北师大版七年级数学下册《第3章变量之间的关系》全章教案.docx

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北师大版七年级数学下册《第3章变量之间的关系》全章教案

第三章　变量之间的关系

教材简析

本章的主要内容有：

（1）两个变量之间关系的表示方法及变量、自变量、因变量的意义；

（2）根据表格、图象、关系式获取信息并解决一些实际问题．

本章从常量的世界进入变量的世界，开始接触新的思维方式．经历探究具体情境中的两个变量之间关系的过程，感受变量的思想，培养学生的符号意识；从表格、图象中分析出某些变量之间的关系，感受几何直观的作用，并用自己的语言大致描述表格、关系式、图象所表示的变量间关系，发展学生有条理的思考和表达能力；从运动变化的角度认识数学对象的过程，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力；同时在本单元的学习中注意数形结合思想的运用，善于由图象获取信息，由图索数、由数导形，将抽象的数与直观的形有机结合起来．本章内容是中考的必考内容，主要考查变量间关系的三种表示方式（表格法、关系式法和图象法）以及从图象中获取信息，多以选择题、填空题形式出现，有时也会出现在解答题中，难度适中．

教学指导

【本章重点】

自变量、因变量的理解，图象的认识．

【本章难点】

根据具体问题，选取用表格、关系式或图象来表示某些变量间的关系，并结合对某些变量之间关系的分析，尝试对某些变化趋势进行预测．

【本章思想方法】

1．体会和掌握由特殊到一般的思想方法，如通过一些具体、特殊的实例，找出一般的规律，再用这个规律指导实践，得出所需要的具体的数据．

2．体会数形结合的思想方法，如利用图象确定变量之间关系以及预测变化趋势等，其关键是明确横轴、纵轴所表示的实际意义．

3．体会分类讨论的思想方法，如根据题目给出的不同条件进行判断，然后分类讨论，找出合适的等量关系，列出方程并求解．

课时计划

1　用表格表示的变量间关系1课时

2　用关系式表示的变量间关系1课时

3　用图象表示的变量间关系2课时

1　用表格表示的变量间关系

教学目标

一、基本目标

1．理解变量、自变量和因变量的意义，明确可以列表格表示两个变量之间的关系．

2．能从表格中读取信息，并解决相关问题．

二、重难点目标

【教学重点】

能从表格的数据中分清什么是变量、自变量、因变量，以及因变量随自变量的变化情况．

【教学难点】

对表格所表达的两个变量关系的理解．

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P62～P63的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

1．完成教材P62引入问题：

解：

（1）1.59s.

（2）随着h逐渐变大，t逐渐变小．

（3）不相同．

（4）根据（3）中的发现进行估计，可以是1.35s到1.29s中的任意一值．

（5）小车下滑时间t及下滑速度v等量发生变化，小车质量始终不发生变化．

归纳总结：

（1）在教材P62的表1中，支撑物高度h和小车下滑时间t都在变化，它们都是变量.其中t随h的变化而变化，h是自变量，t是因变量；

（2）在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；取值始终保持不变的量，叫做常量．

2．完成教材P62“议一议”：

解：

（1）随着x的增大，y逐渐增大．

（2）答案不唯一，如：

从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口分别增加1.3亿、1.35亿、1.68亿、1.32亿、1.52亿、0.76亿．

3．世纪花园居民小区收取电费的标准是0.6元/千瓦时，当用电量为x（单位：

千瓦时）时，收取电费为y（单位：

元）．在这个问题中，下列说法正确的是（　D　）

A．x是自变量，0.6元/千瓦时是因变量

B．y是自变量，x是因变量

C．0.6元/千瓦时是自变量，y是因变量

D．x是自变量，y是因变量

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】写出下列各题关系式中的常量与变量．

（1）分针旋转一周内，旋转的角度n（度）与旋转所需要的时间t（分）之间的关系式为n＝6t；

（2）一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程s（千米）与行驶时间t（时）之间的关系式为s＝40t.

