专题23 受力分析八法解决平衡问题奇招制胜高.docx
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专题23受力分析八法解决平衡问题奇招制胜高
一、正交分解法
1.力分解为两个相互垂直的分力的方法称为正交分解法。
例如将力F沿x和y两个方向分解,如图所示,则
Fx=Fcosθ
Fy=Fsinθ
2.正分解的优点:
其一,借助数学中的直角坐标系对力进行描述;其二,几何图形关系简单,是直角三角形,计算简便,因此很多问题中,常把一个力分解为互相垂直的两个力.特别是物体受多个力作用,求多个力的合力时,把物体受的各力都分解到相互垂直的两个方向上去,然后分别求每个方向上的分力的代数和,这样就把复杂的矢量运算转化为简单的代数运算,再求两个互成90°角的力的合力就简便得多。
3.交分解法使用步骤
第一步:
建立坐标系,以共点力的作用点为坐标原点,直角坐标x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上。
第二步:
正交分解各力,即将每一个不在坐标轴上的力分解到x和y坐标轴上,并求出各分力的大小,如右上图所示。
第三步:
分别求x轴和y轴上各力的分力的合力,即
Fx=F1x+F2x+…
Fy=F1y+F2y+…
第四步:
求Fx与Fy的合力即为共点力合力.
合力大小:
F=
,合力的方向由F与x轴间夹角α确定,即α=arctan
.
4.正交分解法求解时,应注意的几个问题
(1)正交分解法在求三个以上的力的合力时较为方便。
两个力合成时,一般直接进行力的合成,不采用正交分解法.
(2)正交分解法的基本思路是:
把矢量运算转化为代数运算,把解斜三角形转化为解直角三角形,正交分解法是在分力与合力等效的原则下进行的。
(3)坐标系的选取要合理。
正交分解时坐标系的选取具有任意性,但为了运算简单,一般要使坐标轴上有尽可能多的力,也就是说需要向两坐标轴上投影分解的力少一些。
这样一来,计算也就方便一些,可以使问题简单化。
二、合成、分解法
利用力的合成与分解解决三力平衡的问题.具体求解时有两种思路:
一是将某力沿另两个力的反方向进行分解,将三力转化为四力,构成两对平衡力;二是某二力进行合成,将三力转化为二力,构成一对平衡力.
【典例1】如图1所示,重物的质量为m,轻细绳AO和BO的A端、B端是固定的,平衡时AO水平,BO与水平面的夹角为θ,AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是()
A.F1=mgcosθ
B.F1=mgcotθ
C.F2=mgsinθ
D.F2=mg/sinθ
【答案】BD
【典例2】如图所示,一条不可伸长的轻质细绳一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物,另一端与另一轻质细绳相连于c点,ac=
,c点悬挂质量为m2的重物,平衡时ac正好水平,此时质量为m1的重物上表面正好与ac在同一水平线上且到b点的距离为l,到a点的距离为
l,则两重物的质量的比值
为( )
A.
B.2 C.
D.
【答案】 C
解法二 分解法:
因c点处于平衡状态,所以可在F、m1g方向上分解m2g,如图乙所示,则同样有sinθ=
,所以
=
,选项C正确。
解法三 正交分解法:
将倾斜绳拉力F1=m1g沿竖直方向和水平方向分解,如图丙所示,则m1gsinθ=m2g,同样可得
=
,选项C正确。
反思总结
1.平衡中的研究对象选取
(1)单个物体;
(2)能看成一个物体的系统;
(3)一个结点。
2.静态平衡问题的解题“四步骤”
【典例3】如图所示,两球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连,球B用长为l的细绳悬于O点,球A固定在O点正下方,且OA之间的距离恰为l,系统平衡时绳子所受的拉力为F1.现把A、B间的弹簧换成劲度系数为k2的轻弹簧,仍使系统平衡,此时绳子所受的拉力为F2,则F1与F2的大小之间的关系为( )
A.F1>F2B.F1=F2
