人教版数学五年级下册重点知识归纳总结.docx

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人教版数学五年级下册重点知识归纳总结

第一单元图形的变换

图形变换的基本方式是平移、对称和旋转。

1、轴对称:

（1）学过的轴对称平面图形：

长（正）方形、圆形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形…任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。

（圆有无数条对称轴。

）

（2）轴对称图形的特征和性质：

①沿对称轴对折，对应点到对称轴的距离都相等；

②对应点的连线与对称轴垂直；

③对称轴两边的图形大小、形状完全相同。

（3）轴对称图形的画法：

①找关键点②在对称轴的另一侧找出关键点的对应点③连接对应点

2、旋转：

旋转的画法：

旋转要明确绕点，角度和方向（顺时针、逆时针）。

二、因数和倍数

1、整除：

被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。

整数与自然数的关系：

整数包括自然数。

2、因数、倍数：

（1）数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。

例：

12÷6=212是6和2的倍数，6和2是12的因数。

因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。

（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

★一个数的因数的求法：

成对地按顺序找。

（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。

★一个数的倍数的求法：

依次乘以自然数。

（4）2、3、5的倍数特征

1）个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。

2）一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

3）个位上是0或5的数，是5的倍数。

4）能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数）的最大的两位数是90，最小的三位数是120。

同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。

5）如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。

4：

自然数按能不能被2整除来分：

奇数、偶数。

奇数：

不能被2整除的数。

也就是个位上是1、3、5、7、9的数。

偶数：

能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。

最小的奇数是1，最小的偶数是0.

关系：

奇数+、-偶数=奇数奇数+、-奇数=偶数

偶数+、-偶数=偶数。

5、自然数按因数的个数来分：

质数、合数、1、0四类.

