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三角函数向量复数续精
2007年第46卷第11期数学通报
三角函数.向量复数(续)
齐民友
(武汉大学数学与统计学院430072)
2把复数引入三角函数的研究式子了?
但是希腊人却认为它是.因为希腊人通过
这一部分和前一部分不同.前一部分讲到的三相似三角形可以作出A和B的比例中项扭B.他们角函数知识是完全成熟了的,绝大多数教师是很熟认为求比例中项是与四则运算差不多一样简单自悉的,按本文的讲法给学生上课是可以的.这一部明的,所以把 ̄/AB也看成了式子.但sinx就不行.分涉及微积分,进入中学教材时间还短,许多教师托勒密利用比例中项和勾股定理能求出sin30。
,还不太熟悉,需要进一步消化.特别是围绕欧拉公sin45。
,sin60。
,sinl8。
例如(所以称之为特别角),再式的内容,如何教给学生,还需要深思熟虑.但是我用半角公式(基本上就是用托勒密定理)对许多离有一点看法:
应该努力避免把中学的微积分教学变散的z之值算出sinx.这些z最密可以只相差0.5。
.成高校教材的简缩版.复数理论更是如此.愿与读但是不能对一切X算出sinx.要想进一步研究它就者共同努力.必须用微积分的方法.指数函数和对数函数更加如
函数概念的发展有一个很长的历史.粗略地此.从历史上看,它们首先是用微分方程来定义的.说,当人们熟悉用符号来代表一般的数与未知数以正是从这个观点出发,我们首先讨论COST和sinx的后(韦达在这里作出了最大的贡献),我们就有了例导数.但是与通常的教本不同,我们从研究一个质如Y一凹2+幻+f,y=,/7+1,…等等代数式.从点(可以是行星、国际空间站,但是把它看成一个质代数式到函数有一个飞跃,就是把z和Y看成变数点)绕圆周(半径为R)旋转的问题.为简单起见,假而不是未知数.而例如≯一3z+2=0中的z就不设旋转是匀速的,角速度cc,(单位时间中转过的弧会“变”,它就是1或者2,只不过暂时“未知”而已,度)为常数.这可能与读者的常识相矛盾:
行星运行所以称为未知数,但是由“式”到函数这一点变化在的轨道不是椭圆吗?
其实除个别行星外,行星的轨学生们的思想中并未引起“警觉”,似乎大家都不感道都很接近于圆.(国际空间站的轨道更加近于到困难.但是留下一个习惯:
一说起函数就会想到圆),越接近于圆,它们的运动就更接近于匀速旋式子.所以,看到一个函数要用几个式子来写,就有转.可见提出质点的匀速圆周运动这样一个数学模点奇怪,于是称之为“分段函数”,而各种教辅材料型不但是因其简单,容易研究,而且有重大的实际中又似乎特别钟情于此,看来还是这种心理因素作意义.如果说,三角学在17世纪以前主要来自天文怪,而不知道这是毫无意义的.真正造成变化的是和测量的几何问题,因而它的方法主要是几何方微积分的出现.微积分不只是几个定理,几个方法法,则不妨说,17世纪以后(具体地说,有了牛顿力甚至几个理论.它标志了看问题的角度有了根本变学以后),推动研究三角函数主要是力学问题,其方化.人们要从变动中来看世界,也就要从变动中来法主要也成了微积分方法.因此我们用以圆心为起研究函数.这时,人们懂得了,需要讨论的不只是代点,该质点的位置(z,y)为端点的向量r(f)=数式.Y=sinx是一个式子吗?
是,但是它首先是一(z(£),y(£))(即前文讲的位置向量)来刻画这个质个符号.Y=船2+如+f不也是符号吗?
但是给出了点的运动,并且称之为该质点的动径.它是一个向一个z,就能用四则运算算出相应的y来,y—sinx量(值)函数,即其分量都是函数.所谓它的导数就不行.从这个意义上说,Y=sinx不是一个式子,
至少不是一个代数式.这么说,y= ̄/1+z也不是五dr(£)就是以警,宅笋为分量的向量:
丢r(£)
万 方数据
。
2
数学通报
在,位置向量r(£)是
2007年第46卷第11期
=(警,孝笋),如果t表示时间,它就是速度向
量.再求一次导数就得出加速度向量.
