线性代数基本定理.docx
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线性代数基本定理.docx
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线性代数基本定理
线性代数基本定理
一、矩阵的运算
1.不可逆矩阵的运算不满足消去律
AB=O,A也可以不等于O
2.矩阵不可交换
3.常被忽略的矩阵运算规则
4.反称矩阵对角线元素全为0
4.矩阵逆运算的简便运算
方法
1.特殊矩阵的乘法
A.对角矩阵乘以对角矩阵,结果仍为对角矩阵。
且:
B.上三角矩阵乘以上三角矩阵,结果为上三角矩阵
2.矩阵等价的判断
任何矩阵等价于其标准型
3.左乘初等矩阵为行变换,右乘初等矩阵为列变换
如:
m*n的矩阵,左乘m阶为行变换,右乘n阶为列变换
4.给矩阵多项式求矩阵的逆或证明某个矩阵可逆
如:
,证明(A+2I)可逆。
把2I项挪到等式右边,左边凑出含有A+2I的一个多项式,在确保A平方项与A项的系数分别为原式的系数情况下,看I项多加或少加了几个。
5.矩阵的分块进行计算
加法:
分块方法完全相同
矩阵乘法(以A*B为例):
A的列的分法要与B行的分法一致,如:
如红线所示:
左边矩阵列分块在第2列与第3列之间,那么,右边矩阵分块在第二行与第三行之间
至于蓝线,如何画,画不画,只画在哪个矩阵里都无所谓,分块数只决定了最后结果矩阵的行列,并不能决定矩阵是否能做乘法的原则性问题。
求逆:
如果均可逆,
若,则
反块对角阵也一样,把反对角线上的矩阵求逆。
求转置:
块转置,每一块里面的也要转置
6.把普通线性组合式写成矩阵形式
二、行列式的计算
计算一般行列式时需注意:
A.代数余子式的正负
B.初等变换用等号,行列式的值可能变化
1.特殊形状行列式
上下三角行列式、反上下三角行列式
det(kA)=det(A)
det(AB)=det(A)det(B)
块对角行列式(用拉普拉斯展开定理证明)
2.一般行列式的计算原则
A.按0多的行或者列展开,进行行列式的降阶
B.行列式中一行(列)出现加法的,可变成两个行列式
C.行列式如果某一行(列)有公因子的,可以提出来
其中,B点最容易被忽略掉!
!
!
例题:
已知abcd=1
不用计算每一个行列式值为多少,观察发现此式正好得0
3.范德蒙德行列式
注意:
范德蒙德行列式第一行(列)从1开始到n-1次方,从上到下或从左到右升幂
不同底数来说,右边减左边或下边减上边,这就是i和j的用处
4.几种n阶行列式的巧算办法:
见笔记本
5.克拉默法则:
解决伴随矩阵问题的好方法。
还要了解行列式按某行展开,如果对被展开行的每列来说,代数余子式乘的是其他行的代数余子式,则展开后值为0,这样,线性方程组的求解问题就可以证出来(把逆用伴随表示)
6.矩阵的秩:
可以回到定义,秩为r,就说明至少存在一个r阶子式不为0,所有r+1阶子式全为0
三、空间解析几何
1.易忽略的基础知识
点的坐标的实质:
过一个点向几个轴做垂面
空间一点在线上的投影问题就可以做这条线的垂面,再连接交点,同样,线和向量的在直线上的投影向量就是两点的投影,注意,如果直接说投影,那么它是一个数,可以为负。
方向余弦:
与坐标轴正方向的夹角的余弦
投影:
外积与混合积得几何意义,注意,外积的模才是平行四边形面积,而混合积的绝对值为平行六面体体积
外积用来构建与两个向量都垂直的向量,即法向量
混合积的记法,向量共面,混合积为0,abc,bca,cab这三种顺序结果都相同
2.平面的方程
点法式,一般式:
xyz谁系数为0,就与哪个轴平行,D=0平面过原点,如果平面既过原点又与某个轴平行,那么它一定通过这个轴
截距式
点法式和点向式化为截距式,算截距即可
三点式
一般不用
3.直线的方程
点向式
m,n,p哪个为0,直线就与这个等式里面的哪个变量所对应的轴垂直(在与那个轴平行的平面上)。
直线的方向余弦就是方向向量的方向余弦。
参数式
用一个参数就可以确定x,y,z三个变量。
用在求直线与平面交点中比较简单,其中(m,n,p)就是方向向量!