【互动探索】（引发学生思考）什么是常量？

什么是变量？

各有什么特点？

【解答】

（1）常量：

6；变量：

n、t.

（2）常量：

40；变量：

s、t.

【互动总结】（学生总结，老师点评）解此类题时，先确定在某过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的，再根据“数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量”解决问题．

【例2】某电动车厂2018年各月生产电动车的数量情况如下表：

时间x/月

1

2

3

4

5

6

月产量y/万辆

8

8.5

9

10

11

12

时间x/月

7

8

9

10

11

12

月产量y/万辆

10

9.5

9

10

10

10.5

（1）为什么称电动车的月产量y为因变量？

它是谁的因变量？

（2）哪个月电动车的产量最高？

哪个月电动车的产量最低？

（3）哪两个月之间产量相差最大？

根据这两个月的产量，电动车厂的厂长应该怎么做？

【互动探索】（引发学生思考）

（1）从表中可以看出电动车的月产量y随时间x的变化而变化，所以自变量是时间x，因变量是电动车的月产量y；

（2）（3）根据表中信息答题即可．

【解答】

（1）电动车的月产量y为随着时间x的变化而变化，一个时间x就有唯一一个y与之对应，因而月产量y是时间x的因变量．

（2）6月电动车的产量最高，1月电动车的产量最低．

（3）6月和1月产量相差最大．厂长应在1月份安排工人加紧生产，实现产量的增值．

【互动总结】（学生总结，老师点评）观察因变量随自变量变化而变化的趋势，实质是观察自变量增大时，因变量是随之增大还是减小．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．要画一个面积为20cm2的长方形，其长为xcm，宽为ycm.在这一变化过程中，常量与变量分别为（　A　）

A．常量为20，变量为x、yB．常量为20、y，变量为x

C．常量为20、x，变量为yD．常量为x、y，变量为20

2．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）间有下面的关系：

x（kg）

0

1

2

3

4

5

y（cm）

10

10.5

11

11.5

12

12.5

下列说法不正确的是（　C　）

A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量

B．所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cm

C．弹簧不挂重物时的长度为0cm

D．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm

3．A、B两地相距50千米，明明以每小时5千米的速度由A地到B地，若他距B地的距离为y千米，到达时用时x小时．请你写出在这个变化过程中的自变量和因变量．

解：

在这个变化过程中，自变量是时间x，因变量是他距B地的距离y.

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

变量

表格可以表示因变量随自变量变化而变化的情况，还能帮助我们对变化趋势进行初步的预测．

练习设计

请完成本课时对应练习！

2　用关系式表示的变量间关系

教学目标

一、基本目标

1．能根据具体情境用关系式表示某些变量之间的关系．

2．能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系．

二、重难点目标

【教学重点】

找出题中的自变量和因变量．

【教学难点】

根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P66～P67的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

1．（教材P66引入问题）如图，三角形ABC底边BC上的高是6cm.当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化．

（1）在这个变化过程中，自变量是底边BC长，因变量是△ABC的面积；

（2）如果三角形的底边长为x（cm），那么三角形的面积y（cm2）可以表示为y＝3x；

（3）当底边长从12cm变化到3cm时，三角形的面积从36cm2变化到9cm2.

2．（教材P67“议一议”）“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式．如下表：

排碳计算公式

家居用电的二氧化碳排放量（kg）＝耗电量（kW·h）×0.785

开私家车的二氧化碳排放量（kg）＝耗油量（L）×2.7

家用天然气二氧化碳排放量（kg）＝天然气使用量（m3）×0.19

家用自来水二氧化碳排放量（kg）＝自来水使用量（t）×0.91

（1）用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式为y＝0.785x，其中的字母表示y表示家居用电的二氧化碳排放量，x表示耗电量；

（2）在上述关系式中，耗电量每增加1kW·h，二氧化碳排放量增加0.875kg.当耗电量从1kW·h增加到100kW·h时，二氧化碳排放量从0.875kg增加到87.5kg；

（3）小明家本月用电大约110kW·h、天然气20m3、自来水5t、耗油75L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量．

解：

110×0.785＋75×2.7＋20×0.19＋5×0.91＝297.2（kg）．

即小明家这几项的二氧化碳排放量是297.2kg.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（m）与时间t（s）的数据如下表：

时间t（s）

1

2

3

4

…

距离s（m）

2

8

18

32

…

写出用t表示s的关系式为________.

