171几何 第二章 相交线平行线.docx
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171几何第二章相交线平行线
第二章相交线平行线
本章主要研究两条直线的位置关系,重点是垂直和平行关系,并结合这些知识简要介绍了命题的组成和证明的步骤.
学习时要注意:
1.掌握好相交线、平行线有关的角是学好这些知识的关键.2.要注意学会观察图形和利用图形,结合图形分析问题和解决问题.3.注意区别平行线的判定、性质,判定与性质的题设与结论正好相反,因此在运用它们推理证明时,一定要注意区别,不要用错.4.把文字语言叙述过程“翻译”成使用符号推理的格式.
2.1相交线
【双基同步训练】
1.填空
(1)在△ABC中,∠C是直角,则在AB、AC和BC三条线段中,最长的是这是因为
(2)如下图中
(1)图,AD⊥BC,AB=6cm,AD=3cm,AC=5cm,则点A到BC的距离是,A、B两点间的距离是
(3)如下图中
(2)图,∠ADE与是同位角,∠DEF与∠CFE是角;∠BDF与∠DFE是角,∠EFC与∠B是角;∠A与∠AEF是角
(4)如上图中
(2)图,∠AED与∠C是被所截的同位角,∠EDF与∠BFD是被
所截的内错角;∠AEF与∠BFE是被所截的同旁内角.
(5)如上图中(3)图,若∠1=65°,OE⊥CD,OF⊥AB,则∠2=,∠AOC=.
(6)如上图中(4)图,EF与AB、CD分别交于点M、N,MG平分∠EMB,NH平分∠CNF,∠1=∠2,则∠AMN+∠CNM=.
(7)如下图,直线a、b被直线l所截,已知∠1=∠3,∠1与∠3互余,则∠1=度,∠3=度。
(8)如右图,共对同位角,共有对内错角,共有对同旁内角.
(9)如下图,∠1与∠2互补,∠3=115°,则∠4=度。
(10)如右图所示,直线AB、CD、EF相交于点O,则:
①∠AOC的对顶角是。
②∠AOD的对顶角是。
③∠BOC的邻补角是和。
④∠BOE的邻补角是和。
(11)如下图所示,OA⊥OB,直线CD过O点,且∠AOC=40°。
求∠DOB的度数。
解:
∵OA⊥OB(已知)
∴∠AOB=°()
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=°
∴∠BOD=180°-∠BOC=°(补角定义)
(12)如下图长方体中:
①棱AA′与面、面垂直。
②棱BC与面、面垂直。
③垂直于面ADD′A′的棱有条,它们是。
④垂直于面AA′B′B的面有个,它们是。
(13)看右图填空。
①∠1和∠4是AB被所截得的角。
②∠3和∠5是、被AC所截得的角。
③∠2和∠5是、被所截得的内错角。
④AC、BC被AB所截得的同旁内角是。
2.选择题
(1)下列四个句子
①只有铅垂线和水平线才是互相垂直的直线;
②从直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短;
③邻补角是由两条直线相交得到的,不仅有一个公共顶点,还有一条公共边;
④有公共顶点,没有公共边的两个角是对顶角.
其中正确的是()
A.①②B.②③C.③④D.①④
(2)下列各对平分线中互相垂直的是()
A.对顶角的平分线B.邻补角的平分线
C.同位角的平分线D.内错角的平分线
(3)如果∠1和∠2是邻补角,且∠1>∠2,那么∠2的余角是()
A.
(∠1+∠2)B.
∠1
C.
(∠1-∠2)D.∠1-∠2
(4)P为直线l上一点,点A、B、C为直线l在三点,如果PA=2cm,PB=3cm,PC=4cm,则P到直线l的距离为()
A.等于4cmB.等于3cmC.等于2cmD.不大于2cm
(5)如右图,已知∠1=∠2,若要有∠3=∠4,则需要().
A.∠1=∠2;
B.∠2=∠3
C.AB∥CD;
D.∠1=∠4
(6)下列给出的图形中,∠1与∠2是对顶角的是().
(7)如下图,∠1和∠2是对顶角的图形个数有()。
A.1个B.2个C.3个D.4个
(8)如下左图所示,直线AB和CD相交于O点,∠AOD和∠BOC的和为236°,那么∠AOC的度数为()。
A.72°B.62°C.124°D.144°
(9)如上右图,三条直线l1、l2、l3相交于一点O,则∠1+∠2+∠3等于()。
A.90°B.120°C.180°D.360°
3.判断题
(1)如果∠1与∠2是同位角,那么∠1=∠2.()
(2)若∠α=∠β,那么∠α与∠β是对顶角.()
(3)两直线被第三条直线所截,那么内错角相等.()
(4)过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直.()
(5)“垂线段最短”是真命题.()
4.画图与测量
(1)如下左图,用三角板过点D画AB的垂线,再过点C画AB的垂线.
