小学六年级小升初数学专项训练+典型例题分析找规律篇教师版.docx
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小学六年级小升初数学专项训练+典型例题分析找规律篇教师版.docx
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小学六年级小升初数学专项训练+典型例题分析找规律篇教师版
名校真题测试卷找规律篇
时间:
15分钟满分5分姓名_________测试成绩_________
1(12年清华附中考题)
如果将八个数14,30,33,35,39,75,143,169平均分成两组,使得这两组数的乘积相等,那么分组的情况是什么?
2(13年三帆中学考题)
观察1+3=4 ; 4+5=9 ; 9+7=16 ; 16+9=25 ; 25+11=36 这五道算式,找出规律,
然后填写2001
+( )=2002
3(12年西城实验考题)
一串分数:
其中的第2000个分数是.
4(12年东城二中考题)
在2、3两数之间,第一次写上5,第二次在2、5和5、3之间分别写上7、8(如下所示),每次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次,问所有数之和是多少?
2……7……5……8……3
5(04年人大附中考题)
请你从01、02、03、…、98、99中选取一些数,使得对于任何由0~9当中的某些数字组成的无穷长的一串数当中,都有某两个相邻的数字,是你所选出的那些数中当中的一个。
为了达到这些目的。
(1)请你说明:
11这个数必须选出来;
(2)请你说明:
37和73这两个数当中至少要选出一个;
(3)你能选出55个数满足要求吗?
【附答案】
1【解】分解质因数,找出质因数再分开,所以分组为33、35、30、169和14、39、75、143。
2【解】上面的规律是:
右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列3、5、7、9、11……,所以下面括号中填的数字为奇数列中的第2001个,即4003。
3【解】分母为3的有2个,分母为4个,分母为7的为6个,这样个数2+4+6+8…88=1980<2000,这样2000个分数的分母为89,所以分数为20/89。
4【解】:
第一次写后和增加5,第二次写后的和增加15,第三次写后和增加45,第四次写后和增加135,第五次写后和增加405,……
它们的差依次为5、15、45、135、405……为等比数列,公比为3。
它们的和为5+15+45+135+405+1215=1820,所以第六次后,和为1820+2+3=1825。
5【解】
(1),11,22,33,…99,这就9个数都是必选的,因为如果组成这个无穷长数的就是1~9某个单一的数比如111…11…,只出现11,因此11必选,同理要求前述9个数必选。
(2),比如这个数3737…37…,同时出现且只出现37和37,这就要求37和73必须选出一个来。
(3),同37的例子,
01和10必选其一,02和20必选其一,……09和90必选其一,选出9个
12和21必选其一,13和31必选其一,……19和91必选其一,选出8个。
23和32必选其一,24和42必选其一,……29和92必选其一,选出7个。
………
89和98必选其一,选出1个。
如果我们只选两个中的小数这样将会选出9+8+7+6+5+4+3+2+1=45个。
再加上11~99这9个数就是54个。
小升初专项训练找规律篇
一、小升初考试热点及命题方向
找规律问题在小升初考试中几乎每年必考,但考题的分值较低,多以填空题型是出现。
在刚刚结束的12年小升初选拔考试中,人大附中,首师附中,十一学校,西城实验,三帆,西外,东城二中和五中都涉及并考察了这一类题型。
二、2007年考点预测
07年的这一题型必然将继续出现,题型的出题热点在利用通项表达式(即字母表示)总结出已知条件中等式的内在规律和联系,这一类题型主要考察学生根据已有条件进行归纳与猜想的能力,希望同学们多加练习。
三、典型例题解析
1与周期相关的找规律问题
【例1】、(★★)
化小数后,小数点后若干位数字和为1992,求n为多少?
【解】
化小数后,循环数字和都为27,这样1992÷27=73…21,所以n=6。
【例2】、(★★)有一数列1、2、4、7、11、16、22、29……那么这个数列中第2006个数除以5的余数为多少?
