五年级高斯奥数之直线形计算二含答案.docx
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五年级高斯奥数之直线形计算二含答案
第14讲直线形计算二
内容概述
进一步学习直线形面积公式酌运用;学会将线段倍数关系与面积倍数关系进行相互转T七;初步学习添加辅助线酌分析方法.
典型问题
兴趣篇
1.如图8-1,四边形ABCD是直角梯形,其中AD=12(厘米),AB=8(厘米),BC=15(厘米),且三角形ADE、四边形DEBF、三角形CDF的面积相等,阴影三角形DEF的面积是多少平方厘米?
2.一块长方形的土地被分割成4个小长方形,其中三块的面积如图8-2所示(单位:
平方米),剩下一块的面积应该是多少平方米?
3.如图8-3,在三角形ABC中,BC是DC的3倍,AC是EC的3倍,三角形DEC的面积是3平方厘米.请问:
三角形ABC的面积是多少平方厘米?
4.如图8-4,E是BC上靠近C的三等分点,且ED是AD的2倍,三角形ABC的面积为36平方厘水.三角形BDE的面积是多少平方厘米?
5.如图8-5所示,已知三角形BEC的面积等于20平方厘米,E是AB边上靠近日点的四等分点,三角形AED的面积是多少平方厘米?
平行四边形DECF的面积是多少平方厘米?
6.如图8-6,已知平行四边形ABCD的面积为36,三角形AOD的面积为8.三角形BOC的面积为多少?
7.如图8-7,长方形ABCD的面积是96平方厘米,E是AD边上靠近D点的三等分点,F是CD上靠近C点的四等分点.阴影部分的面积是多少平方厘米?
8.如图8-8,将一个长为18的长方形,分成一个三角形和一个梯形,而且梯形的面积是三角形的5倍.三角形ABE的边BE的长是多少?
9.如图8-9,把一个正方形的相邻两边分别增加3和5厘米,结果面积增加了71平方厘米(阴影部分).原正方形的面积为多少平方厘米?
10.如图8-10,四边形ABCD内有一点D,D点到四条边的垂线都是4厘米,四边形的周长是36厘米,四边形的面积是多少平方厘米?
拓展篇
1.如图8-11,有9个小长方形,其中的5个小长方形的面积分别为4、8、12、16、20平方米.其余4个长方形的面积分别是多少平方米?
2.图8-12中三角形ABC的面积是180平方厘米,D是BC的中点,AD是AE的3倍,三角形ABE的面积是多少平方厘米?
3.如图8-13,在四边形ABCD中,已知CD=3DF,AE=3ED,而且三角形BFC的面积为6平方厘米,四边形BEDF的面积为7平方厘米.大四边形ABCD的面积是多少?
4.如图8-14,把三角形DEF的各边向外延长1倍后得到三角形ABC,三角形ABC的面积为1.三角形DEF的面积是多少?
5.如图8-15,E是AB边上靠近A点的三等分点,梯形ABCD的面积是三角形AEC面积的5倍.请问:
梯形的下底长是上底长的几倍?
6.如图8-16,一个长方形被分成4个不同颜色的三角形,红色三角形的面积是9平方厘米,黄色三角形的面积是21平方厘米,绿色三角形的面积是10平方厘米,那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米?
7.图8-17中,正方形ABCD的面积为1.把每条边都3等分,然后将这8个等分点与正方形内部的某一点P相连接,形成4个阴影的四边形和4个空白的三角形,阴影部分的总面积是多少?
8.如图8-18,在梯形ABCD中,E是AB的中点.已知梯形ABCD的面积为35平方厘米,三角形ABD的面积为13平方厘米.三角形BCE的面积为多少平方厘米?
9.在图8-19中,正方形ADEB和正方形ECFG底边对齐,两个正方形边长分别为6和4.三角形ACG和三角形BDF的面积分别是多少?
10.图8-20是由边长分别为10厘米、12厘米、8厘米的正方形构成,有一条与AB边平行的直线EF将此图形分成面积相等的两部分,那么BF的长度为多少厘米?
11.
