第六章 万有引力与航天复习自编学生版.docx

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第六章万有引力与航天复习自编学生版

第六章万有引力与航天复习

一、开普勒三定律：

1、开普勒第一定律（轨道定律）：

；

2、开普勒第二定律（面积定律）：

；

由开普勒第二定律可知，近地点速度远地点速度；当行星由近地点向远地点运动时，行星的线速度大小；

3、开普勒第三定律（周期定律）：

；

表达式：

。

（注：

k是只与有关的常量；

表达式的推导（以圆周运动为例）：

二、万有引力定律及应用：

1、万有引力定律：

（1）内容：

；

（2）公式：

（3）万有引力常量G=，物理意义：

；该常量是由英国的物理学家

利用实验测出；

2、与万有引力有关的问题的研究对象：

可分为两类：

一类是：

地上物，包括地表物和高空物，这类物体有时除万有引力外还会受到其他的力的作用，这类物体的运动情况也比较复杂，可以是自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动，还可以是其他的运动，比如火箭在发射升空过程中的运动是匀加速直线运动。

对于地表物，在忽略地球自转的情况下物体的重力等于它所受的万有引力；而高空物的重力就是它所受的万有引力。

解决此类问题所用关系式就是

，解题的关键一般是重力加速度r的确定和g，的求解，而g，的求解一般要结合地面物体的运动规律来求。

另一类是天上星：

这类问题主要研究两大系统，一类是绕太阳等恒星运行的行星系统；一类是绕地球等行星运行的卫星系统。

天上星只受万有引力的作用，所做运动一般都简化为匀速圆周运动。

求解此类问题所用的规律一般是

即

注：

g,就是恒星在行星的轨道处产生的重力加速度，或行星在卫星轨道处产生的重力加速度，也就是行星或卫星绕行的向心加速度。

【例1】某物体在地面上受到的重力为160N，将它放置在卫星中，在卫星以加速度a＝０.５g随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为90N时，求此时卫星距地球表面有多远？

（地球半径R＝6.4×103km,g取10m/s2）

3、万有引力定律的应用：

应用一：

求解中心天体的质量（有两种方法）：

方法一：

取地上物为研究对象，由

得

，若式中g，为地表重力加速度，则r就是中心天体的半径；这种方法有时需要先根据地上物体的运动规律求出g,。

方法二：

取天上星为研究对象，由

求出中心天体的质量，一般多由

求得

。

应用二：

求中心天体的密度：

方法同应用一，先求出中心天体的质量，再由

V=和

求出中心天体的密度为：

注意：

r与R的区别，r是引力距离，是绕行天体与中心天体之间的距离，即绕行天体的轨道半径，而R是中心天体自身的半径，若T是近中心天体的绕行天体的绕行周期，则r=R,,

【例2】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。

现有一中子星，观测到它的自转周期为T=

s。

问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。

计算时星体可视为均匀球体。

（引力常数G=6.67

10

m

/kg.s

）

点评：

在应用万有引力定律解题时，经常需要像本题一样先假设某处存在一个物体再分析求解是应用万有引力定律解题惯用的一种方法。

应用三：

求行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题：

（重力近似等于万有引力）

表面重力加速度：

轨道重力加速度：

【例3】一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g0，行星的质量M与卫星的质量m之比M/m=81，行星的半径R0与卫星的半径R之比R0/R＝3.6，行星与卫星之间的距离r与行星的半径R0之比r/R0＝60。

设卫星表面的重力加速度为g，则在卫星表面有

……

经过计算得出：

卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600。

上述结果是否正确？

若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果。

应用四：

天体的运动：

（1）、天体运行的线速度、角速度、周期、宇宙速度：

基本思路：

把天体的运动简化为匀速圆周运动，天体绕行的向心力等于其所受的万有引力（重力）

即

亦即

可得：

由

可得：

r越大，v越小。

由

可得：

r越大，ω越小。

由

可得：

r越大，T越大。

由

可得：

r越大，a向越小。

或

注意，因

也与r有关，所以不能说

等

点评：

需要说明的是，万有引力定律中两个物体的距离，对于相距很远因而可以看作质点的物体就是指两质点的距离；对于未特别说明的天体，都可认为是均匀球体，则指的是两个球心的距离。