(2)如上右图,量出点D到B的距离,再量出D到BC的距离.
(3)在下图中,用三角板分别过点C画AB的垂线。
(4)在下列各图中,分别画BF⊥AD、CF⊥AD,垂足分别为E、F。
5.说理题
(1)如右图,∵MN⊥AB,(已知)
∴∠MOB=90°()
(2)如右图,∵CD平分∠EDF,(已知)
∴∠3=∠4.()
∵CD⊥AB,(已知)
∴∠CDB=∠CDA=90°(已知)
即∠1+∠3=∠2+∠4
∴∠1=∠2.()
又∠2和∠5是对顶角,(已知)
∴∠2=∠5()
∴∠1=∠5.()
6.如下图,直线AB、CD、EF交于O点,CD⊥AB,∠COE=27°18′,求∠AOF.
7.如下图所示,已知BA⊥CD,DC⊥AD,∠C=75°,求∠B的度数.
【创新能力训练】
1.画∠AOB=80°,作∠AOB的平分线OC,在OC上截取OP=4cm,再过P点作射线OA、OB的垂线直线段PE、PF,量出PE、PF的长度并比较它们的大小.
2.指出图中对顶角、同位角、内错角与同旁内角的各有多少对?
【实践能力训练】
如下图,将书页一角折叠使角的顶点落在A′处,BC为折痕,另一页折叠使角的顶点落在D′处,BD′与BA′叠合,试计算∠CBE的度数.
2.2平行线
【双基同步训练】
1.填空
(1在同一平面在内,若两条直线不相交,则它们一定
(2)如下图,∠1与∠3互余,∠2与∠3的余角互补,∠4=134°则∠3=
(3)如图,AD∥BC,AB⊥BC,∠ABD=29°,则∠ADB=度.
(4)如图,∠1=∠2,∠D=78°,则∠BCD=
(5)如图,AB∥CD,DE平分∠ADC,ED⊥DF,∠BAD=60°,则∠CDF=
2.选择题
(1)两条直线被第三条直线所截,则()
A.同位角的邻补角相等B.内错角的对顶角一定相等
C.同位角不一定相等D.同旁内角有两对,其和为周角
(2)如下图,EF∥BC,DE∥AB,∠FED=50°,则下列结论正确的是()
A.∠B>50°B.∠B=50°
C.∠B<50°D.∠B的度数不能确定
(3)两直线被第三条直线所截,若∠1和∠2是同旁内角,若∠1=70°,则().
A.∠2=70°B.∠2=110°
C.∠2=70°或∠2=110°D.∠2的度数确定
(4)若两条平行直线被第三条直线所截,则一对同位角的平分线互相()
A.平行B.垂直C.相交D.重合
(5)如下图,AB∥EF,∠B=70°,∠F=30°,则∠BCF等于()
A.100°B.40°C.50°D.20°
(6)下列命题中是真命题的是().
A.同旁内角相等,两直线平行;
B.不相等的角一定不是对顶角;
C.一个角的补角一定大于这个角;
D.点到直线的距离是点到这条直线的垂线的长.
(7)如右图,点E在BC的延长线上,下列条件中不能判定AB
∥CD的是().
A.∠1=∠2;B.∠B=∠DCE;
C.∠3=∠4;D.∠D+∠DAB=180°
(8)如下右图所示,已知AB∥CD,AD∥BC,下列结论不正确的是().
A.∠C+∠D=180°;
B.∠A+∠B=180°;
C.∠A+∠C=180°;
D.∠B+∠C=180°
3.在下列各题的横线上填上推理结果,并在括号内填写理由.
(1)如下图,∵∠1=65°,∠2=65°,(已知)
∴∠1=∠2()
∴∥()
∵AB、DE相交,(已知)
∴∠1=∠4()
∴∠4=65°()
∵∠3=115°(已知)
∴∠3+∠4=180°
∴∥.()
(2)如下右图,AF、AC、DF、DB与EG都是直线,且∠1=∠2,∠C=∠D,根据推理填写理由,
∵∠1=∠2(),
又∵∠1=∠3(),
∴∠2=∠3(),
∴DB∥EC(),
∴∠C=∠ABD(),
又∵∠C=∠D(),
∴∠D=∠ABD().
∴AC∥DF(),
∴∠A=∠F().
(3)如下右图,已知∠AEC=∠A+∠C,
求证:
AB∥CD.
证明:
过点E作EF∥AB,
∴∠1=∠A(),
∵∠AEC=∠A+∠C(),
即∠1+∠2=∠A+∠C.
∴∠2=∠C().
∴EF∥CD(),
∴AB∥EF,CD∥EF().
∴AB∥CD().