(1)如8-21中左图所示,把一个正方形的相邻两边分别增加2厘米和4厘米,结果面积增加了50平方厘米(阴影部分).原正方形的面积为多少平方厘米?
(2)如8-21中右图所示,把一个正方形的相邻两边分别减少3厘米和5厘米,结果面积减少了65平方厘米(阴影部分).原正方形的面积为多少平方厘米?
12.如图8-22,直角三角形ABC套住了一个正方形CDEF,E点恰好在AB边上,直角边AC长20厘米,BC长12厘米.正方形的边长为多少厘米?
超越篇
1.如图8-23,三角形ABC的每边长都是96厘米,用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形.请求出CE和CF的长度之和.
2.如图8-24,把四边形ABCD的各边都延长1倍,得到一个新四边形EFGH.如果ABCD的面积是5平方厘米,则EFGH的面积是多少平方厘米?
3.图8-25中ABCD是正方形,图中数字是各线段的长度(单位:
厘米).过,点的线段IM将五边形EFGHI分成面积相等的两部分.线段BM的长度是多少厘米?
4.如图8-26,在钝角三角形ABC中,M为AB边的中点,MD、EC都垂直于BC边.若三角形BDE的面积是3平方厘米,则三角形ABC的面积是多少?
5.在图8-27中,大正方形面积比小正方形面积大40平方厘米,大正方形面积是多少平方厘米?
6.如图8-28,直角三角形ABC的三边长分别为AC=30(分米),AB=18(分米),BC=24(分米),ED垂直于AC,且ED=95(厘米).问正方形BFEG的边长是多少厘米?
7.菜鸟和大虾在武林大会上相遇,争夺武林盟主的地位,三百回合大战后,两人不分胜负.突然,菜鸟向对手发出一枚飞镖,说时迟,那时快,飞镖已经接近大虾的胸口,只见大虾迅速抽身向左闪开,同时用手中的宝剑向飞镖劈去,只听见“瞠”的一声,飞镖被劈成了两半,如图8-29,菜鸟的飞镖是正六角星的形状,边长为5.被大虾劈开的刀口如虚线所示,那么较小的那部分残片占到整体面积的几分之几?
8.如图8-30,将三个边长为l的正方形组合在一起,中间的正方形的两个顶点恰好是另外两个正方形的中心.请问:
图中阴影部分的面积是多少?
第8讲直线形计算二
内容概述
进一步学习直线形面积公式酌运用;学会将线段倍数关系与面积倍数关系进行相互转T七;初步学习添加辅助线酌分析方法.
典型问题
兴趣篇
1.如图8-1,四边形ABCD是直角梯形,其中AD=12(厘米),AB=8(厘米),BC=15(厘米),且三角形ADE、四边形DEBF、三角形CDF的面积相等,阴影三角形DEF的面积是多少平方厘米?
解析:
四边形ABCD的面积是(12+15)×8÷2=108(平方厘米),108÷3=36(平方厘米)。
CF=36×2÷8=9(厘米),FB=15-9=6(厘米),AE=36×2÷12=6(厘米),EB=8-6=2(厘米)。
阴影三角形DEF的面积是36-2×6÷2=30(平方厘米)
2.一块长方形的土地被分割成4个小长方形,其中三块的面积如图8-2所示(单位:
平方米),剩下一块的面积应该是多少平方米?
解析:
40×15÷30=20(平方米)
3.如图8-3,在三角形ABC中,BC是DC的3倍,AC是EC的3倍,三角形DEC的面积是3平方厘米.请问:
三角形ABC的面积是多少平方厘米?
解析:
三角形ADC的面积是3×3=9(平方厘米),三角形ABC的面积是3×9=27(平方厘米)
4.如图8-4,E是BC上靠近C的三等分点,且ED是AD的2倍,三角形ABC的面积为36平方厘水.三角形BDE的面积是多少平方厘米?
解析:
三角形BAE的面积是36÷3×2=24(平方厘米),三角形BDE的面积24÷3×2=16(平方厘米)
5.如图8-5所示,已知三角形BEC的面积等于20平方厘米,E是AB边上靠近日点的四等分点,三角形AED的面积是多少平方厘米?
