复数的三角形式及乘除运算.docx
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复数的三角形式及乘除运算
复数的三角形式及乘除运算
一、主要内容:
复数的三角形式,模与辐角的概念及几何意义,用三角形式进展复数乘除运算及几何意义.
二、学习要求:
1.熟练进展复数的代数形式与三角形式的互化,会求复数的模、辐角及辐角主值.
2.深刻理解复数三角形式的构造特征,熟练运用有关三角公式化复数为三角形式.
3.能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围〔最值〕.
4.利用复数三角形式熟练进展复数乘除运算,并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题.
5.注意多种解题方法的灵活运用,体会数形结合、分类讨论等数学思想方法.
三、重点:
复数的代数形式向三角形式的转换,复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用.
四、学习建议:
1.复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁,相比之下,代数形式在这些方面显得有点力不从心,因此,做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.
前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示,即Z=a+bi(a,b∈R).二是几何表示,复数Z既可以用复平面上的点Z(a,b)表示,也可以用复平面上的向量
来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数Z的模和辐角来表示,设其模为r,辐角为θ,那么Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0).
既然这三种方式都可以表示同一个复数,它们之间一定有内在的联系并能够进展互化.
代数形式r=
三角形式
Z=a+bi(a,b∈R)
Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0)
复数三角形式的构造特征是:
模非负,角一样,余弦前,加号连.否那么不是三角形式.三角形式中θ应是复数Z的一个辐角,不一定是辐角主值.
五、根底知识
1〕复数的三角形式
①定义:
复数
z=a+bi〔a,b∈R〕表示成r〔cosθ+isinθ〕的形式叫复数z的三角形式。
即z=r〔cosθ+isinθ〕
其中
θ为复数z的辐角。
②非零复数z辐角θ的多值性。
以ox轴正半轴为始边,向量
所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角
因此复数z的辐角是θ+2k
〔k∈z〕
③辐角主值
表示法;用argz表示复数z的辐角主值。
定义:
适合[0,2
〕的角θ叫辐角主值
唯一性:
复数z的辐角主值是确定的,唯一的。
④不等于零的复数的模
是唯一的。
⑤z=0时,其辐角是任意的。
⑥复数三角形式中辐角、辐角主值确实定。
〔求法〕
这是复数计算中必定要解决的问题,物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算,尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。
因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容〔也是解题术〕复数在化三角式的过程中其模的求法是比拟容易的。
辐角的求法,辐角主值确实定是难点,也是关键存在,这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。
2〕复数的向量表示
在复平面内与复数z1、z2对应的点分别为z1、z2〔如图〕
何量
何量
何量
与复数z2-z1对应的向量为
显然oz∥z1z2
那么argz1=∠xoz1=θ1
argz2=∠xoz2=θ2
argz〔z2-z1〕=argz=∠xoz=θ
3〕复数运算的几何意义
主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化
如z1=r1〔cosθ1+isinθ1〕z2=r2〔cosθ2+isinθ2〕
①乘法:
z=z1·z2=r1·r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
如图:
其对应的向量分别为
显然积对应的辐角是θ1+θ2
<1>假设θ2>0那么由
逆时针旋转θ2角模变为
的r2倍所得向量便是积z1·z2=z的向量
。
<2>假设θ2<0那么由向量
顺时针旋转
角模变为r1·r2所得向量便是积z1·z2=z的向量
。
为此,假设复数z1的辐角为α,z2的辐角为β求α+β时便可求出z1·z2=zaz对应的辐角就是α+β这样便可将求“角〞的问题转化为求“复数的积〞的运算。
②除法
〔其中z2≠0〕
除法对于辐角主要是“相减〞〔被除数的辐角一除数的辐角〕依向量旋转同乘法简述如下:
<1>
。
<2>
。
例1.以下各式是否是三角形式,假设不是,化为三角形式:
(1)Z1=-2(cosθ+isinθ)
(2)Z2=cosθ-isinθ (3)Z3=-sinθ+icosθ
(4)Z4=-sinθ-icosθ (5)Z5=cos60°+isin30°
分析:
由三角形式的构造特征,确定判断的依据和变形的方向.变形时,可按照如下步骤进展:
首先确定复数Z对应点所在象限〔此处可假定θ为锐角〕,其次判断是否要变换三角函数名称,最后确定辐角.此步骤可简称为“定点→定名→定角〞.这样,使变形的方向更具操作性,能有效提高解决此类问题的正确率.