人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动。

该类问题还经常用到圆周运动的关系式，如

＝

，v=

r等

【例4】我国自行研制的“风云一号”、“风云二号”气象卫星运行的轨道是不同的。

“一号”是极地圆形轨道卫星。

其轨道平面与赤道平面垂直，周期是12h；“二号”是地球同步卫星。

两颗卫星相比号离地面较高；号观察范围较大；号运行速度较大。

若某天上午8点“风云一号”正好通过某城市的上空，那么下一次它通过该城市上空的时刻将是。

【例5】可发射一颗人造卫星，使其圆轨道满足下列条件（）

A、与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆

B、与地球表面上某一经度线是共面的同心圆

C、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是运动的

D、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是静止的

【例6】侦察卫星在通过地球两极上的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件的情况下全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？

设地球半径为R，地面处的重力加速度为g，地球自转的周期为T。

【例7】在地球（看作质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是（）

A．它们的质量可能不同B．它们的速度可能不同

C．它们的向心加速度可能不同D．它们离地心的距离可能不同

点评：

需要特别提出的是：

地球同步卫星的有关知识必须引起高度重视，因为在高考试题中多次出现。

所谓地球同步卫星，是相对地面静止的且和地球有相同周期、角速度的卫星。

其运行轨道与赤道平面重合。

【例8】地球同步卫星到地心的距离r可由

求出，已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，则：

A．a是地球半径，b是地球自转的周期，C是地球表面处的重力加速度；

B．a是地球半径。

b是同步卫星绕地心运动的周期，C是同步卫星的加速度；

C．a是赤道周长，b是地球自转周期，C是同步卫星的加速度

D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，C是地球表面处的重力加速度。

【例9】我国自制新型“长征”运载火箭，将模拟载人航天试验飞船“神舟三号”送入预定轨道，飞船绕地球遨游太空t＝7天后又顺利返回地面。

飞船在运动过程中进行了预定的空间科学实验，获得圆满成功。

①设飞船轨道离地高度为h，地球半径为R，地面重力加速度为g.则“神舟三号”飞船绕地球正常运转多少圈?

（用给定字母表示）。

②若h＝600km，R＝6400km，则圈数为多少?

（2）、双星、三星问题：

“双星”问题的分析思路

质量m1，m2；球心间距离L；轨道半径r1，r2；周期T1，T2；角速度ω1，ω2线速度V1V2；周期相同：

（参考同轴转动问题）T1=T2

角速度相同：

（参考同轴转动问题）ω1=ω2

向心力相同：

Fn1=Fn2

（由于在双星运动问题中，忽略其他星体引力的情况下向心力由双星彼此间万有引力提供，可理解为一对作用力与反作用力）

轨道半径之比与双星质量之比相反：

（由向心力相同推导）

r1：

r2=m2：

m1

m1ω2r1=m2ω2r2

m1r1=m2r2r1:

r2=m2:

m1

线速度之比与质量比相反：

（由半径之比推导）

V1:

V2=m2:

m1

V1=ωr1V2=ωr2

V1:

V2=r1:

r2=m2:

m1

两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。

双星问题是万有引力定律在天文学上的应用的一个重要内容，现就这类问题的处理作简要分析。

【例10】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。

现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。

“三星”问题：

【例11】宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。

已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：

一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。

设每个星体的质量均为m。

（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。

（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少

“暗物质”问题：

【例题12】用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质存在的形式和分布有了较深刻的认识，双星系统是由两个星体构成，其中每个星体的线度都小于两星体间的距离，一般双星系统距离其它星体很远，可以当做孤立系统处理，现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。

（1）计算该双星系统的运动周期T计算。

（2）若实验上观测到的运动周期为T观测，且T观测：

T计算=1：

（N>1），为了解释T观测与T计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质，作为一种简化模型，我们假定在这两个星体边线为直径的球体内均匀分布着暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。

（4）、卫星的发射、变轨、对接、回收问题：

起飞过程：

做匀加速直线运动，规律：

，

，

入轨后：

做匀速圆周运动或沿椭圆轨道运动，对于圆周运动，利用

求解

变轨过程：

由内轨道往外轨道变，要点火加速

同意轨道上的两个卫星要碰撞（或对接），应该后面的先减速制动做近心运动进入内轨道，再加速做离心运动与前面的卫星碰撞

【例13】、2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有（）

（A）在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度

（B）在轨道Ⅱ上经过A的速率小于在轨道Ⅰ上经过A的速率

（C）在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期

（D）在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度

【变式13-1】、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运动，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道2与轨道1相切于近地点Q，轨道2与轨道3相切于远地点P，如图所示。