平行四边形DECF的面积是多少平方厘米?
解析:
(1)三角形AED的面积是20×3=60(平方厘米)
(2)三角形DEC的面积是20+60=80(平方厘米),三角形DEC的面积是平行四边形DECF的面积的一半,也是平行四边形ABCD的面积的一半,所以平行四边形DECF的面积是80×2=160(平方厘米)
6.如图8-6,已知平行四边形ABCD的面积为36,三角形AOD的面积为8.三角形BOC的面积为多少?
解析:
根据一半模型可知,三角形AOD的面积和三角形BOC的面积是平行四边形ABCD的面积的一半,所以三角形BOC的面积是36÷2-8=10
7.如图8-7,长方形ABCD的面积是96平方厘米,E是AD边上靠近D点的三等分点,F是CD上靠近C点的四等分点.阴影部分的面积是多少平方厘米?
解析:
链接BD,可知三角形ABD的面积和三角形BDC都是96÷2=48(平方厘米),三角形ABE的面积是48×
=32(平方厘米)。
同理可知三角形BFC的面积是48×
=12(平方厘米)。
链接AC,根据鸟头定理可知48×
×
=24(平方厘米),阴影部分的面积是96-24-32-12=28(平方厘米).
8.如图8-8,将一个长为18的长方形,分成一个三角形和一个梯形,而且梯形的面积是三角形的5倍.三角形ABE的边BE的长是多少?
解析:
链接AC,而且梯形的面积是三角形的5倍,所以可知三角形ACE的面积是三角ABE的2倍且CE=2BE。
BE=18÷3=6
9.如图8-9,把一个正方形的相邻两边分别增加3和5厘米,结果面积增加了71平方厘米(阴影部分).原正方形的面积为多少平方厘米?
解析:
3×5=15(平方厘米),71-15=56(平方厘米)。
把剩余的两个长方形的长相同,56÷(3+5)=7(厘米)。
原正方形的面积是7×7=49(平方厘米)
10.如图8-10,四边形ABCD内有一点D,D点到四条边的垂线都是4厘米,四边形的周长是36厘米,四边形的面积是多少平方厘米?
解析:
链接AO、DO、BO、CO得到四个高相同的三角形。
假设这个三角形的底是AB=a,AD=d
CD=c,BC=b,且a+b+c+d=36,那么四个三角形的面积就是4×a÷2+4×b÷2+4×c÷2+4×d÷2=4÷2×(a+b+c+d)=2×36=72(平方厘米)。
拓展篇
1.如图8-11,有9个小长方形,其中的5个小长方形的面积分别为4、8、12、16、20平方米.其余4个长方形的面积分别是多少平方米?
解析:
第一行的长方形面积16×4÷8=8(平方米);
第二行的长方形面积16×12÷8=24(平方米);
第二行的长方形面积左边第一个长方形8×20÷16=10(平方米);
第二行的长方形面积右边第一个长方形20×24÷16=30(平方米)。
2.图8-12中三角形ABC的面积是180平方厘米,D是BC的中点,AD是AE的3倍,三角形ABE的面积是多少平方厘米?
3.如图8-13,在四边形ABCD中,已知CD=3DF,AE=3ED,而且三角形BFC的面积为6平方厘米,四边形BEDF的面积为7平方厘米.大四边形ABCD的面积是多少?
解析:
连接BD,可得到两个三角形ABD和三角形BDC。
根据CD=3DF,AE=3ED可知三角形FBD的面积6÷2=3(平方厘米),三角形EDB的面积是7-3=4(平方厘米),三角形AEB的面积是3×4=12(平方厘米)。
大四边形ABCD的面积是6+7+12=25(平方厘米)。
4.如图8-14,把三角形DEF的各边向外延长1倍后得到三角形ABC,三角形ABC的面积为1.三角形DEF的面积是多少?
解析:
连接AE、BF、CD,不难看出图中小三角形的面积都相等,所以三角新的DEF的面积是1÷7=
5.如图8-15,E是AB边上靠近A点的三等分点,梯形ABCD的面积是三角形AEC面积的5倍.请问:
梯形的下底长是上底长的几倍?
