大学数学练习题.docx
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大学数学练习题
大学数学习题及答案
一填空题:
I一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线•
2二阶线性齐次微分方程的两个解yi(x);y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是
3方程y''2y'y0的基本解组是.
4一个不可延展解的存在区间一定是区间.
5方程dy<1y2的常数解是
dxr
6方程x''p(t)x'q(t)x0一个非零解为xi(t),经过变换
7若4(t)是线性方程组X'A(t)X的基解矩阵,则此方程组的任一解4(t)=.
8—曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为.
9满足条件的解,称为微分方程的特解•
10如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为.
II一阶线性方程y'p(x)yq(x)有积分因子().
dy
12求解方程x/y的解是().
dx
222
13已知(axy3xy)dx(xy)xdy0为恰当方程,则玄=.
14
dy2—xdx
2
y,R:
|x
1,1
/1由存在唯一性定理其解的存在区间是()
y(0)0
15方程
2
dy
5dy6y
0的通解是(
).
dx
dx
16方程
4
dy
35
yxy
的阶数为
dx
17若向量函数1(x);2(x);3(x)n(x)在区间D上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式
(x)=.
18若P(X)是方程组鱼A(x)的基本解方阵则该方程组的通解可表示为.
dx
22
19•方程x(y1)dxy(x1)dy0所有常数解是.
20•
方程y
4y
0的基本解组是
21•
dy方程dx
、、y
1
满足解的存在唯一性定理条件的区域是
•
22•
函数组
1(X),
2(x),,n(x)在区间|上线性无关的
条件是它们的朗斯基行
列式在区间I上不恒等于零.
23•若y1(x),
y2(x)是二阶线性齐次微分方程的基本解组,
则它们
共同零
占
八、、♦
二单项选择:
方程巴x
dx
y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是
().
(A)上半平面
方程巴..y
dx
(A)有一个
(B)xoy平面
1()奇解.
(B)有两个
在下列函数中是微分方程y''
(A)y
(B)yx
方程y''
x的一个特解
(C)下半平面(D)除y
(C)无
0的解的函数是(
(C)ysinx
y*形如().
轴外的全平面
(D)有无数个
).
x
(D)ye
x
(A)ae
x
(B)axe
bx
(C)aexbxc
(D)axexbxc
f(y)连续可微是保证方程
dy
dx
f(y)解存在且唯一的
()条件.
(A)必要(B)充分
二阶线性非齐次微分方程的所有解
(A)构成一个2维线性空间
(C)不能构成一个线性空间
(C)充分必要
(
(D)必要非充分
).
(B)构成一个3维线性空间
(D)构成一个无限维线性空间
方程dy3y^过点(0,0)有(
dx
).
(A)无数个解
(B)只有一个解
(C)只有两个解
(D)只有三个解
初值问题
x(0)
在区间,
上的解是
().
t
e
t
(A)
U(t)*(B)
u(t)t(C)U(t)
(D)U(t)
t
e
方程
dy2
xycosx
0是()•
dx
(A)
一阶非线性方程
(B)一阶线性方程
9
(C)超越方程
(D)二阶线性方程
2
方程dy3dy
dxdx
0的通解是().
3x
(A)C1C2e
(B)GxC2e3x(C)C1
小3x
C?
e
(D)C2e
3x
11方程dy4dy4y0的一个基本解组是().
dxdx
2x2x
(A)x,e(B)1,e
2
(C)x
2x
e
2x2x
(D)e,xe
2
12若y1和y2是方程
dx
p(x)学
dx
q(x)y
0的两个解,则ye1y1ey2
(A)是该方程的通解(B)是该方程的解
(C)不一定是该方程的通解(D)是该方程的特解
(&,e2为任意常数)
一dy「2-..
13方程1y过点(0,0)的解为ysinx,此解存在().
dx
(A)(,)(B)(,0]
14方程y'
3x2
x
ye
是()•
(A)可分离变量
:
方程
(B)齐次方程
15微分方程
dy
1
y
0的通解是(
dx
x
c
(A)y
x
(B)
ycx(C)y
16在下列函数中是微分方程
(C)[0,)
(D)[-,-]
(C)全微分方程
(D)线性非齐次方程
).
1
-c(D)yx
xc
y''y0的解的函数是().
(A)y1
(B)yx
x
(C)ysinx(D)ye
17方程y"yexx的一个数解yx形如().
x■x.
(A)aeb(B)axebx
x.
(C)aebxc
x.
