专题3三角形中常见的辅助线.docx
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专题3三角形中常见的辅助线
专题三:
三角形中常见的辅助线的作法
一、斜边中线模型构成:
RtAABC,NACB二90。
,D为AB边的中点
G
目的:
找等量关系,或2倍(1/2)的关系。
结果:
AD=CD=BDAO
例1已知:
ZiABC中,NA=60°,CE1AB,BDXAC
求证:
DE=yBCA
证明:
取BC中点X,连结EM,DM夭j
先证EM=DM<=EM=yBC=DM再证:
N2二乃-N1-N3之二守二也
二冗一(4-2NABC)-(/T-2ZACB)二60。
则4ED弘为等边三角形,所以有DE二D行|BC
“Rt△中斜边上的中线等于斜边的一半”+“等腰对等底”+“等量代换”
例2、如图,直角三角形ABC中,NC=90。
,M是AB中点,AM=AN,MN//AC
求证:
MN=AC
证明:
连结CM
在直角三角形ABC中,NC=90%是AB的中点/T
:
.CM=^AB=AMaZ\
又•:
MNHAC
ZMCA=ZMAC=/AMN=NN\/Q
・•.SACM=AMNA
.・.MN=AC
例3己知:
ZkABC中,CE_LAB,BDJ_AC,M,N分别为BC,DE的中点
求证:
MN±ED
证明:
连结EM,DX先证EX=DMUEM=:
BC=DM/\
2
后证MN_LEDUN为中点,EM=DX
“RT△中斜边上的中线等于斜边的一半”+“三线合一定理”6而
[思考]:
若aABC为钝角△,又该如何呢?
在Rt△中,又是怎样?
例4已知:
在ZiABC中,AB=AC,BD为NABC的角平分线,AM±BC,DE±BC,FD1BD
求证:
ME=BF
4
证明:
取BD、BF中点G、N,连结DN,EF,GM
先证DN=-BF再证:
DN=DC<=ZDNC=ZC=ZABC<=①DN〃ABUN3=N1②AB二AC
再证gm=1dc后证GM=ME<=ZMEG=ZMGE<=①NGEX=N2②NGMB=NC二2N2所以有XE=3DC=
“RT△中斜边上的中线等于斜边的一半(2次)”+“平行线性质1”+“等腰对等底”+“三角形中位线定理”例5如图,在AABC中,ZB=2ZC>AD±BC与D,M为BC边的中点,AB二10cm,则MD长为多少?
解:
取AB中点N,连结DN,NM,则DN=1AB,NNDB二NB,且NNMD二ZC
ZNDB=NNMD+ZDNM
ZB=ZC+ZDNM=2ZC二ZDNM=ZC=ZNDM贝ijDM=DN=^AB
“Rt△斜边上中线等于斜边的一半”+“三角形中位线定理”+“外角性质”+“等底对等腰”例6如图,RtAABC中,NC=90°,CD平分NC,E为AB中点,PEJ_AB,交CD延长线于P,
那么NPAC+NPBC的大小是多少?
解:
连结CE,则NEAC=NECA/.ZDCE=ZECA-ZDCA=ZDAC-45°又「ZDAC=1800-ZADC-45°=135°-ZPDE二ZDCE=(135°-ZPDE)-45()=ZDPE贝"PE二EC二AE则可证ZPAC+/PBC=/PAB+NBAC+ZPBA+ZABC=180°
“斜边中线性质”+“对顶角相等”+“等量代换”+“三角形内角和定理”等腰三角形底边的中线例1、如图所示,在aABC中,AB=2AC,AD平分NBAC且AD=BD,求证:
CD±AC
A
提示:
在AB上取中点E,连结DE,可得DE_LAB,并且AE二AC,
证△AEDw^ACD,则有NACD二NAED二90。
,即CD_LAC
例2如图所示,等腰直角三角形ABC,NBAC=90。
,点D是BC的中点且AE=BF
求证:
DE1DF证明:
连接AD
•・•在等腰直角三角形ABC中,AD是中线
7.AD1BC,且NDAE」NBAC=45。
,BD=AD
又ZB=ZC=45°
/.ZB=Z.DAE
在厂和“DE中
BF=AE