质数（或素数）：

只有1和它本身两个因数。

合数：

除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：

1、它本身、别的因数）。

1：

只有1个因数。

“1”既不是质数，也不是合数。

0

最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。

每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。

20以内的质数：

有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）

100以内的质数有25个：

2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97

100以内找质数、合数的技巧：

看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。

关系：

奇数×奇数=奇数质数×质数=合数

6、最大、最小

一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的。

最小的奇数是：

1；最小的偶数是：

0；最小的质数是：

2；

最小的自然数是：

0；最小的合数是：

4；

7、分解质因数：

把一个合数分解成多个质数相乘的形式。

用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。

比如：

30分解质因数是：

（30=2×3×5）

8、互质数：

公因数只有1的两个数，叫做互质数。

两个质数的互质数：

5和7两个合数的互质数：

8和9

一质一合的互质数：

7和8

两数互质的特殊情况：

⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质；⑶两个质数一定互质；

⑷2和所有奇数互质；（5）相邻两个奇数互质。

9、公因数、最大公因数

几个数公有的因数叫这些数的公因数。

其中最大的那个就叫它们的最大公因数。

用短除法求两个数或三个数的最大公因数（除到互质为止）

10、公倍数、最小公倍数

几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。

其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。

用短除法求两个数或三个数的最小公倍数（除到互质为止）

11、求最大公因数和最小公倍数方法

两数关系

最大公因数

最小公倍数

互质

1

乘积

倍数

较小的数

较大的数

※一般

短除法，乘半边

短除法，乘半圈

※一般关系的两个数还可以用以下方法

用12和16来举例

1、求法一：

（列举求同法）

最大公因数的求法：

12的因数有：

1、12、2、6、3、4

16的因数有：

1、16、2、8、4

最大公因数是4

最小公倍数的求法：

12的倍数有：

12、24、36、48、…

16的倍数有：

16、32、48、…

最小公倍数是48

2、求法二：

（分解质因数法）

12=2×2×3

16=2×2×2×2

最大公因数是：

2×2=4（相同乘）

最小公倍数是：

2×2×3×2×2=48（相同乘×不同乘）

三长方体和正方体　　　　　　　　　

一、长方体

1、定义：

由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。

两个面相交的边叫做棱。

三条棱相交的点叫做顶点。

相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。

2、长方体特点：

（1）有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱长相等。

（2）一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。

二、正方体

1、定义：

由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫立方体）。

2、正方体特点：

（1）有6个面，8个顶点，12条棱，每个面的面积都相等，所有棱长相等。

（3）正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。

相同点

不同点

面

棱

长方体

都有6个面，

12条棱，

8个顶点。

6个面都是长方形。

（有可能有两个相对的面是正方形）。

相对的棱的长度都相等

正方体

6个面都是正方形。

12条棱都相等。

3、长方体、正方体有关棱长计算公式：

长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4＝长×4+宽×4+高×4

L=（a＋b＋h）×4

长=棱长总和÷4－宽－高a=L÷4－b－h

宽=棱长总和÷4－长－高b=L÷4－a－h

高=棱长总和÷4－长－宽h=L÷4－a－b

正方体的棱长总和=棱长×12L=a×12

正方体的棱长=棱长总和÷12a=L÷12

4、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。

长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2

S=2（ab＋ah＋bh）

无底（或无盖）长方体表面积=长×宽＋（长×高＋宽×高）×2

S=2（ah＋bh）＋ab或S=2（ab＋ah＋bh）－ab

无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2

S=2（ah＋bh）

正方体的表面积=棱长×棱长×6S=6a2

☞生活实际：

油箱、罐头盒等都是6个面游泳池、鱼缸等都只有5个面

水管、烟囱等都只有4个面

注意1：

用刀分开物体时，每分一次增加两个面。

（表面积相应增加）

两物体拼成一个物体时，减少两个面。

（表面积相应减少）

注意2：

长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。

（如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍）。

5、物体所占空间的大小叫做物体的体积。

长方体的体积=长×宽×高V=abh

长=体积÷宽÷高a=V÷b÷h

宽=体积÷长÷高b=V÷a÷h

高=体积÷长÷宽h=V÷a÷b

正方体的体积=棱长×棱长×棱长

V=a×a×a=a3读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a·a·a）

长方体或正方体底面的面积叫做底面积。

长方体（或正方体）的体积=底面积×高用字母表示：

V=Sh

（横截面积相当于底面积，长相当于高）。

注意：

一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。

6、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。

（1）、固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等常用的容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。

1升=1立方分米1毫升=1立方厘米1升=1000毫升

（1L=1dm31ml=1cm3）

（2）长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。

但要从容器里面量长、宽、高。

（所以，对于同一个物体，体积大于容积。

）

注意：

长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。

（如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍）。

*形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。

排水法的公式：

V物体=V现在－V原来

也可以V物体=S×（h现在-h原来）

V物体=S×h升高

7、【体积单位换算】　　　大单位小单位

小单位大单位

进率：

1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米（立方相邻单位进率1000）

　　1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升

1立方厘米＝1毫升

1平方米=100平方分米=10000平方厘米

1平方千米=100公顷=1000000平方米

注意：

长方体与正方体关系

把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。

重量单位进率，时间单位进率，长度单位进率

【单位换算】　　　大单位小单位

小单位大单位

长度单位：

1千米=1000米1分米=10厘米

1厘米=10毫米1分米=100毫米

1米=10分米=100厘米=1000毫米（相邻单位进率10）

面积单位：

1平方千米=100公顷1平方米=100平方分米

1平方分米=100平方厘米1公顷=10000平方米

（平方相邻单位进率100）

质量单位：

1吨=1000千克1千克=1000克　

人民币：

1元=10角1角=10分1元=100分

四分数的意义和性质

1、分数的意义：

一个物体、一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。

2、单位“1”：

一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。

（也就是把什么平均分什么就是单位“1”。

）

3、分数单位：

把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。

如

的分数单位是

。

4、分数与除法

A÷B=

（B≠0，除数不能为0，分母也不能够为0）例如：

4÷5=

5、真分数和假分数、带分数

（1）、真分数：

分子比分母小的分数叫真分数。

真分数<1。

（2）、假分数：

分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。

假分数≧1

（3）、带分数：

带分数由整数和真分数组成的分数。

带分数＞1.

