期权及期权定价模型.docx

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期权及期权定价模型

期权及期权定价模型

主要内容

..期权市场简介

..股票期权的价格的特性

..期权价格的上下限

..看涨期权与看跌期权的平价关系

..期权估值的二叉树模型方法

..股票期权定价的Black-Scholes公式

第一节期权市场简介

..期权是指未来的选择权（option）,它赋予期权持有

者（购买者或多头）一种权利而不必承担义务，

可以按预先敲定的价格购买或者出售一定品质的

资产。

..期权由所要购买或出售的资产衍生出来的，所以

期权是一类衍生工具。

..期权与期货的两个主要区别：

1.期权赋予持有者做某件事情的权利，但是持有者不一定

必须行使权利。

而期货合约中多头一方有义务在将来某

一确定时刻以某一确定价格买进商品，而看涨期权的持

有者则是有权利选择是否在将来某一确定时刻以某一确

定价格买进某种商品。

2.进入期货市场无需成本，然而投资者只有支付了期权费

才能得到了一张期权合约。

..最大的股票期权交易所是芝加哥期权交易

所（CBOE）。

..期权合约的形成

期权的四个特性

..标的物underlyingasset

..看涨或看跌期权calloption,putoption

..执行价格Exerciseprice,Strikeprice

..到期日ExpirationDate

1.AmericanOption

2.EuropeanOption

期权的头寸

..看涨期权的买方

..看跌期权的买方

..longposition

..看涨期权的卖方

..看跌期权的卖方

..shortposition

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期权合约的多头

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期权合约的空头

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..例子

..看涨期权

..看跌期权

期权的风险特征

..在忽略交易费用的条件下，期权的多方和空方的损

益之和恒等于零，用对策论的术语来说，期权交易

是零和博弈

..期权式单边风险工具，它只保护价格向一个方向变

化

期权的风险特征（续）

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STXXST

买权多头的风险状况图买权空头的风险状况图

期权的风险特征（续）

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STXXST

卖权多头的风险状况图卖权空头的风险状况图

..欧式看涨期权多头：

max（ST-X,0）

..欧式看涨期权空头：

..-max（ST-X,0）=min（X-ST,0）

..欧式看跌期权多头：

max（X-ST,0）

..欧式看跌期权空头：

..-max（X-ST,0）=min（ST-X,0）

..实值期权inthemoneyoption：

立即执行期权

时，持有期权者具有正的现金流

..两平期权atthemoneyoption：

立即执行期权

时，持有期权者具有0的现金流

..虚值期权outofthemoneyoption：

立即执行

期权时，持有期权者具有负的现金流

..内涵价值intrinsicvalue:

期权立即执行时所具有

的价值和0这两者的最大值。

..看涨期权的内在价值：

max（ST-X,0）

..看跌期权的内在价值：

max（X-ST,0）

..对冲者（Hedgers）

..投机者（Speculators）

..套利者（Arbitrageurs）

..±..ò:

..ò×..ààDí

交易者类型

期权市场机制

..期权市场的历史

..交易:

做市商,场内会员经纪人,指令登记员

..早在18世纪，欧洲和美国开始了首批看涨期权和看跌期权

的交易。

..20世纪的前几年，一些公司成立了经纪人与交易者协会

（PutandCallBrokersandDealersAssociation）.——

柜台交易（over-the-countermarket）.

..缺陷：

1。

没有二级市场2。

没有担保期权卖者不违约的

机制

..±..ò:

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期权市场的历史

..1973.4芝加哥交易所（CBOT）成立了一个新的交

易所——芝加哥期权交易所，特别用来交易股票

期权。

..1975美国股票交易所（AMEX）、费城股票交易所

（PHLX）

..1976太平洋股票交易所（PSE）

..80年代

..外汇期权、股票指数期权、期货期权——美国期权合约

..外汇期权交易——费城期权交易所

..S&P100和500股票指数期权——芝加哥期权交易所

..NYSE指数期权——纽约股票交易所

..市场股票指数（MajorMarketStockIndex）——美国股票

交易所

..80-90年代

..期权柜台交易市场。

交易一方是：

投资银行，另

一方是投资银行的客户，比如基金经理、大公司

的财务总监等。

期权交易

..做市商marketmaker

..场内会员经纪人floorbrokers

..指令登记员theorderbookofficial

第二节股票期权的价格的特性

..主要讨论影响股票期权价格的一些因素。

我们探讨欧式期

权价格、美式期权价格和标的资产价格之间的关系。

这些

关系中最重要的是看涨期权-看跌期权的平价关系。

..讨论美式看涨期权是否应该提前执行。

我们可以证明提前

执行不付红利股票美式看涨期权决不是最佳选择，即不分

红股票的美式买权不可能提前执行。

一影响期权价值的因素：

..股票的现价S

..执行价格，X;

..到期期限，T

..股票价格的波动率σ；

..无风险利率r

..期权有效期内预计发放的红利

..股票价格与执行价格

看涨期权max（ST-X,0）

看跌期权max（X-ST,0）

?