BD=AD .qBDF=£,ADE ZBDF=ZADE 又♦・•ZADF+/BDF=90° JAADE+AADF=90° 即OEJ.OE 二、“三线合一”模型 “角平分线”+垂线f等腰三角形” 构成: 0C为NA0B的角平分线,BC_LOC于C点 结果: ⑴[边]: BC=AC,0A=0B—0C为AOAB的中线 ⑵[角]: Z3=Z4,NAC0=900—0C为△ABO的高线⑶[全等]: AACO^ABCO 例1已知: AD是AABC的NA的平分线,CD1AD于D,BE1AD于AD的延长线于E,M是BC 边上的中点。 求证: ME=MD 证明: 延长CD交AB于F点,BE与AC延长线交于G点 •••D为FC中点,M为BC中点。 DM〃AB,Z1=Z3 •••N4+N5=90°,N2+N6=90° Z5=ZG=Z6Z4=Z2 则N3=N4则MD=ME “‘三线合一'定理的逆定理”+“平行线的性质”+“等底对等腰”例2已知: ZiABC为等腰直角三角形,ZA=90°,N1=Z2,CE±BE 求证: BD=2CE 证明: 延长CE、BA交于F点 先证CF=2CE 再证RTAABD^RTACAF<="N3=NF"+"AB二AC"+”NBAD二NCAF” 则有BD=CF=2CE “‘三线合一'定理的逆定理”+"ASA=>全等” 例3已知: ZkABC中,CE平分NACB,KAE±CE,ZAED+ZCAE=180°(Z3+Z4=1800) 求证: DE〃BC 证明: 延长AE交BC边于F点,则有N3=N6且N3=N5 <=①N3+N4=180°②Z4+Z5=180° ・•・Z5=Z6则DE〃BC “‘三线合一'定理的逆定理”+“平行线的判定” 例4已知: 在△ABC中,AC〉AB,AM为NA的平分线,ADLBC于D 求证: ZMAD=y(ZB-ZC) 证明: 作BE_LAM,交AC于E点,交AM于K点 先证N3=N4UN1=Z2 N5=NAEB<=①AM为角平分线②BE_LAM 后证: ZB-ZC=Z4+Z5-ZC=Z4+ZAEB-ZC=2Z4 则N3=N4=: (ZB-ZC)即NMAD=: (NB-NC)JJ “三线合一逆定理”+“平行四边形的判定” 例5已知: 在AABC的两边AB、AC上分别取BD=CE,F、G分别为DE、BC的中点,NA的 平分线AT交BC于T 求证: FG/7AT 证明: 作ENJ_AT于N点,交AB于L点,作CKJ_AT于K点,连结FN、GK 先证: NF〃且=4lD,KG〃且二;MB 再证: LD二MBULMRB=EC 最后证明四边形FNKG为平行四边形。 “‘三线合一'定理的逆定理”+“平行四边形判定” 例6、如图,AB=AE,NABC=NAED,BC=ED,点F是CD的中点 (1)求证: AF1CD (2)在你连接BE后,还能得出什么新结论? 证明: (1)连接AC、AD,在AABC和4AED中,AB=AE,NABC二NAED,BC=ED /.ZkABC=ZkAED ・•・AC=AD 在等腰4ACD中,F是底边CD的中点 AAF±CD 例7、如图,△ABC,NACB=90。 ,AC=BC,D为AC上一点,AE_LBD的延长线于E,且AE二1BD,2 求证: BD平分NABC 提示: 分别延长AE和BC,两者相交于F 欲证BD平分NABC,只需证BE是等腰三角形底边上的高与中线, F 蕴含着BE是AF的中垂线三、三角形中位线模型 构成: △ABC中,D为AB边中点 目的: 找中位线,构造: ①2倍关系②相似三角形 结果: ①DE〃BC,DE二: BC②△ADEs/\ABC 例1已知: 在△ABC中,AB=AC,AD_LBC于D,DE_LAC于E,F为DE中点 求证: AF±BE 证明: 取BE中点H,连DH DEEC 先证: RtAEDH^RtAxAED则——=—— AEDE 二NEAF+NAEG=90°贝4AF1BE “AAA=>Z\s”+“中位线定理”+“(两直线)定义”例2已知BD、CE为aABC的角平分线,AF1CE于F,AG_LCE于F,AG_LBD于G 求证: ①FG〃BC②FG=: (AB+AC-BC) 证明: 延长AF、AG分别交BC于M、N两点 证G为AN中点<=①BDLAN②N1=N2 F为AM中点U①N3=N4②CELAM ①则GF为△ANY中位线GF〃BC,GF=1mNAr ②MN=BN+CM-BC=AB+AC-BC “等腰△三线合一”+“△中位线定理”+“等量代换”思考: BD、CE为外角平分线时或一内一外角平分线时,又该如何证明? 