五年级奥数中国剩余定理及余数性质拓展教师版.docx
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五年级奥数中国剩余定理及余数性质拓展教师版
教学目标
1.五年级奥数中国剩余定理及余数性质拓展教师版
2.掌握中国剩余定理的核心思想,并灵活运用
知识点拨
一、中国剩余定理——中国古代趣题
(1)趣题一
中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题:
“今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?
”答曰:
“二十三。
”
此类问题我们可以称为“物不知其数”类型,又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题:
假设兵不满一万,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有多少?
首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注:
因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积),然后再加3,得9948(人)。
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考,不过根据考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理。
中国剩余定理(ChineseRemainderTheorem)在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
(2)趣题二
我国明朝有位大数学家叫程大位,他在解答“物不知其数”问题(即:
有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?
)时用四句诗概括出这类问题的优秀解法:
“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正月半,除百零五便得知.”
这首诗就是解答此类问题的金钥匙,它被世界各国称为“中国剩余定理”(ChineseRemainderTheorem),是我国古代数学的一项辉煌成果.诗中的每一句话都表示一个步骤:
三人同行七十稀,是说除以3所得的余数用70乘.
五树梅花廿一枝,是说除以5所得的余数用21乘.
七子团圆正月半,是说除以7所得的余数用15乘.
除百零五便得知,是说把上面乘得的3个积加起来,减去105的倍数,减得差就是所求的数.
此题的中国剩余定理的解法是:
用70乘3除所得的余数,21乘5除所得的余数,15乘7除所得的余数,把这3个结果加起来,如果它大于105,则减去105,所得的差如果仍比105大,则继续减去105,最后所得的整数就是所求.也就是,,
为什么70,21,15,105有此神奇效用?
70,21,15,105是从何而来?
先看70,21,15,105的性质:
70被3除余1,被5,7整除,所以70a是一个被3除余a而被5与7整除的数;21是5除余1,被3与7整除的数,因此21b是被5除余b,被3与7整除的数;同理15c是被7除余c,被3、5整除的数,105是3,5,7的最小公倍数.也就是说,是被3除余a,被5除余b,被7除余c的数,这个数可能是解答,但不一定是最小的,因此还要减去它们的公倍数.
了解了“剩余定理”的秘密后,对类似于上面的题目,我们都可以用中国剩余定理来解答.
二、核心思想和方法
对于这一类问题,我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法,下面我们就以《孙子算经》中的问题为例,分析此方法:
今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?
题目中我们可以知道,一个自然数分别除以3,5,7后,得到三个余数分别为2,3,2.那么我们首先构造一个数字,使得这个数字除以3余1,并且还是5和7的公倍数。
先由,即5和7的最小公倍数出发,先看35除以3余2,不符合要求,那么就继续看5和7的“下一个”倍数是否可以,很显然70除以3余1
类似的,我们再构造一个除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字,显然21可以符合要求。
最后再构造除以7余1,同时又是3,5公倍数的数字,45符合要求,那么所求的自然数可以这样计算:
其中k是自然数。
也就是说满足上述关系的数有无穷多,如果根据实际情况对数的范围加以限制,那么我们就能找到所求的数。
例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”,
那么我们可以计算得到所求
如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,
我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可,即23+105=128。
例题精讲
模块一、余数性质综合
【例1】一个数除以3的余数是2,除以5的余数是1,则这个数除以15的余数是 。
【考点】余数性质综合【难度】1星【题型】填空
【关键词】希望杯,4年级,初赛,8题
【解析】除以3余的数有:
2、5、8、11、14
除以5余1的数有:
1、6、11、16、21观察得到符合条件的答案是11
【答案】
【例2】有一群猴子正要分56个桃子.每只猴子可以分到同样个数的桃子。
这时.又窜来4只猴子。
只好重新分配,但要使每只猴子分到同样个数的桃子,必须扔掉一个桃子.则最后每只猴子分到桃子___个。
【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯,六年级,初赛,第19题,6分
【解析】56的约数有:
1、2、4、7、8、14、28、56,
55的约数有:
1、5、11、55,
其中只有11=7+4,所以原来有7只猴,后来有11只猴,每只猴子分到55÷11=5个.
【答案】
【巩固】一群猴子分桃,桃子共有56个,每只猴子可以分到同样多的桃子。
但在它们正要分桃时,又来了4只猴子,于是重新分配这些桃子,结果每只猴子分到的桃子数量相同,那么最后每只猴子分到个桃子。
【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯,四年级,复赛,第7题,4分
【解析】56的因数有1,2,4,7,8,14,28,56,其中只有4和8相差4,所以最后有猴子8只,每只猴子分到56÷8=7个桃子。
【答案】
【例3】一个小于200的数,它除以11余8,除以13余10,这个数是几?
【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】解答
1【解析】根据总结,我们发现这两个除数与余数的差都等于,观察发现这个数加上3后就能同时被11和13整除,所以[11、13]=143,所以这个数是143-3=140。
【答案】
【巩固】不足100名同学跳集体舞时有两种组合:
一种是中间一组5人,其他人按8人一组围在外圈;另一种是中间一组8人,其他人按5人一组围在外圈。
问最多有多少名同学?
