有理数培优题有复习资料.docx
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有理数培优题有复习资料
有理数培优题
基础训练题
一、填空:
1、在数轴上表示一2的点到原点的距离等于(
2、若IaI=-a,则a()0.
3、任何有理数的绝对值都是(
4、如果0,那么a、b一定是(
5、将0.1毫米的厚度的纸对折
20次,
列式表示厚度是(
6、已知|a|3,|b|2,|ab|ab,
7、|x2||x3|的最小值是(
8在数轴上,点A、B分别表示
)。
1丄,则线段的中点所表示的数是(
42
9、若a,b互为相反数,
m,n互为倒数,
2010
P的绝对值为3,则一
P
mn
()。
10、若工0,则回回
ab
11、下列有规律排列的一列数:
Lcl的值是(
c
1、
).
3、…,其中从左到右第
5
100个数是(二、解答问题:
1、已知3=054的值是4,z对应的点到-2对应的点的距离是7,求x、y、z这三个数两两之积的和。
3、若2x|45x||13x|4的值恒为常数,求x满足的条件及此时常数的值。
5、计算:
一1+5-工+2-11+13-15+17
26122030425672
6、应用拓展:
将七只杯子放在桌上,使三只口朝上,四只口朝下。
现要求每次翻转其中任意四只,使它们杯口朝向相反,问能否经有限次翻转后,让所有杯子杯口朝下?
能力培训题
知识点一:
数轴
例1:
已知有理数a在数轴上原点的右方,有理数b在原点的左方,那么
()
A.abbB.abbC.ab0D.ab0
拓广训练:
1、如图a,b为数轴上的两点表示的有理数,在ab,b2a,ab,ba中,负数
的个数有()“祖冲之杯”邀请赛试题)—Ob*
A.1B.2C.3D.4
3、把满足2
5中的整数a表示在数轴上,并用不等号连接。
2、利用数轴能直观地解释相反数;
例2:
如果数轴上点A到原点的距离为3,点B到原点的距离为5,那么A
B两点的距离为。
拓广训练:
1、在数轴上表示数a的点到原点的距离为3,则a3.
2、已知数轴上有A、B两点,AB之间的距离为1,点A与原点0的距离
为3,那么所有满足条件的点B与原点0的距离之和等
于。
(北京市“迎春杯”竞赛题)
3、利用数轴比较有理数的大小;
例3:
已知a0,b0且ab0,那么有理数a,b,a,b的大小关系
是。
(用“”号连接)(北京市“迎春杯”竞赛题)
拓广训练:
1、若m0,n0且mn,比较m,n,mn,mn,nm的大小,并用“”
号连接。
例4:
已知a5比较a与4的大小
拓广训练:
1、已知a3,试讨论a与3的大小
2、已知两数a,b,如果a比b大,试判断a与b的大小
4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。
例5:
有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,式子ababbc化简结
果为()
・・A
-1aO1bc
A.2a3bcB.3bcC.beD.cb
拓广训练:
1、有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,则化简abb1|ac1c的
结果为。
baOc1
2、已知|ab|ab2b,在数轴上给出关于a,b的四种情况如图所示,则成
立的是.。
>--
a0bb0a0ab0ba
1②③
④
3、已知有理数a,b,c在数轴上的对应的位置如下图:
则c1acab化简
后的结果是()
(湖北省初中数学竞赛选拨赛试题)
-1
A.b1B.2ab1C.12ab2cD.12cb
三、培优训练
1、已知是有理数,
且
x122y12
0,那以xy的值是(
)
A.-B.
2
3
2
C.丄或3
22
D.1或1
A向左移动2个单位长度到达点B,再若点c表示的数为
A表示的数为
01
2、(07乐山)如图,数轴上一动点向右移动5个单位长度到达点C.