解析:
因为E是AB边上靠近A点的三等分点,所以三角形BEC的面积相当于ACE的面积的2倍。
又因为梯形ABCD的面积是三角形AEC面积的5倍,那么三角形ACD的面积也是三角形ACE的倍,所以三角形CBA的面积是三角形ACD的面积的3÷2=1.5倍,所以下底是上底的1.5倍。
6.如图8-16,一个长方形被分成4个不同颜色的三角形,红色三角形的面积是9平方厘米,黄色三角形的面积是21平方厘米,绿色三角形的面积是10平方厘米,那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米?
解析:
根据一半模型可知蓝色三角形面积是21
+10-9=22(平方厘米)
7.图8-17中,正方形ABCD的面积为1.把每条边都3等分,然后将这8个等分点与正方形内部的某一点P相连接,形成4个阴影的四边形和4个空白的三角形,阴影部分的总面积是多少?
解析:
根据一半模型,可推得上下和左右两个空白三角形的面积都是是正方形面积的
,
由此易知道阴影的面积是1-
-
=
。
8.如图8-18,在梯形ABCD中,E是AB的中点.已知梯形ABCD的面积为35平方厘米,三角形ABD的面积为13平方厘米.三角形BCE的面积为多少平方厘米?
解析:
连接AC,三角形ABC的面积和三角形BCD的面积相等,并且都是35-13=22(平方厘米);又因为E是AB中点所以三角形BCE的面积是22÷2=11(平方厘米)。
9.在图8-19中,正方形ADEB和正方形ECFG底边对齐,两个正方形边长分别为6和4.三角形ACG和三角形BDF的面积分别是多少?
解析:
此题是典型的蝴蝶定理的应用,图一连接AE,可知得到梯形AECG,根据地蝴蝶定理可知阴影三角形ACG的面积和三角形CEG的面积相同4×4÷2=8;同理图2连接EF,可知道三角形BDF的面积是6×6÷2=18.
10.图8-20是由边长分别为10厘米、12厘米、8厘米的正方形构成,有一条与AB边平行的直线EF将此图形分成面积相等的两部分,那么BF的长度为多少厘米?
解析:
解设BF为X厘米
(10+12+8)(12-X)-(12-8)(8-X)=(10+12+8)X-10[X-(12-10)]
解得X=5.8
11.
(1)如8-21中左图所示,把一个正方形的相邻两边分别增加2厘米和4厘米,结果面积增加了50平方厘米(阴影部分).原正方形的面积为多少平方厘米?
(2)如8-21中右图所示,把一个正方形的相邻两边分别减少3厘米和5厘米,结果面积减少了65平方厘米(阴影部分).原正方形的面积为多少平方厘米?
解析:
(1)
,50-8=42(平方厘米),42÷6=7(厘米)
7×7=49(平方厘米)
(2)3×5=(平方厘米)
65+15=80(平方厘米)
80÷8=10(厘米)
10×10=100(平方厘米)
12.如图8-22,直角三角形ABC套住了一个正方形CDEF,E点恰好在AB边上,直角边AC长20厘米,BC长12厘米.正方形的边长为多少厘米?
解析:
方法一:
延长BC到G,使AC=CG;三角形ABC的面积就等于三角形GEB。
三角形ABC的面积=20×12÷2×2÷(20+12)=7.5(厘米)
方法二:
连接CE,显然三角形CEB的面积与三角ACE的面积的和等于三角形ABC的面积,即20×12÷2=120(平方厘米);
解:
设正方形的的边长是X厘米。
20X÷2+12X÷2=120
解得X=7.5
超越篇
1.如图8-23,三角形ABC的每边长都是96厘米,用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形.请求出CE和CF的长度之和.
解析:
根据题意显然3AD=CD,2BE=EC,DF=FC。
又因为三角形ABC的每边长都是96厘米,所以EC=96÷3×2=64(厘米);CF=96÷4×3÷2=36(厘米);CF+EC=36+64=100(厘米)。
2.如图8-24,把四边形ABCD的各边都延长1倍,得到一个新四边形EFGH.如果ABCD的面积是5平方厘米,则EFGH的面积是多少平方厘米?
