概率论与数理统计期末复习资料.docx
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概率论与数理统计期末复习资料
《概率统计》、《概率论与数理统计》、《随机数学》课程期末复习资料注:
以下是考试的参考内容,不作为实际考试范围,考试内容以教学大纲和实施计划为准;注明“了解”的内容一般不考。
1、能很好地掌握写样本空间与事件方法,会事件关系的运算,了解概率的古典定义
2、能较熟练地求解古典概率;了解概率的公理化定义
3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算;理解条件概率的概念;掌握加法公式与乘法公式
4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题;掌握事件独立性的概念及性质。
5、理解随机变量的概念,能熟练写出(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。
6、理解分布函数的概念及性质,理解连续型随机变量的概率密度及性质。
7、掌握指数分布(参数)、均匀分布、正态分布,特别是正态分布概率计算
8、会求一维随机变量函数分布的一般方法,求一维随机变量的分布律或概率密度。
9、会求分布中的待定参数。
10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数,会判别随机变量的独立性。
11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。
12、理解二维随机变量的概念,理解二维随机变量的联合分布函数及其性质,理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质,理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质,并会用它们计算有关事件的概率。
13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。
14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。
会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。
15、较熟练地求协方差与相关系数.
16、了解矩与协方差矩阵概念。
会用独立正态随机变量线性组合性质解题。
17、了解大数定理结论,会用中心极限定理解题。
18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念,掌握样本均值与样本方差及
样本矩概念,掌握2分布(及性质)、t分布、F分布及其分位点概念。
19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理;会用矩估计方法来估计未知参数。
20、掌握极大似然估计法,无偏性与有效性的判断方法。
21、会求单正态总体均值与方差的置信区间。
会求双正态总体均值与方差的置信区间。
23、明确假设检验的基本步骤,会U检验法、t检验、2检验法、F检验法解题。
24、掌握正态总体均值与方差的检验法。
概率论部分必须要掌握的内容以及题型
1.古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。
2.概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用;掌握事件独立性的概念及性质。
3.准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。
4.一维、二维离散型随机变量的分布律,连续型随机变量的密度函数性质的运用。
分布中待定参数的确定,分布律、密度函数与分布函数的关系,联合分布与边缘分布、条件分布的关系,求数学期望、方差、协方差、相关系数,求函数的分布律、密度函数及期望和方差。
5.会用中心极限定理解题。
6.熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差,指数分布(参数)、均匀
分布、正态分布的密度函数、期望和方差。
数理统计部分必须要掌握的内容以及题型
1统计量的判断。
2•计算样本均值与样本方差及样本矩。
3•熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。
4.会求未知参数的矩估计、极大似然估计。
5•掌握无偏性与有效性的判断方法。
6.会求正态总体均值与方差的置信区间。
7.理解假设检验的基本思想和原理,明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤。
概率论部分必须要掌握的内容以及题型
1.古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。
古典概型例子
摸球模型
例1:
袋中有a个白球,b个黑球,从中接连任意取出m(mKa+b)个球,且每次取出的球不再放回去,求第m次取出的球是白球的概率;
例2:
袋中有a个白球,b个黑球,c个红球,从中任意取出m(mKa+b)个球,求取出的m
个球中有k1(ka)个白球、k2(kb)个黑球、k3(kc)个红球(k1+k2+k3=m的概率.
占位模型
例:
n个质点在N个格子中的分布问题.设有n个不同质点,每个质点都以概率1/N落入N个格子(N>n)的任一个之中,求下列事件的概率:
(1)A={指定n个格子中各有一个质点};
(2)B={任意n个格子中各有一个质点};
(3)C={指定的一个格子中恰有mmKn)个质点}.
抽数模型
例:
在0〜9十个整数中任取四个,能排成一个四位偶数的概率是多少?