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..到期期限

当期权的到期期限增加时，美式看跌期权和看涨

期权的价值都会增加。

因为有效期长的期权不仅

包含了有效期短的那个期权的所有执行机会，而

且他的获利机会会更多。

因此有效期长的期权价

值总是大于或等于有效期短的期权价值。

?

..随着有效期的增加，欧式看涨期权和欧式看跌期权的价值

并不一定增加。

..考虑同一个股票的两个欧式看涨期权，一个到期期限为1

个月，另一个到期期限为2个月。

假定预计在6周以后将支

付大量的红利，红利会使股票的价格下降，这就有可能使

有效期短的期权的价值超过有效期长的期权的价值

..波动率volatility

股票价格的波动率是用来衡量未来股票价格变动的不确定

性。

随着波动率的增加，股票上升很高或下降很低的机会

也随着增加。

看涨期权的持有者从股价上升中获利，但是当股价下降时，

由于他/她的最大损失就是期权费，他仅有有限的损失。

与此类似，看跌期权的持有者从股价下跌中获利，但当股

价上升时，仅有有限的损失。

因此，随着波动率的增加，

看涨期权和看跌期权的价值都会增加。

?

..±..ò:

..无风险利率无风险利率反映了投资者的资

金成本（即货币的时间价值）。

与直接在股

票市场购买股票相比，看涨期权的持有者直

到执行合同时才付出现金。

显然，r越大，

这种延迟支付的价值就越高。

因此，在其他

条件相同时，无风险利率越大，买权的价值

就越高。

..对于看跌期权来说,随着利率上涨，股票价格的预

期增长率上涨，但是执行价格不变,降低看跌期权

的价值。

?

..红利

在除息日后，红利将减少股票的价格。

对于看涨

期权的价值来说，这是一个坏消息，而对于看跌

期权的价值来说，则是一个好消息。

因此看涨期

权的价值与预期红利的大小成反向运动，而看跌

期权的价值与预期红利大小成正向运动。

二、期权价格的上下限

..假设

1.没有交易费

2.所有交易利润（减去交易损失后）具有相同的税率

3.可以按无风险利率借入和贷出资金。

4.一旦有套利机会出现，市场参与者随时准备利用这些套

利机会。

..符号

S:

股票现价

X:

期权执行价

T:

期权的到期时间

ST:

在T时刻股票的价格

r:

在T时刻到期的投资的无风险利率（连续复利）

C:

购买一股股票的美式看涨期权的价格

P:

出售一股股票的美式看跌期权的价格

c:

购买一股股票的欧式看涨期权的价格

p:

出售一股股票的欧式看跌期权的价格

..期权价格的上限

1.股票价格是期权价格的上限：

S≥c,S≥C.

如果不存在这一关系，则套利者购买股票并卖出

看涨期权，可轻易的获得无风险利润。

..±..ò:

2.美式看跌期权或欧式看跌期权的持有者有权以X的价格出

售一股股票:

X≥p,X≥P.

3欧式看跌期权，在T时刻，期权的价值不会超过X.所以有：

Xe-rT≥p.

如果不存在这一关系，则套利者出售期权并将所得收入以

无风险利率进行投资，可轻易的获得无风险收益。

不付红利的看涨期权的下限

..不付红利的欧式看涨期权的下限是：

S-Xｅ－ｒｔ

例子　假定Ｓ＝２０美元，Ｘ＝１８美元，ｒ＝１０％，Ｔ＝１年。

则期权的下限为：

S-Xe－ｒｔ＝２０－１８ｅ－０．１＝３．７１

..±..ò:

