九年级数学上全册教案.docx
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九年级数学上全册教案
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第24章 图形的相似
24.1 相似的图形
教学目标:
1、理解相似形的概念,了解相似形是两个图形之间的关系。
2、根据不同需要,能作出大小不一定相同的图形,培养学生的观察能力。
教学重点:
让学生理解相似图形概念,会判断两个图形是否相似。
教学难点:
正确理解“形状相同”的含义并画出相似图形。
教学过程:
一、导入新课
挂上大小不一样的中国地图两张及两张大小不同的长城图片,供同学观察,并看课本第42页的图,提出问题:
这几组图片有什么相同的地方呢?
这些图片大小虽然不一样,但形状是相同。
二、讲解新课
由于不同的需要,我们用同一底片冲洗、放大得到的相片有1寸的,也有2寸的,也有更大的,这些大小不一样的相片,其形状是相同。
同学们想一想,在毕业证书贴的相片与学籍卡片上的相片、学习证的相片大小不一定一样,但形状相同,如果不相同会有什么后果呢?
大小不相同的中国地图或世界地图,其形状也是相同的,只是由于需要的不同,印制成大小不一的图片。
对于某一地区,也经常会绘制成各种大小不同的建筑物、山岗等所处的位置都是相同,同学们想一想,如果两张地图(同一地区)的形状不一样,那就会给我们许多错觉,就会产生许多麻烦的事情。
在日常生活中我们会看到许多这样形状相同,而大小不一定相同的图形。
在数学上,我们把具有相同形状的图形称为相似形。
同学们你还能说出哪些相似的图形吗?
(同学们思考、讨论、交换意见)国旗、国旗上的五角星。
画一个图形放在投影机上映射到屏幕上的图形与原图、平面镜上看到你自己的像等。
如图所示的是一些相似的图形。
想一想:
放大镜下的图形和原图形相似吗?
你看过哈哈镜吗?
哈哈镜中的形像与你本人相似吗?
还有一些图形,看起来有点相像,但它们不是相似的图形。
为什么有一部分图形看起来相像,但不相似呢?
这就是数学上说的相似图形还有其特征,就是这章要探索的内容。
三、课堂练习:
课本第43页试一试,你能画出两个或更多的相似形吗?
四、小结:
形状相同而大小不一定相同的图形称为相似形,相似形在生活中经常碰到。
五、作业:
P44:
1、2。
六、反思及感想:
24.2 相似图形的特征
第一课时 成比例线段
教学目标:
1、了解成比例线段的意义,会判断四条线段是否成比例。
2、利用比例的性质,会求出未知线段的长。
教学重点:
成比例线段的定义;比例的基本性质及直接运用
教学难点:
比例的基本性质的灵活运用,探索比例的其它性质
教学过程:
一、复习引入:
挂上两张中国地图,问:
1.这两个图形有什么联系?
它们都是平面图形,它们的形状相同,大小不相同,是相似形。
2.这两个图形是相似图形,为什么有些图形是相似的,而有的图形看起来相像又不会相似呢?
相似的两个图形有什么主要特征呢?
为了探究相似图形的特征,本节课先学习线段的成比例。
二、新课讲解
1.两条线段的比
(1)回忆什么叫两个数的比?
怎样度量线段的长度?
怎样比较两线段的大小?
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB∶CD=m∶n,或写成=,其中,线段AB、CD分别叫做这两个线段比的前项和后项.
如果把表示成比值k,则=k或AB=k·CD.
注意:
在量线段时要选用同一个长度单位.
(2).做一做
量出数学书的长和宽(精确到0.1cm),并求出长和宽的比.
改用m作单位,则长为0.211m,宽为0.148m,长与宽的比为0.211∶0.148=211∶148
只要是选用同一单位测量线段,不管采用什么单位,它们的比值不变.
(3).求两条线段的比时要注意的问题
①两条线段的长度必须用同一长度单位表示,如果单位长度不同,应先化成同一单位,再求它们的比;
②两条线段的比,没有长度单位,它与所采用的长度单位无关;
③两条线段的长度都是正数,所以两条线段的比值总是正数.
问:
两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系?
(学生讨论)
(答:
线段的长度比与所采用的长度单位无关)
2.成比例线段的定义
你还记得八年级上册中“变化的鱼”吗?
如果将点的横坐标和纵坐标都乘以(或除以)同一个非零数,那么用线段连接这些点所围成的图形的边长如何变化?
四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.
3.比例的基本性质
两条线段的比实际上就是两个数的比.如果a,b,c,d四个数满足,那么ad=bc吗?
反过来,如果ad=bc,那么吗?
