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新定义问题

专题突破（十）

__________________________________

[新定义问题]

新定义题型的构造注重学生数学思考的过程及不同认知阶段特征的表现．其内部逻辑构造呈现出比较严谨、整体性强的特点．其问题模型可以表示为阅读材料、研究对象、给出条件、需要完成认识．而规律探究、方法运用、学习策略等则是“条件”隐形存在的“魂”．这种新定义问题虽然在构造方式上“五花八门”，但是经过整理也能发现它们存在着一定的规律．

新定义题型是北京中考最后一题的热点题型．该类题从题型上看，有展示全貌，留空补缺的；有说明解题理由的；有要求归纳规律再解决问题的；有理解新概念再解决新问题的，等等．这类试题不仅来源于课本且高于课本，结构独特．

北京第25

题分析

北京第29

题分析

北京第29

题分析

年份

2014

2015

2016

考点

新定义问题——

先学习后判断，

函数综合

给出新定义，

学习，应用

给出新定义，

学习，应用

1．[2016·北京]在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．下图为点P，Q的“相关矩形”的示意图．

图Z10－1

（1）已知点A的坐标为（1，0），

①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；

②点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；

（2）⊙O的半径为

，点M的坐标为（m，3）．若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．

2．[2015·北京]在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：

若在射线CP上存在一点P′，满足CP＋CP′＝2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图Z10－2为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′＝0.

（1）当⊙O的半径为1时．

①分别判断点M（2，1），N（

，0），T（1，

）关于⊙O的反称点是否存在，若存在，求其坐标；

②点P在直线y＝－x＋2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围．

（2）当⊙C的圆心在x轴上，且半径为1，直线y＝－

x＋2

与x轴，y轴分别交于点A，B.若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．

图Z10－2

3．[2014·北京]对某一个函数给出如下定义：

若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足－M≤y≤M，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图Z10－3中的函数是有界函数，其边界值是1.

（1）分别判断函数y＝

（x>0）和y＝x＋1（－4

若是有界函数，求其边界值；

（2）若函数y＝－x＋1（a≤x≤b，b>a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；

（3）将函数y＝x2（－1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位长度，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足

≤t≤1?

图Z10－3

4．[2013·北京]对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：

若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB＝60°，则称P为⊙C的关联点．

已知点D（

，

），E（0，－2），F（2

，0）．

（1）当⊙O的半径为1时，

①在点D，E，F中，⊙O的关联点是________；

②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO＝30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．

图Z10－4

1．[2016·海淀一模]在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的限距点的定义如下：

若P′为直线PC与⊙C的一个交点，满足r≤PP′≤2r，则称P′为点P关于⊙C的限距点，图Z10－5为点P及其关于⊙C的限距点P′的示意图．

（1）当⊙O的半径为1时，

①分别判断点M（3，4），N

，T（1，

）关于⊙O的限距点是否存在？

若存在，求其坐标；

②点D的坐标为（2，0），DE，DF分别切⊙O于点E，点F，点P在△DEF的边上．若点P关于⊙O的限距点P′存在，求点P′的横坐标的取值范围；

（2）保持

（1）中D，E，F三点不变，点P在△DEF的边上沿E→F→D→E的方向运动，⊙C的圆心C的坐标为（1，0），半径为r.

若点P关于⊙C的限距点P′不存在，则r的取值范围为________．

图Z10－5

2．[2016·东城一模]对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：

若存在过点P的直线l交⊙C于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为⊙C的相邻点，直线l为⊙C关于点P的相邻线．

（1）当⊙O的半径为1时，

①分别判断在点D

，E（0，－

），F（4，0）中，是⊙O的相邻点有________；

②请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图中作出⊙O关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程；

③点P在直线y＝－x＋3上，若点P为⊙O的相邻点，求点P横坐标的取值范围；

（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y＝－

x＋2

与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上存在⊙C的相邻点P，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．

图Z10－6

3．[2016·石景山一模]在平面直角坐标系xOy中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：

设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．若

的最大值为m，则图形W在x轴上的投影长度lx＝m；若

的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度ly＝n.如图Z10－7①，图形W在x轴上的投影长度lx＝|3－1|＝2；在y轴上的投影长度ly＝|4－0|＝4.

图Z10－7

（1）已知点A（3，3），B（4，1）．如图②所示，若图形W为△OAB，则lx＝________，ly＝________；

（2）已知点C（4，0），点D在直线y＝－2x＋6上，若图形W为△OCD.当lx＝ly时，求点D的坐标；

（3）若图形W为函数y＝x2（a≤x≤b）的图象，其中0≤a

4．[2016·海淀二模]对于某一函数给出如下定义：

若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例如，图Z10－8中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1.