2.概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用;掌握事件独立性的概念及性质。
如对于事件A,B,A或B,已知P(A),P(B),P(AB,P(AB),P(A|B),P(B|A)以及换为A或B之中的几个,求另外几个。
例1:
事件A与B相互独立,且P(A)=0.5,P(B)=0.6,求:
P(AB,P(A-B),P(AB)
例2:
若P(A)=0.4,P(B)=0.7,P(AB=0.3,求:
P(A-B),P(AB),P(A|B),P(A|B),P(A|B)
3.准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。
若已知导致事件A发生(或者是能与事件A同时发生)的几个互斥的事件Bi,i=1,2,…,n,…的概率P(Bi),以及Bi发生的条件下事件A发生的条件概率P(A|BJ,求事件A发生的概率P(A)以及A发生的条件下事件Bi发生的条件概率P(Bi|A)。
例:
玻璃杯成箱出售,每箱20只。
假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1,某顾客欲购买一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客随机地察看4只,若
无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回。
试求:
(1)顾客买下该箱的概率;
(2)在顾客买
下的该箱中,没有残次品的概率。
4.一维、二维离散型随机变量的分布律,连续型随机变量的密度函数性质的运用。
分布中待定参数的确定,分布律、密度函数与分布函数的关系,联合分布与边缘分布、条件分布的关系,求数学期望、方差、协方差、相关系数,求函数的分布律、密度函数及期望和方差。
(1)已知一维离散型随机变量X的分布律P(X=xj=pi,i=1,2,…,n,…
确定参数
求概率P(a 求分布函数F(x) 求期望E(X),方差D(X) 求函数Y=g(X)的分布律及期望E[g(X)] 例: 随机变量X的分布律为. X 1 2 3 4 p k 2k 3k 4k 确定参数k 求概率P(0 求分布函数F(x) 求期望E(X),方差D(X) 求函数Y(X3)2的分布律及期望E(X3)2 ⑵已知一维连续型随机变量X的密度函数f(x) 确定参数求概率P(a 求分布函数F(x) 求期望E(X),方差C(X) 求函数Y=g(X)的密度函数及期望耳g(X)] 确定参数k 求概率P{1X3} 求分布函数F(x) 求期望E(X),方差QX) 求函数Y.X的密度及期望E(X) ⑶已知二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律P(X=Xi,Y=yj)=pj,i=1,2,…,m…;j=1,2,…,n,… 确定参数 求概率P{(X,Y)G} 求边缘分布律P(X=Xi)=p.,i=1,2,…,m,…;P(Y=yj)=p.j,j=1,2,…,n,…求条件分布律P(X=Xi|Y=yj),i=1,2,…,m…和P(Y=yj|X=Xi),j=1,2,…,n,…求期望E(X),E(Y),方差QX),D[Y) 求协方差cov(X,Y),相关系数XY,判断是否不相关 求函数Z=g(X,Y)的分布律及期望E[g(X,Y)] 例: 已知随机变量(X,Y)的联合分布律为 0 1 2 3 0 0.05 0.1 0.15 0.2 1 0.03 0.05 0.05 0.07 2 0.02 0.05 0.1 0.13 求概率P(X 求边缘分布律P(X=k)k=0,1,2和P(Y=k)k=0,1,2,3 求条件分布律P(X=k|Y=2)k=0,1,2和P(Y=k|X=1)k=0,1,2,3 求期望E(X),E(Y),方差D(X),D(Y) 求协方差cov(X,Y),相关系数XY,判断是否不相关 求Z=X+Y,W=max{X,Y},V=min{X,Y}的分布律 ⑷已知二维连续型随机变量X的联合密度函数f(x,y)确定参数 求概率P{(X,Y)G} 求边缘密度fx(x),fY(y),判断X,Y是否相互独立求条件密度fx|Y(x|y),fY|X(yIx) 求期望E(X),E(Y),方差QX),D[Y) 求协方差cov(X,Y),相关系数XY,判断是否不相关 求函数Z=g(XY)的密度函数及期望E[g(X,Y)] 例: 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y) 确定常数c的值; 求概率P(XvY) 求边缘密度fX(x),fY(y),判断x,y是否相互独立求条件密度fxY(x|y),fY|X(y|x) 求期望E(X),E(Y),方差QX),D[Y) 求协方差cov(X,Y),相关系数XY,判断是否不相关 5.会用中心极限定理解题。 例1: 每次射击中,命中目标的炮弹数的均值为2,方差为1.52,求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率. 例2: 设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒,试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。 6.熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差,指数分布(参数)、均匀 分布、正态分布的密度函数、期望和方差。 数理统计部分必须要掌握的内容以及题型 1.统计量的判断。 对于来自总体X的样本X1,X2,,Xn,由样本构成的各种函数是否是统计量 2.计算样本均值与样本方差及样本矩。 3.熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。 4.