我们以过0的X轴正向作为计算角口的始边,而且r(设t=0时动径就是这个始边口=0,因为旋转是匀速的,所以口=tat,而当t增加
r(O
,(£)=(Rcost,Rsint)
因此,由速度向量定义,知速度向量是
苏d,(f)=(R石dcos£,R丢si眦).
但由上述定理
否dr(t?
2cc,(t+号)5(Rc。
s(t+号),
了一个△时,口必增加脚=出£.于是当时间由£变到t+
——●●——●■
Rsm(£+专))一(一Rsint,Rcos班
图3匀速旋转时
动径的变化
比较这两个结果立即得出:
正余弦函数的导数公式
△时,动径由04变为0B,而
位移是向量AB=OB一馓
=r(t+△)一,(£).这一段时间内的平均速度是
..-..I..I
差cos卢COs(件号)=--sint,
历d
sl。
nt
2
去[r(z+△)--r(t)].当△一o(或者说当△为无穷
zb)时,它的极限应该是t时的线速度向量(以下简称为速度向量).但是弦的极限位置是切线,所以速度向量的方向是切线方向而与动径方向垂直.其大小则是lr(t+△)一,(£)I/at.但是分子就是弦长
sin(计号)2
CO乩
(8)
这当然是最简洁的证明,而且我们是把一对函数的导数同时给出的.这并不值得奇怪,本文中许多结果都是对正余弦函数一同给出的.但是我们不要高兴得太早.数学中几乎一切比较重要的结果,在证明中总会用到一些关键性的知识.如果从表面上看
1.当凹为无穷小时,可以用弧长I盈I去代替它.但是由弧度的定义,l舷I=RI凹I因此速
AB
没有用到,就要检查一下,要么您确实有新的发现,
度向量的大小口应该是
要么您搞错了.现在,关键性的后果就是lim曼型一
1.也就是圆弧与相应的弦当弧长为无穷小量时可以互换.我们确实利用了这个结果,即(7)式,所以我们并没有偷巧.比较一下一般教材的证法,例如
I蕊l他≈I盈I尬=均斟・谢=尔.
(7)
这里我们没有考虑极限问题.总之,我们得到一个
定理
若一质点以匀速∞在半径为R的圆上旋
丢c。
缸=妞巡世等匕婴
口Z
缸—柚△z
转,则其速度向量的方向是位置向量(即动径)的方向
=:
lira—c—o—.s—x——c.o——s.3——x...--—...s—i—n——x.—s。
.in.—3..x.——--——.c—.o—s——x.
Az-*O
逆时针转{。
其大小是动径的大小乘以∞:
1,=积.
‘。
伽
这个定理的陈述的实际上是∞>0的情况.如果叫<0即质点沿顺时针方向运动,则速度向量的
一驰(一sinx警)+她塑与≯邀
.
=一slr垅十{208.17
方向也是由位置向量向顺时针转动要而得,其大小
则为I∞IR=二c出.但这与说速度向量的方向是位
=--8i毗+co旺・妞(筹・sin譬)
&q\∞{L
L}
2sin2(△z/2)Um——_—-
..
=一sinz.
置向量向逆时针方针转要,大小为越=一I∞I
R相
也可以用和差化积公式,但这时要用si眦与CO&1:
『的
同.所以定理中没有问∞之符号,而一般地说速度向
连续性,而为此又要用烛曼警一1.,
可见我们的证明确实简单一些.但是这不是它的主要优点,主要优点在于,它有一个明确的物理背景,因此能在他人未见之处看到了新的联系.至
量的方向是动径方向逆时针转要,大小是泳.
厶
利用这个定理,我们可以很容易地求出cost和
sint的导数.为此,我们令∞=1,这时一=“=£,笱;越£=出,所以,对口求导和对t求导是一回事.现
于同时得出CO&Z'和si眦的导数,是因为这两个函数
万方数据
2007年第46卷第11期数学通报
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其实是一回事.一定要分开来计算,把(8)式硬看成是两个公式反倒是不自然的.
为线性空间元素的向量)与动径方向相反.但是动径的方向是由圆心指向质点的,相反的方向则是由质点指向圆心.所以称为向心加速度.总之,我们有了惠更斯的向心加速度定理.