【互动探索】（引发学生思考）观察表中给出的t与s的对应值→分析数据→归纳得出关系式．

【分析】t＝1时，s＝2×12；

t＝2时，s＝2×22；

t＝3时，s＝2×32；

t＝4时，s＝2×42，

…

所以s与t的关系式为s＝2t2，其中t≥0.

【答案】s＝2t2（t≥0）

【互动总结】（学生总结，老师点评）

（1）关系式一般是用含有自变量的代数式表示因变量的等式；

（2）关系式通常把因变量写在等号的左边，含有自变量的代数式写在等号的右边；（3）利用关系式可以根据任何一个符合条件的自变量的值求出因变量的值，但已知一个变量的值求另一个变量的值时，一定要分清已知的是自变量还是因变量，不要代错了．

【例2】一辆加满汽油的汽车在匀速行驶中，油箱中的剩余油量Q（L）与行驶的时间t（h）的关系如下表所示：

行驶时间t（h）

0

1

2

3

4

…

油箱中剩余油量Q（L）

54

46.5

39

31.5

24

…

根据表格中的信息，解答下列问题：

（1）请直接写出Q与t的关系式，并求出这辆汽车在连续行驶6h后，油箱中的剩余油量；

（2）这辆车在中途不加油的情况下，最多能连续行驶的时间是多少？

【互动探索】（引发学生思考）

（1）分析表中数据可知，每行驶1h耗油量为7.5L，由此可写出油箱中剩余油量Q（L）与行驶时间t（h）的关系式；

（2）由

（1）知，汽车每小时耗油7.5L，油箱原有汽油54L，用后者除以前者即可求出油箱中原有汽油可以供汽车行驶多少小时．

【解答】

（1）Q＝54－7.5t.

把t＝6代入，得Q＝54－7.5×6＝9.

即这辆汽车在连续行驶6h后，油箱中剩余油量为9L.

（2）54÷7.5＝7.2（h）．

即这辆车在中途不加油的情况下，最多能连续行驶7.2h.

【互动总结】（学生总结，老师点评）观察表中的数据，发现其中的变化规律，然后根据其增减趋势写出自变量与因变量之间的关系式．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．变量x与y之间的关系式是y＝x2－3，当自变量x＝2时，因变量y的值是（　C　）

A．－2　B．－1　

C．1　D．2

2．图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的，设y为第n层（n为正整数）圆点的个数，则下列函数关系中正确的是（　B　）

A．y＝4n－4　B．y＝4n

C．y＝4n＋4　D．y＝n2

3．如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为1时，则输出的数值为2.

―→

―→

―→

4．已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米．

（1）写出剩余水的体积Q（立方米）与时间t（小时）之间的关系式；

（2）6小时后池中还有多少水？

（3）几小时后，池中还有200立方米的水？

解：

（1）Q＝800－50t（0≤t≤16）．

（2）当t＝6时，Q＝800－50×6＝500.

即6小时后池中还剩500立方米水．

（3）当Q＝200时，800－50t＝200，解得t＝12.