【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】填空
【关键词】华杯赛,初赛,第10题
【解析】此题实际是一个不足100的整数,减去5能被8整除,即除以8余5,减去8能被5整除,即除以5余3,求其最大值。
13除以8余5,除以5余3,8和5的最小公倍数为40,13+2×40=93,为满足条件的整数,即最多有93名同学。
【答案】
【例4】5年级3班同学上体育课,排成3行少1人,排成4行多3人,排成5行少1人,排成6排多5人,问上体育课的同学最少____人。
【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空
【关键词】小数报,初赛
1【解析】题意相当于:
除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以6余5,这样我们根据总结知道都只能“凑缺”,所以都缺1,这样班级人数就是[3、4、5、6]-1=60-1=59人。
【答案】
【巩固】有一个自然数,除以2余1,除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以6余5,则这个数最小是。
【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空
【关键词】华杯赛,五年级,决赛,第7题,10分
【解析】这个数加1能同时被2,3,4,5,6整除,而[2,3,4,5,6]=60
所以这个数最小是60-1=59。
【答案】
【巩固】除以余,除以余,除以余,除以余,,除以余。
最小为。
【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空
【关键词】走美杯,5年级,决赛,第1题,8分
【解析】加上后变成的公倍数,所以最小为,最小为。
【答案】
【巩固】小朋友们要做一次“动物保护”宣传活动,若1人拿3个动物小玩具,则最后余下2个动物小玩具;若1人拿4个动物小玩具,则最后余下3个动物小玩具;若1人拿5个动物小玩具,则最后余下4动物小玩具。
那么这次活动中小朋友至少拿了______个动物小玩具。
【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空
【关键词】学而思杯,3年级,第9题
【解析】那么再加一个玩具,玩具总数就能同时被整除,能同时被整除最小整数位。
所以这次活动小朋友至少拿了个玩具。
【答案】
【巩固】小朋友们做游戏,若3人分成一组,则最后余下2人;若4人分成一组,则最后余下3人;若5人分成一组,则最后余下4人。
那么一起做游戏的小朋友至少有人。
【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯,四年级,复赛,第15题,6分
【解析】这个数除以3余2,除以4余3,除以5余4,那么加上一个人这些小朋友的数量能整除3、4、5,3×4×5=60,那么小朋友至少59人
【答案】
【例5】一个自然数被7,8,9除的余数分别是1,2,3,并且三个商数的和是570,求这个自然数.
【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】解答
1【解析】这个数被7,8,9除的余数分别是1,2,3,所以这个数加上6后能被7,8,9整除,而,所以这个数加上6后是504的倍数.由于这个数被7,8,9除的三个商数的和是570,那么这个数加上6后被被7,8,9除的三个商数的和是,而
,
所以这个数加上6等于504的3倍,这个数是.
【答案】
【例6】数119很奇特:
当被2除时,余数为1;当被3除时,余数为2;当被4除时,余数为3;当被5除时,余数为4;当被6除时,余数为5.问:
具有这种性质的三位数还有几个?
【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】解答
1【解析】[1,2,3,4,5,6].三位数中60的倍数15个.所以,除了119外,还有(个).
【答案】
【巩固】有一批图书总数在1000本以内,若按24本书包成一捆,则最后一捆差2本;若按28本书包成一捆,最后一捆还是差2本书;若按32本包一捆,则最后一捆是30本.那么这批图书共有 本.
【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】填空
【关键词】迎春杯,六年级,初赛,3题
【解析】由题意可知,这批书如果再多本,那么按本,本,本一捆全书时,都将恰好分成整数本.所以这批书的本数加上之后是,,的公倍数,而,所以这批书的本数是(是整数).由于这批书少于本,所以只能为,这批书有本.
【答案】本
【例7】某个自然数除以2余1,除以3余2,除以4余1,除以5也余1,则这个数最小是。
【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】填空
【关键词】希望杯,五年级,初赛,第5题,6分
【解析】除以2余1,除以4余1,除以5余1的最小的数减去1能被2、4、5整除,所以,所以这个数可以表示为20n+1,n是自然数,所以20n+1中除以3余2的最小数是41.
【答案】
【例8】一个大于10的自然数,除以5余3,除以7余1,除以9余8,那么满足条件的自然数最小为多少?
【考点】余数性质综合【难度】4星【题型】解答
1【解析】根据总结,我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是,这样我们可以把余数都处理成8,即一个数除以5余3相当于除以5余8,除以7余1相当于除以7余8,所以可以看成这个数除以5、7、9的余数都是8,那么它减去8之后是5、7、9的公倍数.而,所以这个数最小为.
【答案】
【巩固】一个大于10的数,除以3余1,除以5余2,除以11余7,问满足条件的最小自然数是多少?
【考点】余数性质综合【难度】4星【题型】解答
2【解析】法一:
仔细分析可以发现,所以这个数可以看成被3、5、11除余7,由于
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