运筹学 习题一答案.docx
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运筹学习题一答案
习题一
1.2
【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量,则数学模型为
1.3
【解】第一步:
求下料方案,见下表。
方案
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
十三
十四
需要量
B1:
2.7m
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
300
B2:
2m
0
1
0
0
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
450
A1:
1.7m
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
400
A2:
1.3m
0
1
1
2
0
0
1
0
1
3
0
2
3
4
600
余料
0.6
0
0.3
0.7
0
0.3
0.7
0.6
1
0.1
0.9
0
0.4
0.8
第二步:
建立线性规划数学模型
设xj(j=1,2,…,14)为第j种方案使用原材料的根数,则
(1)用料最少数学模型为
用单纯形法求解得到两个基本最优解
X
(1)=(50,200,0,0,84,0,0,0,0,0,0,200,0,0);Z=534
X
(2)=(0,200,100,0,84,0,0,0,0,0,0,150,0,0);Z=534
(2)余料最少数学模型为
用单纯形法求解得到两个基本最优解
X
(1)=(0,300,0,0,50,0,0,0,0,0,0,200,0,0);Z=0,用料550根
X
(2)=(0,450,0,0,0,0,0,0,0,0,0,200,0,0);Z=0,用料650根
显然用料最少的方案最优。
1.4
【解】设xj、yj(j=1,2,…,6)分别为1~6月份的生产量和销售量,则数学模型为
(1)
最优解
X=(800,1000,1000,0,1000,1000)
Y=(1000,1000,0,1000,1000,1000)
Z=310000
【另解】变量设置如表
月份
1
2
3
4
5
6
月产量
X1
X2
X3
X4
X5
X6
月销量
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
月初库存
Z1
Z2
Z3
Z4
Z5
Z6
Zi+1=xi+zi-yi
(1)maxz=350y1-300x1+340y2-330x2+350y3-320x3+420y4-360x4+410y5-360x5+340y6-300x6
x1-y1-z2=-200
Z2+x2-y2-z3=0
Z3+x3-y3-z4=0
Z4+x4-y4-z5=0
Z5+x5-y5-z6=0
z6+x6-y6<1000
y1-x1<200
y2-x2-z2<0
y3-x3-z3<0
y4-x4-z4<0
y5-x5-z5<0
y6-x6-z6<0
X1<800
X2+Z2<1000
X3+Z3<1000
X4+Z4<1000
X5+Z5<1000
X6+Z6<1000
(2)目标函数不变,前6个约束右端常数800改为1000,第7~11个约束右端常数200改为0,第12个约束“≤200”改为“=-200”。
1.5
【解】是设xij为第i年投入第j项目的资金数,变量表如下
项目一
项目二
项目三
项目四
第1年
第2年
第3年
x11
x21
x31
x12
x23
x34
数学模型为
最优解X=(30000,0,66000,0,109200,0);Z=84720,即
项目一
项目二
项目三
项目四
第1年
第2年
第3年
30000
0
66000
0
109200
0
1.6
半成品油
1中石脑油
2重整汽油
3裂化汽油
4轻油
5裂化油
6重油
7残油
高级汽油
x11
x12
x13
x14
x15
x16
x17
一般汽油
x21
x22
x23
x24
x25
x26
x27
航空煤油
x31
x32
x33
x34
x35
x36
x37
一般煤油
x41
x42
x43
x44
x45
x46
x47
设xij为第i(i=1,2,3,4)种成品油配第j(j=1,2,…,7)种半成品油的数量(桶)。
总利润:
高级汽油和一般汽油的辛烷值约束
航空煤油蒸气压约束
一般煤油比例约束
即
半成品油供应量约束
整理后得到
1.7图解下列线性规划并指出解的形式:
(1)
【解】最优解X=(2,4);最优值Z=13