向心加速度定理
若一质点在半径为R的圆
上以角速度∞作匀速旋转。
则它必有一向心加速度
m2R
这个事实是由惠更斯发现的,后来在牛顿发现
图4
速度向量与动径以同样的速度
在不同圆上旋转
万有引力作用时起了重要作用.读者可能会说,数学教材中为什么要有物理学的内容.首先,从前面的论述可以看到,这个定理完全是一个几何学定理,证明的方法也全然是几何学的方法;最多因为它涉及了时间、速度、加速度,可以说它具有运动学的含义,但是没有力、动能、动量等等,所以说它不是一个动力学的定理.我们在此介绍也是为了讲上面介绍的向量方法的力量.可是更重要的在于数学的发展进入18世纪以后,与物理力学的关系更加密不可分.其实在此以前即已如此,例如中学数学教材也会讲到重心,这可完全是一个静力学概念,抛射体的轨迹就是抛物线,这也是一个力学问题,但对此很少有人会怀疑为什么要在数学课程里来讲.有了微积分以后情况又有发展.大概讲一点瞬时速度(这也是力学概念)还可以.可是疑虑就更多起来了.微积分引入中学教材会引起深刻的变化.前面引用张奠宙先生的文章,标题中有“冰冷的美丽与火热的思考”一语.从文章看,这是著名的数学家和数学教育家弗赖登塔尔(1908—1990)的一句名言:
“没有一种数学思想,以它被发现时的那个样子发表出来.一个问题被解决以后,相应地也发展成一种形式化的技巧,结果使得火热的思考变成了冰冷的美丽.”这是一个很有价值的思想.古老的数学成就,当时是如何创造出来的,因为年代久远已难于追踪,因此也就特别容易陷入形式技巧之中.新一轮课改引入的内容大多出自18世纪以后,我们就更应该追寻其创造的过程,使我们自己的教和学生们的学都成为再创造的过程.
以下的内容更不成熟,更盼与读者共同切磋.‘上面用向量的方法发现了,正余弦函数原是一个东西,所以把它们放在一起成为一个向量,一rcos8・i+rsinO・Jf(上面因为常在单位圆上考察所以取r—l
r
判断一个数学结果好不好还有一个极重要的标准,就是看它使用的方法能否用于其它问题.现以加速度为例.由图4清楚地看到当质点在左边的圆上转了一圈时,速度向量也在右边圆上转了一圈,而且仍是匀速的.我们在前文中说过,向量的起点应该放在原点.这似乎与我们的直接经验矛盾.速度向量不是附在质点上吗?
如果把速度看作是物理空间中的一个有向线段,其起点确实附在质点、上.这是物理学和力学的观点,但是按前文讲的A空间的观点来看,这个有向线段的向量成分,即速
度向量,则是一个向量空间——线性空间的元素.
从质点所在的物理空间看问题,这个质点确是速度作为有向线段的起点,它可能是行星,是飞船等等.但是速度作为一个向量,其原点则是线性空间的原点,即零向量,也就是表示静止状况.所以速度向量的线性空间与物理空间是不一样的.前文的第三个怪论就是这回事.北京和上海的风都在自己的线性空间中,北京可以既起北风又起东风,合成北京的东北风;上海可以又起西风,与上海的东风相加,使.风速为零.不管是上海或是北京,东风加北风都可
以是东北风,风速1,加上风速一',就是静风.这些是
线性空间的规则.可是上海的线性空间和北京的线性空间是不同的空间.上海的东风就是不能与北京的北风相加.回到正题.我们既然已将速度向量放在图4的右圆上,并且看出它仍是以角速度ct,作匀速旋转,则又可以对它应用以上定理,发现其加速度向量(速度的速度就是加速度)的方向,是速度向,
量方向逆时针转要,也就是动径方向转兀!
其大小则
厶
是∞・汰一∥R.方向转动耳就成了反方向.如果我
们回到物理空间,又把加速度向量放在质点上,就会发现这个质点有一个加速度成分(这是又一个作
I=1)就成为十分自然的方法.问题在
于能不能进一步?
这就要回忆到前文讲的2维线性
万方数据
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数学通报2007年第46卷第11期
空间还有另一种模型:
复数模型(或记为Cl——模型).从历史上看,复数进入数学比向量要早得多,应为16世纪.后来发现复数只能用于2维问题,为了推广到更高的维数,几经周折终于在19世纪提出了向量.这样就很清楚,向量是复数的推广.但是复数比之向量有一个极大的优点;对复数可以进行四则运算,对于一般的向量则不行.读者可以问,两个向量不是有数量积吗?