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ò￡.μ....e

×éo.￡.￡o..ò.1é1é.±

组合Ａ：

　一个欧式看涨期权加上金额为

Ｘｅ－ｒＴ的现金

..组合Ｂ：

　一股股票

ｃ≥ｍａｘ（Ｓ－Ｘｅ－ｒＴ,0）

..对于一个不付红利股票的欧式看跌期权来说，其

价格下限为：

..Ｘｅ－ｒＴ－Ｓ

..例子：

　假定Ｓ＝３７美元，Ｘ＝４０美元，ｒ＝５％年

率，Ｔ＝０．５年。

Ｘｅ－ｒＴ－Ｓ

＝４０ｅ－０．０５＊０．５－３７

=２．０１美元

..±..ò:

2...oìà.μ..·ê..′μ..úè¨μ....T

不付红利的欧式看跌期权的下限

..组合Ｃ：

一个欧式看跌期权加上一股股票

..组合Ｄ：

　金额为Ｘｅ－ｒＴ的现金

..±..ò:

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￡í￡á￡.￡¨￡.￡.￡￡

ò￡.￡￡

ó￡.￡°￡.

ｐ≥ｍａｘ（Ｘｅ－ｒＴ－Ｓ，０）

三、看涨期权与看跌期权的平价关系

组合Ａ：

　一个欧式看涨期权加上金额为Ｘｅ－

ｒＴ的现金

..组合Ｃ：

　一个欧式看跌期权加上一股股票

..在期权到期时，两个组合的价值均为：

ｍａｘ（ＳＴ，Ｘ）

..欧式期权在到期日前不能提前执行。

因此当前该组合也必

须具有相等的价值

　　ｃ＋Ｘｅ－ｒＴ＝ｐ＋Ｓ

..这就是看涨和看跌期权之间的平价关系（put-call

parity）．

..具有某一确定执行价格和到期日的欧式看涨期权的价值可

根据相同执行价格和到期日的欧式看跌期权的价值推导出

来。

..例子　假定股票价格为３１美元，执行价格为３０美元，无

风险年利率为１０％，３个月期的欧式看涨期权的价格为３

美元，３个月期的欧式看跌期权的价格为２．２５美元，此

时，

..ｃ＋Ｘｅ－ｒＴ＝３＋３０ｅ－０．１＊０．２５＝３２．２６美元

..ｐ＋Ｓ＝２．２５＋３１＝３３．２５美元

..相对于组合Ａ来说，组合Ｃ被高估了。

正确的套利策略是买

入组合Ａ中的证券并卖空组合Ｃ中的证券。

这包括买入看涨

期权，卖空看跌期权和股票。

..在另一种情况下，如果假定看涨期权的价格为３美元而看

跌期权的价格为１美元。

此时，

..ｃ＋Ｘｅ－ｒＴ＝３＋３０ｅ－０．１＊０．２５＝３２．２５美

元

..ｐ＋Ｓ＝１＋３１＝３２．００美元

..相对于组合Ｃ来说，组合Ａ被高估了。

套利者可以卖空组

合Ａ中的证券并买入组合Ｃ中的证券来锁定利润。

这个策

略包括卖出看涨期权，买入看跌期权和股票。

提前执行不付红利美式看涨期权是不明智的

..组合E:

一个美式看涨期权加上金额为Ｘｅ－ｒＴ的现金

..组合F:

一股股票

..结论：

C=c>S-X

..看涨期权不应提前执行的原因之一是由于期权提

供保险。

当持有看涨期权而不是股票本身时，看

涨期权持有者在股票价格下跌到执行价格之下时

不受损失。

一旦期权被执行，股票价格取代了执

行价格，这种保险也就消失了。

看涨期权的价格曲线

..期权价格等于内在价值加上时间价值。

..时间价值是期权费中超过内在价值的那部分。

..内在价值取决于S,X,而时间价值取决于r,波动率和

到期时间。

看涨期权的价格曲线

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..看涨期权价格

..c=C=S

..期权价格上限

..

..

..时间价值

..

..X股价

内在价值=.XS

不付红利的美式看跌期权可能提前执行

..组合G:

一个美式看跌期权加上一股股票

..组合H:

金额为Ｘｅ－ｒＴ的现金

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..美式看跌期权价格上限P≤X

..X

..时间价值

..X股票价格

X-S内在价值

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美式看涨和看跌期权的关系

..组合I:

一个欧式看涨期权加上金额为X的现

金

..组合J:

一个美式看跌期权加上一股股票

?

rTXeSPCXS..<.<.