(2)
【解】有多重解。
最优解X
(1)=(3/2,1/2);X
(2)=(4/5,6/5)最优值Z=2
(3)
【解】最优解X=(4,1);最优值Z=-10,有唯一最优解
(4)
【解】最优解X=(2,3);最优值Z=26,有唯一最优解
(5)
【解】无界解。
(6)
【解】无可行解。
1.8将下列线性规划化为标准形式
(1)
【解】
(1)令
为松驰变量,则标准形式为
(2)
【解】
(2)将绝对值化为两个不等式,则标准形式为
(3)
【解】方法1:
方法2:
令
则标准型为
(4)
【解】令
,线性规划模型变为
标准型为
再令y=y′-y″替换上式中的y
1.9
【解】B1:
x1,x3为基变量,x2,x4为非基变量,基本解为X=(15,0,20,0)T,B1是可行基。
B2:
x1,x4是基变量,x2,x3为非基变量,基本解X=(25,0,0,-40)T,B2不是可行基。
1.10
(1)
【解】图解法
单纯形法:
C(j)
1
3
0
0
b
Ratio
C(i)
Basis
X1
X2
X3
X4
0
X3
-2
[1]
1
0
2
2
0
X4
2
3
0
1
12
4
C(j)-Z(j)
1
3
0
0
0
3
X2
-2
1
1
0
2
M
0
X4
[8]
0
-3
1
6
0.75
C(j)-Z(j)
7
0
-3
0
6
3
X2
0
1
0.25
0.25
7/2
1
X1
1
0
-0.375
0.125
3/4
C(j)-Z(j)
0
0
-0.375
-0.875
45/4
对应的顶点:
基可行解
可行域的顶点
X
(1)=(0,0,2,12)、
X
(2)=(0,2,0,6,)、
X(3)=(
、
(0,0)
(0,2)
最优解
(2)
【解】图解法
单纯形法:
C(j)
-3
-5
0
0
0
b
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X3
0
1
2
1
0
0
6
3
X4
0
1
[4]
0
1
0
10
2.5
X5
0
1
1
0
0
1
4
4
C(j)-Z(j)
-3
-5
0
0
0
0
X3
0
[0.5]
0
1
-0.5
0
1
2
X2
-5
0.25
1
0
0.25
0
2.5
10
X5
0
0.75
0
0
-0.25
1
1.5
2
C(j)-Z(j)
-1.75
0
0
1.25
0
-12.5
X1
-3
1
0
2
-1
0
2
M
X2
-5
0
1
-0.5
0.5
0
2
4
X5
0
0
0
-1.5
[0.5]
1
0
0
C(j)-Z(j)
0
0
3.5
-0.5
0
-16
X1
-3
1
0
-1
0
2
2
X2
-5
0
1
1
0
-1
2
X4
0
0
0
-3
1
2
0
C(j)-Z(j)
0
0
2
0
1
-16
对应的顶点:
基可行解
可行域的顶点
X
(1)=(0,0,6,10,4)、
X
(2)=(0,2.5,1,0,1.5,)、
X(3)=(2,2,0,0,0)
X(4)=(2,2,0,0,0)
(0,0)
(0,2.5)
(2,2)
(2,2)
最优解:
X=(2,2,0,0,0);最优值Z=-16
该题是退化基本可行解,5个基本可行解对应4个极点。
1.11用单纯形法求解下列线性规划
(1)
【解】单纯形表:
C(j)
3
4
1
0
0
R.H.S.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X4
0
2
[3]
1
1
0
1
1/3
X5
0
1
2
2
0
1
3
3/2
C(j)-Z(j)
3
4
1
0
0
0
X2
4
[2/3]
1
1/3
1/3
0
1/3
1/2
X5
0
-1/3
0
4/3
-2/3
1
7/3
M
C(j)-Z(j)
1/3
0
-1/3
-4/3
0
-4/3
X1
3
1
3/2
1/2
1/2
0
1/2
X5
0
0
1/2
3/2
-1/2
1
5/2
C(j)-Z(j)
0
-1/2
-1/2
-3/2
0
-3/2
最优解:
X=(1/2,0,0,0,5/2);最优值Z=3/2
(2)
【解】单纯形表:
C(j)
2
1
-3
5
0
0
0
R.H.S.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X5
0
1
5
3
-7
1
0
0
30
M
X6
0
3
-1
[1]
1
0
1
0
10
10
X7
0
2
-6
-1
[4]
0
0
1
20
5
C(j)-Z(j)
2
1
-3
5
0
0
0
X5
0
9/2
-11/2
5/4
0
1
0
7/4
65