(4)如右图,填空:
①∵∠1=∠C(已知)
∴ED∥(已知)
②∵∠2=∠BED(已知)
∴DF∥(已知)
③∵∠2+∠AFD=180°(已知)
∴∥(已知)
④∵∠3=∠B(已知)
∴∥(已知)
⑤∵∠DFC=∠(已知)
∴ED∥AC()
(5)根据下图填空:
①∵AB∥CD(已知)
∴∠1=∠4()
②∵∠2+∠4=180°(已知)
∴AB∥CD()
③∵AB∥CD(已知)
∴∠2=∠3()
4.如下图,∠1=38°26′,∠2=141°34′,∠3=51°34′.求∠4
5.如下图,∠AOB=50°,PC∥OB,PD为∠OPC的角平分线,求∠APC、∠OPD、∠PDO的度数.
6.如下图,已知AD∥BC,∠1=∠B,求证:
AD∥EF.
7.如下左图,量得∠1=∠2=∠3。
(1)从∠1=∠2,可以推出哪两条直线平行?
它的根据是什么?
(2)从∠2=∠3,可以推出哪两条直线平行?
它的根据是什么?
8.如上右图,E是AB上一点。
(1)知道了∠DEC=∠ADE,可以判定哪两条直线平行?
为什么?
(2)知道了∠AEC+∠DCE=180°,可以判定哪两条直线平行?
为什么?
(3)知道了∠AED=∠B,可以判定哪两条直线平行?
为什么?
9.如下图,∠B=∠D=120°,∠A=60°,那么哪些线段互相平行?
为什么?
10.如下图,已知∠1是它的补角的3倍,∠2等于它的余角,那么AB∥CD吗?
为什么?
【创新能力训练】
1.如下图,已知AC∥DE,∠1=∠2,那么AB∥CD吗?
为什么?
【实践能力训练】
1.如下图,A、B之间是一座山,一条铁路要通过A、B两地,在A地测得铁路走向是北偏东48°25′,则在B地测得A地在南偏西多少度?
如果A、B两地同时开工,那么在B地铁路按∠B施工,∠B为多少度才能使铁路在山腹中准确接通?
2.3命题定理证明【双基同步训练】
1.填空
(1)一个命题由和两部分组成,正确的命题叫做、叫做假命题,判断一个命题是假命题只须.
(2)证明是由出发,经过一步步的,最后推出的过程.
(3)命题“对顶角相等”的题设是,结论是.
(4)把“同角的余角相等”改写成“如果,那么.
(5)举反例说明“等式是方程”是假命题.
2.选择题
(1)下列命题中,假命题是()
A.推理过程叫做证明B.定理都是命题
C.命题都是公理D.公理都是命题
(2)下列命题中,真命题是()
A.正数与负数之和是正数
B.同位角相等
C.个位是4的整数一定能被4整除
D.不相等的两个角不是对顶角
(3)下列各语句中不是命题的是()
A.两点之间,线段最短B.对顶角不相等.
C.连结A、B两点D.两直线相交只有一个交点
(4)已知∠1和∠2是直线l1、l2被l3所截得的同旁内角,如果l1∥l2,结论正确的是()
A.∠1=∠2B.∠1+∠2=90°
C.
∠1+
∠2=90°D.∠1是钝角,∠2是锐角
(5)如果AB⊥EF,CD∥EF,那么AB⊥CD,这一推理的依据是()
A.垂直定义
B.平行公理
C.等量代换
D.垂直于两条平行线中的一条的直线垂直于另一条
3.判断下列命题的真假
(1)如果∠α和∠β是同位角,那么∠α=∠β。
()
(2)如果ab=0,那么a=0。
()
(3)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。
()
(4)若a=b,则│a│=│b│。
()
(5)自然数是整数。
()
(6)一个角的余角一定小于这个角的补角。
()
4.画图,写出已知、求证(不证明)
垂直于同一条直线的两条直线平行.
5.完成下面的推理,并在括号内填写理由
(1)已知:
如右图,AD∥BC,∠BAD=∠BCD,求证:
AB∥CD.
证明:
∵AD∥BC,()
∴∠1=.()
又∵∠BAD=∠BCD,()
∴∠BAD-∠1=∠BCD-∠2
即∠3=∠4
∴AB∥()
(2)已知:
如右图,AB∥CD,AE与CD相交于F,求证:
∠AFC=∠BAE.
证明:
∵AB∥CD,()
∴∠BAE=∠DFE.()
又∵∠DFE=∠AFC.()
∴∠AFC=.()
(3)已知:
如右图,AB⊥CD,∠1=∠2,求证∠EOC=∠FOC.
证明:
∵AB⊥CD()
∴∠AOC=∠BOC=90°()
又∵∠1=∠2()
∴∠1+∠AOC=[CD#3]+[CD#3]即〖CD#3〗=[CD#3].