解:
〔1〕由“模非负〞知,不是三角形式,需做变换:
Z1=Z(-cosθ-isinθ)
复平面上Z1(-2cosθ,-2sinθ)在第三象限〔假定θ为锐角〕,余弦“-cosθ〞已在前,不需再变换三角函数名称,因此可用诱导公式“π+θ〞将θ变换到第三象限.∴Z1=Z(-cosθ-isinθ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)]
〔2〕由“加号连〞知,不是三角形式
复平面上点Z2(cosθ,-sinθ)在第四象限〔假定θ为锐角〕,不需改变三角函数名称,可用诱导公式
“2π-θ〞或“-θ〞将θ变换到第四象限.
∴Z2=cosθ-isinθ=cos(-θ)+isin(-θ)或Z2=cosθ-isinθ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ)
考虑到复数辐角的不唯一性,复数的三角形式也不唯一.
〔3〕由“余弦前〞知,不是三角形式
复平面上点Z3(-sinθ,cosθ)在第二象限〔假定θ为锐角〕,需改变三角函数名称,可用诱导公式
“
+θ〞将θ变换到第二象限.
∴Z3(-sinθ,cosθ)=cos(
+θ)+isin(
+θ)
同理〔4〕Z4=-sinθ-icosθ=cos(
π-θ)+isin(
π-θ)
〔5〕Z5=cos60°+isin30°=
+
i=
(1+i)=
·
(cos
+isin
)=
(cos
+isin
)
小结:
对这类与三角形式很相似的式子,如何将之变换为三角形式,对于初学者来讲是个难点.有了“定点→定名→定角〞这样一个可操作的步骤,应能够很好地解决此类问题.
例2.求复数Z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值.
分析:
式子中多3个“1〞,只有将“1〞消去,才能更接近三角形式,因此可利用三角公式消“1〞.
解:
Z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos2
-1)+2i·sin
cos
=2cos
(cos
+isin
)........
(1)
∵π<θ<2π∴
<
<π, ∴cos
<0
∴
(1)式右端=-2cos
(-cos
-isin
)=-2cos
[cos(π+
)]+isin(π+
)]
∴r=-2cos
ArgZ=π+
+2kπ(k∈Z)
∵
<
<π ∴
π<π+
<2π, ∴argZ=π+
.
小结:
〔1〕式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为r=2cos
argZ=
或ArgZ=
错误之处在于他们没有去考虑θ角范围,因此一定要用“模非负,角一样,余弦前,加号连〞来判断是否为三角形式.看了这道例题,你一定能解决如Z1=1-cosθ+isinθ(π<θ<2π),Z2=1+cosθ-isinθ(π<θ<2π)等类似问题.
例3.将Z=
(
π<θ<3π)化为三角形式,并求其辐角主值.
分析:
三角形中只有正余弦,因此首先想到“化切为弦〞.下一步当然是要分母实数化,再向三角形式转化.
解:
=
=
=
=cos2θ+isin2θ
∵
π<θ<3π,∴
<2θ<6π,
∴
π<2θ-4π<2π,∴argZ=2θ-4π
小结:
掌握三角变形是解决这类问题的根本.但在此之前的解题方向一定要明确,即要分析式子构造.比拟其与三角形式的异同,从而决定变形的方向,采用正确的方法.要求学生做好每道例题后的反思,并能由此及彼,举一反三,到达熟练解决一类问题的目的,如1-itgθ,tgθ+i,i-ctgθ等.
2.复数Z的模|Z|的几何意义是:
复平面上点Z到原点距离,复数模|Z1-Z2|的几何意义是:
复平面上两点Z1,Z2之间距离.辐角几何意义是:
以x轴正半轴为角始边,以向量
所在射线为终边的角记为ArgZ.在[0,2π)范围内的辐角称辐角主值,记为argZ.
要求学生不仅要理解以上所说各几何意义,还要运用几何意义去解决相关问题.
例4.假设Z∈c,|Z-2|≤1,求|Z|的最大,最小值和argZ范围.
解:
法一,数形结合
由|Z-2|≤1,知Z的轨迹为复平面上以〔2,0〕为圆心,1为半径的圆面〔包括圆周〕,|Z|表示圆面上任一点到原点的距离.