..考虑不付红利股票的美式看涨期权,执行价格为20美元,到

期期限为5个月，期权价格为1.5美元.假定股票现价为19

美元,无风险利率为10%.则

..1具有同一股票相同执行价格到期期限的欧式看跌期权的

价格为多少?

..2具有同一股票相同执行价格到期期限的美式看跌期权的

价格在什么范围内变化?

红利的影响

..1欧式看涨期权和看跌期权的下限:

..D表示在期权有效期内红利的现值

?

SXeDpXeDScrTrT.+>

..>

.

.

..2在红利的影响下,美式看涨期权有可能

提前执行.

..3看涨与看跌期权的平价关系

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rTXeSPCXDS..<.<..

实证研究

..难度

1.确保精确的同时观测股票价格和期权价格是非常重要的。

例如，通过观察每天最后交易的价格来验证是否存在套

利机会是不适当的。

2.详细考虑投资者是否已利用可观测到的套利机会，是非

常重要的。

如果套利机会仅存在于片刻时间，在实践中，

可能没有办法来发现它。

3.当决定是否可能有套利机会时，必须考虑交易

费用。

4.看涨和看跌期权之间的平价关系仅适用于欧式

期权。

而场内交易的股票期权是美式期权。

5.必须估计期权有效期内支付的红利

..Bhattacharya的研究检验了实践中看涨期权的理论上的

下限值是否适用。

他使用的数据包括1976年8月到1977年

6月196天期间58种股票得期权交易价格。

首先验证是否

满足期权价格大于内涵价值的条件，即C是否大于max（S-

X,0）。

观察了86000个期权价格，发现大约有1.3%偏离了

该条件。

这些偏离中的29%经过下一场交易，偏离消失。

这表明在实际中投资者不可能利用这一偏离。

当考虑交易

费时，偏离所造成的获利机会将消失。

..Bhattacharya接着验证了期权的售价是否低于其

下限，即是否低于S-D-Xe-Rt，通过观察，它发现

确实有7.6%的售价低于下限，然而当考虑交易费

时，就不存在获利机会了。

..Klemkosky和Resnick根据1977年7月至1978年6月之间交

易得期权的价格的数据来验证看跌期权与看涨期权之间的

平价关系。

他们用以上数据做了一系列的验证，以确定期

权提前执行的可能性以及提前执行有利可图而被放弃了的

数据。

通过这项研究，他们得出的结论是：

在他们的观测

期内，有些交易者是可以利用套利机会获利的，尤其是市

场的做市商。

小结

..股票多头+看涨期权空头.看跌期权空头

..股票空头+看涨期权多头.看跌期权多头

..股票多头+看跌期权多头.看涨期权多头

..股票空头+看跌期权空头.看涨期权空头

?

rTXecSp.+=+

第三节期权定价的二叉树模型

..为股票期权定价的一个有用的和很常见的方法是

构造所谓的二叉树图（binomialtree）。

这个树

图表示了在期权有效期内股票价格可能遵循的路

径。

..J.C.Cox,S.A.Ross,M.Rubinstein1979最基本

期权定价方法之一

单步二叉树模型

..例子：

假设一种股票当前价格为20美元，3个月后

的价格可能为22美元或18美元。

假设股票不付红利，

我们打算对3个月后以21美元的执行价格买入股票

的欧式看涨期权进行定价。

若到时股票价格为22美

元，期权的价值将是1美元；若股票价格为18美元，

期权的价值将是0。

假设无风险利率为12%。

..考虑一个无红利支付的股票，股票价格为S，基于该股票

的某个期权的当前价格为f。

..假设期权的有效期为T，并且在期权有效期内，股票价格

或者从S向上变动到一个新的水平Su,或者S向下变动到

新的水平Sd（u>1,d<1）,当股票价格向上变动时，股票价

格增长的比率为u-1;当股票价格向下变动时，股票价格减

少的比率为1-d。

如果股票价格变动到Su,我们假设期权的

收益为fu,如果股票的价格变动到Sd,我们假设期权的收益

为fd.

..±..ò:

ò.°..á..

一般结论

?

f=e-rT[pfu+（1-p）fd]

（2）

..其中

..p解释为股票价格上升的概率。

1-p就是股票价格

降的概率。

..期权的价值是其未来预期值按无风险利率贴现的值。

dudeprT.

.

