第五章《圆》导学案.docx

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第五章《圆》导学案

5.1圆

（1）

一、学习目标：

1、理解圆的描述定义,了解圆的集合定义.

2、经历探索点与圆的位置关系的过程，以及如何确定点和圆的三种位置关系

3、初步渗透数形结合和转化的数学思想，并逐步学会用数学的眼光和运动、集合的观点去认识世界、解决问题.

二、知识准备：

1、说出几个与圆有关的成语和生活中与圆有关的物体。

思考：

车轮为什么做成圆形？

2、爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一次掷飞镖比赛。

他们把靶子钉在一面土墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就胜。

如下图中A、B、C三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，你认为这一轮中谁的成绩好？

三、学习内容：

1、圆的定义：

_______________（运动的观点）

2、画圆并体会确定一个圆的两个要素是和

3、点和圆的位置关系

量一量

（1）利用圆规画一个⊙O，使⊙O的半径r=3cm.

（2）在平面内任意取一点P，点与圆有哪几种位置关系？

若⊙O的半径为r，

点P到圆心O的距离为d，那么：

点P在圆dr

点P在圆dr

点P在圆dr

4、圆的集合定义（集合的观点）

（1）思考：

平面上的一个圆把平面上的点分成哪几部分？

（2）圆是到定点距离定长的点的集合.圆的内部是到的点的集合；圆的外部是的点的集合。

（3）想一想：

角的平分线可以看成是哪些点的集合？

线段的垂直平分线呢？

四、尝试与交流

已知点P、Q，且PQ=4cm，⑴画出下列图形：

到点P的距离等于2cm的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合。

⑵在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？

请在图中将它们表示出来。

⑶在所画图中，到点P的距离小于或等于2cm，且到点Q的距离大于或等于3cm的点的集合是怎样的图形？

把它画出来。

五、知识梳理

1、圆的定义。

2、点与圆的位置关系。

六、达标测试

1、正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A；点C在⊙A；点D在⊙A。

2、已知⊙O的半径为5cm.

（1）若OP=3cm，那么点P与⊙O的位置关系是：

点P在⊙O；

（2）若OQ=cm，那么点Q与⊙O的位置关系是：

点Q在⊙O上；（3）若OR=7cm，那么点R与⊙O的位置关系是：

点R在⊙O.

3、⊙O的半径10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：

点A在；点B在；点C在

4、⊙O的半径6cm，当OP=6时，点A在；当OP时点P在圆内；当OP时，点P不在圆外。

5、到点P的距离等于6厘米的点的集合是________________________________________

6、已知AB为⊙O的直径P为⊙O上任意一点，则点关于AB的对称点P′与⊙O的位置为（）（A）在⊙O内（B）在⊙O外（C）在⊙O上（D）不能确定

6、如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米（直接写出答案）

（1）以点A为圆心，3厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？

（2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？

（3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？

7、如图，在直角三角形ABCD中，角C为直角，AC=4，BC=3，E，F分别为AB，AC的中点。

以B为圆心，BC为半径画圆，试判断点A，C，E，F与圆B的位置关系。

8、已知：

如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上．

5.1圆

（2）

一、学习目标

1、理解圆的有关概念

2、了解“同圆或等圆的半径相等”并能用之解决问题．

3、体验圆与直线形的联系

二、知识准备

前一节课学习了圆的有关概念,探索了点与圆的位置关系.这一节课将进一步学习与圆有关

的概念,为今后研究圆的有关性质打好基础.

三、知识梳理

与圆有关概念

（1）请在图上画出弦CD，直径AB.并说明___________________________叫做弦；

_________________________________叫做直径.

（2）弧、半圆、优弧与劣弧的概念及表示方法.弧：

____

半圆：

_________________________优弧：

_________________表示方法：

__

劣弧：

_______________________________,表示方法：

______

（3）借助图形理解圆心角、同心圆、等圆.圆心角:

______________________________

同心圆:

____________________等圆:

___________________________.

（4）同圆或等圆的半径_______.等弧:

_______________________

四．典型例题

例1、如图点A、B和点C、D分别在两个同心圆上,且∠AOB=∠COD.∠C与∠D相等吗?

为什么?

例2如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上的两点，并且AC=BD.

求证：

OC=OD.

五、达标检测

一判断：

1直径是弦，弦是直径。

（）

2半圆是弧，弧是半圆。

（）

3周长相等的两个圆是等圆。

（）

4长度相等的两条弧是等弧。

（）

5同一条弦所对的两条弧是等弧。

（）

6在同圆中，优弧一定比劣弧长。

（）

二、解答

1、如图,CD是⊙O的直径,∠EOD=84°,AE交⊙O于点B,且AB=OC,求∠A的度数.

