数学规划论文马科维兹模型及其改进.docx
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数学规划论文马科维兹模型及其改进
马科维兹模型及其改进
摘要:
证券投资者通过把资金投资一种或儿种收益较高的证券以获得最大限度的收益,但是收益及风险是相辅相成的,高收益必然包含高风险.因此投资考需要选择若干证券加以组合,以分散其投资风险,尽可能的实现低风险和高收益.1952年马科维兹理论的提出开创了金融理论的先河,改变了人们经验投资的传统,使投资组合更加科学性和广泛性.
马科维兹模型实质是在不损失收益率的条件下最大限度地分散投资风险,能够指导人们科学地选择证券投资组合以实现效益最大化.本文主要介绍马科维兹理论及模型的建立以及最新的研究进展,并在此基础上提出了三种模型目标函数的改进方案:
引进决策系数0、引进厌恶偏好程度兄及目标规划,并对此进行了对比分析.
三种改进方案都能使原本的多目标规划转化为单目标规划,并且都有其适用的范围:
决策系数0适用于比较两种不同投资组合的优劣;引进偏好程度兄能够在未给定预期收益及预期风险下定制个人的最优投资组合;利用目标规划能够使个人选择尽可能的达到自己预期的最优投资组合.
关键字:
马科维兹模型;投资组合;数学规划
Markowitzmodelanditsimprovement
Abstract:
SecuritiesinvestorsgetInvestmentincomebyinvestingoneormorehigher-yieldingsecurities.Butbenefitsandrisksarecomplementarytoeachother,high-yieldinevitablycontainshighrisk・Soinvestorsneedtochooseanumberofsecuritiesportfoliotodiversifyriskandgetlowriskandhighyield・Markowitz,whocreatedMarkowitz'sPortfolioTheory,changedtheconventionofinvestmentandmakeportfoliotheorymorescientificandcomprehensive・
Markowitzmodelessentialisundertheconditionofnolossofyieldmaximumdisperseinvestmentrisk,whichcandirectpeopletochoosescienceportfoliotoachievethebenefitmaximization.ThispaperintroducesMarkowitz1sPortfolioTheoryandputsforwardthreemodelsonthebasisoftheobjectivefunction:
decisioncoefficientp,disgustingappetite2andobjectiveprogramming・
Threekindsofimprovemodelscanmakethemulti-objectiveprogrammingtransformedintosingleobjectiveprogrammingandtheyhavedifferentapplicablescopes・First,decisioncoefficientcancomparethemeritsofthetwodifferentportfolios・Second,disgustingappetiteisabletocustomizetheindividualoptimalportfoliowithoutexpectedprofitandexpectedrisk・Last,objectiveprogrammingcanmakepeoplegettheoptimalportfolio.
Keywords:
Markowitzmodel;Investmentportfolio;Mathematicalprogramming
摘要1
引言5
1.证券投资6
2.马科维兹模型8
2.1马科维兹投资组合理论基础8
2.1.1模型的假设8
2.1.2预期收益9
2.1.3预期风险10
2.2证券投资的有效组合12
2.2.1无差异曲线12
2.2.2有效市场边界14
2.2.3最优投资组合的选择15
2.3马科维兹投资决策模型的建立16
2.4用Lagrange方法解马柯维茨模型18
3.模型的改进19
3.1改进一:
引入决策变量020
3.2改进二:
引入偏好程度兄21
3.3改进三:
目标规划22
3.4总结24
4.对马科维兹模型的评价25
4.1优越性25
4.2局限性26
参考文献27
弓I言
随着经济发展,证券投资皿越来越融入人们的日常生活,而在1952年前人们都是根据经验来进行金融资产投资,得出了例如“不要把所以鸡蛋放在一个篮子里”等投资理念.直到美国经济学家马科维兹在美国《金融杂志》上发表了题为“投资组合选择”⑼一文,开创了现代资产组合理论,使得投资上升到理论的高度,更加科学化、实用化.
马科维兹模型提出后,很多的专家学者对此进行了研究,如戴玉林在《马科维兹模型的分析及评价》一文中对该模型进行了详细的分析指出了该模型存在的很多缺陷及不足何;朱书尚等探讨了投资组合及金融优化,从理论研究和时间上进行了分析及反思⑸而对于投资组合模型的研究,大致可分为三个方向:
1.投资组合模型的改进;2.投资组合模型的实证分析;3.模型求解及方法的研究.
由于马科维兹模型是建立在对实际情况理想化、简单化地基础上,必然存在很多不足可以改进,如马科维兹本人也在建立模型后提出用半方差代替方差以解决离中趋势非对称的问题而针对原模型不宜求解等问题,夏普进行了改进提出了单指数模型他,而郁维对这两种模型对中国资本市场进行了可行性分析剛;有学者借助物理、经济等学科知识对模型进行改进,如郑丕谴等借助爛理论对其进行了改进,并通过构造性实例进行了验证还有学者从不同的角度切入对模型进行改进,如金秀等从投资者的心理特征出发,建立了加权极大-极小随机模糊投资组合模型,并用实证方法进行了验证屈.
对比于模型的改进,对于投资组合模型的实证分析主要是用于验证模型的改进以及模型求解方法的优化,如李伯徳在最优投资组合的数学模型中结合了案例分析⑹,谢军等实证检验了投资者情绪及风险资产投资负相关这一结论阴.