(D)axebxc
01
1
18初值问题X1
'dcx;x(0)
1
10
(A)U(t)
t
4(B)u(t)
te
t
t
dy
y
19.方程
dx
的奇解是
(
(A)
y
x
(B)
20.方程叢172过点対共有
在区间
t上的解是().
t
te
(C)u(t)
t(D)U(t)
e
te
).
y1
(C)
y1
(D)y0
)个解.
(A)
(B)无数
(C)两
(D)三
21.n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是
)个.
(A)n
(B)n-i
(C)n+i
(D)n+2
22•—阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差().
(A)不是其对应齐次微分方程组的解(B)是非齐次微分方程组的解
(C)是其对应齐次微分方程组的解(D)是非齐次微分方程组的通解
23.如果f(x,y),
(A)必为(
f(x,y)
y
)
都在xoy平面上连续,那么方程
dy
dx
(C)
的任一解的存在区间()•
(B)必为(0,
)
'必为(
°)(D)将因解
而定
三求下列方程的解:
1求下列方程的通解或通积分
⑴黒¥10¥
⑵孚
dx
1y2工
Vxx
y
5
xy
22
(4)2xydx(xy)dy0
(5)yxy'2(y')3
1
2求方程的解x(5)-X⑷0
22
6求(3x6xy)dx
(6x2y4y3)dy
t
求解方程:
d4xdt4
d2x
3解方程
2
ycosx并求出满足初始条件:
当x=0时,y=2的特解
dx
4求方程
:
dy
y
tgy
dx
x
x
5求方程:
dy
6y
2
xy的通解
dx
x
0的通解.
.5
dx
1
d4x
8求方程:
5
4
dt
t
dt
0的解
9求方程y5y'5x2的通解
dx
10求下列方程组的通解
dt
dy
dt
11求初值问题y
y(
1)
R:
x
1的解的存在区间并求出第二次近似解
12求方程的通解
⑵旻
dx
tan#
x
2
⑶(y3x)dx(4yx)dy0(
种方法)
2
dy
dx
4y
13计算方程
y''4y
3sin2x的通解
14计算方程
d2x
dx
4—4xcostdtdt
15
求下列常系数线性微分方程:
y''2y'
10y
xe2x
16
试求x
1
x的基解矩阵
2
17
试求矩阵
18
试求矩阵
19
解方程组
y'1
y'2
的特征值和对应的特征向量
20.求下列方程组的通解
dx
dt
dy
dt
四名词解释
1微分方程
4伯努利方程
五证明题
的特征值和特征向量
3x
y1
y2
2y
4y
2常微分方程、偏微分方程
5Lipschitz条件
3变量分离方程
6线性相关
x轴相切.
求证:
该方程的任一非零解在xoy平面上不能与
2设xi(t)、X2(t)分别是非齐次性线方程
dnx
d?
"
n1
G1(t)加
dt
Gn(t)X
fl(t)
dnxdtn
dn1x
G1⑴亍
Gn(t)x
f2(t)
证明:
Xl(t)+X2(t)是方程
dnxdtn
n1
°1住)加
dt
Gn(t)x
fl(t)f2(t)的解。
3设f(x)在[0;+]上连续且
limf(x)=o求证:
方程dx
yf(x)的一切解y(x);
均有limy(x)=o
X
4在方程y''p(x)y'q(x)y
0中p(x)、q(x)在
)上连续;求证:
若
p(x)恒不为零;则该方程
的任一基本解组的朗斯基行列式
w(x)是(
)上的严格单调函数。
5证明:
Xi(t)+X2(t)是方程
dnxden
n1
dx
G(t)nr
dt
an(x)t
f2(t)的解。
6证明:
函数组
e1X,e2X
enX
(其中当
j)在任意区间(
a,b)上线性无关。
7.
在方程
dy
dx
f(y)(y)中,
已知
f(y)
(x)在(
)上连续,且(
1)0.求证:
对任意Xo
y。
在方程
1
1,满足初值条件
y(x。
)
yo的解y(x)的存在区间必为(
yP(x)yq(x)y0中,已知p(x),q(x)在(
)上连续.
求证:
该方程的任一非零
解在xoy平面上不能与X轴相切.