还可以求过某一点与另外一条已知直线垂直的直线
一般式
用两个平面相交的方程组表示
方程的转化
参数式=>点向式
t的系数就是方向向量,加的常数就是定点。
点向式=>一般式
目的是方便表示过这条直线的平面束。
三个等号,两两联立,变成两个方程。
加括号变为方程组即可
参数式=>一般式
参数式先变为点向式,再变为一般式
点向式=>参数式
令三个比例=t
一般式=>点向式
方法1:
任取一满足方程的点,为定点。
平面法向量叉乘为直线方向向量。
方法2:
任取两点,直接求方程
一般式=>参数式
方法1:
一般式先变为点向式,再变为参数式
方法2(较简单):
对平面方程初等行变换,令自由变量=t
4.位置关系和向量关系的转化
平面与平面的位置关系
平面与平面平行(包括重合)——
如果重合,有:
平面与平面相交——
平面与平面垂直——法向量垂直
平面与平面的夹角余弦(锐二面角)——法向量余弦的绝对值
平面束——过两平面交线的平面方程(如果参数为一个,不包括参数后面的平面本身)
点到平面的距离
平面与直线的位置关系
直线与平面的夹角——直线平面法向量夹角余弦值的绝对值就是直线与平面夹角的正弦值
直线与平面相交,平行,过平面——直线的方向向量与平面法向量内积不为0相交,否则如果把直线经过的定点满足平面方程,则线面平行,否则直线过平面
直线与平面垂直——直线的方向向量与平面法向量平行
直线与直线的位置关系
两直线夹角——它们方向向量的夹角
两直线平行(包括重合)——方向向量平行。
如果不重合,则可在其中一条直线上任取两点,如果它们不都在或都不在另一条直线上,呢么两直线不重合
两直线垂直——方向向量垂直
两直线相交——两直线共面,不平行
两直线间距离:
先用两直线方向向量做叉乘构造公垂线的方向向量,然后再把两直线上的定点做连线向刚刚构建的方向向量上投影
两直线共面,异面——两个定点()构成的一个向量,两个方向向量。
这三个向量混合积为0,就共面反之异面
点到直线的距离
M为线上一点为线上另一点,到直线的距离为:
想那个平行四边形
四、n维向量空间
预备知识:
AX=b的矩阵表示和向量表示
或者如下表示
定理
1.
有一个解——唯一一种表示方法,有无数解——无数表示方法
2.向量组等价——其中一个向量组的每一个向量都可以用另外一个向量组表示
等价具有自反性,传递性,对称性
3.线性相关与线性无关
1.包含0向量或相同向量的任意一个向量组线性相关
2.两个向量组线性相关的充要条件是分量对应成比例(,中共线)
中,三个向量组线性相关,则它们共面
3.1,2,…,n线性相关AX=0有非0解,当向量个数等于向量维数时,det(A)=0
4.向量个数大于向量维数,向量组一定线性相关。
(相当于未知量个数大于方程个数)
5.对于一个向量组,局部线性相关则整体相关,整体无关则局部无关
6.一组向量线性无关,多了一个变成线性相关,则多的哪一个可以用其他向量线性表示,表示式唯一(解方程时,多的那个向量系数肯定不是0)
7.向量组的任意两个最大无关组都等价(于原向量组)
8.再求向量组的秩时初等变换线性相关性不变对应着方程组的解不变
9.设向量组可由向量组线性表示,且线性无关,则(系数矩阵K为s*r,必须让方程的个数多一些)
10.若向量组I可由向量组II线性表示则R(I)<=R(II),如果两个向量组等价,则它们的秩相等
11.方程AX=b有解,则
11.几个关于秩的四个不等式
R(AB)<=min(R(A),R(B))(和定理9的不等式有关)
若,则R(A)+R(B)<=n(和基础解系有关)
R(A+B)<=R(A)+R(B)(也和定理9的不等式有关)
R()=R(A)(方程的同解)
12.AX=O的解向量的线性组合仍为AX=O的解向量
方法
一、判断向量组线性相关性:
1.向量矩阵其次方程的解
2.至少有一个向量能用其他向量线性表示,则向量组线性相关,否则线性无关
二、判断向量组等价:
A=KB,同时B=K’A,K为线性表示的系数矩阵,如果K为方阵且唯一(线性表示法唯一),看K是否可逆即可
经典题:
1.向量组线性无关,问常数l,m满足什么条件时,向量组线性无关.