=

风险中性定价

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..当上升变动的概率为p时，我们考察一下股票的预期收益。

在T时刻预期的股票价格由下式表示：

..该式说明股票价格以无风险利率增长，因此假定股价上升

的概率等于p等价于股票收益等于无风险利率

SdppSuSET）1（）（.+=

SddupSSET+.=）（）（

rTTSeSE=）（

..理性的投资者一般都被认为是风险厌恶的，要他

们接受风险一定要给予风险补偿，因此，在有风

险资产的预期收益率里，都包含风险的补偿。

对

风险厌恶程度越大,要求的风险补偿也就越高。

如

果一个问题的分析与市场参与者的风险偏好无关,

也就无所谓风险补偿问题。

于是，对衍生产品定

价，给出风险中性假设:

..风险中性假设:

如果对一个问题的分析过程与投资

者的风险偏好无关,则可以将问题放到一个假设的风

险中性的世界里进行分析。

所得结果在真实世界里

应当成立。

..在一个假想的风险中性世界里，所有的市场参与者

都是风险中性的,所有资产不论其风险大小或者是

否有风险,预期收益率都相同，等于无风险收益率.

而且所有资产现在的均衡价格都等于其未来收益的

预期值按无风险利率折现后的现值.

..风险中性定价原理：

任何基于其他交易证券的衍

生产品都可以在投资者是风险中性的假设下定价：

1.所有证券的预期收益率为无风险利率

2.无风险利率是任何预期的未来现金流的最合适的

折现率

..风险中性定价步骤：

1.假设标的资产的预期收益率为无风险利率,计算

风险中性概率.

2.计算期权或衍生产品在到期日的预期收益

3.以无风险利率将预期收益折现

?

..假定风险中性世界里股票上升的概率为P,由于未

来期望收益按无风险利率贴现的现值必须等于该

股票目前的价格，因此风险中性概率可通过下式

求出:

dudePSdPSuPeSrTrT.

.

=

.+=.））1（（

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举例

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..已知股票现价为20美元，3个月末股票价格可能上涨到22

美元或下降到18美元。

本例考虑的期权是一份执行价格为

21美元，有效期为3个月的欧式看涨期权。

无风险利率是

12%。

..计算步骤：

....计算出风险中性概率计算出风险中性概率

....计算出风险中性条件下期权未来价值计算出风险中性条件下期权未来价值

....把期权未来的价值按照无风险利率折现把期权未来的价值按照无风险利率折现

dudeprT.

.

=

两步二叉树

..例子：

初始股票价格为20美元，并在两步二叉树

的每个单步二叉树图中，股票价格可以上升10%

或者下降10%。

我们假设每个单步二叉树的步长

是3个月，无风险利率是12%。

我们考虑一个执行

价格是21美元的期权。

一般结论

..初始股票价格为S美元，并在两步二叉树的每个单

步二叉树图中，股票价格可以上升到初始值的u倍

或者下降到初始值的d倍，我们假设每个单步二叉

树的步长是T，无风险利率是r。

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]）1（[ddudrTdfppfef.+=.

]）1（[durTfppfef.+=.

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]）1（[uduurTufppfef.+=.

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]）1（）1（2[222dduduurTfpfppfpef.+.+=.

..变量p2,2p（1-p）,（1-p）2是股价达到最后上、中、下

三个节点的概率。

..推广到任意有限步（step），风险中性定价的原理一

直成立。

期权的价格总是等于它在无风险中性世

界的预期收益按无风险利率贴现的值。

用二叉树为美式期权定价

..为美式期权定价，方法是从树图的最后末端向开

始的起点倒推计算，在每个结点要检验提前执行

是否最佳.

..一个看跌期权的例子

考虑一个两年期权看跌期权，执行价格为52美元，当前价

格为50美元。

我们假设价格为两步二叉树，每个步长为一

年。

在每个单步二叉树中股票价格或者按比率上升20%，

或者按比率下降20%。

我们也假设无风险利率为5%。

则

看跌期权的价值是多少？

第四节

布莱克-苏尔斯期权定价模型

..证券价格的变化过程

..布莱克-苏尔斯期权定价模型

..布莱克-苏尔斯期权定价模型缺陷

..期权定价是一件非常具有挑战性的任务。

在20世纪的前面70多年里，众多

经济学家做出无数努力，试图解决期权定价的问题，但都未能获得令人满

意的结果。

在探索期权定价的漫漫征途中，具有里程碑意义的工作出现在

1973年——金融学家F.Black与M.Scholes发表了“期权定价与公司负债”

的著名论文

..该论文推导出了确定欧式期