与同伴交流.
如果,那么ad=bc。
若ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么.
4.线段的比和比例线段的区别和联系
线段的比有顺序性,四条线段成比例也有顺序性.如是线段a、b、c、d成比例,而不是线段a、c、b、d成比例.
三、例题讲解
例题1:
在某市城区地图(比例尺1∶9000)上,新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16cm、10cm.
(1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米?
(2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少?
它们的实际长度之比呢?
例题2:
如图,已知=3,求和;
例题:
3:
如果=k(k为常数),那么成立吗?
为什么?
四.探究延伸,拓展思维(想一想再回答)
(1)如果,那么成立吗?
为什么?
(2)如果,那么成立吗?
为什么?
(3)如果,那么成立吗?
为什么.
(4)如果=…=(b+d+…+n≠0),那么成立吗?
为什么.
(小组讨论完成上面的问题)
五、课堂练习
1.已知=3,求和,=成立吗?
2.已知==2(b+d+f≠0),求:
(1);
(2);
(3);(4).(小组讨论并上黑板)
六、课时小结:
1、注意点:
(1)两线段的比值总是正数;
(2)讨论线段的比时,不指明长度单位;(3)对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示.
2、比例尺:
图上长度与实际长度的比
3、熟记成比例线段的定义;2.掌握比例的基本性质,并能灵活运用.
七、作业:
P47 :
1、2、3;P51:
2、3.
八、反思及感想:
24.2 相似图形的特征
第二课时 相似图形的特征
教学目标:
1、知道相似图形的两个特征:
对应边成比例,对应角相等。
2、识别两个多边形是否相似的方法。
3、在推出相似多边形性质时,让学生用量角器、刻度尺来测量,锻炼动手能力,让学生感受数学知识源于生活、用于生活。
教学重点:
相似多边形的性质
教学难点:
理解和应用相似多边形的性质
教学过程:
一、复习:
1.若线段a=6cm,b=4cm,c=3.6cm,d=2.4cm,那么线段a、b,c、d会成比例吗?
2.两张相似的地图中的对应线段有什么关系?
(都成比例)
二、新课
相似的两张地图中的对应线段都会成比例,对于一般的相似多边形,这个结论是否成立呢?
同学们动手量一量,算一算,用刻度尺和量角器量一量课本第48页两个相似四边形的边长,量一量它们的内角,由一位同学把量得的结果写在黑板上,其他同学把量得的结果与同伴交流。
同学们会发现有什么关系呢?
经过观察、计算得出这两个相似四边形的对应边会成比例,对应角会相等,再观察课本中两个相似的五边形,是否也具有一样的结果?
反映它们的边之间、角之间的关系是什么关系?
同学用格点图画相似的两个三角形,也观察、度量,它们是否也具有这种关?
对应边成比例,对应角相等。
由此可以得到两个相似多边形的特征:
(由同学回答,教师板书)对应边成比例,对应角相等。
实际上这两个特征,也是我们识别两个多边形是否相似的方法。
即如果两个多边形的对应边都成比例,对应角都分别相等,那么这两个多边形相似。
识别两个多边形是否相似的标准有:
(边数相同),对应边要(成比例),对应角要(都相等)。
(填号内要求同学填)
想一想:
(1)两个三角形一定是相似形吗?
两个等腰三角形呢?
两个等边三角形呢?
两个等腰直角三角形呢?
(2)所有的菱形都相似吗?
所有矩形呢?
正方形呢?
例1:
矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中,AB=1.5cm,BC=4.5cm,A′B′=0.8cm,B′C′=2.4cm,这两个矩形相似吗?
为什么?
例2:
(课本第49页例题)
三、练习:
1.课本第50页练习。
2.
(1)矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中,已知AB=16cm,AD=10cm,
A′D′=6cm,矩形A′B′C′D′的面积为57cm2,这两个矩形相似吗?
为什么?
3.如图四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是相似的,且C′D′⊥B′C′,根据图中的条件,求出未知的边x,y及角a。
四、小结:
1.两个多边形是否相似的两个标准是什么?
2.相似多边形具有什么特征?
五、作业:
P51:
4,6,7。
六、反思及感想:
24.3相似三角形
1.相似三角形
教学目标:
1、知道相似三角形的概念;能够熟练地找出相似三角形的对应边和对应角;会根据概念判断两个三角形相似。
2、能说出相似三角形的相似比,由相似比求出未知的边长。
3、在探索活动中,发展发现问题、解决问题的意识和合作交流的习惯。
教学重点:
掌握相似三角形的定义、表示法,并能根据定义判断两个三角形是否相似
教学重点:
熟练找出对应元素,在此基础上根据定义求线段长或角的度数
教学过程:
一、复习:
什么是相似形?