2.A为m*n矩阵,B为n*m矩阵,m>=n,试证det(AB)=0
3.
,求AX=b通解
三、向量组的最大无关组
通过初等变换就可以求出最大无关组
判断最大无关组向量组里的每一个向量均可由最大无关组表出
五、特征值与特征向量
定理
1.如果是A在特征值下的几个特征向量,那么的线性组合也是A在特征值下的一个特征向量.线性组合组成特征子空间所以在求特征向量时,一定要有系数k(多解)
2.三角矩阵(包括对角矩阵)特征值就是对角线上元素
3.是矩阵A的k重特征值,则对应的线性无关的特征向量不超过k,特征向量的个数为A的维数与特征矩阵的秩之差,为n-R(I-A)
4.如果是A在特征值下的特征向量,那么是f(A)在特征值f()下的特征向量
5.某矩阵特征值的和为矩阵的迹,积为矩阵的行列式。
(给特征值求行列式是一个知识点)因此有了以下命题:
A可逆A的任何一个特征值不为0
6.相似矩阵具有相同的特征多项式,相同的特征值,相同的行列式、相同的迹(解决代参数的矩阵相似问题很快)、相同的秩。
7.A与B相似=>与相似,多项式f(A)与f(B)相似
8.n阶矩阵A与对角阵相似A有n个线性无关的特征向量
不同特征值的特征向量线性无关,所有特征值的特征向量构成一个向量组,它们线性无关
9.两两正交的非零向量组线性无关
10.A为正交矩阵A的行列向量组都是标准正交向量组
11.实对称矩阵不同特征值的特征向量两两正交
应用这个定理,可以在已知其他两个特征值得特征向量的情况下,求出第三个特征值对应的特征向量
方法:
1.证明某值(向量)是否为特征值(特征向量),可以带入等式,也可以带入特征方程。
2.证明矩阵相似(充要):
1.(具体证明)证明两矩阵特征多项式相同(两矩阵特征值相同,说明他们相似于同一个对角阵,根据相似的传递性)
2.(抽象证明)找可逆的P,
3.两个矩阵同时相似于第三个矩阵
3.向量的内积表示:
4.判断n阶方阵是否可以对角化:
有n个不同的特征值或n个线性无关的特征向量,则一定能对角化
k重特征值下有k个特征向量,当然,只用验证k>=2的情况,看矩阵的秩是否等于n-k
4.线性无关向量组的标准正交化
…
再把单位化
六、二次型
二次型的合同变换:
方法
1.二次型化为标准型
配方法:
f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-6x2x3
形如此类二次型
令
正交变换法(实质是让中间的变成对角阵):
配方法为什么一定是可退化?
因为方程可反解
合同变换法:
X=CY,因此特征值就是标准型的系数
2.正定矩阵判断(>0)
充要条件
1.A的特征值全部为正数
2.n元二次型的正惯性指数为n
3.A与I合同(有了标准型,化为规范性,正定,对角线都是正1)
4.A的各阶顺序主子式为正,即:
判断不正定:
矩阵A对角线上的数有一个不>0
3.探究曲面的形状
平行截割法、旋转法
柱面——少了一个变量,少哪个变量,母线就与哪个变量平行
4.求旋转曲面的方程
绕着哪个轴旋转,哪个变量不变,把另一个变量替换为不含所绕轴的两个变量的平方和的平方根(小心正负)
一般地,求曲线在
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