但是数量积与复数的乘积很不相同:
两个复数a,b之乘积口6仍是一个复数,而两个向量之数量积a・b就不是一个向量,而是一个实数,它并不在口,b所在的线性空间中.由复数乘积ab=0可得a=0或b=o,但由a・b=0就得不出a=0或b=0.所以复数的乘积和向量的数量积是代数性质完全不同的运算.更何况复数可以作除法
詈(只要6≠o),对向量则不行.所以,一旦有了一个
£,
2维向量,我们时常采用它的复数模型.所以,对应于rcos0・f+rsi硼・Jf,我们考虑相应的复数rcosO+》sin0一r(cosO+isin0),i= ̄/一1.对西+g我们
就用a+西,i=F1.去代替它.就线性空间的运
算而言,二者完全一样,所以连名词也可以交换使用:
例如说模总是指r= ̄/口2+b2(算术根),说辐角移则总是指0一arctanTa,其多值性则需另外处理,
c,
其实讲向量的辐角也一样需作特殊的处理,也一样麻烦.但是采用复数模型就允许在必要时作复数的乘除法,而且对复数的乘除法可以研究其几何意义(与向量数量积的几何意义完全不同,因为这时复数已不再是线性空间的元素了).明白了这一点,下面我们就专门来讨论一个复数值的函数E(∞=cos0+isin0.不过这里的口仍是实的.E(口)这个记号只是我为了方便(为了少写几个字)设计的,别人不一定会用.我这样写是为了下面证明它就是指数函数(现在还完全不清楚),而这是非常复杂的问题.
我们可立即由正余弦导数公式(8)得到
』
{!
¥(∞=/E(日),E(0)=1.
(9)
av
这个式子我们称为一个微分方程,即包含未知函数E(口)及其导数的方程.读者看到这里可能会有点心惊:
微分方程不是一门大学问吗?
难道要给中学生讲微分方程?
当然不是,读者大可以平常心对待它.因为在研究这类问题的时间还是微分方程的初创时期.什么时候才有了微分方程这个词还不清
万
方数据楚.(9)式让我们联想到一个非常类似的“微分方程”:
求一个函数Y=y(f)使
J一.’
uJy+=ay,y(O)=1.
(10)
这是雅可布・伯努利在17世纪20一30年代研究复利问题时得出的.他没有为它应该有(那时还没有)一个很吓人的名词——微分方程——而畏缩,反正在他面前有一个复利问题.牛顿也根本没有想到,他研究的是微分方程,而就是太阳系的行星的运动问题.对于雅可布・伯努利,t是时间,,是t时的存款,他不管什么微分方程的解存在不存在(那时的数学家大概没有什么人会为存在问题担心),反正应该有那么一笔钱y(£)在那里.他还发现了这个函数即了(£)=矿,后来(大概是欧拉)才看到这里的e
2
fi—m(1+上n)・从复利的生成过程看,说这个
解y(£)=矿是指数函数是很有说服力的.自此以后,e这个重要的数就进入了数学家的视野.人们对它的重要性的认识与日俱增,关于它的研究也越来越多.对此,贡献最大的数学家是欧拉.现在来看方程(9):
它的形状与(10)非常相似,只是实数a被虚数i取代.因此人们自然想到E(口)=扩.也就是把y(£)=∥中的a代之以i.但是按我们的记号,E(疗)一cos0+isin0,因此就得到了极为重要的欧拉公式:
矿=cos0+isin0.
(11)
人们一再称赞这个公式的美丽,并且由它得出许多几乎令人难以相信的又不能否定的结论.例如,令0=7c就有
扩+1=0.
(12)
一个公式居然把5个最重要的数:
0,1,P,7c,i联
结起来,岂非怪事.令0=要又有∥2=f,所以,=
∥耐2)‘=每叫2.
.
ii:
一2.
(13)
图5
露珠把蜘蛛网压成了悬链线.在
阳光下闪闪发光
2007年第46卷第11期数学通报
5
虚数的“虚数次幂”居然成了实数!
