机械控制工程基础第三章时间响应分析.docx
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机械控制工程基础第三章时间响应分析
第三章时间响应分析
第三章时间响应分析
厂第一节
-第二节
-第三节
一第四节
-第五节
一第夫节
—第七节
—第八节
厂时间响应
时间响应及其组成——二、时间响应的组成
一三r锻分方程特征很的意义
典型输入信号
——.一阶系统
一二一阶系统的单位臊冲响应W(I)反惯一
一三、一阶系妊的单位阶跃响应
—四*线性索统输出与输入的关系
—f二阶系统
一二、二阶黍貌的单位脉沖呃应北(t]和单位赠u徊二阶系垢的时间响应一
一三、二阶久阴尼系狡响应的性能指标
-四、线性系抚输出与输入的关系
高阶系貓卽趟分析
系统误差分析与计篡
—四、
L-五、
&函数在时间响应中的作用
用Lktlab进行时间响应分析
基本要求、重点和难点
一、基本要求
系圻误差与偏差的关丢
系统的箱态饯差与穗态偏差.(□
与输入和系降构有关的穏态偏差(町
系统存在芋扰作用时俱差和偏差
任意输入时,稳态泯差的求法
(1)了解系统时间响应的组成;初步掌握系统特征根的实部和虚部对系统自由响应项的影响情况,掌握系统稳定性与特征根实部之间的关系。
(2)了解控制系统时间响应分析中的常用的典型输入信号及其特点。
(3)掌握一阶系统的定义和基本参数,能够求解一阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应;掌握一阶系统时间响应曲线的基本形状及意义。
掌握线性系统中,存在微分关系的输入,其输出也存在微分关系的基本结论。
(4)掌握二阶系统的定义和基本参数;掌握二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之间的对应关系;掌握二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。
(5)了解主导极点的定义及作用;
(6)掌握系统误差的定义,掌握系统误差与系统偏差的关系,掌握误差及稳态误差的求法;能够分析系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。
(7)了解单位脉冲响应函数与系统传递函数之间的关系。
二、本章重点
(1)系统稳定性与特征根实部的关系。
(2)一阶系统的定义和基本参数,一阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应曲线的基本形状及意义。
(3)二阶系统的定义和基本参数;二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之间的对应关系;二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。
(4)系统误差的定义,系统误差与系统偏差的关系,误差及稳态误差的求法;系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。
三、本章难点
(1)二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之间的对应关系;二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。
(2)系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。
第一节时间响应及其组成
一、时间响应
时间响应是指系统的响应(输出)在时域上的表现形式,或系统的动力学方程在一定初始条件下的解。
、时间响应的组成
对于一个「阶线性定常系统,输入〔二与输出】匚之间关系的微分方程
兔业)+久4<"1,(t)+-+(71X#(0+坷兀©
=力ij%)+力一©+…+研①+肚(t)(n>m)
设其特征根为-’I,则系统的时间响应可表示成
mn
询哪)+2?
嵐泸
(3.1.1)
按响应的来源分为零状态响应和零输入响应。
其中,零状态响应是指初始
三、微分方程特征根的意义
由式(3.1.1)可知,若系统的所有特征根''工均具有负实部,即
由响应项收敛。
这种系统称为稳定系统。
此时自由响应项又称为瞬态响应项,
强迫响应项又称为稳态响应项。
相反地,若系统存在具有正实部的特征根,•即
nr1y4e^+y
应山]亢,则有其自由响应项E台最终会趋于无穷大,即系统的自