【解】数列除以5的余数为1、2、4、2、1、1、2、4、2、1…这样就使5个数一周期,所以2003÷5=400…3,所以余4。
【例3】、(★★★)某人连续打工24天,赚得190元(日工资10元,星期六做半天工,发半工资,星期日休息,无工资).已知他打工是从1月下旬的某一天开始的,这个月的1号恰好是星期日.问:
这人打工结束的那一天是2月几日?
【来源】第五届“华杯赛”初赛第16题
【解】因为3×7<24<4×7,所以24天中星期六和星期日的个数,都只能是3或4.又,190是10的整数倍。
所以24天中的星期六的天数是偶数.再由240-190=50(元),便可知道,这24天中恰有4个星期六、3个星期日.星期日总是紧接在星期六之后的,因此,这人打工结束的那一天必定是星期六.由此逆推回去,便可知道开始的那一天是星期四.因为1月1日是星期日,所以1月22日也是星期日,从而1月下旬唯一的一个星期四是1月26日.从1月26日往后算,可知第24天是2月18日,这就是打工结束的日子.
2图表中的找规律问题
【例4】、(★★)图中,任意_--个连续的小圆圈内三个数的连乘积郡是891,那么B=_______.
【来源】第十届<小数报>数学竞赛初赛填空题第5题
【解】根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891”,可知任意一个小圆圈中的数和与它相隔2个小圆圈的小圆圈中的数是相同的.于是,B=891÷(9×9)=11.
【例5】(★★★)自然数如下表的规则排列:
求:
(1)上起第10行,左起第13列的数;
(2)数127应排在上起第几行,左起第几列?
【解】:
本题考察学生“观察—归纳—猜想”的能力.此表排列特点:
①第一列的每一个数都是完全平方数,并且恰好等于所在行数的平方;②第一行第n个数是(n-1)2+1,②第n行中,以第一个数至第n个数依次递减1;④从第2列起该列中从第一个数至第n个数依次递增1.
由此
(1)〔(13-1)2+1〕+9=154;
(2)127=112+6=〔(12-1)2+1〕+5,即左起12列,上起第6行位置.
3较复杂的数列找规律
【例6】、(★★★)设1,3,9,27,81,243是6个给定的数。
从这六个数中每次或者取1个,或者取几个不同的数求和(每一个数只能取1次),可以得到一个新数,这样共得到63个新数。
把它们从小到大一次排列起来是1,3,4,9,10,12,…,第60个数是______。
【来源】1989年小学数学奥林匹克初赛第15题
【解】最大的(即第63个数)是
1+3+9+27+81+243=364
第60个数(倒数第4个数)是
364-1-3=360。
【例7】、(★★★)在两位数10,11,…,98,99中,将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加-个小数点,其余的数不变.问:
经过这样改变之后,所有数的和是多少?
【来源】第五届“华杯赛”初赛第15题
【解】原来的总和是10+11+…+98+99=
=4905,被7除余2的两位数是
7×2+2=16,7×3+2=23,…,7×13十2=93.
共12个数.这些数按题中要求添加小数点以后,都变为原数的
,因此这-手续使总和减少了
(16+23+…+93)×(1-
)=
×
=588.6
所以,经过改变之后,所有数的和是4905—588.6=4316.4.
【例8】、(★★★)小明每分钟吹-次肥皂泡,每次恰好吹出100个.肥皂泡吹出之后,经过1分钟有-半破了,经过2分钟还有
没有破,经过2分半钟全部肥皂泡都破了·小明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候,没有破的肥皂泡共有个.
【来源】1990年小学数学奥林匹克决赛第8题
斐波那契数列非常有意思!
【解】小明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候,第17次之前(包括第17次)吹出的肥皂泡全破了.此时没有破的肥皂泡共有100+100×
+100×
=155(个).
4与斐波那契数列相关的找规律
【引言】:
有个人想知道,一年之内一对兔子能繁殖多少对?
于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。
已知一对兔子每个月可以生一对小兔子,而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。
假如一年内没有发生死亡现象,那么,一对兔子一年内能繁殖成多少对?