A.7B.3C.3D.2
3、如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距1个单位,点A、BC、
D对应的数分别是整数a,b,c,d且d2a朮,那么数轴的原点应是()
A.A点B.B点C.C点D.D点
4、数a,b,c,d所对应的点A,B,C,
D在数轴上的位置如图所示,那么
bd的大小关系是(
)
AD0CB
A.acbdB.acbdC.acbdD.不确定的
5、不相等的有理数a,b,c在数轴上对应点分别为A,B,C,若abbcac,
那么点B()
A.在A、C点右边B.在A、C点左边C.在AC点之间D.以上均有可能
6、设yx1x1|,则下面四个结论中正确的是()(全国初中数学联赛题)
小值
C.有限个x(不止一个)使y取最小值D.有无穷多个X使y取
最小值
7、在数轴上,点A,B分别表示1和1,则线段的中点所表示的数
35
是。
8若a0,b0,则使xaxbab成立的x的取值范围是。
9、x是有理数,则x空]x竺|的最小值是。
221221|
10、已知a,b,c,d为有理数,在数轴上的位置如图所示b—6一a—C歹
且6a6b3c4d6,求3a2d3b2a2bc的值。
11、(南京市中考题)
(1)阅读下面材料:
点A、B在数轴上分别表示实数a,b,A、B两点这间的距离表示为AB,当A
O(A)B
f乐;
OAB
―*'
oab
B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,AB当AB两点都不在原点时,
1如图2,点AB都在原点的右边|ABOBOAbaba|ab;
BAO
2如图3,点AB都在原点的左边IABOBOAbab玄陆;。
・
3如图4,点AB在原点的两边AB|OAOB|abab_A_>
boa
综上,数轴上AB两点之间的距离AB|ab。
(2)回答下列问题:
①数轴上表示2和5两点之间的距离是,数轴上表示-2和-5的两
点之间的距离是,数轴上表示1和-3的两点之间的距离
是;
2数轴上表示X和-1的两点A和B之间的距离是,如果AB2,
那么X为;
3当代数式x1|x2取最小值时,相应的x的取值范围是;
4求|x1x2x3|x1997的最小值。
聚焦绝对值
一、阅读与思考
绝对值是初中代数中的一个重要概念,引入绝对值概念之后,对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解;绝对值又是初中代数中一个基本概念,在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时,常常遇到含有绝对值符号的问题,理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面:
1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。
脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。
去绝对值符号法则:
aa0
a0a0
aa0
2、恰当地运用绝对值的几何意义
从数轴上看a表示数a的点到原点的距离;ab表示数a、数b的两点间的距离。
3、灵活运用绝对值的基本性质
①a0②a2a2③abab④学专匕。
⑤abab
⑥abab
二、知识点反馈
1、去绝对值符号法则
例1:
已知a5,b3且|abba那么ab。
拓广训练:
1、已知|a1,b2,c3,且abc,那么abc2。
(北京市“迎
春杯”竞赛题)
2、若a8,b5,且ab0,那么ab的值是()
A.3或13B.13或-13C.3或-3D.-3或-13
2、恰当地运用绝对值的几何意义
例2:
x1x1的最小值是()
A.2B.0C.1D.-1
解法1、分类讨论
当x1时,x1x1x1x12x2;
当1x1时,x1x1x1x12;
比较可知,x1x1的最小值是2,故选A。
解法2、由绝对值的几何意义知x1表示数x所对应的点与数1所对应的点之间的距离;x1表示数x所对应的点与数-1所对应的点之间的距离;
x1x1的最小值是指x点到1与-1两点距离和的最小值。
如图易知当1x1时,x1x1的值最小,最小值是2故选Ao拓广训练:
1、已知x3x2的最小值是a,x3x2的最大值为b,求ab的值。
三、培优训练
1、如图,有理数a,b在数轴上的位置如图所示a—-1—~b—1‘―*
则在ab,b2a,ba,ab,a2,b4中,负数共有()(湖北省荆州市竞
赛题)
A.3个B.1个C.4个D.2个
2、若m是有理数,则mm—定是()
A.零B.非负数C.正数D.负数
3、如果|x2x20,那么x的取值范围是()
A.x2B.x2C.x2D.x2
4、a,b是有理数,如果abab,那么对于结论
(1)a一定不是负数;
(2)b可能是负数,其中()(第15届江苏省竞赛题)
A.只有
(1)正确B.只有
(2)正确C.
(1)
(2)都正确D.