可是如果这就是欧拉公式的本质,那么数学也就和魔术相差不远了.魔术终究是假的,终究会被拆穿.关于欧拉公式的这些“奇迹”是深刻的数学呢还是骗人的把戏?
甚至有些数学系的大学毕业生居然会说,他看不出P有什么奇妙之处,一方面可能是他看见的奇迹还太少.例如法国自然学家法布尔写过一本科普名著《昆虫记》,在讲到蜘蛛时,他用充满诗意的语言描写了清晨带有露珠的蛛网,形成一条曲线,在初升的朝阳照射下,晶莹剔透,闪闪发亮,这种曲线叫悬
1
矿・矿一ei(柙.
(14)
这个公式如何证明?
可能有的读者以为它不必证明了:
它不就是指数函数的性质吗?
可是谁告诉您矿是指数函数呢?
这完全是由于(9)与(10)的形状相似,如果仅仅因此就说扩是指数函数,那就不过是把E(口)换一个写法,换一个称呼而毫无意义了.可是这里遇到了一个本质性的困难:
到底什么是指数函数?
在现在的中学教材中讨论指数函数Y=a2,(口>O)时是限制z为实数的.例如当z=3时,a3=a・a・口这连初中生都会,z=1/2时,a“2=
链线,方程是Y=÷(矿+矿).也有人说这是P在大
厶
拓也没有问题.甚至当z是无理数时,用一点极限
的思想也不难理解指数函数是什么(当然,完全不必给中学生讲),但若z=i,什么叫做a把自乘i次?
这是完全不可理解的.到这时就需要对指数函数的性质加以分析了.指数函数y=ax。
a>0。
工为实数。
最重要的性质是:
驴・口毛一驴乜,a>0;
.
自然中最美丽的展示.这样的例子还多.可是魔术再多也只是魔术,重要的是要看到欧拉公式(11)在整个数学中的作用.这是一个太大的问题,我们只能就本文所述告诉读者,整个三角函数理论,本质上也就是关于具有纯虚数指数的指数函数化。
的理论.为什么?
因为前面我们已经把整个三角函数理论归结为4个定理,现在看一下,这4个定理又如何归结为关于圮4的性质.我们已经知道复数z必有三角式z=r(cosO+isinO),r=l
z
(驴)玉=口焉毛,a>0;(ab)2=ax・扩,a>0,b>0.
(15)
I是复数的模,口是
它们称为指数定律(我不理解何以现在的中学教材都不使用这个极普通的名词),其中最重要的是第一个,时常称为指数函数的加法定理.通常,在说指数定律时就是指的加法定理.正因为它的重要
2的辐角:
0一argz.如果z是单位圆上的点,必有f
z
I一,.=1,这时z可写为z一陀4一矿,因为z在
、
单位圆上,所以这就是勾股定理.
l矿I=(cosZO+sin2∞1/2=1.
—÷
性,所以。
如果能证明一。
适合(14)式就有理由认为矿也是指数函数.但是(14)的证明是容易的.因为
ei。
二cosot+isina,∥4一co筚+isi叩,
相乘即有
一
如果一个单位向量(复数)z以OA为始边,即z=1=1・矿,r一1,0—0.在转过口角后,必定成为矿.如果再转一个角口,则矿将被8尹去乘而得到e尹・
(暂时我们还只把ei4看成E(口)的一个写法),二者
j
∥。
・∥8=(eosacosfl—sinasinp)+i(cosasi叩+
sinacosp)
矿=∥郴,这就是沙尔定理:
04终于转了口+』9成为P“柙.我们不要小看了这一段话,这里面包含了
两个意思:
首先,复数z乘以P9表示对向量z旋转了一个角皿平面上的运动最基本的有以下几个:
平移(在前文中已讲了,平移若用实数表示就是对直角坐标亦即向量(z,y)的分量z,y各加一个实数:
z—z+a,y—y+b,若用复数表示,令A=口+西,平移就是名一z+A),旋转(将一向量z旋转一个角口就是用萨去乘它:
2一矿z),以原点为中心的位似(就是用一个实数』D去乘它芝一胆,这个运动只涉及z的模f
z
一cos(口+p+isin(口+p—ei(啪,
这样就表明了∥4的沙尔定理(14)就是三角函数的加法定理.
最后看对称定理f引理1来自
P“刖开)2
ei
2・∥8=i・ei8=一sin口+ieosO.