C.F1 【答案】B 【名师点睛】 (1)物体受三个力平衡时,利用力的分解法或合成法比较简单. (2)解平衡问题建立坐标系时应使尽可能多的力与坐标轴重合,需要分解的力尽可能少.物体受四个以上的力作用时一般要采用正交分解法. 三、整体法和隔离法 选择研究对象是解决物理问题的首要环节.若一个系统中涉及两个或者两个以上物体的平衡问题,在选取研究对象时,要灵活运用整体法和隔离法.对于多物体问题,如果不求物体间的相互作用力,我们优先采用整体法,这样涉及的研究对象少,未知量少,方程少,求解简便;很多情况下,通常采用整体法和隔离法相结合的方法. 【典例4】有一直角支架AOB,AO水平放置,表面粗糙;OB竖直向下,表面光滑.AO上套有小环P,OB上套有小环Q,两环质量均为m.两环间由一根质量可忽略且不可伸长的细绳相连,并在某一位置平衡,如图3所示.现将P环向左移一小段距离,两环再次达到平衡,将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较,AO杆对P环的支持力FN和细绳上的拉力FT的变化情况是() A.FN不变,FT变大B.FN不变,FT变小 C.FN变大,FT变大D.FN变大,FT变小 【答案】B Q环所受重力G、OB给Q的弹力F1,绳的拉力FT处于平衡;P环向左移动一小段距离的同时FT移至FT′位置,仍能平衡,即FT竖直分量与G大小相等,FT应变小,所以正确答案为B选项. 【典例5】如图所示,质量为m的木块A放在水平面上的质量为M的斜面体B上,现用大小相等方向相反的两个水平推力F分别作用在A、B上,A、B均保持静止不动.则( ) A.A与B之间一定存在摩擦力 B.B与地面之间一定存在摩擦力 C.B对A的支持力一定等于mg D.地面对B的支持力大小一定等于(m+M)g 【答案】 D 【典例6】如图所示,两个质量都为m的小球A、B用轻杆连接后斜靠在墙上处于平衡状态,已知墙面光滑,水平面粗糙,现将A球向上移动一小段距离,两球再次达到平衡,那么将移动后的平衡状态与原来平衡状态相比较,地面对B的支持力FN和摩擦力Ff的大小变化情况是( ) A.FN不变,Ff增大 B.FN不变,Ff减小 C.FN增大,Ff增大 D.FN增大,Ff减小 【答案】 B 【解析】 对A、B系统整体作受力分析,地面对B的支持力FN的大小等于A、B总重力的大小,即FN不变,地面对B的摩擦力Ff水平向左,大小等于墙壁对A水平向右的弹力FN;对A球进行隔离法分析受力,FN=mgtanθ,其中θ为轻杆与竖直墙面的夹角,A球上移,θ减小,FN减小,即Ff减小,选项B正确. 四、图解法 在共点力的平衡中,有些题目中常有“缓慢”一词,则物体处于动态平衡状态.解决动态平衡类问题常用图解法,图解法就是在对物体进行受力分析(一般受三个力)的基础上,若满足有一个力大小、方向均不变,另有一个力方向不变时,可画出这三个力的封闭矢量三角形来分析力的变化情况的方法,图解法也常用于求极值问题. 【典例7】如图,运动员的双手握紧竖直放置的圆形器械,在手臂OA沿由水平方向缓慢移到A′位置过程中,若手臂OA、OB的拉力分别为FA和FB,下列表述正确的是( ) A.FA一定小于运动员的重力G B.FA与FB的合力始终大小不变 C.FA的大小保持不变 D.FB的大小保持不变 【答案】 B 五、三角形法 对受三力作用而平衡的物体,将力矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的封闭力三角形,进而处理物体平衡问题的方法叫三角形法;力三角形法在处理动态平衡问题时方便、直观,容易判断. 【典例8】如图4,细绳AO、BO等长且共同悬一物,A点固定不动,在手持B点沿圆弧向C点缓慢移动过程中,绳BO的张力将() 图4 A.不断变大B.不断变小 C.先变大再变小D.先变小再变大 【答案】D 五、三力汇交原理 物体受三个共面非平行外力作用而平衡时,这三个力必为共点力. 【典例9】如图甲所示,一根粗细均匀的金属棒AB,棒的A端用轻绳连接,轻绳的另一端固定在天花板上,在棒的B端施加水平拉力F使金属棒处于静止状态.轻绳与竖直方向的夹角为α,金属棒与竖直方向的夹角为β,下列说法正确的是( ) A.sinβ=2sinα B.cosβ=2cosα C.tanβ=2tanαD.cotβ=2cotα 解题引路] 1.