显然1≤|Z|≤3,∴|Z|max=3,|Z|min=1,
另设圆的两条切线为OA,OB,A,B为切点,由|CA|=1,|OC|=2知
∠AOC=∠BOC=
,∴argZ∈[0,
]∪[
π,2π)
法二:
用代数形式求解|Z|的最大,最小值,设Z=x+yi(x,y∈R)
那么由|Z-2|≤1得(x-2)2+y2≤1,
∴|Z|=
≤
=
∵(x-2)2+y2≤1,∴(x-2)2≤1,∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3,
∴1≤4x-3≤9,∴1≤|Z|≤3.
小结:
在一题多解的根底上,分析比拟各种方法的异同,如何做好方法的选择.各种方法的本质和优势,通过分析与比拟都一目了然.
例5.复数Z满足arg(Z+3)=
π,求|z+6|+|z-3i|最小值.
分析:
由两个复数模的和取最小值,联想到一个点到两个定点距离和的最小值,将之转化为几何问题来解决应比拟简便.
解法一:
由arg(Z+3)=
π,知Z+3的轨迹是一条射线OA,∠xOA=
π,而
|Z+6|+|Z-3i|=|(z+3)-(-3)|+|(Z+3)-(3+3i)|
将B(-3,0)与C(3,3)连结,BC连线与OA交点为D,取Z+3为D点,表示复数时,
|Z+6|+|Z-3i|=|BD|+|DC|=|BC|=3
∴所求最小值=3
.
法二:
由arg(Z+3)=
π,知Z+3的轨迹是射线OA,那么Z轨迹应是平行于OA,且过点〔-3,0〕的射线BM,
∴|Z+6|+|Z-3i|就表示射线BM上点到点P(-6,0)和点Q(0,3)距离之和,连结PQ与射线BM交于点N,取E为N点表示复数时,
|Z+6|+|Z-3i|=|PN|+|NQ|=|PQ|=3
∴所求最小值=3
.
小结:
两种方法的本质一样,都是将数学式子利用其几何意义转化成几何问题进展解决.如果纯粹用代数方法求解,难度会很大.对有关最值问题,尤其是模〔距离〕和辐角主值最值问题,用数形结合方法显然较为简便.
例6.|Z-2i|≤1,求arg(Z-4i)最大值.
解:
∵|Z-2i|≤1,∴点Z轨迹是以〔0,2〕为圆心,1为半径的圆面,在其上任取一点Z,连Z与点〔0,4〕
得一以〔0,4〕为起点,Z为终点的向量,将起点平移到原点,那么θ为其对应的辐角主值,显然arg(Z-4i)最大值为
π.
3.两个复数相乘,积的模等于模的积,辐角为两辐角之和,其几何意义是模的伸缩及对应向量的旋转.
两个复数相除,商的模等于模的商〔除数不为零〕,辐角为两辐角之差,其几何意义同乘法.
由复数三角形式乘除运算的几何意义,可解决向量或图形的旋转问题,如等腰、等边三角形、直角三角形,平行四边形顶点间的几何何关系利用复数的乘除运算来表示.
复数三角形式较之代数形式,在乘除运算中非常方便,可顺利解决多项相乘〔乘方〕,相除及乘除混合运算.
例7.假设
与
分别表示复数Z1=1+2
i,Z2=7+
i,求∠Z2OZ1并判断ΔOZ1Z2的形状.
解:
欲求∠Z2OZ1,可计算
=
=
=
=
∴∠Z2OZ1=
且
=
,
由余弦定理,设|OZ1|=k,|OZ2|=2k(k>0)|Z1Z2|2=k2+(2k)2-2k·2k·cos
=3k2∴|Z1Z2|=
k,
而k2+(
k)2=(2k)2,∴ΔOZ1Z2为有一锐角为60°的直角三角形.
小结:
此题中利用除法几何意义来解决三角形中角的大小问题,十分方便.
例8.直线l过坐标原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,假设点A(-1,0)和B(0,8)关于l的对称点都在C上,求直线l与抛物线C的方程.
解:
如图,建立复平面x0y,设向量
、
对应复数分别为
x1+y1i,x2+y2i.
由对称性,|OA'|=|OA|=1,|OB'|=|OB|=8,
∴x2+y2i=(x1+y1i)8i=-8y1+8x1i
∴
设抛物线方程为y2=2px(p>0)那么有y12=2px1,y22=2px2,
∴x1=
y12=p2,又|OA'|=1,
∴(
)2+p2=1, ∴p=
或-
〔舍〕
∴抛物线方程为y2=
x,直线方程为:
y=
x.
小结:
对于解析几何的许多问题,假设能借助于复数的向量来表示,常常有意想不到的成效.尤其涉及到特殊位置,特殊关系的图形时,尤显其效.