(1)
(2)都不正确
5、已知a
a,则化简a1
a2所得的结果为(
)
A.1
B.1C.2a
3D.32a
6、已知0
a4,那么|a2
3a的最大值等于(
)
A.1B.5C.8D.9
7、已知a,b,c都不等于零,且x-芈,根据a,b,c的不同取值,x有
a|b|cabc|
()
A.唯一确定的值B.3种不同的值C.4种不同的值D.8种不
同的值
&满足abab成立的条件是()(湖北省黄冈市竞赛题)
A.ab0B.ab1C.ab0D.ab1
9、若2x5,则代数式口口凶的值为。
x52xx
10、若ab0,则回B刪的值等于。
abab
11、已知a,b,c是非零有理数,且abc0,abc0,求吕--半的值。
|a|bcabc
25,求|ba|dc
12、已知a,b,c,d是有理数,ab9,cd16,且abcd
的值。
13、阅读下列材料并解决有关问题:
xx0
我们知道x0x0,现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的
xx0
代数式,如化简代数式x1|x2时,可令x10和x20,分别求得
x1,x2(称1,2分别为|x1与Ix2的零点值)。
在有理数范围内,零点值
x1和x2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况:
(1)当x1时,原式=x1x22x1;
(2)当1x2时,原式=x1x23;
(3)当x2时,原式=x1x22x1。
2x1x1
综上讨论,原式=31x2
2x1x2
通过以上阅读,请你解决以下问题:
(1)分别求出x2和x4的零点值;
(2)化简代数式x2x4
14、
(1)当x取何值时,x3有最小值?
这个最小值是多少?
(2)当x取何值时,5x2有最大值?
这个最大值是多少?
(3)求x4x5的最小值。
(4)求x7x8x9的最小值。
15、某公共汽车运营线路段上有ADC、B四个汽车站,如图,现在要在段上修建一个加油站为了使加油站选址合理,要求A,B,C,D四个汽车站到加油站M的路程总和最小,试分析加油站M在何处选址最好?
16、先阅读下面的材料,然后解答问题:
在一条直线上有依次排列的nn1台机床在工作,我们要设置一个零件供应站P,使这n台机床到供应站P的距离总和最小,要解决这个问题,先“退”
A1A?
AtA2(P)DA3
到比较简单的情形乙甲乙
如图①,如果直线上有2台机床(甲、乙)时,很明显P设在Al和a2之间的任何地方都行,因为甲和乙分别到P的距离之和等于A到A2的距离.
如图②,如果直线上有3台机床(甲、乙、丙)时,不难判断,P设在中间一台机床A2处最合适,因为如果P放在A2处,甲和丙分别到P的距离之和恰好为Al到A3的距离;而如果P放在别处,例如D处,那么甲和丙分别到P的距离之和仍是Al到A的距离,可是乙还得走从A2到D近段距离,这是多出来的,因此P放在A2处是最佳选择。
不难知道,如果直线上有4台机床,P应设在第2台与第3台之间的任何地方;有5台机床,P应设在第3台位置。
问题
(1):
有n机床时,P应设在何处?
问题
(2)根据问题
(1)的结论,求x1|x2x3|x617的最小值。
有理数的运算
一、阅读与思考
在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算,当引进负数概念后,数集扩大到了有理数范围,我们又学习了有理数的计算,有理数的计算与算术数的计算有很大的不同:
首先,有理数计算每一步要确定符号;其次,代数与算术不同的是“字母代数”,所以有理数的计算很多是字母运算,也就是通常说的符号演算。
数学竞赛中的计算通常与推理相结合,这不但要求我们能正确地算出结果,
而且要善于观察问题的结构特点,将推理与计算相结合,灵活选用算法和
技巧,提高计算的速成度,有理数的计算常用的技巧与方法有:
1、利用运算律;2、以符代数;3、裂项相消;4、分解相约;5、巧用公式等。
二、知识点反馈
1、利用运算律:
加法运算律乘法运算律
加法结合律abcabc
乘法交换律abba
乘法结合律abcabc
乘法分配律abcabac
例1:
计算:
23422.7572
533
解:
原式=4.6422.757-4.62.7534.65.751.15
33
拓广训练:
1
、
计
算
(
1
)0.60.08
2
27
5
0.922—
(2)
5
11
11
31
59
3
1
6
7
c19
—
—
9
4
11
4
11
44
例2:
计算:
50
25
解:
原式=
5002498
11
1050105050
2525
拓广训练:
1、
计算:
2345
(4)ITnn1n2nn1
m25^
2009220
(3)
2009
—X
3
3
—X
—X
2O—X
O
—X
5
5
7
—X
2O—X
O
2O
9
20072009
—X
2009
4
a4-斗wi」7Z27h二ly13IM8I-5赵
271739172739
◎严bi」6l^-27h261^-lllylols
272717173939
4A43I-8I-5/〉BT7Z27I-二£亠6氏261^lols2r
172739271739271739
1MMH2AA2
m25-
2006
2005
2006
4、分解相约
例5:
计算:
124248
2
n2n4n
1392618
n
3n9n
解:
原式1
1
242124
n1
2
2
412412
n
392139
n1
3
913912
n
2
12464
139729
三、培优训练
2007
a
2、
a是最大
b是绝
对值最小的有理数,则
.2009
b
2008
计算:
(1)
19971999
(2)
0.254
3、若a与b互为相反数,则豐册
4、
计算:
1
1
3
丄3
5
13
97.