设卫星在圆轨道1运动的速率为V1，在圆轨道3运行的速率为V3，在椭圆轨道2的近地点的速率为V2，在远地点的速率为V4，则：

它们的速度大小关系为________；加速度大小关系为__________。

【变式13-2】如图所示.卫星由地面发射后,经过发射轨道进入停泊轨道,然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道,再次调速后进入工作轨道,卫星开始对月球进行探测.已知地球与月球的质量之比为a,卫星的停泊轨道与工作轨道的半径之比为b,卫星在停泊轨道与工作轨道上均可视为做匀速圆周运动,则（）

A.卫星在停泊轨道和工作轨道运行的速度之比为（a/b）1/2

B.卫星在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为（b/a）1/2

C.卫星从停泊轨道进入地月转移轨道时,卫星必须加速

D.卫星在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度

应用五：

重力与万有引力的关系：

1.地球表面物体的重力是万有引力的一个分力，物体随地球自转的向心力是万有引力的另一个分力。

a.在赤道上：

万有引力的两个分力F与mg在同一直线上，但两者大小不同，有；

如此则有，若地球自转角速度增大，则重力减小，当时，物体甚至飘起来。

ｂ．在两极：

　，

重力与万有引力大小、方向都相同

ｃ．在纬度为θ处：

物体随

地球自转所需向心力为

，r=Rcosθ,利用矢量运算法则可计算重力G。

【例14】质量为1kg的物体，在两极与赤道的重力之差为：

解：

2.一般情况下，由于Ｆ向<

a.地面附近：

得

b.离地面高h处：

得

所以

三、针对训练

1．利用下列哪组数据，可以计算出地球质量：

（）

A．已知地球半径和地面重力加速度

B．已知卫星绕地球作匀速圆周运动的轨道半径和周期

C．已知月球绕地球作匀速圆周运动的周期和月球质量

D．已知同步卫星离地面高度和地球自转周期

2．“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A、B两颗天体各有一颗靠近表面飞行的卫星，并测得两颗卫星的周期相等，以下判断错误的是

A．天体A、B表面的重力加速度与它们的半径成正比

B．两颗卫星的线速度一定相等

C．天体A、B的质量可能相等

D．天体A、B的密度一定相等

3．已知某天体的第一宇宙速度为8km/s，则高度为该天体半径的宇宙飞船的运行速度为

A．2

km/sB．4km/s

C．4

km/sD．8km/s

4．探测器探测到土星外层上有一个环.为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系来确定

A．若v∝R，则该环是土星的一部分B．若v2∝R，则该环是土星的卫星群

C．若v∝1/R，则该环是土星的一部分D．若v2∝1/R，则该环是土星的卫星群

5．2002年12月30日凌晨，我国的“神舟”四号飞船在酒泉载人航天发射场发射升空，按预定计划在太空飞行了6天零18个小时，环绕地球108圈后，在内蒙古中部地区准确着陆，圆满完成了空间科学和技术试验任务，为最终实现载人飞行奠定了坚实基础.若地球的质量、半径和引力常量G均已知，根据以上数据可估算出“神舟”四号飞船的

A.离地高度B.环绕速度C.发射速度D.所受的向心力

6．航天技术的不断发展，为人类探索宇宙创造了条件.1998年1月发射的“月球勘探者号”空间探测器，运用最新科技手段对月球进行近距离勘探，在月球重力分布、磁场分布及元素测定等方面取得最新成果.探测器在一些环形山中央发现了质量密集区，当飞越这些重力异常区域时

A．探测器受到的月球对它的万有引力将变大B．探测器运行的轨道半径将变大

C．探测器飞行的速率将变大D．探测器飞行的速率将变小

7．（1998年全国卷）宇航员站在某一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。

经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。

若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为

L。

已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。

求该星球的质量M。

8．我国自制新型“长征”运载火箭，将模拟载人航天试验飞船“神舟三号”送入预定轨道，飞船绕地球遨游太空t＝7天后又顺利返回地面.飞船在运动过程中进行了预定的空间科学实验，获得圆满成功。

（1）设飞船轨道离地高度为h，地球半径为R，地面重力加速度为g.则“神舟三号”飞船绕地球正常运转多少圈?

（用给定字母表示）.

（2）若h＝600km，R＝6400km，则圈数为多少?

9．（2004年全国理综第23题，16分）在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。

假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力。

已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。

火星可视为半径为r0的均匀球体。