解析:
连接AC、CH、AF,易知三角形AEF、AFB和三角形ABC面积相等,三角形ACD、CHD和三角形CHG面积也相等,所以三角形FBE与三角形DHG的面积和是四边形ABCD的面积的2倍。
同理,连接BD、ED、BG,也可知三角形AEH与三角形FCG的面积和也是四边形ABCD的面积的2倍。
所以EFGH的面积是5×5=25(平方厘米)。
3.图8-25中ABCD是正方形,图中数字是各线段的长度(单位:
厘米).过,点的线段IM将五边形EFGHI分成面积相等的两部分.线段BM的长度是多少厘米?
解析:
正方形ABCD的面积是是(3+5)×(3+5)=64(平方厘米);五边形EFGHI的面积等于正方形的面积减去四个角上的三角形的总结,即64-(2×5÷2+3×4÷2+2×4÷2+1×6÷2)=46(平方厘米);根据题意易知道四边形EIMF的面积是46÷2=23(平方厘米),梯形AIMB面积是23+2×5÷2+1×6÷2=31(平方厘米),BM=31×2÷(2+6)-5=2.75(厘米)。
4.如图8-26,在钝角三角形ABC中,M为AB边的中点,MD、EC都垂直于BC边.若三角形BDE的面积是3平方厘米,则三角形ABC的面积是多少?
解析:
连接CM,根据梯形蝴蝶定理不难知道三角形EDM的面积等于三角形CMD的面积,所以三角形EDB的面积也就等于三角形CMB的面积,也就是3平方厘米。
又因M是AB的中点,所以三角形ABC的面积=3×2=6(平方厘米)。
5.在图8-27中,大正方形面积比小正方形面积大40平方厘米,大正方形面积是多少平方厘米?
解析:
解:
设小正方形边长为X厘米。
(20-X)2-X2=40
X=9
大正方形的面积是(20-9)2=121(平方厘米)
6.如图8-28,直角三角形ABC的三边长分别为AC=30(分米),AB=18(分米),BC=24(分米),ED垂直于AC,且ED=95(厘米).问正方形BFEG的边长是多少厘米?
解析:
连接BE、AE、CE,ED=95厘米=9.5分米根据题意列方程
解:
设正方形BFEG的边长为X分米。
18X÷2+24X÷2+30×9.5÷2=18×24÷2
解得X=35
7.菜鸟和大虾在武林大会上相遇,争夺武林盟主的地位,三百回合大战后,两人不分胜负.突然,菜鸟向对手发出一枚飞镖,说时迟,那时快,飞镖已经接近大虾的胸口,只见大虾迅速抽身向左闪开,同时用手中的宝剑向飞镖劈去,只听见“瞠”的一声,飞镖被劈成了两半,如图8-29,菜鸟的飞镖是正六角星的形状,边长为5.被大虾劈开的刀口如虚线所示,那么较小的那部分残片占到整体面积的几分之几?
解析:
连通三角形ABC,根据鸟头定理可知SBEF=
SABC=
SABC,如图不难看出SABC=
S正六边形;所以SBEF=
S正六边形=
S正六边形;S较小残片=
=
S正六边形。
A
F
BC
E
8.如图8-30,将三个边长为l的正方形组合在一起,中间的正方形的两个顶点恰好是另外两个正方形的中心.请问:
图中阴影部分的面积是多少?
解析:
连接BD、AD,延长右边正方形的对角线得到延长部分DE,这样得到梯形BCDE。
根据蝴蝶定理可得到三角形COE的面积等于三角形BOD的面积;如图不难看出三角形BOD的面积是中间小长方形的面积的四分之一。
同理,图中与三角形COE完全相同的其它三角形的面积也都是小长方形的面积的四分之一,所以这四个三角形面积和就是小长方形的面积。
根据题意可知正方形ACDE的面积是1,很显然中图中阴影的面积就是正方形ACDE的面积的一半,即为1÷2=0.5
C
B0E
AD
GH
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