由响应项发散。
这种系统称为不稳定系统。
若系统有一个特征根的实部为0,而
幅振荡,这种系统称为临界稳定系统
因此,系统特征根的实部决定了系统的稳定与否。
若系统特征根的实部全部都小于零,则系统稳定;若系统特征根的实部不全小于零,则系统不稳定。
由系统特征根与系统传递函数极点之间的对应关系,还可得系统稳定的另一判据:
若系统传递函数的所有极点均分布在[s]平面的左半平面内,则系统稳定;若系统传递函数在[s]平面的右半平面内存在极点,则系统不稳定。
对于稳定系统,I制■一绝对值的大小决定了它所对应的自由响应项衰减的快慢。
二:
绝对值越大,则它所对应的的自由响应项衰减得越快;反之亦然。
而系统特征根的虚部1叫勺】的分布情况在很大程度上决定了系统自由响应的振荡情况,绝对值越大,则自由响应项振荡频率越高,它决定了系统的响应在规定时间内接近稳态响应的情况,这影响着系统响应的准确性。
第二节典型输入信号
在控制工程中,常用的输入信号有两大类。
其一是系统正常工作时的输入信号;其二是外加的测试信号,包括单位脉冲信号、单位阶跃信号、单位斜坡信号、正弦信号和某些随机信号等。
输入信号的选择要综合考虑系统的工作条件和实验的目的。
第三节一阶系统的时间响应
一、一阶系统
阶系统传递函数的一般形式为
式中,「称为一阶系统的时间常数,匸称为一阶系统的增益
、一阶系统的单位脉冲响应w(t)
_f-1rK、K+
憾)=zrU何]=戸国何吳)]i茹匕亍go)
匚|只有瞬态项,而其稳态项为零。
即一阶系统的单位脉冲响应函数是个递减的指数函数。
对一阶系统而言,将其单位脉冲响应曲线衰减到初值的」」之前的过程定义为过渡过程,称此过程经历的时间为过渡过程时间或调整时间,记为「。
经过计算可得一阶系统的调整时间为u。
显然,系统的时间常数:
愈小,其过渡过程的持续时间愈短,亦即系统的惯性愈小,系统对输入信号反应的快速性愈好。
、一阶系统的单位阶跃响应Xou(t)
■■■-的瞬态项为-二「,其稳态项为-I。
即一阶系统的单位阶跃响应函数是一个递增的指数函数。
对一阶系统而言,过渡过程还可定义为其阶跃响应增长到稳态值的一之
前的过程,同样可算得相应的时间为IJ。
因此,时间常数;确实反映了一阶系统的固有特性,其值愈小,系统的惯性就愈小,系统的响应也就愈快。
四、线性系统输出与输入的关系
考察一阶系统的单位阶跃响应函数■■■--1与单位脉冲响应函数2「I,可知它们之间的关系为:
叫二,并且其输入的关系为:
讥-「二。
事实上,对于
任意线性系统而言,若一个输入A是另一个输入B的导函数,则输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的导函数;同样地,若一个输入A是另一个输入B的积分,则输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的积分,但是,如果积分是不定积分,则还需要确定积分常数。
第四节二阶系统的时间响应
、二阶系统
二阶系统的传递函数有如下两种形式:
其中,4丄是二阶系统的特征参数,它们表明二阶系统本身的与外界无关的固有特性。
一般将式(3.4.1)所示的系统称为无零点的二阶系统或典型的二阶系统,而将式(3.4.2)所示的系统称为有零点的二阶系统。
在不特别声明的情况下,本章讨论的是典型二阶系统的时间响应。
二阶系统的特征方程是
r+2飙s+就乂
此方程的两个特征根是
由式(3.4.3)可见,随着阻尼比取值的不同,二阶系统的特征根分布不同,亦即二阶系统传递函数的极点分布不同,其分布情况如图(3.4.1)所示。
不同
的极点分布情况,决定了二阶系统在不同的阻尼情况下,其自由响应项不同。
由图(3.4.1)可知,当时,即二阶系统出现负阻尼时,其传递函数的两个
极点分布在[S]平面的右半平面内,系统不稳定。
因此,这里只讨论T-"时,阶系统的响应情况。