M
X6
0
5/2
[1/2]
5/4
0
0
1
-1/4
5
10
X4
5
1/2
-3/2
-1/4
1
0
0
1/4
5
M
C(j)-Z(j)
-1/2
17/2
-7/4
0
0
0
-5/4
X5
0
32
0
15
0
1
11
-1
120
M
X2
1
5
1
5/2
0
0
2
-1/2
10
10
X4
5
8
0
7/2
1
0
3
-1/2
20
M
C(j)-Z(j)
-43
0
-23
0
0
-17
3
因为λ7=3>0并且ai7<0(i=1,2,3),故原问题具有无界解,即无最优解。
(3)
【解】
C(j)
3
2
-0.125
0
0
0
R.H.S.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X4
0
-1
2
3
1
0
0
4
M
X5
0
[4]
0
-2
0
1
0
12
3
X6
0
3
8
4
0
0
1
10
10/3
C(j)-Z(j)
3
2
-1/8
0
0
0
0
X4
0
0
2
5/2
1
1/4
0
7
3.5
X1
3
1
0
-1/2
0
1/4
0
3
M
X6
0
0
[8]
11/2
0
-3/4
1
1
1/8
C(j)-Z(j)
0
2
11/8
0
-3/4
0
9
X4
0
0
0
9/8
1
7/16
-1/4
27/4
6
X1
3
1
0
-1/2
0
1/4
0
3
M
X2
2
0
1
[11/16]
0
-3/32
1/8
1/8
0.181818
C(j)-Z(j)
0
0
0
0
-9/16
-1/4
37/4
X3进基、X2出基,得到另一个基本最优解。
C(j)
3
2
-0.125
0
0
0
R.H.S.
Ratio
Basis
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X4
0
0
-18/11
0
1
13/22
-5/11
72/11
6
X1
3
1
8/11
0
0
2/11
1/11
34/11
M
X3
-0.125
0
16/11
1
0
-3/22
2/11
2/11
0.1818
C(j)-Z(j)
0
0
0
0
-9/16
-1/4
37/4
原问题具有多重解。
最优解的通解可表示为
即
(4)
【解】单纯形表:
C(j)
3
2
1
0
0
R.H.S.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X4
0
5
4
6
1
0
25
5
X5
0
[8]
6
3
0
1
24
3
C(j)-Z(j)
3
2
1
0
0
0
X4
0
0
1/4
33/8
1
-5/8
10
X1
3
1
3/4
3/8
0
1/8
3
C(j)-Z(j)
0
-1/4
-1/8
0
-3/8
9
最优解:
X=(3,0,0,10,0);最优值Z=9
1.12分别用大M法和两阶段法求解下列线性规划:
(1)
【解】大M法。
数学模型为
C(j)
10
-5
1
0
-M
R.H.S.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X5
-M
5
3
1
0
1
10
2
X4
0
-5
1
-10
1
0
15
M
C(j)-Z(j)
10
-5
1
0
0
0
*BigM
5
3
1
0
0
0
X1
10
1
3/5
1/5
0
1/5
2
X4
0
0
4
-9
1
1
25
C(j)-Z(j)
0
-11
-1
0
-2
20
*BigM
0
0
0
0
-1
0
最优解X=(2,0,0);Z=20
两阶段法。
第一阶段:
数学模型为
C(j)
0
0
0
0
1
R.H.S.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X5
1
[5]
3
1
0
1
10
2
X4
0
-5
1
-10
1
0
15
M
C(j)-Z(j)
-5
-3
-1
0
0
X1
0
1
3/5
1/5
0
1/5
2
X4
0
0
4
-9
1
1
25
C(j)-Z(j)
0
0
0
0
1
第二阶段
C(j)
10
-5
1
0
R.H.S.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X1
10
1
3/5
1/5
0
2
2
X4
0
0
4
-9
1
25
M
C(j)-Z(j)
0
-11
-1
0
最优解X=(2,0,0);Z=20
(2)
【解】大M法。
数学模型为
C(j)
5
-6
-7
0
0
M
M
