3)是的充分必要条件,则对应集合与对应集合相等;
(4)是的既不充分又不必要条件,对的集合与对应集合互不包含.
18.如图,以x轴非负半轴为始边,角的终边与单位圆相交于点,将角的终边绕着原点O顺时针旋转得到角.
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】
(1)1;
(2).
【分析】
(1)先利用三角函数的定义分别求出,,,用诱导公式先化简,再求值;
(2)由题意得,得,用二倍角公式即可求解.
【详解】解:
(1)由题得,,.
.
(2)由题意得,得,
所以
.
【点睛】
(1)三角函数值的大小与点P(x,y)在终边上的位置无关,严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值;当角的终边在直线上时,或终边上的点带参数必要时,要对参数进行讨论.
(2)根据题意把角进行合理转化,还要注意角的范围.
19.若为上的奇函数,且时,.
(1)求在上的解析式;
(2)判断函数在上的单调性,并用定义证明;
(3)解关于x的不等式.
【答案】
(1);
(2)在上单调递减,证明见解析;(3)答案见解析.
【分析】
(1)根据奇函数性质得当时,,故,再结合奇函数的性质即可得答案;
(2)根据函数单调性的定义证明即可;
(3)根据奇函数性质得,再结合函数单调性解不等式即可;
【详解】解:
(1)因为当时,,
所以当时,,,
因为为上的奇函数,所以,
则.
所以在上的解析式为.
(2)函数在上单调递减.
证明:
设,且,
,
因为,且,
所以,,则,
所以在上单调递减.
(3)因为为上的奇函数,且在上单调递减,
所以在上单调递减.
因为,
所以,,即,
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为.
【点睛】本题考查利用奇函数的性质求函数解析式,解不等式等,考查运算求解能力,其中第三问解题的关键在于由奇偶性与单调性得时,分当,,时三种情况讨论求解.
20.已知函数为偶函数,且图象的相邻两个最高点的距离为.
(1)当时,求的单调递增区间;
(2)将函数的图象向右平移个单位长度,再把各点的横坐标缩小为原来(纵坐标不变),得到函数的图象.求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】
(1)单调递增区间为和;
(2)最大值为2,最小值.
【分析】
(1)首先利用二倍角公式和辅助角公式对化简,再利用偶函数求出的值,再利用求出的值,即可得的解析式,再利用余弦函数的单调递增区间即可求解;
(2)利用三角函数图象变换的规律求出的解析式,再利用余弦函数的性质即可求值域.
【详解】
(1)由题意函数
,
因为函数图象的相邻两个最高点的距离为,
所以,可得.
又由函数为偶函数可得,
所以,,则,.
因为,所以,所以函数,
令,,解得,,
当时,;当时,,又,
可得函数的单调递增区间为和.
(2)将函数的图象向右平移个单位长度可得的图象,再把各点的横坐标缩小为原来的,得到函数的图象,
当时,.
当,即时,
函数取得最小值,最小值为;
当,即时,
函数取得最大值,最大值为2.
所以函数在区间上的最大值是,最小值是.
【点睛】方法点睛:
已知三角函数的解析式求单调区间
先将解析式化为或的形式,然后将看成一个整体,根据与的单调区间列不等式求解.
21.为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念,聊城市环保部门近年来利用水生植物(例如浮萍、蒲草、芦苇等),对国家级湿地公园—东昌湖进行进一步净化和绿化.为了保持水生植物面积和开阔水面面积的合理比例,对水生植物的生长进行了科学管控,并于2020年对东昌湖内某一水域浮萍的生长情况作了调查,测得该水域二月底浮萍覆盖面积为,四月底浮萍覆盖面积为,八月底浮萍覆盖面积为.若浮萍覆盖面积y(单位:
)与月份(2020年1月底记,2021年1月底记)的关系有两个函数模型与可供选择.
(1)你认为选择哪个模型更符合实际?
并解释理由;
(2)利用你选择的函数模型,试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积
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