WIrTl (Xf (a)(b>(c>(d) 图(341) 二、二阶系统的单位脉冲响应W(t)和单位阶跃响应 在不同阻尼系数下,二阶系统的单位脉冲响应宀「和单位阶跃响应如表 3.4.1所示。 表3.4.1二阶系统的单位脉冲响应";|和单位阶跃响应 阻尼系数 单位脉冲响应 单位阶跃响应 驚0 w(f)=钩sin如 =l-cos®K/ 无阻尼 欠阻尼 憾)=叭八叫rsin也/ £(f)二1一总w[枷(0/+arctg^ 2£ 临界阻尼 wft)=砧八屮 |碘口-(1+如)严 仁-dJ-F,称心 为二阶系统的有阻尼固有频率; 当;取值不同时,二阶欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线如图342所示。 由图可知,欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线是减幅的正弦振荡曲线,且: 愈小,衰 减愈慢,振荡频率5愈大。 故欠阻尼系统又称为二阶振荡系统,其幅值衰减的快慢取决于-°: 称为时间衰减常数,记为二)。 图3.4.2 图343 当: 取值不同时,二阶系统的单位阶跃响应如图3.4.3所示。 由图可知,二阶系统的单位阶跃响应函数的过渡过程随阻尼*的减小,其振荡特性表现得愈加强烈,当匚"时达到等幅振荡。 在匚〔和;门时,二阶系统的过渡过程只具有单调上升的特性,而不会出现振荡。 在无振荡单调上升的曲线中,以'-1时的 过渡过程时间最短。 在欠阻尼系统中,当■--■-时,不仅其过渡过程时间比上1更短,而且振荡也不太严重。 因此,一般希望二阶系统工作在匚--「匸的欠阻尼状态。 通过选择合适的特征参数八;,可以使系统具有合适的过渡过程。 由于系统输入的不同,二阶系统的单位脉冲响应与单位阶跃响应不同,但是它们随着阻尼比的不同而不同的振荡情况却是一致的。 当系统为无阻尼系统时,均为等幅振荡;当系统为欠阻尼系统时,均为减幅振荡;而当系统为临界阻尼或过阻尼系统时,均不会出现振荡。 三、二阶欠阻尼系统响应的性能指标 二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应曲线如图344所示,其瞬态性能指标包括上升时间「、峰值时间: '■'、最大超调量二仁调整时间】;、振荡次数〕等。 1.上升时间: ■: 响应曲线从原工作状态出发,第一次达到输出稳态值所需的时间定义为上升时间。 当;一定时,「增大,「就减小;当5—定时,: 增大,「就增大 图344 2.峰值时间: 响应曲线达到第一个峰值所需的时间定义为峰值时间 当上一定时,「增大,,就减小;当5—定时,匚增大,,就增大 M 3.最大超调量「'7: —般用下式定义系统的最大超调量,即 x.(k)-x/oa) Z肽Lio% 亦即 因此,'—与「无关,而只与匚有关。 匚增大,鼻;'就减小;反之亦然。 4•调整时间】: 在过渡过程中,「二取的值满足下面不等式时所需要的时间,定义为调整时间。 不等式为 ■■-「匚(匚) 气斗1口一厂 八一£3. 当丄I.时,「I 当;一定时,「增大,】;就减小;当5—定时,匚增大,】: 也减小 5•振荡次数T: 在过渡过程时间内,•〔-穿越其稳态值的次数的一半定义为振荡次数。 即 当「「,亠时, 当、时, 振荡次数〕随着: 的增大而减小,它的大小直接反映了系统的阻尼特性。 从二阶系统的瞬态性能指标与其特征参数之间的关系中可以看出: (1)系统性能指标的矛盾性。 一般说来,系统的上升时间: 、峰值时间I■等反映系统响应快速性的性能指标与最大超调量-、振荡次数T等指标是相互矛盾的。 (2)为了使二阶系统具有满意的动态特性,必须合理选择系统的阻尼比-和 无阻尼固有频率o一般的做法是先根据最大超调量振荡次数T等要求 选择系统的阻尼比: 然后再根据上升时间「、峰值时间、调整时间等要求,确定系统无阻尼固有频率i”。 需要说明的是,以上各个性能指标的公式是从典型二阶欠系统的阶跃响应中推导出来的。 如果系统是具有零点的二阶系统,这些公式是不能直接应用的。 但是,其性能指标同二阶系统特征参数之间的变化趋势却保持不变。 第五节高阶系统的响应分析 一个高阶系统的时间响应可以由若干个一阶系统和二阶系统的时间响应叠加而 成。 结合本章第一节的结论,还可以得到主导极点的概念。 若在系统传递函数的极点分布中,其中一对共轭极点离虚轴的距离较近,而其它所有极点离虚轴距离是该对共轭极点离虚轴距离的5倍以上,且这对极 点附近没有零点,则称此对极点为系统的主导极点。 在研究高阶系统的过渡过程时可以将系统的过渡过程近似地由主导极点所决定的二阶振荡系统的过渡过程代替。 第六节系统误差分析与计算 一、系统误差与偏差的关系 设T-是控制系统的理想输出,-是其实际输出,则误差.「I定义为 吻f讥) 在如图3.6.1所示的闭环系统中,系统误差: ;的Laplace变换"’厂与系 统偏差的Laplace变换二之间具有如下关系: 沖是阳(3.6.1) 图361 显然,控制系统的误差&和偏差厂二是既有区别,又有联系的。 系统偏差厂匸与系统误差在一般的情况下不相等。 只有当系统是单位反馈系统时,系统的偏差|丄与误差Ob才会相同。 