研究对象AB棒受绳的拉力、重力和水平拉力F三个力作用. 2.三个力作用点不在同一点上. 3.三个力的作用线相交于一点. 4.取三个力作用线的交点为研究对象. 【答案】 C 【解析】金属棒受重力G、水平拉力F和轻绳拉力T三个力而平衡,则这三个力的矢量线段必相交于一点O′,如图乙所示.O点为棒的重心,即AB的中点,∠CAO′=α,由几何关系得tanα= ,tanβ= ,其中BC=2CO′,因此tanβ=2tanα. 【名师点睛】 三力平衡的解题技巧 物体仅在非平行的三个力的作用下处于平衡状态,则这三个力的作用线或作用线的延长线必相交于一点,运用这一规律再结合正交分解法、平行四边形法、矢量三角形法等求解. 若物体受到四个力的作用,其中两个力的合力恒定(如平面支持力与滑动摩擦力的合力),则可以将这两个力合成为一个力,相当于物体只受三个力作用,也可以使用上述推论. 【典例10】一根长2m,重为G的不均匀直棒AB,用两根细绳水平悬挂在天花板上,当棒平衡时细绳与水平面的夹角如图所示,则关于直棒重心C的位置下列说法正确的是( ) A.距离B端0.5m处B.距离B端0.75m处 C.距离B端 m处D.距离B端 m处 【答案】A 六、相似三角形法 物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态,其中任意两个力的合力与第三个力等值反向画出的平行四边形中,可能有力三角形与题设图中的几何三角形相似,进而得到力三角形与几何三角形对应成比例,根据比值便可计算出未知力的大小与方向. 【典例11】如图所示,一个重为G的小球套在竖直放置的半径为R的光滑圆环上,一个劲度系数为k,自然长度为L(1<2R)的轻质弹簧,一端与小球相连,另一端固定在大环的最高点,求小球处于静止状态时,弹簧与竖直方向的夹角φ. 【答案】 arccos 【典例12】如图所示,质量为M、半径为R的半球形物体A放在水平地面上,通过最高点处的钉子用水平细线拉住一质量为m、半径为r的光滑球B,以下说法正确的有( ) A.A对地面的压力等于(M+m)g B.A对地面的摩擦力方向向左 C.B对A的压力大小为 mg D.细线对小球的拉力大小为 mg 【答案】 AC 七、正弦定理法(或拉密定理法) 正弦定理: 在同一个三角形中,三角形的边长与所对角的正弦比值相等;在图1中有 = = . 同样,在力的三角形中也满足上述关系,即力的大小与所对角的正弦比值相等. 拉密定理: 如果在三个共点力作用下物体处于平衡状态,那么各力的大小分别与另外两个力所夹角的正弦成正比,在图2所示情况下,定理表达式为 = = . 【典例13】半圆柱体P放在粗糙的水平面上,有一挡板MN,延长线总是过半圆柱体的轴心O,但挡板与半圆柱不接触,在P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q,整个装置处于静止状态,如图是这个装置的截面图,若用外力使MN绕O点缓慢地顺时针转动,在MN到达水平位置前,发现P始终保持静止,在此过程中,下列说法中正确的是( ) A.MN对Q的弹力逐渐增大 B.MN对Q的弹力先增大后减小 C.P、Q间的弹力先减小后增大 D.Q所受的合力逐渐增大 【答案】A 八对称法 研究对象所受力若具有对称性,则求解时可把较复杂的运算转化为较简单的运算,或者将复杂的图形转化为直观而简单的图形.所以在分析问题时,首先应明确物体受力是否具有对称性. 【典例14】如图所示,重为G的均匀链条挂在等高的两钩上,链条悬挂处与水平方向成θ角,试求: (1)链条两端的张力大小; (2)链条最低处的张力大小. 【答案】 【解析】 (1)在求链条两端的张力时,可把链条当做一个质点处理.两边受力具有对称性使两端点的张力F 大小相等,受力分析如图甲所示. 取链条整体为质点 研究对象.由平衡条件得竖直方向2Fsinθ=G,所以端点张力为 (2)在求链条最低点张力时,可将链条一分为二,取一半研究.受力分析如图乙所示,由平衡条件得水平方向 所受力为 即为所求.
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