识别两个多边形是否相似的标准是什么?
二、新课:
1.相似三角形的有关概念:
由复习中引入,如果两个多边形的对应边成比例,对应角都相等,那么这两个多边形相似。
三角形是最简单的多边形。
由此可以说什么样的两个三角形相似?
如果两个三角形的三条边都成比例,三个角对应相等,那么这两个三角形相似,如在△ABC与△A′B′C′中,∠A=A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′
=
=
那么△ABC与△A′B′C′相似,记作△ABC∽△A′B′C′;“∽”是表示相似的符号,读作“相似于”,这样两三角形相似就读作:
“△ABC相似于△A′B′C′”。
由于∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,所以点A的对应顶点是A′,B与B′是对应顶点,C与C′是对应顶点,书写相似时,通常把对应顶点写在对应位置上,以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边.如果记
=
=
=K,那么这个K就表示这两个相似三角形的相似比.相似比就是它们的对应边的比,它有顺序关系.如△ABC∽△A′B′C′,它的相似比为K,即指
=K,那么△A′B′C′与△ABC的相似比应是
,就不是K了,应为多少呢?
同学们想一想?
2.△ABC中,D,E是AB、AC的中点,连结DE,那么△ADE与△ABC相似吗?
为什么?
如果相似,它们的相似比为多少?
如果点D不是AB中点,是AB上任意一点,过D作DE∥BC,交AC边于E,那么△ADE与ABC是否也会相似呢?
判断它们是否相似,由①对应角是否相等,②对应边是否成比例去考虑。
能否得对应角相等?
根据平行线性质与一个公共角可以推出①,而对应边是否成比例呢?
目前还没有什么依据,同学们不妨用刻度尺量一量,算一算是否成比例?
通过度量,计算发现
=
=
.所以可以判断出△ADE与△ABC会相似。
若是DE∥BC,与BA、CA延长线交于D、E,那么△ADE与△ABC还会相似吗?
试一试看。
如果相似写出它们对应边的比例式.
3.如果△ABC∽△A′B′C′,相似比K=1,你会发现什么呢?
=
=
=1,所以可得AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′,因此这两个三角形不仅形状相同,且大小也相同,这样的三角形称之为全等三角形,全等三角形是相似三角形的特例,试问:
①全等的两个三角形一定相似吗?
②相似的两个三角形会全等吗?
全等的符号与相似的符号之间有什么关系与区别?
4.例:
如果一个三角形的三边长分别是5、12、13,与其相似的三角形的最长边是39,那么较大三角形的周长是多少?
较小三角形与较大三角形的周长的比是多少?
分析:
这两个三角形会相似,对应边是哪些边?
相似比是多少?
哪一个三角形较大?
要计算出它的周长还需求什么?
根据什么来求?
三、练习:
下列两个三角形是否相似?
简单说明理由,如果相似,写出对应边的比例
四、小结:
1.填空:
_______的三角形叫做相似三角形。
2.两个相似三角形的相似比为1,这两个三角形有什么关系?
3、如果一条直线平行于三角形一边,与其它两边或其延长线相交截得的三角形与原三角形相似吗?
指出它们的对应边。
五、作业:
P54:
1、2、3。
六、反思及感想:
2.相似三角形的识别
第一课时相似三角形的识别
(一)
教学目标:
1.会说识别两个三角形相似的方法:
两个角分别相等的两个三角形相似。
2.会用这种方法判断两个三角形是否相似。
教学重点:
相似三角形的判定方法以及推导过程,并会用判定方法来证明和计算.
教学难点:
判定方法的运用.
教学过程:
一、复习
1.两个矩形一定会相似吗?
为什么?
2.如何判断两个三角形是否相似?
根据定义:
对应角相等,对应边成比例。
3.如图△ABC与△′B′C′会相似吗?
为什么?
是否存在识别两个三角形相似的简便方法?
本节就是探索这方面的识别两个三角形相似的方法。
二、新课讲解
同学们观察你与你的同伴用的三角尺,及老师用的三角板,如有一个角是30°的直角三角尺,它们的大小不一样。
这些三角形是相似的,我们就从平常所用的三角尺入手探索。
(1)是45°角的三角尺,是等腰直角三角形会相似。
(2)是30°的三角尺,那么另一个锐角为60°,有一个直角,因此它们的三个角都相等,同学们量一量它们的对应边,是否成比例呢?
这样,从直观上看,一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等,它们好像就会“相似”。
是这样吗?