练习题答案
一填空题:
1、2
2、线性无关(或:
它们的朗斯基行列式不等于零)
3、e";xeX
4、开
5、y1
6、xxiydt
7、(t)C,C为常数列向量
2
8、y=x+c
9、初始
10、常微分方程
11、ep(x)dx
12、x2+y2=c;c为任意正常数
13、/
11
14、;—
22
15、
5
6p
1
6p
16、417、0
18、(x)c;其中c是确定的n维常数列向量
19.y1,x1
20.sin2x,cos2x
2
21.D{(x,y)Ry0},(或不含x轴的上半平面)
22.充分
23.没有
单项选择
1、D2、C
3、C
4、D5、B6、C7、A8、D
9、A10、C
11、D12、B
13、
D
14、D15、B16、C17、D18、D
19.D20.B
21.A
22.C23.D
三求下列方程的解
1
(1)解:
当y0,
y
1时,
分离变量取不定积分,得
dy
dx
C
y1ny
通积分为
1ny:
=Cex
(2)解:
令y=xu,
则
dy
-J..
ux,代入原方程,得
dxdx
1u2
dx
分离变量,取不定积分,得
du
dx
1nC
x
(C0)
(3)
(4)
(5)
通积分为:
y
arcsin1nCx
X
y-5,得
5
解:
方程两端同乘以
令y-4=z
2解:
dy4
y
dx
,则-4y
dz
4dx
通解为
zCe
原方程通解为
解:
解:
4x
y4Ce
dy
-5
dx
4x
-J—
,代入上式,得
dx
因为卫2x
y
N,所以原方程是全微分方程。
x
取(X0,y0)=(0,0)
x
o2xydx
原方程的通积分为
°yy2dy
213
xy3y
原方程是克莱洛方程,通解为:
dxdx
则方程化为一
dtdt
1
1y
是x=C1t5+C2t3+C3t2+C4t+C5
[dnx(t)
Gi(t)
dn1x(t)
dtn「宀dtn1
Gn(t)X2(t)]
=f1(t)+f2(t)
故X1(t)+X2(t)为方程
dnx(t)
dtn
3解:
将变量分离,得到
y=cx+2c3
dx
,积分后得y=ct即ctdt
其中C1,C2,C3,C4,C5为任意常数
Gn(t)X1(t)]
dt
G(t)
dn1x(t)
dtn1
G1(t)
dn1x(t)
dtn1
GnX(t)=f1(t)+f2(t)的解。
cosxdxy
两边积分,即得1sinxc
因而,通解为
这里c是任意常数。
以
y
1
ysinxc
c,得到
x=0,y=1代入通解中以决定任意常数
c=-1
因而,所求特解为
1
1sinx
将上式分离变量,即有
两边积分,得到
ctgudu
dx
x
u及翌
xdy
u代入,则原方程变为
dx
dx
du
x-
uutgu
dx
du
tgu
dx
x
4解:
以y
x
nsinunxc
这里c'是任意函数,整理后,得到
c'
sinuex
e'
令ec,得到sinu=cx
5解:
令z=y-1得
dz2dyy
dxdx
代入原方程得到
dz6
zxdxx
这是线性方程,求得它的通解为
代回原来的变量y,得到
1x!
yx68
这就是原方程的通解。
此外,方程还有解y=0。
6解:
这里M=3x2+6xy2.N=6x2y+4y3,这时
12xy.
12xy
因此方程是恰当方程。
现在求
u,使它同时满足如下两个方程
3x2
6xy2
2,3
6xy4y
由
(1)对x积分,得到ux33x2y2
(y)
为了确定(y),将(3)对y求导数,并使它满足
(2),即得
6x2y
d(y)
dy
c2A3
6xy4y
于是
3=4y4
dy
积分后可得
(y)=y4
将(y)代入(3),得到
因此,方程的通解为
这里c是任意常数u=x3+3x2y2+y4x3+3x2/+y4=c
42
7解:
特征方程21
0即特征根
i是重根,因此方程有四个实值解cost、tcost、sint、
tsint
故通解为
x=(C1+C2t)cost+(C3+C4t)sin其中
C1;C2;C3;C4为任意常数
8解:
d4x
dt4
y则方程化为:
宜1y0
dtt
积分后得
d4x
y=ct
Ct于是x=C1t5+C2t3+C3t2+C4t1+C5
其中C1;C2…C5为任意常数,这就是原方程的通解。
9解对应齐次方程的特征方程为250,
10
12
齐次方程的通解为y=C什C2e5x
因为a=0是特征根。
所以,设非齐次方程的特解为
2
y1(x)=x(Ax2+Bx+C)
代入原方程,比较系数确定出
B=1
5
1A=_,
3
原方程的通解为
yC1
2
C=—
25
C2e5x
122
-X——X
525
y
sint
cost
令非齐次方程特解为
x
cost
sint
〜=C1(t)
+C2(t)丄
y
sint
cost
C'1(t),C;(t)满足
cost
sint
1
C'1(t)1
=sint
sint
cost
C)0
cost
解得Cl(t)
C'2(t)
1
sint
积分,得C1
(t)
1n
sint,C2(t)t
通解为
x
cost
sint
C1
C2
y
sint
cost
解:
M=max
f(x,y)
=4h
min(a,)
M
2)q0(x)=0
q1(x)=0
x(g20)dg
q2(x)=0+
x2
[g
g
231
~g-]dg[
9
99
x
x
xx
11
=3
9
1860
42
解:
先解出齐次方程的通解
sint
+C2
11
求方程的通解:
X=C1COst
1罟
cost1nsinttsint
sint1nsint
_g
3
tcost
1
一故解的存在区间为x
4
g|X
31
_g_
63
X1
33
空
36
1[X
9g]
解:
变形dy」
dxy
1xy
(1),将y看作自变量,x为未知函数
y
dx1
解齐线性方程X,通解为x=cy
dyy
dx令x=c(y)y…..