例3已知,如图在oABCD中,P为CD中点,AP延长线交BC延长线于E,PQ〃CE 交DE于Q 求证: pq=1bc 证明: 先证△ADPgZkPCE可得CE=AD=BC 再证PQ为中位线,PQ^CE MM -AAS=>A^"+"平行四边形性质”+“△中位线定理” 例4已知: 梯形ABCD中,AB=DC,AC_LBD,E、F为腰上中点,DLJ_BC,M为DL与EF的交点 求证: EF=DL 证明: 取AD、EF的中点H、K,连结EH、FH、HK 易证EH_LHF则HK=;EF RT4DLC中可得M为DL中点,贝ijDM=\DL 由题意得HK=DM则EF二DL “三角形中位线定理(3次)”+“平行线性质”+“斜边上中线为斜边一半”例5已知: 锐角AABC中,以AB、AC为斜边向外作等腰直角△ADB,△AEC,M为 BC中点,连结DM、ME 求证: DM=EM,DM±EM 证明: 取AB、AC的中点F、G,连结DF、FM、ME 先证△DFMgAMGEU①DF=GM (2)ZDFM=ZMGE<=Z1=Z2=Z3③FM二GE 贝|JD)仁ME,Z4=Z5再证NDME=N7+N1+N5=9O°,则DM±EM [思考]: NBAC为钝角时,又该如何证明? 例6: 如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D是AB延长线上一点,且AB二BD,CE是腰 AB上的中线。 求证: CD=2CE 分析: 要证明一条线段是另一条线段的两倍(或一条线段是另一条线段的一半) 常用的方法是构造中位线 证明: 找出AC的中点F连接BF, ・・・A8=AC,/是AC的中点 .・.bf=1ac 2 ・・・AB=AC AE=AF=BE=CF ZABC=ZACB BC=BC BCE=aCBF : .CE=BF ..CE=-CD 2 即CD=2CE “补长截短”模型 (l)截长法: 构成: 线段a,b,c 目的: 确定一线段,找令一线段的等量关系 结果: -a-//=c=>a=b+c,b=b' (2)补短法: 构成: 线段a,b,c 目的: 构造一等长线段,再找等量关系 结果: c=cr,b+c'二a=>a=b+c 例1已知: ZiABC中,AD平分NBAC 求: (1)若NB=2NC,则AB+BD=AC (2)若ABtBD=AC,贝i]NB=2NC 解: (1)在AC上取AE=AB,连结DE,则△AEDgAABD ・•・BD=EDN3=NB,AB=AEKZ3=2ZC=Z4+ZC 则EC=ED AC=AE+EC=AB+BD (2) (1)的反推过程 “SASA△全等”+“△的一外角等于与它不相邻的两内角和”+“等底。 等腰” A 例2: 在△ABC中,NC=2NB,AD_LBCY于D,求证BD=AC+CD//N 提示: 要证明一条线段等于两条线段之和的问题时要将两条线段转化到bDC 一条直线上,即选用截长补短法 延长DC至E使AC=CE证明△ABE是等腰三角形进而证明BD=DE则问题得证 例3如图所示,等腰直角△ABC中,/84890。 过点八做直线口£,BD_LDE于D,CEJ_DE于 E,求证: DE=BD+CEf 提示: 证明DE=BD+CE即证△ABDW△CAE则有AD=CE,BD=AE 例2已知: 等腰△ABC中,AB=AC,NA=108,BD平分NABC 求证: BOAB+DC ,DC=EC则BC=BE+EC=AB-DC “SAS=>△全等"+“△两外角等于不相邻两内角和”+“等底对等腰” 例3、已知如图所示,在△ABC中,AB=ACNA=100。 ,BD平分NABC交AC于D 例3己知: 在AABC的边BC上取BE=CF,过E作EH/7AB交AC于H,过F作FG/7AB交AC 再证四边形ADEH为平行四边形则FG+EH=AD+D肚AB “SAS=>△全等”+“平行线的判定”+ “平行四边形的判定” [思考]: ①若在AC上截取AD二EH,连DF,如何证明? ②若用以下方法添加辅助线,又该如何证明? b.延长HE至D,使ED=GF,连AD 例4己知: 在正方形ABCD中,X是CD的中点,E是CD上一点, 且NBAE=2NDAM 求证: AE=BC+CE 延长AB至F使AF=AE,连结FG,GE 先证N3=N5则N3=N4=N5后证RTAAFG^RTAAEG则FG=GE 再证RTAFBG^RTAECG则BF=EC 所以有AE二AF=AB+BF=BC+CE “SAS=>△全等”+“,三线合一'定理”+“等量代换” [思考]: 若用以下方法添加辅助线,该如何证明? a.