请同学们动手试一试:
1.画两个三角形,使它们的三个角分别相等。
画△ABC与△DEF,使∠A=∠D、∠B=∠E,∠C=∠F,在实际画图过程中,同学们画几个角相等?
为什么?
实际画图中,只画∠A=∠D,∠B=∠E,则第三个角∠C与∠F一定会相等,这是根据三角形内角和为180°所确定的。
2.用刻度尺量一量各边长,它们的对应边是否会成比例?
与同伴交流,是否有相同结果。
3.发现什么现象:
发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等,那么这两个三角形相似。
4.两个矩形的四个角也都分别相等,它们为什么不会相似呢?
这是由于三角形具有它特殊的性质。
三角形有稳定性,而四边形有不稳定性。
于是我们得到识别两个三角形相似的一个较为简便的方法:
如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似,简单地说:
两角对应相等,两三角形相似。
同学们思考,能否再简便一些,仅有一对角对应相等的两个三角形,是否一定会相似呢?
例题:
1.如图两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,
∠A=∠A′,判断这两个三角形是否相似。
2.在△ABC与△A′B′C′中,∠A=∠A′=50°,∠B=70°,
∠B′=60°,这两个三角形相似吗?
3.如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,试说明△ADE∽△EFC。
三、练习
1.△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,找出图中所有的相似三角形。
2.△ABC中,D是AB的边上一点,过点D作一直线与AC相交于E,要使△ADE与△ABC会相似,你怎样画这条直线,并说明理由。
和你的同伴交流作法是否一样?
四、小结”本节课我们学习了识别两个三角形相似的简便方法:
有两个角对应相等的两个三角形相似。
五、作业:
P64:
1
六、反思及感想:
第二课时相似三角形的识别
(二)
教学目标:
1.会说出识别两个三角形相似的方法:
有两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;三条边对应成比例的两个三角形相似。
2.能依据条件,灵活运用三种识别方法,正确判断两个三角形相似。
教学重点:
相似三角形判定方法2、3的推导过程,掌握判定方法2、3并能灵活运用.
教学难点:
判定方法的推导及运用
教学过程:
一、复习:
1.现在要判断两个三角形相似有哪几种方法?
有两种方法,
(1)是根据定义;
(2)是有两个角对应相等的两个三角形相似。
2.如图△ABC中,D、E是AB、AC上三等分点(即AD=
AB,AE=
AC),那么△ADE与△ABC相似吗?
你用的是哪一种方法?
由于没有两个角对应相等,同学们可以动手量一量,量什么东西后可以判断它们能否相似?
(可能有一部分同学用量角器量角,有一部分同学量线段,看看能否成比例)无论哪一种,都应肯定他们,是正确的,要求同学说出是应用哪一种方法判断出的。
二、新课讲解
同学们通过量角或量线段计算之后,得出:
△ADE∽△ABC。
从已知条件看,△ADE与△ABC有一对应角相等,即∠A=∠A(是公共角),而一个条件是AD=
AB,AE=
AC,即是
=
,
=
;因此
=
。
△ADE的两条边AD、AE与△ABC的两条边AB、AC会对应成比例,它们的夹角又相等,符合这样条件的两个三角形也会相似吗?
我们再做一次实验。
观察图,如果有一点E在边AC上,那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢?
图中两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值为
,将点E由点A开始在AC上移动,可以发现当AE=
AC时,△ADE与△ABC相似。
此时
=
同学们画两个三角形,△ABC与△A′B′C′,使之∠A=∠A′,AB=2A′B′,AC=2A′C′,量一量BC与B′C′的长,计算BC:
B′C′与同伴交流,
是否与
,
相等?
再量一量∠B与∠B′、∠C与∠C′,它们是否对应相等呢?
这样的两个三角形相似吗?
于是有识别两个三角形相似的第二种简便方法:
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。
简单地说;两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。
强调对应相等的角必须是成比例的边的夹角,如果不是夹角,它们不一定会相似。
你能画出有两边会对应成比例,有一个角相等,但它们不相似的两个三角形吗?
(画顶角与底角相等的两个等腰三角形)∠B=∠B′,
=
三、例题讲解:
例1.(课本中例3)判断图中△AEB与△FEC是否相似?
例2.如图△ABC中,D、E是AB、AC上点,AB=7.8,AD=3,AC=6,CE=2.1,试判断△ADE与△ABC是否会相似,小张同学的判断理由是这样的:
解:
因为AC=AE+CE,而AC=6,CE=2.1,
故AE=6-2.1=3.9
由于
≠
所以△ADE与△ABC不会相似。
你同意小张同学的判断吗?