附带说一下,前面我们说,若(z,y)绕原点旋转要
。
而得(z7,y7),则z7=一y,Y7=z,可以用复数给出一个简单统一的证明,以上就是.引理2来自共轭复数公式:
I.即将此模变为pf£f,而辐角不变).还有反
射下面再说.
。
矿=一9.
它表明对z轴的反射就是求共轭复数,也就是改变
更重要的一层意思就是:
以上我们利用了公式
万方数据
6数学通报2007年第46卷第1l期辐角的符号,这时自然横坐标不变而纵坐标变号.在.我诚恳地希望与读者共同探讨这个问题.
至此,读者想必可以认同:
对三角函数的研究这里还想多说两句话.前面我们说,正因为ei9本质上就是研究一类很特殊的指数函数矿.勾股定也适合(14)式就有理由认为矿也是指数函数,这是理就是矿的值模为1。
其它三个定理。
都是来自指数否有点强词夺理?
为了硬把e冲说成是指数函数,故定律的加法定理以及共轭复数的定义.法国大数学意强调指数定律(主要是加法定理)的重要性.我不家阿达玛曾经说过:
“联结两个实域中的真理的最得不以最坚决的态度说:
绝非如此.理由何在?
指数短的路径时常是通过复域.’’三角函数与指数函数定律(主要是加法定理)是定义指数函数的基础.初这两个我们原来只在实域中研究的函数,在进入复中生都知道a2=a・a,这不就是加法定理a1+1=a1域以后就统一起来了.复数的引入打开了数学的广・a1吗?
所以正整数幂的定义就是加法定理.再看分阔领域,指数(与对数)在这里起了重大作用.e的作数幂.a1/“应如何定义?
假设应该定义为6,则由加法用如同丌一样可以说是无所不在.但是复数的引入定理,扩=b…b一(口1/m)…(n1/-)=al/帅叶1/”=a1,也带来了许多问题,需要把微积分的几乎所有基本(…表示m个因子),所以a1/“是方程2“=a的正概念都作很大的发展.但是,以上的“论证”其实只根,即算术根(为什么特意讲到算术根,这里另有一是一种类比,不能说是证明.要证明也难,因为首先大篇文章,本文最后一部分专门讨论它).所以口‰要弄清ei8究竟是什么,也就是要给出定义.完全依=孤,(取算术根).由加法定理a。
=aX+O=矿・ao,靠我们的经验来解释它,是不可能的.因为实在无所以ao=1.至于负指数,我们仍然用加法定理有1法以令人信服的方法,说明P自乘幻次是什么意思.1
这里不可避免地会出现思想的飞跃.所以,论证欧一ao=口一=矿・扩,所以矿={.最后关于无Ⅱ
拉公式(11)的方法就有了很多.可能最常用的是欧理指数,用一点极限思想就可以迎刃而解.总之,我拉提出的用无穷级数的方法.目前的微积分教本多们可以得到一个
半采用它.从逻辑的角度看,这种方法是没有毛病定理以下函数方程
的,但是仍然需要说明何以ei8是指数函数.而且用f(x+Y)=f(x)・f(Y)
那个方法可能先要会求siax,co配的各阶导数,证的连续正解就是指数函数f{x)=矿。
D是任意的正明其泰勒级数的收敛性,然后再讨论复域中的幂级数.
数.这个过程太长,甚至大学的数学专业也要到二总之,可见我们完全有理由用加法定理作为指年级甚至三年级才能讲到欧拉公式.即令对于大学数函数的定义.这种讲法可以十分自然地推广到复生,这也太晚.剥夺了学生更早地接触许多重要思数.这样,正因为一。
适合(14)式就有理由认为,。
也想的机会,何况是中学老师.对于中学生,我想很难是指数函数.(许多常见的微积分教材用幂级数定去讲欧拉公式,但是至少对于一部分学生,可以用义指数函数,却忘记了还应该用幂级数证明一下加一种通俗有趣的方法告诉他们欧拉公式,并且鼓励法定理,这不能不说是一个漏洞.)如果读者愿意详他们用这个公式.这对于刺激他们去创造,大有好细证明一下上述定理,注意一下其中各个条件的作处.我发现有许多人正是通过一种“非正规”的方法用,以及在复数情况下应如何改变,会很有好处.我来接受欧拉公式的,而且他们也多
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