在AE上截取AF二AB,取BC中点G,连结AG,GF,GE b.延长DC至H,使CH=AB,连AH交BC于G 例5已知: 在正方形ABCD中,E为BC上任一点,NEAD的平分线交DC于F 求证: BE+DF=AE 证明: 延长CD至G,使DG=BE,连结AG,则RTAABE^RTAADG, 得N3=N4再证N5=N1+N4=>AG=FG 所以有AE二AG二AF=DF+DG=DF+BE “平行线性质2”+“等底对等腰”+“HL=>RT△全等”“等腰<=>等边”模型 构成: ZAOB,0D为NAOB的角平分线 目的: 构造等腰△,找等角,等边 角平分线+平行线一等腰△ 结果: ①AOEC为等腰△=>()(: =0E ②N3=NC,Z1=Z3 例1已知: Z^ABC中,AB=4,AC=7,M^BC4I^tAD平分NBAC,过M点作MF〃AD, 交AC于F 求: FC的长度? 解: 延长FM至N,使MF=MN,延长MF、BA交于E点 先证: △BMNg^CMF=>BN=CF,ZN=ZMFC 再证: NE二NBAD二NCAD二NCFM二NAFE二NN =>AE=AF,BN=BE 则有: AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+FC=BE+FC=XB+FC=2FC 所以有: FC二;(AB^AC)=5.5 “SAS=>△全等”+“平行线性质”+“对顶角相等”+“等底对等腰”例2已知: 锐角AABC中,ZABC=2ZC,NABC的平分线与AD垂直,垂足为D 求证: AC=2BD 证明: 过A作BC平行线,延长BE交平行线于F 先证: Z\ABF为等腰4OBF=2BD 再证: AE+EC=EF+BE<=①AE=EF<=Z3=Z4 ②BE=EC<=Z2=ZC 即AC=BF=2BD “等底<=>等腰”+“等腰△三线合一”+“平行线性质2"例3已知: 在ZkABC中,ZA=100°,AB=AC,BE^ZB的平分线 求证: AE+BE=BC 过E作ED//BC交AB于D,延长CA至A使EF=BC连结FD DE=DB=EC △DEF里△ECB=>FD=BE FD=FA<=Z4=Z5=90° 所以有: AE+BE=AE+FD=AE+FA=EF二BC “平行线性质”+“等底<=>等腰”+"SAS==>△全等”例4已知: △ABC中,AB=AC,AD为AABC的角平分线,P为BC上一点,过P作 AD的平行线交BA的延长线于E,交AC于F 求证: 2AD=PE+PF 证明: 延长AD,FP,过C作AB平行线,交于G、H点 先证: AD=DG,PH=FP<=Z1=Z2=Z3=Z4=Z5 后证: AG=EHU四边形AEHG为平行四边形 则有: 2AD二AG二EH=EP+PH=EP+FP “等底O等腰”+“平行线性质1”+“平行四边形判定及性质”构造等边三角形、等腰三角形例1、如图,已知NABD=NACD二60。 NADB=90。 -! NBDC且NBAC二20。 求: /ACB的度数。 2 分析: 由已知,NABD=NACD=60。 联想等边三角形的内角, 而原图中没有等边三角形因此考虑添加辅助线构造等边三角形。 解: 如图延长CD到E,使CE=CA,连结AE •/ZACD=600 ••.MCE是等边三角形 .•・Z£=/ABD=600 •/ADB=90°-BDC 二2ZADB=1800-ZBDC=ZBDE 二/ADB^/ADE /Z£=^ABD=6()0,AD=AD ..aADB^ADE .・."=AE=AC /.ZACfi=l(1800-ZBAC)=1(1SO°-2O°)=80°22 注意: 当条件中含有60。 角或己知角的和差中含有60。 的角时,经常想起构造等边三角形 例2、如图所示,在aAOB中,ZA0B=120°,CO为NAOB的角平分线交AB于点C 求证: 1十1二1 OA^OB^OC 证明: 延长A0到点D,使0D=0B,连接BD ・/ZAOB=120°/.NBOD=60° : .Z1=Z2=60°,BD=OB .•。 。 是乙4。 8的角平分线 ・,ZOC=60。 ..OC//DB ..AO: AD=OC: BD ^CO.AD=AO.BD ・,.OC(AO-OB)=OA・OB 即」_+_! _=」_ OAOBOC 倍长中线模型 构成(条件): AABC中,AD为中线 目的: (1)构造全等三角形一找等量关系(边) (2)构造平行线一找等角关系 结果: (1)ABDE^AADC一①BE二AC (2)AE=2AD ②N1=N2,N3=N4-AC〃BE 例1: 已知: AD为aABC中线,E为AC上一点,且AE=FE求证: AC=BF证明: (倍长中线)△BDGgaCDAn/G=NEAF,BG=AC 再NG=N3=>BF=BG“SAS△全等”+“等底等腰”+“等量代换” 例2: 已知: CE、CB分别是△ABC、4ACD的中线,且AB二AC,求证: CD=2CE证明: 倍长CE,连结BM△MEB^ACEA<=(SAS)ME=EC+ZMEB=ZAEC+BE=AE△MBC^ADBC<=(SAS)眸BD+NMBC=NDBC+BC=BC .\DC=MC=2EC “等腰对等底”+“外角二两内角和"+“SAS△全等” 例3、如图,在AABC中,AB二BD=DC,AE是AABD的中线,求证: AC=2AE 证明: 延长AE到F使AE=EF,连结DF, 证△ABETZXFDE—》AB二DF所以在证△ADFgZiADC*F 有AC=AF=2AE 例4、如图在aBAC中,AD是中线,且BE二AC 求证: AF二EF 证明: 延长AD到X使AD=DX,连结BY证明△BDMgZ\CDA 则有BM=AC,NBMD二NDAC,又因为BE=AC二BM 所以NBMD二NBEM二NAEF=/DAC,所以AE二AF 例5: 已知RtZ\BAC中,ZA=90°,D为BC边中点,E、F分别为边AB、AC上一动点,且ED ±FDo求证: EF=BE+CF。 证明: 倍长FD至G,连结BG、EG 先证△CFDgZ^BGD=>CF=BG,ZC=ZGBD(AC/7BG) RtZXEBG中,EG: =BG: +BE2=FC: +BE= △EGF为等腰△,则EFJBE'+CF, “SAS=>△全等”+“勾股定理”+“等腰△三线合一” 例6: 已知: ZliABC中,AD为中线,AB边长为x,AC边长为y,求中线AD 的取值范围. 解: 倍长AD连结BE △ABE中,x-yi<2AD …x+y 22“SAS△全等”+“等量代换”+“△三边关系”例7: 已知M是AABC的边BC上的中点,过BC上一点D引直线平行于AM交AB于E, 交CA的延长线于F求证: ED+DF=2AM 证明: 倍长AM,连结BH延长ED交BH于K 先证四边形FAHK为平行四边形AAH二FK 再证ED=DKUED/AM=DK/HM,AM=MH ••・ED+FD=FK=AH=2AM“SAS全等△”+“平行四边形定义及性质”+“比例性质”+ “等量代换” [练习]已知: Z^ABC中,AD是角平分线,M是BC中点,MF〃DA,MF交AB、CA的延长线 于E、F。 求证: BE=CF 证明: 倍长FM连结BG 先证△BMGgACMF=>BG=CF,ZG=ZF ,FC〃BG Z4=Z1 再证N1=NF二NGUlz2=ZF Z1=Z2 .\BE=BG=CF “SAS 全等”+“两直线平行,同位角相等”+“等底对等腰” 四、面积法 (1)构成: AD/7BC,AABC,ABCD。 目的: 找等枳△. 结果: SA^C=SABCD. (2)构成: EF〃BC,△ABC,AAEF。 目的: 找比例线段。 结果: SAAEF: SAABC=AF: : AC: =AE2: AB==EF: : BCc (3)构成: L〃L〃h,线段AC、BD,AD、BC相交于点0。 目的: 找比例线段。 结果: AE: EC=A0: 0D=B0: C0=BF: FD例L在AABC的边AB、AC上分别取点D、E,使DE〃BC,在AB上取点F, 使SZXADE=Sz^BFQ求证: AD==ABXBFa 证明: SAADE: SAABC=AD: : AB二"+"SAADE: SAABC= SABFC: SAABC=FB: AB"=>AD: : AB三FB: AB =>AD二=FBXAB“相似△而积比”+“同高△而积比”+“比例的基本性质” 例2: 已知: /XABC中,NAC
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