2、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC的中点，若OD=4，求BC。

3、如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,CD⊥AB,垂足为D,已知CD=4,OD=3,求AB的长.

3.如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠A=350,求∠B的度数.

C

O

AB

2、如图,CD是⊙O的直径,∠EOD=84°,AE交⊙O于点B,且AB=OC,求∠A的度数.

5.2圆的对称性

（1）

一、学习目标

1、经历探索圆的中心对称性及有关性质的过程

2、理解圆的中心对称性及有关性质

3、会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题

二、知识准备：

1、什么是中心对称图形?

2、我们采用什么方法研究中心对称图形?

三、学习内容：

1、按照下列步骤进行小组活动：

⑴在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O和⊙O

⑵在⊙O和⊙O

中,分别作相等的圆心角∠AOB、∠

，连接AB、

⑶将两张纸片叠在一起，使⊙O与⊙O

重合（如图）

⑷固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA与OA

重合

在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流

_______________________________________________

2、上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？

请与小组同学交流.

你能够用文字语言把你的发现表达出来吗?

3、圆心角、弧、弦之间的关系：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等

4、试一试：

如图，已知⊙O、⊙O

半径相等，AB、CD分别是⊙O、⊙O

的两条弦填空：

︵

︵

（1）若AB=CD，则，

（2）若AB=CD，则，

（3）若∠AOB=∠CO

D，则，

5、在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？

弧的大小：

圆心角的度数与它所对的弧的度数相等

例1、如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC∠ABC与∠BAC相等吗？

为什么？

例题2、已知：

如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE=BF，AC与BD相等吗？

为什么？

四、知识梳理：

1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；

2、圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

五、达标检测：

1、画一个圆和圆的一些弦，使得所画图形满足下列条件：

（1）是中心对称图形，但不是轴对称图形；

（2）既是轴对称图形，又是中心对称图形。

2、

如图,在⊙O中,=,∠1=30°,则∠2=__________

3.一条弦把圆分成1：

3两部分，则劣弧所对的圆心角为________。

4.⊙O中，直径AB∥CD弦，

，则∠BOD=______。

5.在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为

6.如图，AB是直径，

＝

＝

，∠BOC＝40°，∠AOE的度数是。

7.已知，如图，AB是⊙O的直径，M,N分别为AO,BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,垂足分别为M,N。

求证：

AC=BD

5.2圆的对称性

（2）

一、学习目标

1、经历探索圆的轴对称性及有关性质的过程

2、掌握垂径定理

3、会运用垂径定理解决有关问题

二、知识准备：

1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做__________________，这条直线叫做_______________。

2、圆是中心对称图形，_________是它的对称中心；圆具有_________性。

三、学习内容：

提出问题：

“圆”是不是轴对称图形？

它的对称轴是什么？

操作：

①在圆形纸片上任画一条直径；

②沿直径将圆形纸片折叠，你发现了什么？

结论：

圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

练习：

1、判断下列图形是否具有对称性？

如果是中心对称图形，指出它的对称中心；如果是轴对称图形，指出它的对称轴。

2、将第二个图中的直径AB改为怎样的一条弦，它将变成轴对称图形？

探索活动：

1、如图，CD是⊙O的弦，画直径AB⊥CD，垂足为P，将圆形纸片沿AB对折，你发现了什么？

2、你能给出几何证明吗？

（写出已知、求证并证明）

3、得出垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

4、注意：

①条件中的“弦”可以是直径；

②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。

5、给出几何语言

例1如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D，AC与BD相等吗？

为什么？

例2如图，已知：

在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3。

⑴求的半径；

⑵若点P是AB上的一动点，试求OP的范围。

四、知识梳理：

1、垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

2、垂径定理的推论，如：

平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，且平分弦所对的弧等。

五、达标检测：

1、如图，∠C=90°，⊙C与AB相交于点D，AC=5，CB=12，则AD=_____

2、已知，如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,AE=1,BE=5,

=

求CD的长。

3.如图,在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为M．则有AM=___，___=

，___=

．

T1T2T3T4

4.过⊙O内一点P作一条弦AB，使P为AB的中点.

5.⊙O中，直径AB⊥弦CD于点P，AB=10cm,CD=8cm，则OP的长为CM.

6.如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．

7.⊙O的弦AB为5cm，所对的圆心角为120°，则圆心O到这条弦AB的距离为___

8.圆内一弦与直径相交成30°且分直径为1cm和5cm，则圆心到这条弦的距离为CM

9.在半径为5的圆中,弦AB∥CD,AB=6,CD=8,试求AB和CD的距离.