会求未知参数的矩估计、极大似然估计。 1x0x1 例: 设总体X的概率密度为fX卄宀,,X1,,Xn是来自总体X的一个样本, 0,其匕 求未知参数的矩估计量与极大似然估计量• 5.掌握无偏性与有效性的判断方法。 对于来自总体X的样本X1,X2,,Xn,判断估计量是否无偏,比较哪个更有效。 例: 设X! X2,X3是来自总体X的一个样本,下列统计量是不是总体均值的无偏估计 X2 X3;丄以1 2 1311 X1X2X3;(X1X2X3);X1 51023 求出方差,比较哪个更有效。 6.会求正态总体均值与方差的置信区间。 对于正态总体,由样本结合给出条件,导出参数的置信区间。 7.理解假设检验的基本思想和原理,明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤。 对于单、双正态总体根据给定条件,确定使用什么检验方法,明确基本步骤。 例: 设X~N(u,2),u和2未知,(X,…,X)为样本,(Xi,…,xn)为样本观察值。 ⑴试写出检验u与给定常数uo有无显著差异的步骤; (2)试写出检验2与给定常数02比较是否显著偏大的步骤。 1•古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。 古典概型例子摸球模型 例1: 袋中有a个白球,b个黑球,从中接连任意取出a+b)个球,且每次取出的球不 再放回去,求第m次取出的球是白球的概率; 分析: 本例的样本点就是从a+b中有次序地取出m个球的不同取法;第m次取出的球是白球意味着: 第m次是从a个白球中取出一球,再在a+b-1个球中取出m-1个球。 解: 设B={第m次取出的球是白球} 样本空间的样本点总数: nA「b 事件B包含的样本点: rC;ATb1i,贝UP(B)丄— nAabab 注: 本例实质上也是抽签问题,结论说明按上述规则抽签,每人抽中白球的机会相等,同抽签次序无关。 例2: 袋中有4个白球,5个黑球,6个红球,从中任意取出9个球,求取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球的概率. 解: 设B={取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球} 样本空间的样本点总数: nC15=5005 事件B包含的样本点: rC: C;C5=24O,则P(B)=120/1001=0.048 占位模型例: n个质点在N个格子中的分布问题.设有n个不同质点,每个质点都以概率1/N落入N个格子(N>n)的任一个之中,求下列事件的概率: (1)A={指定n个格子中各有一个质点}; (2)B={任意n个格子中各有一个质点}; (3)C={指定的一个格子中恰有nmmcn)个质点}. 解: 样本点为n个质点在N个格子中的任一种分布,每个质点都有N种不同分布,即n个质 点共有M种分布。 故样本点总数为: N 含的样本点数: n! ,贝UP(A) n! (1)在n个格子中放有n个质点,且每格有一个质点,共有n! 种不同放法;因此,事件A包 ⑵先在N个格子中任意指定n个格子,共有cN种不同的方法;在n个格子中放n个质点,且每格一个质点,共有n! 种不同方法;因此,事件B包含的样本点数: n! CNAN,则 P(B) ⑶在指定的一个格子中放m(m CT(N1)nm 抽数模型 例: 在0〜9十个整数中任取四个,能排成一个四位偶数的概率是多少? 解: 考虑次序•基本事件总数为: A40=5040,设B={能排成一个四位偶数}若允许千位数为0,此时千位数可在0、2、4、6、8这五个数字中任选其一,共有5种选法;其余三位数则在余下的九个数字中任选,有A种选法;从而共有5A;=2520个。 其中,千位 数为0的四位偶数”有多少个? 此时个位数只能在2、4、6、8这四个数字中任选其一,有4种选法;十位数与百位数在余下的八个数字中任选两个,有A种选法;从而共有4A(=224 5a34a2 个。 因此P(B)94-=2296/5040=0.456 2.概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用;掌握事件独立性的概念及性质。 例1: 事件A与B相互独立,且P(A)=0.5,P(B)=0.6,求: RAE),P(A—B),P(AB) 解: P(AE)=P(A)P(B)=0.3,P(A—B)=P(A)—P(AE)=0.2,P(AB)=P(A)+P(B)—P(AE)=0.8例2: 若P(A)=0.4,P(B)=0.7,P(AB)=0.3,求: P(A—B),P(AB),P(A|B),P(A|B),P(A|B) 解: RA-B"1,/盼0.8,咻2)=鵲=3/7,吩1B)=需^(^^=4/7, P(A|B)=P^虫匸B)=2/3 P(B)1P(B) 3.准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。 例: 玻璃杯成箱出售,每箱20只。 假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1,某顾客欲购买一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客随机地察看4只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回。 试求: (1)顾客买下该箱的概率; (2)在顾客买下的该箱中,没有残次品的概率。 解: 设事件A表示“顾客买下该箱”,Bi表示“箱中恰好有i件次品”,i0,1,2。 则P(B。 )0.8, 由贝叶斯公式P(B°|A)P(B0)P(A|B0)°AJ0.85 P(A)0.94 4. (1) 例: 随机变量X的分布律为. X 1 2 3 4 p k 2k r3k 4k 确定参数k 求概率P(0 求分布函数F(x) 求期望E(X),方差QX) 求函数Y(X3)2的分布律及期望E(X3)2 解: 由pi1,有k+2k+3k+4k=1得k=0.1 i 解: 由 f(x)dx=1,有f(x)dx= 0&dx 8k=1, 3 得k=3/8 P(1 0 3 F(x)育 1 3232 f(x)dx=xdx=7/8. 