二、系统的稳态误差与稳态偏差 系统过渡过程结束后,系统实际输出量与系统希望的输出量之间的偏差称为稳态误差。 它是系统稳态性能的测度,反映了系统响应的准确性。 g*(£)=lim)=limsE^s) 、二lim兔)二foisE(s) 同样地,可以定义稳态偏差■ 三、与输入和系统结构有关的稳态偏差 图362 现分析如图362所示系统的稳态偏差: . 由终值定理的系统的稳态偏差为: 。 即'T叫-「九亠- 很显然,系统的稳态偏差不仅与系统的结构、参数有关,而且与系统的输入的特性有关。 为简化稳态偏差的计算,定义 位置无偏系数.-. 心二血詬(级何 速度无偏系数• Him"(沁) 加速度无偏系数「. 则: (1)当系统的输入为单位阶跃信号时,系统的稳态偏差为 (2)当系统的输入为单位斜坡信号时,系统的稳态偏差为 1 务二— (3)当系统的输入为单位加速度信号时,系统的稳态偏差为I 设系统的开环传递函数为 G瓷何二G(讪(s)二 疋(斤£+1”勺£+1)…(q&+1) 辭限+1)(和+1”(: 严+1) 其中,〔为系统的型次;当r分别为0、1、2、…,时,分别称系统为o型系统、I型系统、II型系统等等。 显然,位置无偏系数、: 、速度无偏系数丄二和加速度无偏系数-工与系统的型次: 和开环增益匸有关。 系统开环的型次以及输入信号形式同误差系数和系统稳态偏差之间的关系见表3.6.1o 表361不同型次系统的误差系数及其在不同输入时的稳态偏差 系统的开环 误差系数 不同输入时的稳态偏差 位置无偏系数 ? 速度无偏系数 加速度无偏 系数心 单位阶跃输入 单位恒速输入 单位恒加速度输入 0型系统 0 0 1 1+1 D0I [ffl] I型系统 K 0 0 m 1x1 W n型系统 to] 0 0 m 从表3.6.1中可以看出,同一系统在不同的输入作用下,其稳态偏差是不同的。 更有意义的是,针对同一种输入,当系统的型次增加时,系统的准确性将得到提高;增加系统的开环增益,往往也可以提高系统的稳态精度。 但是,正如第五章将要讨论的那样,系统型次和开环增益的增加,却使得系统的稳定性变差。 因此,通常需要在系统的稳定性和准确性之间进行权衡,必要时,需要引入校正环节进行校正。 四、系统存在干扰作用时误差和偏差 若系统有干扰二「作用,其方框图如图363所示。 可以求得 耳如着恥畑+啓沁) =0£($比($)+為($0何(362) 式中, 驗) ——一-二 图3.6.3 因此,系统的误差包括两部分,一部分与系统的结构、参数和输入信号有关,另一部分为系统在干扰单独作用下产生的输出。 在输入和干扰共同作用下的偏差为 E⑤=X,(力-5(f) L+q(泌(诃佃)冈⑶ 6⑶卫何 1+获)获)丹0) %) 由式(362)、(363)及终值定理可得在输入和与干扰共同作用下,系统的稳态误差和稳态偏差。 五、任意输入时,稳态误差的求法 (1)求系统偏差的Laplace变换。 (2)对于单位反馈系统,稳态误差等于稳态偏差。 (3)对于非单位反馈系统,可根据式(3.6.1)将误差的Laplace变换换算为偏差Laplace变换的表达式。 (4)根据终值定理,即可求得系统的稳态误差。 当然,系统的稳态误差还可以通过求出系统的时间响应,进而求出系统的误 差函数丄R…-■'/-1的稳态值的方法求得。 第六节5函数在时间响应中的作用 已知系统的单位脉冲响应函数为1,则系统在任一输入: r作用下的响应 '1为: 臥)二叩)%(0 因此,系统、输入及输出三者之间的关系可表示为图3.7.1所示的形式。 由此可见,系统的单位脉冲响应函数与传递函数一样可以作为系统的数学模型,它表明了系统的动态特性。 通常,将传递函数、微分方程等称为参数化数学模型,而将单位脉冲响应函数等称为非参数化的数学模型。 无论是参数化数学模型,还是非参数化数学模型,都能反映系统的动态特性,可以通过数学变换相互转化。 第七节用Matlab进行时间响应分析 在MATLAB^,通常用step(sys,t)和impulse(sys,t)函数来求解数学模型为sys的系统在时间区段t内的单位阶跃响应和单位脉冲响应。 另外,MATLAB还提供了相应的函数lsim(sys,u,t)来求解系统sys在输入u的作用下,在时间区段t内的响应。 在求出系统的单位阶跃响应以后,根据系统瞬态性能指标的定义,就可以得到系统的上升时间、峰值时间、最大超调量和调整时间等性能指标。
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