现在我们先来找出兔子的繁殖规律,在第一个月,有一对成年兔子,第二个月它们生下一对小兔,因此有二对兔子,一对成年,一对未成年;到第三个月,第一对兔子生下一对小兔,第二对已成年,因此有三对兔子,二对成年,一对未成年。
月月如此。
第1个月到第6个月兔子的对数是:
1,2,3,5,8,13。
我们不难发现,上面这组数有这样一个规律:
即从第3个数起,每一个数都是前面两个数的和。
若继续按这规律写下去,一直写到第12个数,就得:
1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233。
显然,第12个数就是一年内兔子的总对数。
所以一年内1对兔子能繁殖成233对。
在解决这个有趣的代数问题过程中,斐波那契得到了一个数列。
人们为纪念他这一发现,在这个数列前面增加一项“1”后得到数列:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,……叫做“斐波那契数列”,这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。
【例9】(★★)数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题:
如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝,然后休息一年。
再在下一年又长出一条新枝,并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。
那么,第1年它只有主干,第2年有两枝,问15年后这棵树有多少分枝(假设没有任何死亡)?
【解】1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584
绝对是一棵大树。
【例10】(★★)有一堆火柴共10根,如果规定每次取1~3根,那么取完这堆火柴共有多少种不同取法?
【解】此题要注重思路,因为没办法直接考虑,这样我们发现这题同样用找规律的方法,我们可以先看只有1根的情况开始:
1根,有:
1种;
2根,有1、1,2,共两种;
3根,可以有:
1、1、1,1、2,2、1,3,共4种;
4根,有:
1、1、1、1,1、1、2,1、2、1,2、1、1,2、2,1、3,3、1,共7=4+2+1种;
5根,有:
1、1、1、1、1,1、1、1、2,1、1、2、1,1、2、1、1,2、1、1、1,1、2、2,2、1、2,2、2、1,1、1、3,1、3、1,3、1、1,2、3,3、2,共13=7+4+2种;
6根,得到24=13+7+4种;
即:
n根,所有的取法种数是它的前三种取法的和。
由此得到,10根为274种。
[拓展]爬楼梯问题。
【例11】(★★★)对一个自然数作如下操作:
如果是偶数则除以2,如果是奇数则加,如此进行直到得数为1操作停止。
问经过9次操作变为1的数有多少个?
【来源】仁华考题
【解】这一题首先我们可以明确的是要采用逆推的方法,其次我们还得利用找规律来归纳出计算方法。
在复杂的或者步子比较多的计数中,找规律是一种非常常用的方法。
归纳总结上述规律,从第三项起,每一项都是前两项之和。
5有趣的猫捉耗子规律
注:
有一个很出名的游戏,猫捉耗子的游戏,一只猫让一群老鼠围成一圈报数,每次报单数的吃掉,有一只老鼠总不被吃掉,问这个老鼠站在哪个位置?
因此我们称之为猫捉耗子的问题。
【例12】、(★★★)50只耗子排成一排,1到50报号,奇数号的出列,剩下的偶数号再报号,再奇数列出列…一直这样,问最后一只剩下的是原来的几号?
【解】第一次剩下的是:
2、4、6、8、10、12……50都是2的倍数;
第二次剩下的是:
4、8、12、16……48都是4=2
的倍数;
第三次剩下的是:
8、16、24……都是8=2
的倍数,……这样每次剩下的都是2
的倍数,现在要剩下一只,这样就是看1~50中2
的最大数就是32号。
【拓展】123自然数列一直写到100,然后按数码编号,擦去奇数号,留下的数再编号,再擦去奇数号……这样请问最后留下的3个数字是___。
【解】360
【例13】、(★★★)50枚棋子围成圆圈,编上号码1、2、3、4、……、50,每隔一枚棋子取出一枚,要求最后留下的一枚棋子的号码是42号,那么该从几号棋子开始取呢?