从马科维兹模型提出后对于标准模型的求解就是很多学者研究的对象,而马科维兹模型的简单求解以及理论基础在数学规划以及相关优化书籍中都有提^⑻求解方法有临界线算法、利用因子模型或线性变化构造一个稀疏的协方差矩阵进行计算、修改风险从而使用线性规划模型来求解等,而近年张忠桢等提出的旋转算法不仅较为简便,而且可以快速计算出马科维兹意义下的有效组合52:
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本文主要是对马科维兹理论进行了详细的介绍以及相关的研究进展,并在马科维兹标准模型之上对三种改进模型进行了对比分析,并对标准模型进行了详细的优缺点整理.
1.证券投资
证券投资,就是将资金用于购买股票、债券等金融资产,它及实业投资不同,它不需要对资产的具体生产经营活动进行组织和管理,只需投入资金来分享利润或从买卖证券的差价中获取利润.一般来说,证券投资是指投资者通过购买有价证券,在一段时间内获取利润的过程.当然,带来收益的同时,也必然伴随着一定的风险.所谓风险,是指在决策过程中,由于各种不确定因素的作用,决策方案在一定时间内出现不利结果的可能性以及可能损失的程度.
人们进行证券投资的最直接的动机是获得收益,因而投资决策的目标是使收益最大化,但由于收益及投资之间在时间上的滞后,这种滞后导致收益受许多未来不确定因素的影响,从而使得收益成为一个未知量.投资者在进行决策时只能根据经验和所掌握的资料对未来形式进行判断和预测,形成对收益的预期.受不确定因素的影响,证券投资的未來收益可能偏离其预期,这种偏离将导致投资者可能面临得不到预期的收益共至亏损的危险,这种危险就是证券投资风险.
投资者在进行投资决策时,不仅要考虑投资的收益,还要考虑投资的风险,而收益及风险是相辅相成的,通常风险小的金融资产收益小,收益大的资产其风险也大.投资决策的目标应该是追求收益的最大化和风险的最小化.如何在收益和风险这一对相互关联、相互作用的矛盾中寻求某种平衡,有效地实现预期的投资目标,关键还在于有效地控制和规避风险.那么选择哪儿种证券进行投资,投资的比例多大就显得尤为重要,只有最优的投资组合才能在风险最小的情况下获得利益的最大化,这是个困扰无数投资者的难题.
在1952年之前,人们通过经验判断来进行金融资产投资,总结出很多投资格言如“不要把所有鸡蛋放在一个篮子里”、“何时买卖比何种买卖更为重要”等.从格言中进而发展出所谓的金融投资理论,如公式投资计划、等级投资计划等,而这些理论实际是指导人们进行投资活动的具体投资操作,更进一步发现这些操作并不能指导人们获得平均收益.在1952年,美国经济学家马科维兹在美国《金融杂志》上发表了题为“投资组合选择”一文,开创了现代资产组合理论,使得投资上升到理论的高度,更加科学化和实用化.本文主要介绍马科维兹投资决策模型理论及其改进.
2.马科维兹模型
2.1马科维兹投资组合理论基础
2.1.1模型的假设
马柯维茨的投资组合理论认为,投资者是风险回避的,他们的投资愿望是追求高的预期收益,他们不愿承担没有相应的预期收益加以补偿的额外风险.同时马柯维茨认为,投资组合的风险不仅及构成组合的各种证券的个别风险有关,而且受各证券之间的相互关系的影响.基于上诉考虑,提出了下面六点假设:
1呈现在投资者面前的每一项投资是在一段时期上的预期收益的概率分布,即投资者用预期收益的概率分布来描述一项投资;
2投资者为理性的个体,服从不满足和风险厌恶假设,投资者的目标是单期效用最大化,而且他们的效用函数呈现边际效用递减的特点;
3投资者以投资的预期收益的波动性来估计投资的风险;
©投资考仅依靠预期的投资风险和收益来做出投资决定,所以他们的效用函数只是预期风险和收益的函数;
◎在给定预期风险后,投资者偏好更高的预期收益,另一方面,在给
定预期收益后,投资者偏好更低的风险;
◎市场是完全的,即市场不存在交易费用和税收,不存在进入或者退出市场的限制,所有的市场参及者都是价格的接受者,市场信息是有效的,资产是完全可以分割的.
从上诉假设中可知:
投资者进行投资组合时仅考虑投资的预期收益和预期风险.
2.1.2预期收益
预期收益率是指未来可能收益率的期望值,也称期望收益率.对于单一证券而言未来的状态是不定的,而在每种状态下的收益也不同,用期望收益率来表示预期收益.同理对于多种证券的收益也用相同的表示方法.
1单一证券的预期收益
单一证券i的预期收益,这种证券在未来有s种状态,那么证券i的预期收益为:
,9
其中E(/;)为期望收益率;几为状态$出现的概率;
2为针对状况S出现时证券i的收益率;N为各种可能状况的总数.
2证券组合的预期收益
在得到单一证券的预期收益后可以得到证券组合的预期收益,°表示包含在组合中各种资产的预期收益的加权平均数,其表达
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