（4）、真分数＜1≤假分数真分数＜1＜带分数

6、假分数与整数、带分数的互化

（1）假分数化为整数或带分数，用分子÷分母，商作为整数，余数作为分子。

（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子

（3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变。

（4）1等于任何分子和分母相同的分数。

7、分数的基本性质：

分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

8、最简分数：

分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。

一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小数。

反之则不可以。

9、约分：

把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。

10、通分：

把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。

11、分数和小数的互化

（1）小数化为分数：

数小数位数。

一位小数，分母是10；两位小数，分母是100……

（2）分数化为小数：

方法一：

先把分数化为分母是10、100、1000……，然后再化成小数。

方法二：

用分子÷分母

如：

=3÷4=0.75

（3）带分数化为小数：

先把整数后的分数化为小数，再加上整数

如：

2

=2+0.3=2.3

12、比较分数的大小：

分母相同，分子大，分数就大；

分子相同，分母小，分数才大。

分数比较大小的一般方法：

同分子比较；通分后比较；化成小数比较。

13、分数化简包括两步：

一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。

=0.5=0.25

=0.75

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8

=0.125

=0.375=0.625

=0.875

五分数的加法和减法

（1）同分母分数加、减法（分母不变，分子相加减）

1、分数的加法和减法

（2）异分母分数加、减法（通分后再加减）

（3）分数加减混合运算：

同整数。

（4）结果要是最简分数

2、带分数加减法:

带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来。

3、

＋

＝

＋

＝

＋

＝

六统计与数学广角

众数:

一组数据中出现次数最多的数叫众数。

众数能够反映一组数据的集中情况。

在一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有众数。

复式折线统计图；

综合应用：

打电话的最优方案

1、众数：

一组数据中出现次数最多的一个数或几个数，就是这组数据的众数。

众数能够反映一组数据的集中情况。

在一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有众数。

2、中位数：

（1）按大小排列；

（2）如果数据的个数是单数，那么最中间的那个数就是中位数；

（3）如果数据的个数是双数，那么最中间的那两个数的平均数就是中位数。

3、平均数的求法：

总数÷总份数=平均数

4、一组数据的一般水平：

（1）当一组数据中没有偏大偏小的数，也没有个别数据多次出现，用平均数表示一般水平。

（2）当一组数据中有偏大或偏小的数时，用中位数来表示一般水平。

（3）当一组数据中有个别数据多次出现，就用众数来表示一般水平。

4、平均数、中位数和众数的联系与区别:

①平均数：

一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。

容易受极端数据的影响，表示一组数据的平均情况。

②中位数：

将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数。

它不受极端数据的影响，表示一组数据的一般情况。

③众数：

在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。

它不受极端数据的影响，表示一组数据的集中情况。

5、统计图：

我们学过——条形统计图、复式折线统计图。

条形统计图优点：

条形统计图能形象地反映出数量的多少。

折线统计图优点：

折线统计图不仅能表示出数量的多少，还能反映出数量的变化情况。

注：

①画图时注意：

一“点”（描点）、二“连”（连线）三“标”（标数据）。

②要用不同的线段分别连接两组数据中的数。

6、打电话：

规律——人人不闲着，每人都在传。

（技巧：

已知人数依次×2）

（1）逐个法：

所需时间最多。

（2）分组法：

相对节约时间。

（3）同时进行法：

最节约时间。

七数学广角

用天平找次品规律：

1、把所有物品尽可能平均地分成3份，（如余1则放入到最后一份中；如余2则分别放入到前两份中），保证找出次品而且称的次数一定最少。

2、数目与测试的次数的关系：

2～3个物体，保证能找出次品需要测的次数是1次

4～9个物体，保证能找出次品需要测的次数是2次

10～27个物体，保证能找出次品需要测的次数是3次

28～81个物体，保证能找出次品需要测的次数是4次

82～243个物体，保证能找出次品需要测的次数是5次

244～729个物体，保证能找出次品需要测的次数是6次

3、找次品规律

12345…次数

33×33×3×33×3×3×33×3×3×3×3…

392781243…次品个数