图Z10－8

（1）分别判断函数y＝x－1，y＝

，y＝x2有没有不变值？

如果有，直接写出其不变长度；

（2）函数y＝2x2－bx，

①若其不变长度为零，求b的值；

②若1≤b≤3，求其不变长度q的取值范围；

（3）记函数y＝x2－2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2.函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3，则m的取值范围为______________．

专题突破（十）　新定义问题

1．解：

（1）①S＝2×1＝2.

②C的坐标可以为（3，2）或者（3，－2），设直线AC的表达式为y＝kx＋b，

将A，C的坐标分别代入AC的表达式得到

或

解得

或

所以直线AC的表达式为y＝x－1或y＝－x＋1.

（2）若⊙O上存在点N，使M，N的“相关矩形”为正方形，则直线MN与x轴的夹角为45°（正方形一条对角线所在直线），即过M点作与x轴的夹角为45°的直线，与⊙O有交点，即存在N.

当k＝－1时，极限位置是直线与⊙O相切，如图中l1与l2，直线l1与⊙O切于点N1，ON1＝

，∠ON1M1＝90°，

∴l1与y轴交于P1（0，－2）．

又∵M1（m1，3），

∴3－（－2）＝0－m1，

∴m1＝－5，M1（－5，3）．

同理可得M2（－1，3）．

当k＝1时，极限位置是直线l3，l4（与⊙O相切），可得M3（1，3），M4（5，3）．

因此m的取值范围为－5≤m≤－1或1≤m≤5.

2．解：

（1）①点M（2，1）关于⊙O的反称点不存在．

点N（

，0）关于⊙O的反称点存在，反称点N′（

，0）．

点T（1，

）关于⊙O的反称点存在，反称点T′（0，0）．

②如图①，直线y＝－x＋2与x轴，y轴分别交于点E（2，0），点F（0，2）．

设点P的横坐标为x.

（i）当点P在线段EF上，即0≤x≤2时，0＜OP≤2，

∴在射线OP上一定存在一点P′，使得OP＋OP′＝2，

∴点P关于⊙O的反称点存在，其中点P与点E或点F重合时，OP＝2，点P关于⊙O的反称点为O，不符合题意，∴0＜x＜2.

（ii）当点P不在线段EF上，即x＜0或x＞2时，OP＞2，

∴对于射线OP上任意一点P′，总有OP＋OP′＞2，

∴点P关于⊙O的反称点不存在．

综上所述，点P的横坐标x的取值范围是0＜x＜2.

（2）若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，则1＜CP≤2.

依题意可知点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，2

），∠BAO＝30°.

设圆心C的坐标为（x，0）．

①当x＜6时，过点C作CH⊥AB于点H，如图②，

∴0＜CH≤CP≤2，∴0＜CA≤4，

∴0＜6－x≤4，∴2≤x＜6，

并且，当2≤x＜6时，CB＞2，CH≤2，

∴在线段AB上一定存在点P，使得CP＝2，

∴此时点P关于⊙C的反称点为C，且点C在⊙C的内部，∴2≤x＜6.

②当x≥6时，如图③.

∴0≤CA≤CP≤2，

∴0≤x－6≤2，∴6≤x≤8.

并且，当6≤x≤8时，CB＞2，CA≤2，

∴在线段AB上一定存在一点P，使得CP＝2，

∴x＝8时，点P关于⊙C的反称点为C，且点C在⊙C的内部，∴6≤x≤8.

综上所述，圆心C的横坐标x的取值范围是2≤x≤8.

3．解：

（1）y＝

（x＞0）不是有界函数．

y＝x＋1（－4＜x≤2）是有界函数，边界值为3.

（2）对于y＝－x＋1，y随x的增大而减小，

当x＝a时，y＝－a＋1＝2，a＝－1，

当x＝b时，y＝－b＋1.

∴－1＜b≤3.

（3）由题意，函数图象平移后的表达式为

y＝x2－m（－1≤x≤m，m≥0）．

当x＝－1时，y＝1－m；当x＝0时，y＝－m；

当x＝m时，y＝m2－m.

根据二次函数的对称性，

当0≤m≤1时，1－m≥m2－m.

当m＞1时，1－m＜m2－m.

①当0≤m≤

时，1－m≥m.

由题意，边界值t＝1－m.

当

≤t≤1时，0≤m≤

，

∴0≤m≤

.