(4)如下左图,直线AB、CD被直线EF所截,已知∠1+∠2=180°,求证:
AB∥CD。
证明:
∵∠1+∠3=180°∠1+∠2=180°(已知)∴∠2=∠3()∴AB∥CD()
(5)如上右图,已知:
∠C=∠DAE,∠B=∠D。
求证:
AB∥DF。
证明:
∵∠C=∠DAE(已知)
∴AD∥BC()
∴∠D=∠DFC()
又∵∠B=∠D(已知)
∴∠B=∠DFC()
∴AB∥DF()
(6)如下左图,已知OP平分∠AOB,PC∥OB。
求证:
∠1=∠2。
证明:
∵PC∥OB()
∴∠2=∠BOP()
又∵OP平分∠AOB(已知)
∴∠1=∠BOP()
∴∠1=∠2()
(7)如上右图,已知:
AB∥CD,求证:
∠A+∠APC+∠C=360°。
证明:
过点P作PE∥AB
∵AB∥CD(已知)
∴PE∥CD()
∴∠A+∠1=180°
∠2+∠C=180°()
∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°()
即∠A+∠APC+∠C=360°()
6.已知,如下图,CD⊥OB,EF⊥OB,∠1=60°,求∠2的度数.
7.已知,如下图∠1=∠2,求证:
∠2=∠3.(要求有两种方法证明)
【创新能力训练】
已知,如下图,∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断:
∠AED和∠C的关系?
【实践能力训练】
平面内两条直线有相交和平行两种位置关系,想一想,在空间两条直线有其它的位置关系吗?
试举出现实生活中的实例.
参考答案
2.1相交线
【双基同步训练】
1.
(1)AB略
(2)3cm;6cm(3)∠DBF;内错;内错;同位;同旁内角(4)DE,BC,AC;DE,BC,DF;AC,BC,EF(5)65°;25°(6)180°(7)45°,45°(8)4、2.2(9)65°(10)∠BOD,∠BOC,∠AOC,∠BOD,∠BOF,∠AOE(11)90°,垂直定义,50°,130°(12)①ABCD,A′B′C′D,②CDD′C′,ABB′A;③4,棱DC、AB、A′B′、D′C′,④4,面ABCD、面A′B′C′D、面AA′D′、面BB′C′C(13)①CD、BC同位;②AB、BC,同旁内;③AB,CD,AC;④∠4和∠5
2.
(1)B
(2)B(3)C(4)D(5)C(6)D(7)A(8)B(9)C
3.
(1)×
(2)×(3)×(4)√(5)√
4.略
5.略
6.62°42′
7.105°
【创新能力训练】
1.略
2.6对,12对;6对,6对
【实践能力训练】
90°
2.2平行线
【双基同步训练】
1.
(1)平行
(2)46°(3)61°(4)102°(5)140°
2.
(1)C
(2)B(3)D(4)A(5)A(6)B(7)B(8)C
3.
(1)—(3)略
4.①AC,同位角相等,两直线平行;
②AB,内错角相等,两直线平行;
③DE,AC,同旁内角相等,两直线平行;
④DF,AB,同位角相等,两直线平行;
⑤∠2,内错角相等,两直线平行
5.①两直线平行,同位角相等;
②同旁内角互补,两直线平行;
③两直线平行,内错角相等
6.128°26′
7.50°;65°;65°
8.略
9.
(1)a∥b,内错角相等,两直线平行;
(2)c∥d,同位角相等,两直线平行
10.
(1)AD∥EC,内错角相等,两直线平行
(2)DC∥AB,同旁内角互补,两直线平行
(3)DE∥CB,同位角相等,两直线平行
11.AD∥BC,AB∥DC,同旁内角互补,两直线平行
12.∵∠1=135°,∠2=45°,∴∠1+∠2=180°,∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)
【创新能力训练】
1.平行(可证∠1=∠3)
【实践能力训练】
南偏西48°25′;131°35′
2.3命题定理证明
【双基同步训练】
1.
(1)题设;结论;真命题;错误的命题;举出一个反例
(2)题设;推理;结论正确(3)—(5)略
2.
(1)C
(2)D(3)C(4)C(5)D
3.
(1)假
(2)假(3)真(4)真(5)真(6)真
4.略
5.
(1)—(3)略
(4)同角的有相等;同位角相等,两直线平行;
(5)内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等;等量代换;同位角相等,两直线平行。
(6)已知:
两直线平行,内错角相等;角平分线定义;等量代换。
(7)平行公理的推论;两直线平行,同旁内角互补;等式性质。
6.60°
7.略
【创新能力训练】
∠AED=∠C
【实践能力训练】
有;异面直线
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