18 x0 0x2 x2 233 E(X)xf(x)dx^-x3dx=3/2, 2 (E(X))=3/20 E(X2) 2o x2f(x)dx=0-x4dx=12/5 D(X)=E(X2) f(y) 3y50y.2 4 0其他 EC,X)= xf(x)dx= 23专.62 x2dx= 087 0 1 2 3 0 0.05 0.1 0.15 0.2 1 0.03 0.05 0.05 0.07 0 x 1 0.1 1 x 2 F(x)0.3 2 x 3 0.6 3 x 4 1 x 4 =3,E(X2) X: 口=10,D(X)=E(X2)(E(X))2=1 Y 0 1 4 P 0.3 0.6 0.1 E(X ⑵ 3)2=1 例: 已知随机变量 的概率密度为fx kx2 0 0x 其他 确定参数k 求概率P(1 求分布函数F(x) 求期望E(X),方差QX) 求函数Y,X的密度函数及期望ECX) E(X) XiPi i i ⑶ 例: 已知随机变量(X,Y>的联合分布律为 P(0 2 0.02 0.05 0.1 0.13 求概率P(XvY),P(X=Y) 求边缘分布律P(X=k)k=0,1,2和P(Y=k)k=0,1,2,3 求条件分布律P(X=k|Y=2)k=0,1,2和P(Y=k|X=1)k=0,1,2,3 求期望E(X),E(Y),方差QX),D[Y) 求协方差cov(X,Y),相关系数XY,判断是否不相关 求Z=X+Y,W=max{X,Y},V=min{X,Y}的分布律 解: P(X X 0 1 2 P 0.5 0.2 0.3 丫的分布律 Y 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.3 0.4 X的条件分布律 X|Y=2 0 1 2 P 1/2 1/6 1/3 E(Y)yjPj=2,E(Y2) ij ij 丫的条件分布律 Y|X=1 0 1 2 3 P 0.15 0.25 0.25 0.35 E(X)Xipj=0.8,E(X2)x2pj=1.4,D(X)=E(X2)(E(X))2=0.76 ij ij 222 yjPj=5,D(Y)=E(Y)(E(Y))=1 E(XY) yjpij=1.64,cov(XY)=E(XY)E(X)E(Y)=0.04 ij =0.046 相关 cov(X,丫) D(X).D(Y) V=min{X,Y}的分布律 V 0 1 2 p 0.55 0.22 0.23 例: 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y) 2 cxy, 0, x2y1 其它, 确定常数c的值; 求概率P(XvY) 求边缘密度fx(x),fy(y),判断X,Y是否相互独立求条件密度fxY(x|y),fY|x(yIx) 求期望E(X),E(Y),方差QX),D[Y)求协方差cov(X,Y),相关系数 解: 由 P(X XY f(x,y)dxdy=1,有 1y212 dy一x2ydx=0.85 0y4 判断是否不相关 f(x,y)dxdy= 1 dx 1x cx2ydy=1,得 c=21/4 fx(x) 1212X2才X ydy 0 212 x 8 (1 x4 1x1 其它 fy(y) y212 —xydxy4 0 y 其它 X与丫不独立 f(x,y) fxiY(x|y) fy(y) 32 2xy 0 yx.y 其它 f(x,y) fY|x(y|x) fx(x) 8y 1x4 x2 E(X) xf(x,y)dxdy= E(X2) 2 xf(x,y)dxdy= dx x 1 1 y1 其它 1213 2一xydy=0 4 1214 dx2xydy=7/15 x4 D(X)=E(X2) E(Y) 2 (E(X))=7/15 1 yf(x,y)dxdy=1dx 1 x2 E(Y2) D(Y)=E(Y2) 2 yf(x,y)dxdy= 2 (E(Y))=28/891 1 dx 1 2122,xydy=7/9 4 121—— x2 小=7/11 E(XY) xyf(x,y)dxdy= 1 dx 1 1 x2 21x3y2dy=0 4 cov(X,Y)=0,XY=O,X与丫不相关 5.会用中心极限定理解题。 例1: 每次射击中,命中目标的炮弹数的均值为2,方差为1.52,求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率. 解: 例2: 设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒,试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。 解: 设这批种子发芽数为X,则X~B(1000,0.9),由中心极限定理得 所求概率为P{X880}1(880900)1 <90 数理统计部分必须要掌握的内容以及题型 1.统计量的判断。 2.计算样本均值与样本方差及样本矩。 3.熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。 4.会求未知参数的矩估计、极大似然估计。 1x0x1 例: 设总体X的概率密度为fX廿宀,,X1,,Xn是来自总体X的一个样本, 0,其匕 求未知参数的矩估计量与极大似然估计量• 5.掌握无偏性与有效性的判断方法。 1311 X1X2X3;宀(X1X2X3);X1 51023 求出方差,比较哪个更有效。 1 1 3 1 X2X3;—(X1 X2);-X1 X2 X3 2 3 4 12
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