(2)微分得,一
dy
d(c(y)y)
dy
警yc(y)
dy
由
(1)
(2)知-y
y
響yc(y)
dy
c(y)y
y
dc(y)
dy
1,积分得c(y)
y~故x(yc)y(c是任意常数)
dyy
2)dxx
解:
令-
x
tany
x
ux,于是dyx竺udxdx
则原方程变为x
dx
卄dutanu
即
dxx
du
u
tanu
将上式分离变量有cotudu
dx
积分得Insinu
1nx
c,c为任意吊数。
整理sinuec?
x
令ecc0得sinucx(c0)
方程还有解tanu=0即sinu=0,故通解为sinu=cx(c为任意常数)
2
4y
dy
3)(y3x)dx(4yx)dy0(三种方法)
M
1,N
1,因此此方程是恰当1
方程
y
x
现求u
使
u
y
3x2
(1),」
x
4y
(2)
x
y
对
(1)
中
x积分得
3
uyxx
(y)
(3)
解:
法一,这里M=y-3x2,N=-(4y-x)=4-4y
对(3)中y求导
u
d(y)
故通解为yxx32y2c,c为任意常数
法二,重新组合得
2
ydx3xdx4ydyxdy
0,即ydxdx32dy2xdy0
32
于是通解为xyx2y
dy42
解:
令p则p5p4y
dx
5dp3dp
对x求导得P-pp3—
2dxdx
52p4
积分得(一p2)pxc,x
44
5
2
14
0,y
—
p
p
4
4
5
3、dp
5
3、
(尹
p
)丁
dx
,(尹
p)dppdx0
4
2
p
p
4
c
5
13c
-p
-p-
p
4
4p
d(xyx32y20)
c其中c是任意常数。
5
13
c
x-
p
p
——
4
于是方程通解为
4
p
(p=0)
5
2
14
y
p
-p
4
4
13方程y''4y3sin2x的通解
解:
齐次方程是y''4y0,240,2i
y&cos2tc2sin2t
由于2i是特征方程单根
故所求特解应具形式y1
x(Acos2xbsin2x)
代入原方程
4A3,B
3
-,B0
4
yi
故通解为y
3
一xcos2x
4
3
xcos2xc1cos2t
4
c2sin2t,
其中C1C2为任意常数
4x
cost
2
dx4dx
14
dtdt
解:
特征方程
440有重根1
因此对应齐线性方程的通解为x
2t
(C1C2t)e,其中C1,c2为任意常数。
因为i不是特征根,现求形如~
AcostBsint的特征解,
代入原方程化简
(3A-4B)cost
(4A
3B)sintcost
3A
曰
是
4A
4B
故通解为
3B
25
4
25
(Ci
C2t)e
2t
cost
25
4
sint其中C1,C2为任意常数
25
15求下列常系数线性微分方程
对应的齐次方程为y''2y'
10y
0特征方程为
2
2210
特征根为
13i
a不是特征根,
故原方程有形如
y*=(ax+b)e
故原方程通解为
16解:
因为A
得到expAt
exp
I
2!
所以,
17解:
1
50
a丄,b
10
11、2x
C2sin3t)(x)e,
1050
2x的特解代入原方程得
ex(c1cost
}但是,
级数只有两项。
因此,
特征方程为
因此,
因此,向量
(c1,c2为任意常数)
而且后面的两个矩阵是可交换的
exp
2t
1
2t
e
{E+
基解矩阵就是
expAte
det(EA)
2t
3是A的二重特征值.为了寻求对应于
3的特征向量,考虑方程组
(3EA)c1
C2
是对应于
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