五、易错点
1.并不是每一个复数都有唯一确定的辐角主值.如复数零的模为0,辐角主值不确定.
2.注意ArgZ与argZ的区别.ArgZ表示复数Z的辐角,而argZ表示复数Z的辐角主值.
ArgZ=argZ+2kπ(k∈Z),argZ∈[0,2π),辐角主值是[0,2π)内的辐角,但辐角不一定是辐角主值.
3.复数三角形式的四个要求:
模非负,角一样,余弦前,加号连,缺一不可.任何一个不满足,就不是三角形式.
4.注意复数三角形式的乘除运算中,向量旋转的方向.
六、练习
1.写出以下复数的三角形式
(1)ai(a∈R)
(2)tgθ+i(
<θ<π〕 (3)-
〔sinθ-icosθ)
2.设Z=(-3
+3
i)n,n∈N,当Z∈R时,n为何值?
3.在复平面上A,B表示复数为α,β(α≠0),且β=(1+i)α,判断ΔAOB形状,并证明SΔAOB=
|d|2.
参考答案:
1.〔1〕ai=
〔2〕tgθ+i(
<θ<π〕=-
[cos(
π-θ)+isin(
π-θ)]
〔3〕-
(sinθ-icosθ)=
[cos(
+θ)+isin(
+θ)]
2.n为4的正整数倍
3.法一:
∵α≠0,β=〔1+i)α
∴
=1+i=
(cos
+isin
),∴∠AOB=
∵
分别表示复数α,β-α,
由β-α=αi,得
=i=cos
+isin
,
∴∠OAB=90°,∴ΔAOB为等腰直角三角形.
法二:
∵|
|=|α|,|
|=|β-α|=|αi|=|α|, ∴|
|=|
|
又|
|=|β|=|(1+i)α|=
|α|,|
|2+|
|2=|α|2+|α|2=2|α|2=|
|2
∴ΔAOB为等腰直角三角形,∴SΔAOB=
|
|·|
|=
|α|2.
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窗体顶端
选择题
1.假设复数z=(a+i)2的辐角是
,那么实数a的值是〔 〕
A、1
B、-1
C、-
D、-
窗体底端
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2.关于x的实系数方程x2+x+p=0的两虚根a,b满足|a-b|=3,那么p的值是〔 〕
A、-2
B、-
C、
D、1
窗体底端
窗体顶端
3.设π<θ<
,那么复数
的辐角主值为〔 〕
A、2π-3θ
B、3θ-2π
C、3θ
D、3θ-π
窗体底端
窗体顶端
4.复数cos
+isin
经过n次乘方后,所得的幂等于它的共轭复数,那么n的值等于〔 〕
A、3
B、12
C、6k-1(k∈Z)
D、6k+1(k∈Z)
窗体底端
窗体顶端
5.z为复数,(
)|z-3|=(
)|z+3|(
)-1的图形是〔 〕
A、直线
B、半实轴长为1的双曲线
C、焦点在x轴,半实轴长为
的双曲线右支
D、不能确定
窗体底端
答案与解析
答案:
1、B 2、C 3、B 4、C 5、C
解析:
1.∵z=(a+i)2=(a2-1)+2ai,argz=
,∴
,∴a=-1,此题选B.
2.求根a,b=
〔Δ=1-4p<0〕 ∵|a-b|=|
|=3,
∴4p-1=9,p=
,故此题应选C.
3.
=
=cos3θ+isin3θ.
∵π<θ<
,∴3π<3θ<
,∴π<3θ-2π<
,故此题应选B.
4.由题意,得(cos
+isin
)n=cos
+isin
=cos
-isin
由复数相等的定义,得
解得
=2kπ-
,(k∈Z),∴n=6k-1.故此题应选C.
5.依题意,有|z-3|=|z+3|-1,∴|z+3|-|z-3|=1.由双曲线定义,此方程表示焦点(±3,0),2a=1,a=
的双曲线右支,故此题应选C.
复数三角形式的运算·疑难问题解析
1.复数的模与辐角:
(1)复数模的性质:
|z1·z2|=|z1|·|z2|
(2)辐角的性质:
积的辐角等于各因数辐角的和.
商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
一个复数n次幂(n∈N)的辐角等于这个复数辐角的n倍.
注意:
(1)辐角与辐角主值的区别,特别是解题过程中的不同点.如下面两个问题:
假设arg(2-i)=α,arg(3-i)=β,求α+β的值.(α+β∈(3π,4π))
假设arg(2-i)=α,arg(3-i)=β,求arg[(2-i)(3-i)]的值.