【来源】03年圆明杯数学竞赛试题
【解】:
方法一:
通过归纳我们知道,如果开始有A人,A=2k+m(k是保证m为自然数的最大值)。
那么从1号开始取,每个1个取1个,则最后剩下的为2m号。
现在有50枚棋子,如果从1号开始取,有50=25+18,所以最后剩下的为18×2=36号。
现在剩下的是42号,所以开始取的为1+(42-36)=7号。
方法二:
找出规律,若开始从2号开始取,则若有2枚、4枚、8枚、16枚、32枚…则最后剩下的均为1号。
比如如果9枚,取掉1号后即剩下8枚剩下的将是8枚的首位,即3号,
而50枚先取50-32=18枚后,剩32枚,取走了2、4、6、8、…、36,则37为剩下的32枚重排列后的1号,38为2号。
故最后剩下的为37号,即若开始取2号,剩下37号,现剩下的为42号,故开始从7号开始取的。
【例14】、(★★★)把1~1993这1993个自然数,按顺时针方向依次排列在一个圆圈上,如图12—1,从1开始沿顺时针方向,保留1,擦去2;保留3,擦去4;……(每隔一个数,擦去一个数),转圈擦下去。
求最后剩的是哪个数?
【解】分析:
如果依照题意进行操作,直到剩下一个数为止,实在是很困难。
我们先从简单情况研究,归纳出解决问题的规律,再应用规律解题。
如果是2个数1、2,最后剩下1;如果是3个数1、2、3,最后剩3;如果是4个数1、2、3、4,最后剩1;如果是5个数1、2、3、4、5,最后剩的是3;如果是6个数1、2、3、4、5、6,最后剩的是5;如果是7个数1、2、3、4、5、6、7,最后剩的是7;如果是8个数1~8,最后剩的是1。
我们发现当数的个数是2,4,8时,最后剩的都是1(操作的起始数)。
这是为什么呢?
以8个数为例,数一圈,擦掉2,4,6,8,就相当于从1开始,还有4个数的情况,4个数时,从1开始,数一圈,又擦掉2个,还剩从1开始的两个数,擦掉1以外的数,最后剩1。
这样,数的个数是16,32,64,……,2n时,最后剩的都是起始数1。
当数的个数是3时,擦去2,就剩2个数,最后应剩下一步的起始数3;数的个数是5时,擦去2,剩4个数,最后也应剩下一步的起始数3。
根据以上规律,如果有18个数,擦去2、4,剩下16个数,再擦下去,最后还应剩下一步的起始数5。
就是说,擦去若干个数后,当剩的数的个数是
时,下一步起始数就是最后剩下的数。
解:
因为1024=210,2048=211,
2110<1993<211,
1993-1024=969,
就是说,要剩210个数,需要擦去969个数,按题意,每两个数擦去一个数,当擦第969个数时,最后擦的是:
969×2=1938
下一个起始数是1939,那么最后剩的就应该是1939。
练习按照例1的操作规则
(1)如果是1~900这900个自然数,最后剩的是哪个数?
(2)如果是1~1949这1949个自然数,最后剩的是哪个数?
说明:
这道例题的解题思路是:
特殊→一般→特殊
(简单情况)(一般规律)(较复杂情况)
一般规律:
把1~n这n个自然数,按顺时针方向依次排列在一个圆圈上,从1开始,顺时针方向,隔过1,擦去2,隔过3,擦去4,……(每隔一个数,擦去一个数)。
最后剩下的数x是哪个数?
解:
设2k≤n≤2k+1,k是自然数。
x=(n-2k)×2+1
【拓展】:
如果还是上面例题,但改为保留1,擦去2;保留3,擦去4;……(每隔一个数,擦去一个数),转圈擦下去。
求最后剩的是哪个数?
【解】剩下的规律是剩下
时,都是最后一号留下,所以答案是1938。
【例15】、(★★★)100个小朋友围成一圈,并依次标号为1至100号。
从第1号开始1至2报数,凡是报到1的小朋友退出圈子,这样循环进行到剩下一个小朋友为止。
问这个小朋友是多少号?