即12小时后，池中还有200立方米的水．

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

求变量之间关系式的“三途径”：

（1）根据表格中所列的数据，归纳、总结两个变量的关系式；

（2）利用公式写出两个变量之间的关系式；

（3）结合实际问题写出两个变量之间的关系式．

练习设计

请完成本课时对应练习！

3　用图象表示的变量间关系

第1课时　曲线型图象

教学目标

一、基本目标

1．结合具体情境，理解图象上的点所表示的意义；能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述．

2．经历从图象中分析变量之间关系的过程，进一步体会变量之间的关系．

二、重难点目标

【教学重点】

理解图象上的点所表示的意义．

【教学难点】

能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P69～P71的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

1．完成教材P69引入问题：

解：

（1）上午9时的温度是27℃，12时的温度是31℃.

（2）这一天的最高温度是37℃，是在15时达到的；最低温度是23℃，是在3时达到的．

（3）这一天的温差是37－23＝14（℃）．从最低温度到最高温度经过了15－3＝12（小时）．

（4）3时到15时温度在上升，0时到到3时、15时到24时温度在下降．

（5）A点表示21时的温度为31℃，B点表示0时的温度为26℃.

（6）次日凌晨1时温度约是24℃.理由略．

规律总结：

（1）图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观；

（2）在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量.

2．二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长．如图，在下列选项中指出白昼时长低于11小时的节气（　D　）

A．惊蛰　B．小满

C．立秋　D．大寒

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】水滴进玻璃容器如图所示（设单位时间内进水量相同），那么水的高度是如何随时间变化的，请选择分别与A、B、C、D匹配的图象（　　）

A．（3）

（2）（4）

（1）　B．

（2）（3）

（1）（4）

C．

（2）（3）（4）

（1）　D．（3）

（2）

（1）（4）

【互动探索】（引发学生思考）A容器的直径小，水上升的速度最快，故A应是图（3）；B容器直径大，上升速度慢，故B应是图

（2）；C容器下面大，上升速度慢，上面较小，上升速度变快，故C应是图（4）；D先最快，再速度放慢，然后速度又变快，最后速度不变，故D应是图

（1）．故选A．

【答案】A

【互动总结】（学生总结，老师点评）对于题目中有不规则容器，图象多为不规则变化，要确定这种变化关系，可以从容器横截面的变化情况进行判断．

【例2】如图所示是某市夏天的温度随时间变化的图象，通过观察可知，下列说法中错误的是（　　）

A．这天15时温度最高

B．这天3时温度最低

C．这天最高温度与最低温度的差是13℃

D．这天0～3时，15～24时温度在下降

【互动探索】（引发学生思考）横轴表示时间，纵轴表示温度．温度最高应找到图象的最高点所对应的x值，即15时，A正确；温度最低应找到图象的最低点所正确应的x值，即3时，B正确；这天最高温度与最低温度的差应让前面的两个y值相减，即38－22＝16（℃），C错误；从图象看出，这天0～3时，15～24时温度在下降，D正确．故选C．

【答案】C

【互动总结】（学生总结，老师点评）认真观察图象，明确时间是自变量，温度是因变量，然后由图象上的点确定自变量及因变量的对应值．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．某市一周平均气温（℃）如图所示，下列说法不正确的是（　C　）

A．星期二的平均气温最高

B．星期四到星期日天气逐渐转暖

C．这一周最高气温与最低气温相差4℃

D．星期四的平均气温最低

2．如图所示是某市2018年6月份某一天的气温随时间变化的情况．

观察此图回答下列问题：

（1）这天的最高气温是38_℃；

（2）这天在3时至15时范围内温度在上升；

（3）请你预测一下，次日凌晨1点的气温大约是25℃.

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

1．图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观．

2．曲线型图象能够反映出数据的变化趋势，通过结合横、纵坐标轴表示的意义，我们能够很直观的感受到数据的意义．

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时　折线型图形

教学目标

一、基本目标

1．学会从折线型图形中提取信息，作出判断．

2．经历从图象中分析变量之间关系的过程，进一步体会变量之间的关系；能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述．

二、重难点目标

【教学重点】

通过速度随时间变化的实际情境，分析出变量之间关系．

【教学难点】

根据现实中变量的变化关系，判断变化的可能图象．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P73～P74的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

1．变量之间的关系的表示方法有：

表格法、关系式法、图象法.