请你说说理由。
小张同学的判断是错误的。
因为
=
,
=
=
所以
=
而∠A是公共角,∠A=∠A,
所以△ADE∽△ACB.
请同学再做一次实验,看看如果两个三角形的三条边都成比例,那么这两个三角形是否相似?
看课本58页“做一做”。
通过实验得出:
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简单说成:
三边成比例两三角形相似。
例3:
△ABC和△A′B′C′中,AB=6cm,BC=8cm,AC=l0cm,A′B′=18cm,
B′C′=24cm,A′C′=30cm,试判定它们是否相似,并说明理由。
四、练习:
课本59页 练习1、2,3.
五、小结:
到现在我们学习了识别两个三角形是否相似的三种较简便的方法,请同学回忆说出.(抽部分学生回答)
六、作业:
P64 :
4
七、反思及感想:
3.相似三角形的性质
教学目标:
会说出相似三角形的性质:
对应角相等,对应边成比例,对应中线、角平分线、高的比等于相似比,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。
教学重点:
1.相似三角形中对应线段比值的推导;
2.相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导;
3.运用相似三角形的性质解决实际问题.
教学难点:
相似三角形性质的灵活运用,相似三角形周长比、面积比与相似比关系的推导及运用
教学过程:
一、复习:
1.识别两个三角形相似的简便方法有哪些?
2.在△ABC与△A′B′C′中,AB=l0cm,AC=6cm,BC=8cm,A′B′=5cm,A′C′=3cm,B′C′=4cm,这两个三角形相似吗?
说明理由。
如果相似,它们的相似比是多少?
二、新课讲解
上述两个三角形是相似的,它们对应边的比就是相似比,△ABC∽△A′B′C′,相似比为
=2。
相似的两个三角形,它们的对应角相等,对应边会成比例,除此之外,还会得出什么结果呢?
一个三角形内有三条主要线段;高、中线、角平分线。
如果两个三角形相似,那么这些对应的线段有什么关系呢?
我们先探索一下它们的对应高之间的关系。
同学画出上述的两个三角形,作对应边AB和A′B′边上的高,用刻度尺量一量CD与C′D′的长,
等于多少呢?
与它们的相似比相等吗?
得出结论:
相似三角形对应高的比等于相似比。
我们能否用说理的方法来说明这个结论呢?
同学们用上面类似方法,得出:
相似三角形对应中线的比等于相似比;相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
两个相似三角形的周长比会等于相似比吗?
两个相似三角形的面积之间有什么关系呢?
看如图的三个三角形,三角形
(2)的各边长分别是
(1)的2倍,(3)的各边长分别是
(1)的3倍,所以它们都是相似的,填空:
(2)与
(1)的相似比为(),
(2)与
(1)的面积比为(),
(3)与
(1)的相似比为(),(3)与
(1)的面积比为()
(3)与
(2)的相似比为(),(3)与
(2)的面积比为()。
以上可以看出当相似比为K时,面积比为K2。
对于一般相似的三角形都具有这种关系,可以得出结论:
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
三、课堂练习:
1.△ABC∽△A′B′C′,相似比为,则对应中线的比等于()。
2.相似三角形对应角平分线比为,则相似比为(),周长比为(),面积比为()
3.△ABC∽△A′B′c′,相似比为
,已知△A′B′C′的面积为18cm2,
那么△ABC的面积为()。
四、小结:
(以填空形式,让同学回答)相似三角形()相等,()的比等于相似比,面积的比等于()。
五、作业:
P64 :
2、6
六、反思及感想:
4、相似三角形的应用
教学目标:
1、会应用相似三角形的有关性质,测量简单的物体的高度或宽度。
2、自己设计方案测量高度体会相似三角形在解决问题中的广泛应用。
3、通过利用相似解决实际问题,进一步提高学生应用数学知识的能力。
教学重点:
构建相似三角形解决实际问题。
教学难点:
把实际问题抽象为数学问题,利用相似三角形解决。
教学过程:
一、复习
1、相似三角形有哪些性质?
2.如图,B、C、E、F是在同一直线上,AB⊥BF,DE⊥BF,AC∥DF,
(1)△DEF与△ABC相似吗?
为什么?
(2)若DE=1,EF=2,BC=10,那么AB等于多少?
二、例题讲解
第二题我们根据两个三角形相似,对应边成比例,列出比例式计算出AB的长。
人们从很早开始,就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度。
例1:
古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法:
为了测量金字塔的高度OB,先竖一根已知长度的木棒O′B′,比较棒子的影长A′B′与金字塔的影长AB,即可近似算出金字塔的高度OB,如果O′B′=l,
A′B′=2,AB=274,求金字塔的高度O
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