【解】与上题不同100=2
+36 36×2=72
小结
本讲主要接触到以下几种典型题型:
1)与周期相关的找规律问题参见例1,2,3
2)图表中的找规律问题参见例4,5
3)较复杂的数列找规律参见例6,7,8
4)与斐波那契数列相关的找规律参见例,9,10,11
5)有趣的猫捉耗子规律参见例12,13,14,15
【课外知识】
珍妮是个总爱低着头的小女孩,她一直觉得自己长得不够漂亮。
有一天,她到饰物店去买了只绿色蝴蝶结,店主不断赞美她戴上蝴蝶结挺漂亮,珍妮虽不信,但是挺高兴,不由昂起了头,急于让大家看看,出门与人撞了一下都没在意。
珍妮走进教室,迎面碰上了她的老师,“珍妮,你昂起头来真美!
”老师爱抚地拍拍她的肩说。
那一天,她得到了许多人的赞美。
她想一定是蝴蝶结的功劳,可往镜前一照,头上根本就没有蝴蝶结,一定是出饰物店时与人一碰弄丢了。
自信原本就是一种美丽,而很多人却因为太在意外表而失去很多快乐。
温馨提示:
无论是贫穷还是富有,无论是貌若天仙,还是相貌平平,只要你昂起头来,快乐会使你变得可爱——人人都喜欢的那种可爱。
作业题
(注:
作业题--例题类型对照表,供参考)
题1—类型3;题2,3,4—类型5;题5,6,7—类型2,
1、(★)已知一串有规律的数:
1,2/3,5/8,13/21,34/55,…。
那么,在这串数中,从左往右数,第10个数是________。
【解】找规律,前面分子分母和就是后一个数分子,分母等于分子和前一个分数分母的和,这样第10个数就是4181/6765。
2、(★★★)在一个圆圈上,逆时针标上1、2、3、…、19,从某个数起取走该数,然后沿逆时针方向每隔一个数取走一个数,如果最后剩下数1。
求从哪个数起?
【解】先取走15
3.(★★★)把1~1992为1992个数,按逆时针方向排在一个圆圈上,从1开始逆时针方向,保留1,涂掉2;保留3,涂掉4,……。
(每隔一个数涂去一个数),求最后剩下哪个数?
【解】(1992-1024)×2+1=1937
4.(★★★)把1~1987这1987个数,均匀排成一个大圆圈。
从1开始数,隔过1,划掉2,3;隔过4,划掉5,6;……,(每隔一个数,划掉两个数)一直划下去,问最后剩下哪个数?
【解】
5.(★★)如下图,小方和小张进行跳格子游戏,小方从A跳到B,每次可跳1步或2步;小张从C跳到D,每次可跳1步、2步或3步。
规定:
谁跳到目标处的不同跳法最多,谁就获胜。
问获胜方的跳法比另一方多种。
A
C
B
D
【解】同例题可知A到B共11格,共144种跳法;C到D共9格,共149种,所以多5种。
6、(★★)如下图,从A处穿过房间到达B处,如果要求只能从小号码房间走向大号码房间,那么共有多少种不同的走法?
【解】到1号房间有1种走法,到2号房间有2种方法,到3号房间有3种方法…所以到8号房间总共有34种房间。
7、(★★★)如数表:
第1行123…1415
第2行302928…1716
第3行313233…4445
……………………
第n行…………A………………
第n+1行…………B………………
第n行有一个数A,它的下一行(第n+1行)有一个数B,且A和B在同一竖列。
如果A+B=391,那么n=_______。
【来源】1995年小学数学奥林匹克初赛A卷第7题、B卷第9题
【解】相邻两行,同一列的两个数的和都等于第一列的两个数的和,而从第1行开始,相邻两行第一列的两个数的和依次是
31,61,91,121,…。
(*)
每项比前一项多30,因此391是(*)中的第(391—31)÷30+1=13个数,即n=13.
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