(2)两个复数乘积的辐角主值不一定等于两辐角主值的和,商的辐角主值不一定等于辐角主值的差.
2.关于数的开方
(1)复数的开方法那么:
r(cosθ+isinθ)的n次方根是
几何意义:
设
对应于复平面上的点
,那么有:
所以,复数z的n次方根,在复平面内表示以原点为中心的正n边形的n个顶点.
(2)复数平方根的求法.
求-3-4i的平方根.
解法一 利用复数代数形式.设-3-4i的平方根为x+yi(x,y∈R),那么有
(x+yi)2=-3-4i, 即(x2-y2)+2xyi=-3-4i, 由复数相等条件,得
∴-3-4i的平方根是±(1-2i).
法二 利用复数的三角形式.
3.复数集中的方程.
关于实系数的一元二次方程的解法:
设ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c∈R,x1,x2为它的两个根)
(1)当△=b2-4ac≥0时,方程有两个实数根 当△=b2-4ac<0时,方程有一对共轭虚根
(4)二次三项式的因式分解:
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
关于复系数的一元二次方程的解法:
设ax2+bx+c=0(a≠0,a、b、c∈C,且至少有一个虚数,x1x2为它的两个根)
(4)二次三项式的因式分解ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)仍然适用.
关于二项方程的解法
形如anxn+a0=0(a0,an∈C且an≠0)的方程叫做二项方程,任何一个二项方程都可以化成xn=b(b∈C)的形式,因此都可以通过复数开方来求根.
可以充分利用复数z的整体性质,复数z的三种表示方法及其转换来解方程.
方程x2-4x+p=0两虚数根为α、β,且|α-β|=2XX数p的值.
解法1∵实系数一元二次方程虚根共轭设α=a+bi,
β=a-bi,(a,b∈R)∴α+β=2a=4,∴a=2
又∵|α-β|=2,∴|2bi|=2得b=±1
即两根为2+i,2-i由韦达定理得:
p=(2+i)(2-i)=5
法2 由韦达定理可得:
α+β=4,αβ=p
于是|α-β|2=|(α-β)2|=|(α+β)2-4αβ|=|42-4p|=4, 即|4-p|=1
又∵△=42-4p<0 p>4, ∴p-4=1, 得p=5
说明 注意实系数一元二次方程有两个实根与有两个虚根的区别.
一等式成立.假设有两个虚根那么上述等式不成立.因为|α-β|2≠(α-β)2.因此在解题时要重视复数与实数知识点之间的区别与联系,要防止出现混淆与干扰.
方程2x2+3ax+a2-a=0有模为1的根,XX数a的值.
分析 方程有模为1的根,此根可能是实数,也可能是虚数,故XX数a要注意分域讨论.
解
(1)假设所给方程有实根那么△=(3a)2-4×2(a2-a)=a2+8a>0, 即a<-8或a>0
由条件得根必为1或-1,
①将x=1代入原方程可得a2+2a+2=0a无实数解.
(2)假设所给方程有虚根那么△=a2+8<0, 即-8<a<0
即a2-a-2=0, ∴a=-1或a=2(舍)
方程x2-(2i-1)x+3m-i=0有实数根,XX数m.
分析 XX数m的范围,假设用判别式来判断是错误的,因为此方程的系数是复数.
利用求根公式或用韦达定理或选用复数相等,解方程组来XX数m均可以.现仅介绍一种方法.
解 ∵x,m∈R,方程变形可得,(x2+x+3m)-(2x+1)i=0
复数例题讲解与分析
例1.x,y互为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x,y.
[思路1]:
确定一个复数即分别确定它的实部、虚部或模与一个辐角,设z=a+bi或三角形式,化虚为实。
[解法1]:
设x=a+bi(a,b∈R),那么y=a-bi,代入原等式得:
(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i.
或
或
或
,
∴
或
或
或
。
[思路2]:
“x,y互为共轭〞含义?
→x+y∈R,xy∈R,那么(x+y)2-3xyi=4-6i
.
[解法2]:
∵x=
,∴x+y∈R,xy∈R,∴由两复数相等可得:
,
∴由韦达定理可知:
x,y同是方程:
z2+2z+2=0或z2-2z+2=0的两根,
分别解两个一元二次方程那么得x,y……〔略〕。
例2.z∈C,|z|=1且z2≠-1,那么复数
〔 〕
A、必为纯虚数 B、是
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