10.一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度（AB）为16米，拱高（CD）为4米，求：

⑴桥拱半径⑵若大雨过后，桥下河面宽度（EF）为12米，求水面涨高了多少？

11.

（1）“圆材埋壁”是我国古代著名数学家著作《九章算术》中的一个问题：

“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？

”此问题的实质是解决下面的问题：

“如上图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长．”根据题意可得CD的长为________．

（2）工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图所示，则这个小孔的直径AB是毫米

（T9中两题可任做其一）

5.3圆周角

（1）

一、学习目标

1．知识与技能：

理解圆周角的概念及其相关性质，并能运用相关性质解决有关问题

2．过程与方法：

经历探索圆周角的有关性质的过程，体会分类、转化等数学思想方法，学会数学地思考问题

3．情感态度与价值观：

在探求新知的过程中学会合作、交流体会数学中的分类转化等方法。

二、知识准备

复习巩固

1、叫圆心角。

2、在同圆或等圆中，圆心角的度数等于它所对的度数。

三、学习内容

活动一　　操作与思考

如图，点A在⊙O外，点B1、B2　、B３在⊙O上，点C在⊙O内，

度量∠A、∠B1、∠B2　、∠B３　、∠C的大小，你能发现什么？

∠B1、∠B2　、∠B３有什么共同的特征？

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

归纳得出结论，顶点在_______，并且两边________________________的角叫做圆周角。

强调条件：

①_______________________，②___________________________。

识别图形：

判断下列各图中的角是否是圆周角？

并说明理由．

活动二　　观察与思考

如图，AB为⊙O的直径，∠BOC、∠BAC分别是BC所对的圆心角、圆周角，求出图（１）、（２）、（３）中∠BAC的度数．

通过计算发现：

∠BAC＝＿＿∠BOC．试证明这个结论：

（学生完成）

活动三　　思考与探索

１.如图，BC所对的圆心角有多少个？

BC所对的圆周角有多少个？

请在图中画出BC所对的圆心角和圆周角，并与同学们交流。

2.思考与讨论

（1）观察上图，在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心O有几种位置关系？

（2）设BC所对的圆周角为∠BAC，除了圆心O在∠BAC的一边上外，圆心O与∠BAC还有哪几种位置关系？

对于这几种位置关系，结论∠BAC＝

∠BOC还成立吗？

通过上述讨论发现：

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

3.尝试练习

（1）如图，点A、B、C、D在⊙O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=350

（1）∠BDC=_______°,理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

（2）∠BOC=_______°,理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

（2）如图，点A、B、C在⊙O上，

（1）若∠BAC=60°，求∠BOC=______°;

（2）若∠AOB=90°,求∠ACB=______°.

4、例题：

如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。

四、知识梳理

1、顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫做圆周角；

2、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。

3、强调圆周与圆心角之间的关系是通过弧联系起来的，做题时学会找弧及弧所对的圆心角和圆周角。

五、达标检测

1、如图，点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O内，点A与点D在点B、C所

在直线的同侧，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由．

2、

如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠BAC=40°，∠AED=75°，

求∠ABD的度数.

3、如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，∠ACB=40°，则∠AOB=_______，∠OAB=_____。

4.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，在这8个角中，有几对相等的角？

请把它们分别表示出来：

__________________________________________.

5、如图，AB是⊙O的直径，∠BOC=120°，CD⊥AB，则∠ABD＝___________。

6、如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，则与△ABD相似的三角形有______________________。

7、如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=∠BDC=60°.判断△ABC的形状，并说明理由.

8、人们常用“一字之差，差之千里”来形容因一点小小的差别，往往会给问题本身带来很大的区别。

在数学中，这样的例子比比皆是，下面两句话，先请你找出其中微小的区别，然后再比较解决问题的结果：

（1）在⊙O中，一条弧所对的圆心角是120°，该弧所对的圆周角是多少度？

（2）在⊙O中，一条弦所对的圆心角是120°，该弦所对的圆周角是多少度？

5.3圆周角

（2）

一、学习目标

1．知识与技能：

掌握直径（或半圆）所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径的性质，并能运用此性质解决问题.

2．过程与方法：

经历圆周角性质的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.

3．情感态度与价值观：

激发学生探索新知的兴趣，培养刻苦学习的精神，进一步体会数学源于生活并用于生活.