R.H.S.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
S1
S2
A1
A3
A1
M
1
[5]
-3
-1
0
1
0
15
3
S2
0
5
-6
10
0
1
0
0
20
M
A3
M
1
1
1
0
0
0
1
5
5
C(j)-Z(j)
5
-6
-7
0
0
0
0
*BigM
-2
-6
2
1
0
0
0
X2
-6
1/5
1
-3/5
-1/5
0
1/5
0
3
M
S2
0
31/5
0
32/5
-6/5
1
6/5
0
38
95/16
A3
M
4/5
0
[8/5]
1/5
0
-1/5
1
2
5/4
C(j)-Z(j)
31/5
0
-53/5
-6/5
0
6/5
0
*BigM
-4/5
0
-8/5
-1/5
0
6/5
0
X2
-6
1/2
1
0
-1/8
0
1/8
3/8
15/4
S2
0
3
0
0
-2
1
2
-4
30
X3
-7
1/2
0
1
1/8
0
-1/8
5/8
5/4
C(j)-Z(j)
23/2
0
0
1/8
0
-1/8
53/8
*BigM
0
0
0
0
0
1
1
两阶段法。
第一阶段:
数学模型为
C(j)
0
0
0
0
0
1
1
R.H.S.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
S1
S2
A1
A3
A1
1
1
5
-3
-1
0
1
0
15
3
S2
0
5
-6
10
0
1
0
0
20
M
A3
1
1
1
1
0
0
0
1
5
5
C(j)-Z(j)
-2
-6
2
1
0
0
0
X2
0
1/5
1
-3/5
-1/5
0
1/5
0
3
M
S2
0
31/5
0
32/5
-6/5
1
6/5
0
38
95/16
A3
1
4/5
0
[8/5]
1/5
0
-1/5
1
2
5/4
C(j)-Z(j)
-4/5
0
-8/5
-1/5
0
6/5
0
X2
0
1/2
1
0
-1/8
0
1/8
3/8
15/4
S2
0
3
0
0
-2
1
2
-4
30
X3
0
1/2
0
1
1/8
0
-1/8
5/8
5/4
C(j)-Z(j)
0
0
0
0
0
1
1
第二阶段:
C(j)
5
-6
-7
0
0
R.H.S.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
S1
S2
X2
-6
1/2
1
0
-1/8
0
15/4
3
S2
0
3
0
0
-2
1
30
M
X3
-7
1/2
0
1
1/8
0
5/4
5
C(j)-Z(j)
23/2
0
0
1/8
0
最优解:
(3)
【解】大M法。
数学模型为
C(j)
10
15
0
0
0
-M
R.H.S.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X3
0
[5]
3
1
0
0
0
9
1.8
X4
0
-5
6
0
1
0
0
15
M
X6
-M
2
1
0
0
-1
1
5
2.5
C(j)-Z(j)
10
15
0
0
0
0
0
*BigM
2
1
0
0
-1
0
0
X1
10
1
3/5
1/5
0
0
0
9/5
X4
0
0
9
1
1
0
0
24
X6
-M
0
-1/5
-2/5
0
-1
1
7/5
C(j)-Z(j)
0
9
-2
0
0
0
18
*BigM
0
-1/5
-2/5
0
-1
0
0
因为X6>0,原问题无可行解。
两阶段法
第一阶段:
数学模型为
C(j)
0
0
0
0
0
1
R.H.S.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X3
0
[5]
3
1
0
0
0
9
1.8
X4
0
-5
6
0
1
0
0
15
M
X6
1
2
1
0
0
-1
1
5
2.5
C(j)-Z(j)
-2
-1
0
0
1
0
5
14
X1
0
1
3/5
1/5
0
0
0
9/5
X4
0
0
9
1
1
0
0
24
X6
1
0
-1/5
-2/5
0
-1
1
7/5
C(j)-Z(j)
0
1/5
2/5
0
1
0
因为X6>0,原问题无可行解。
图解法如下:
(4)
【解】大M法。
X7是人工变量,数学模型为
Cj
4
2
5
0
0
0
-M
R.H.S.
Ratio
CB
XB
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
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