o
2
4
4
66
6
9898
98
5、
计算:
2
22
2324
25
26
27
2829210=
■o
6
1997
、
J
97
J
1998
J
98
这
四
个数由
小到大的排列顺序
1998
98
1999
99
是
o
7、(
“五羊杯”)计算:
3.1431.4628
0.68668.66.86=(
)
A.
3140B.
628
C.
1000
D
.1200
&(
“希望杯”)
12
34
14
15
等于()
24
68
28
30
A.
1B.1
C.
1D.
1
44
2
2
9、(
“五羊杯”)
计算:
56
42.5
3
2=()
29
814.5
4
A.5
B.1°C
20
D.
40
2
3
9
9
A.MNB.MNC.MND.不确定
12、设三个互不相等的有理数,既可表示为1,ab,a的形式,又可表示为0,2b
a
的形式,求a1999b2000的值“希望杯”邀请赛试题)
13、计算
10、(2009鄂州中考)为了求1222322008的值,可令S=
,所以的值是
22
22
23
23
22008
22008
2009
=2
22009
2=220091
1仿照以上推理计算出
525352009
A52009
B、520101
2009/
c、51
4
2010/
D51
4
11
a1,a2,a3,
a2004都是正数,如果
Ma1a2
a2003a2a3
a1a2
a2004a2a3
a2003
那么M,N的大小关系是(
a2004,
)
(1)5.70.000360.190.00657000.000000164(2009年第二十届“五羊杯”
竞赛题)
(2)
4
0.25
3
8
2
3-
4
6.5
4
2
6
3
13
*(北京市“迎春杯”
竞赛题)
14、已知m,n互为相反数,
a,b互为负倒数,x的绝对值等于3,
求x31mnabx2mnx2001ab2003的值
15、已知ab2a20,求----的
aba1b1a2b2a2006b2006
值
(香港竞赛)
16、(2007,无锡中考)图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案,最上面一层有一个圆圈,以下各层均比上一层多一个圆圈,一共堆
了n层.将图1倒置后与原图1拼成图2的形状,这样我们可以算出图1
中所有圆圈的个数为123Ln咛
OO'"00oo_**oo
图1
图2
图3
图4
如果图
1中的圆圈共有
12层,
(1)我们自上往下,在每个圆圈中都按图
3
的方式填上一串连续的正整数1,2,3,4丄,则最底层最左边这个圆圈中的数是
;
(2)我们自上往下,在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数23,22,21,L,求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和.
【专题精讲】
【例1】计算下列各题
3、32.332512/33,3/33
⑴(-)0.750.5()
(1)()4()
44372544
12,」2、713,3、9
⑵(0"25)(写(8)(5)
【例2】计算:
123456789101112L2005200620072008
[例3】计算:
⑴11丄丄丄L丄⑵丄丄丄L
26122030990013355799101
反思说明:
一般地,多个分数相加减,如果分子相同,分母是两个整数的
②一^
n(nk)
11
n
积,且每个分母中因数差相同,可以用裂项相消法求值。
①1丄
n(n1)nn1
1
n(n1)(n2)
1[冇(n1)(n2)]
1
(n1)(n1)
【例4】(第18届迎春杯)计算:
241L
1
【例5】计算:
1235859
(L)
6060606060
121231234
2(33)(444)(5555)L
【例6】(第8届“希望杯”)计算:
11111111111111
(1L)(L)(1L)(L)
23200923420102320092010232009
【例7】请你从下表归纳出13233343Ln3的公式并计算出:
13233343L503的值。
1
2
3
4
5
2
4
6
8
10
3
6
9
12
15
4
8
12
16
20
510152025
【实战演练】
1、用简便方法计算:
999998998999998999999998
2、(第10届“希望杯”训练题)
1
(2004
1
1)(蚯1)L
111
(10021)(10011)(10001)
3、已知a
200120012001则abc
200020002000
19991999,b
199819981998
200020002000
4、计算:
1
111315
1
131517
1
293133
5、“聪明杯”试题)
12424(
8
L
n2n4n)2
V13926
18
L
n3n
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