②当

＜m≤1时，1－m＜m.

由题意，边界值t＝m.

当

≤t≤1时，

≤m≤1，

∴

≤m≤1.

③当m＞1时，由题意，边界值t≥m，

∴不存在满足

≤t≤1的m值．

综上所述，当0≤m≤

或

≤m≤1时，满足

≤t≤1.

4．解：

（1）①D，E

如图①所示，过点E作⊙O的切线，

设切点为R.

∵⊙O的半径为1，

∴RO＝1.

∵EO＝2，

∴∠OER＝30°，

根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°，

∴E点是⊙O的关联点．

∵D（

，

），E（0，－2），F（2

，0），

∴OF＞EO，DO＜EO，

∴D点一定是⊙O的关联点，而在⊙O上不可能找到两点与点F的连线的夹角等于60°，

故在点D，E，F中，⊙O的关联点是D，E.

②由题意可知，若P刚好是⊙C的关联点，

则⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°，

由图②可知∠APB＝60°，则∠CPB＝30°.

连接BC，则PC＝

＝2BC＝2r，

∴若点P为⊙C的关联点，则需点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r.

由上述证明可知，考虑临界点位置的P点，则点P到原点的距离OP＝2×1＝2，

如图③，过点O作直线l的垂线OH，垂足为H，∵∠GFO＝30°，

∴∠OGF＝60°，OG＝2，

可得点P1与点G重合．

过点P2作P2M⊥x轴于点M，

可得∠P2OM＝30°，

∴OM＝OP2cos30°＝

，

从而若点P为⊙O的关联点，则P点必在线段P1P2上，

∴0≤m≤

.

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应是线段EF的中点．

考虑临界情况，如图④，

即恰好点E，F为⊙K的关联点时，则KF＝2KN＝

EF＝2，

此时，r＝1，

故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，则这个圆的半径r的取值范围为r≥1.

1．解：

（1）①点M，点T关于⊙O的限距点不存在；

点N关于⊙O的限距点存在，坐标为（1，0）．

②∵点D的坐标为（2，0），⊙O半径为1，DE，DF分别切⊙O于点E，点F，

∴切点坐标为

，

.

如图所示，不妨设点E的坐标为

，点F的坐标为

，EO，FO的延长线分别交⊙O于点E′，F′，则E′

，F′

.

设点P关于⊙O的限距点的横坐标为x.

Ⅰ.当点P在线段EF上时，直线PO与的交点P′满足1≤PP′≤2，故点P关于⊙O的限距点存在，其横坐标x满足－1≤x≤－

.

Ⅱ.当点P在线段DE，DF（不包括端点）上时，直线PO与⊙O的交点P′满足0

Ⅲ.当点P与点D重合时，直线PO与⊙O的交点P′（1，0）满足PP′＝1，故点P关于⊙O的限距点存在，其横坐标x＝1.

综上所述，点P关于⊙O的限距点P′的横坐标的范围为－1≤x≤－

或x＝1.

（2）0

2．解：

（1）①D，E

②连接OD，过D作OD的垂线交⊙O于A，B两点．（答案不唯一）

③∵⊙O的半径为1，所以点P到点O的距离小于或等于3，且不等于1时，符合题意．

∵点P在直线y＝－x＋3上，

∴0≤xP≤3.

（2）0≤xC≤9.

3．解：

（1）4，3

（2）设点D（x，－2x＋6）．

①当x≤0时，lx＝4－x，ly＝－2x＋6.

∵lx＝ly，∴4－x＝－2x＋6，

∴x＝2>0（舍去）．

②当0

∵lx＝ly，∴4＝|－2x＋6|，

∴x＝1或x＝5（舍去）．

∴D（1，4）．

③当x≥4时，lx＝x，ly＝2x－6.

∵lx＝ly，∴x＝2x－6，

∴x＝6.∴D（6，－6）．

综上满足条件的D点的坐标为（1，4）或（6，－6）．

（3）0≤a<

.

4．解：

（1）函数y＝x－1没有不变值；

函数y＝

有－1和1两个不变值，其不变长度为2；

函数y＝x2有0和1两个不变值，其不变长度为1；

（2）①∵函数y＝2x2－bx的不变长度为零，

∴方程2x2－bx＝x有两个相等的实数根．

∴b＝－1.

②解方程2x2－bx＝x，得x1＝0，x2＝

.

∵1≤b≤3，∴1≤x2≤2.

∴函数y＝2x2－bx的不变长度q的取值范围为1≤q≤2.

（3）m的取值范围为1≤m≤3或m<－