二、知识准备

（一）、知识再现：

1．如图，点A、B、C、D在⊙O上，若∠BAC=40°，则

（1）∠BOC=°,理由是；

（1）∠BDC=°,理由是.

2.如图，在△ABC中，OA=OB=OC,则∠ACB=°.

意图：

复习圆周角的性质及直角三角形的识别方法.

（二）、预习检测：

1.如图，在⊙O中，△ABC是

等边三角形，AD是直径，

则∠ADB=°,∠DAB=°.

2.如图，AB是⊙O的直径，若AB=AC，求证：

BD=CD.

三、学习内容

1.如图,BC是⊙O的直径,它所对的圆周角是锐角、钝角，还是直角？

为什么？

（引导学生探究问题的解法）

2.如图，在⊙O中，圆周角∠BAC=90°，弦BC经过圆心吗？

为什么？

3.归纳自己总结的结论：

（1）

（2）

注意：

（1）这里所对的角、90°的角必须是圆周角；

（2）直径所对的圆周角是直角，在圆的有关问题中经常遇到，同学们要高度重视.

4、例题分析

例题1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°，

∠ADC=50°,求∠CEB的度数.

【解析】利用直径所对的圆周角是直角的性质

例题2.如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径.△ABE与△ACD相似吗？

为什么？

利用直径所对的圆周角是直角的性质解题.

变式：

如图，△ABF与△ACB相似吗？

例题3.如图，A、B、E、C四点都在⊙O上，AD是△ABC的高，∠CAD

=∠EAB,AE是⊙O的直径吗？

为什么？

【解析】利用90°的圆周角所对的弦是直径.

四、知识梳理

1.两条性质：

。

2.直径所对的圆周角是直角是圆中常见辅助线.

五、达标检测

1、如图，AB是⊙O的直径，∠A=10°,则∠ABC=________.

2、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠ACD=40°,则∠BCD=_______,∠BOD=_______.

3、如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点（不与点A、B重合），延长BD到点C，使DC=BD，判断△ABC的形状：

__________。

4、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC=30°,则AC的度数是（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

5、如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB.弧BD与弧BE相等吗？

为什么？

6、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，以OA为直径的⊙D与AC相交于点E，AC=10,求AE的长.

7、如图，点A、B、C、D在圆上，AB=8,BC=6,AC=10,CD=4.求AD的长.

8、利用三角尺可以画出圆的直径，为什么？

你能用这种方法确定一个圆形工件的圆心吗？

9如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，

求AC的长。

10、如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，P是CD上的任意一点（不与点C、D重合），∠APC与∠APD相等吗？

为什么？

11、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB=6,∠DCB=30°，求弦BD的长。

12、如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，D是AC的中点，BD交AC于点E，△CDE与△BDC相似吗？

为什么？

13、如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于点D。

求BC和AD的长

5.4确定圆的条件

一、学习目标

1．知识与技能：

了解“不在同一条直线上三点确定一个圆”的定理及掌握它的作图方法。

了解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念。

2．过程与方法：

培养学生观察、分析、概括的能力；培养学生动手作图的准确操作的能力。

3．情感态度与价值观：

通过引言的教学，激发学生的学习兴趣，培养学生的知识来源于实践又反过来作用于实践的辩证只许物主义观念。

二、知识准备

问题情景引入

1、确定一个圆需要几个要素？

2、经过平面内一点可以作几条直线？

过两点呢？

三点呢？

（

3、在平面内过一点可以作几个圆？

经过两点呢？

三点呢？

4、已知一个破损的轮胎，要求在原轮胎的基础上补一个完整的轮胎。

三、学习内容

问题1:

经过一点A是否可以作圆？

如果能作，可以作几个？

（作出图形）

问题2:

经过两个点A、B是否可以作圆？

如果能作，可以作几个？

（据分析作出图形）

（小组讨论、师参与交流讨论因为这两点A、B在要作的圆上，所以它们到这个圆的圆心的距离要相等，并且都等于这个圆的半径，因此要作过这两点的圆就是要找到这两点的距离相等的点作为圆心，而这样的点应在这两点连线的垂直平分线上，而半径即为这条直线上的任意一点到点A或点B的距离。

）

问题3:

经过三点,是否可以作圆,如果能作,可以作几个?

如:

已知：

，求作：

⊙O，使它经过A、B、C三点

进一步引导学生分析要作一个圆的关键是要干什么？

怎样确定圆心和半径？

作作看。

问题4:

经过三点一定就能够作圆吗?

若能作出，若不能，说明理由.

总结自己发现的结论;

引导学生观察这个圆与

的顶点的关系，得出：

经过三角形各项点的圆叫做