2．（教材P73引入问题）每一辆汽车上都有一个时速表用来指示汽车当时的速度．你知道现在汽车的速度是多少吗？

解：

现在汽车的速度是50km/h.

3．完成教材P74引入问题：

解：

（1）汽车从出发到最后停止共经过了24分钟，它的最高时速是90km/h.

（2）汽车在2至6分和18至22分的时段里保持匀速行驶，时速分别为30km/h和90km/h.

（3）答案不唯一，如：

发生故障、停止不动．

（4）略

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】小明放学后从学校乘轻轨回家，他从学校出发，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，小明搭轻轨回到家．下面能反映在此过程中小明与家的距离y与时间x的关系的大致图象是（　　）

【互动探索】（引发学生思考）根据从学校回家，可得与家的距离是越来越近；根据步行的速度慢，可得离家的距离变化小；根据搭轻轨的速度快，可得离家的距离变化大．

【分析】A．随着时间的变化，离家的距离越来越远，故A、B错误；

C．随着时间的变化，步行离家的距离变化快，搭轻轨的距离变化慢，不符合题意，故C错误；

D．随着时间的变化，步行离家的距离变化慢，搭轻轨的距离变化快，符合题意，故选D．

【答案】D

【互动总结】（学生总结，老师点评）路程问题中，在不同的时间内，速度可以发生变化，解决此类问题时，要对图象中各个线段的意义正确理解．

【例2】端午节至，甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的图象如图所示．

根据图象，回答下列问题：

（1）这次龙舟赛的全程是多少米？

哪队先到达终点？

（2）求乙与甲相遇时乙的速度．

【互动探索】（引发学生思考）明确横轴、纵轴分别表示什么，再分段提取相关信息解题．

【解答】

（1）由纵坐标看出，这次龙舟赛的全程是1000米；由横坐标看出，乙队先到达终点．

（2）由图象看出，相遇是在乙加速后，加速后行的路程是1000－400＝600（米），加速后用的时间是3.8－2.2＝1.6（分钟），所以乙与甲相遇时乙的速度是600÷1.6＝375（米/分钟）．

【互动总结】（学生总结，老师点评）解决双图象问题时，正确识别图象，弄清楚两图象所代表的意义，从中挖掘有用信息，明确实际意义．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．用均匀的速度向一个容器注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OAB为折线），这个容器的形状是（　C　）

2．如果OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动的路程s和时间t的关系，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快（　C　）

A．2.5m　B．2m

C．1.5m　D．1m

3．星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示．

请根据图象回答下列问题：

（1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？

离家多远？

（2）她何时开始第一次休息？

休息了多长时间？

（3）她骑车速度最快是在什么时候？

车速是多少？

（4）玲玲全程骑车的平均速度是多少？

解：

（1）玲玲到达离家最远的地方是12时，此时离家30千米．

（2）她10：

30开始第一次休息，休息了半小时．

（3）玲玲郊游过程中，各时间段的速度分别为：

9时～10时，速度为10÷（10－9）＝10（千米/时）；10时～10时30分，速度约为（17.5－10）÷（10.5－10）＝15（千米/时）；10时30分～11时，速度约为0；11时～12时，速度为（30－17.5）÷（12－11）＝12.5（千米/时）；12时～13时，速度为0；13时～15时，在返回的途中，速度为30÷（15－13）＝15（千米/时）．由此可知，骑行最快有两段时间：

10时～10时30分；13时～15时，两段时间的速度都是15千米/时．

（4）玲玲全程骑车的平均速度为（30＋30）÷（15－9）＝10（千米/时）．

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

1．在表示两变量间关系时，图象法是关系式法和表格法的几何表现形式．

2．图象法能直观反映变量间的整体变化情况及变化规律，是表格法、关系式法所无法代替的．

练习设计

请完成本课时对应练习！