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控制系统的频域分析
第五章控制系统的频域分析
由于求解高阶系统时域响应十分困难,时域分析法主要适用于低阶系统的性能分析,在高阶系统的性能分析中,应用时域分析法较为困难。
频域分析法主要适用于线性定常系统,是分析和设计控制系统的一种实用的工程方法,应用十分广泛。
它克服了求解高阶系统时域响应十分困难的缺点,可以根据系统的开环频率特性去判断闭环系统的稳定性,分析系统参数对系统性能的影响,在控制系统的校正设计中应用尤为广泛。
频率特性是频域分析法分析和设计控制系统时所用的数学模型,它既可以根据系统的工作原理,应用机理分析法建立起来,也可以由系统的其它数学模型(传递函数、微分方程等)方便地转换过来,或用实验法来确定。
本章介绍频率特性的基本概念、典型环节和系统的开环频率特性、乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性、由系统开环频率特性求闭环频率特性的方法、系统性能的频域分析方法以及频率特性的实验确定方法。
5-1频率特性及其与时域响应的关系
频率特性的基本概念在上几章,讨论了阶跃、斜坡、抛物线以及脉冲等函数的输入信号对控制系统的作用。
现在考虑另一种重要函数—正弦函数作为输入信号对系统的作用。
例如对于图5-1所示的典型一阶系统,系统的闭环传递函数为:
r(t)c(t)
图5-1典型一阶系统
若输入为一正弦信号,即:
r(t)=R0sinωt,则:
经拉氏反变换,得:
系统的输出c(t)由两项组成,第一项为瞬态分量,其值随着时间的增长而趋于零,第二项为稳态分量,它是一个频率为ω的正弦信号。
当时间t趋于无穷时,稳态分量即为系统的稳态输出,说明在正弦信号作用下系统的稳态输出为一个频率为ω的正弦信号。
可以证明,对于一个稳定的线性定常系统,在其输入端施加一个正弦信号时,当动态过程结束后,在其输出端必然得到一个与输入信号同频率的正弦信号,其幅值和初始相位为输入信号频率的函数。
对于图5-2所示一般线性定常系统,可列出描述输出量c(t)和输入量r(t)关系的微分方程:
(5-1)
线性定常系统
r(t)c(t)
图5-2一般线性定常系统
与其对应的传递函数为:
(5-2)
如果在系统输入端加一个正弦信号,即:
r(t)=R0sinωt(5-3)
式中,R0是幅值,ω是频率。
由于:
(5-4)
所以:
(5-5)
其中si为系统的闭环极点,Ci、B、D为常数,对式(5-5)进行拉氏反变换,可求得系统的输出,其稳态分量为:
CS(t)=Be-jωt+Dejωt(5-6)
其中:
故稳态分量为:
(5-7)
对于稳定的系统,瞬态分量随着时间的增长而趋于零,稳态分量CS(t)即为系统的稳态响应,可见系统的稳态响应为与输入信号同频率的正弦信号,定义该正弦信号的幅值与输入信号的幅值之比为幅频特性A(ω),相位之差为相频特性φ(ω),则有:
(5-8)
(5-9)
频率特性是指系统的幅频特性和相频特性,通常用复数来表示,即:
(5-10)
显然,只要在传递函数中令s=jω即可得到频率特性。
可以证明,稳定系统的频率特性等于输出量富氏变换与输入量富氏变换之比。
微分方程
s=d/dtjω=d/dt
s=jω
传递函数
频率特性
图5-3微分方程、频率特性、
传递函数之间的关系
对于不稳定的线性定常系统,在正弦信号作用下,其输出信号的瞬态分量不可能消逝,瞬态分量和稳态分量始终存在,系统的稳态分量是无法观察到的,但稳态分量是与输入信号同频率的正弦信号,可定义该正弦信号的幅值与输入信号的幅值之比为幅频特性A(ω),相位之差为相频特性φ(ω)。
据此可定义出不稳定线性定常系统的频率特性。
式(5-8)、(5-9)、(5-10)同样适用于不稳定的线性定常系统,差别在于,系统不稳定时,瞬态分量不可能消逝,瞬态分量和稳态分量始终存在,所以不稳定系统的频率特性是观察不到的。
频率特性和传递函数、微分方程一样,也是系统的数学模型。
三种数学模型之间的关系如图5-3所示。
例5-1单位负反馈系统的开环传递函数为若输入信号r(t)=2sin2t,试求系统的稳态输出和稳态误差。
解:
在正弦信号作用下,稳定的线性定常系统的稳态输出和稳态误差也是正弦信号,本题可以利用频率特性的概念来求解。
控制系统的闭环传递函数为
对应的频率特性为
由于输入正弦信号的频率为ω=2sec-1,可以算得:
即:
A
(2)=1,φ
(2)=-90°,因此稳态输出为CS(t)=2·A
(2)sin(2t+φ
(2))
=2sin(2t-90°)。
在计算稳态误差时,可把误差作为系统的输出量,利用误差传递函数来计算,即:
因此稳态误差为:
从例5-1可以看出,在正弦信号作用下求系统的稳态输出和稳态误差时,由于正弦信号的象函数R(s)的极点位于虚轴上,不符合拉氏变换终值定理的应用条件,不能利用拉氏变换的终值定理来求解,但运用频率特性的概念来求解却非常方便,需要注意的是,此时的系统应当是稳定的。
频率特性的几何表示法在工程分析和设计中,通常把频率特性画成一些曲线,从频率特性曲线出发进行研究。
这些曲线包括幅频特性和相频特性曲线,幅相频率特性曲线,对数频率特性曲线以及对数幅相曲线等。
幅频特性和相频特性曲线是指在直角坐标系中分别画出幅频特性和相频特性随频率ω变化的曲线,其中横坐标表示频率ω,纵坐标分别表示幅频特性A(ω)和相频特性φ(ω)。
例如设:
则有以及φ(ω)=-arctgωT。
表5-1列出了幅频特性和相频特性的计算数据,图5-4是根据表5-1绘制的幅频和相频特性曲线。
表5-1幅频特性和相频特性数据
ω
0
1/(2T)
1/T
2/T
3/T
4/T
5/T
∞
A(ω)
1
0.89
0.71
0.45
0.32
0.24
0.20
0
φ(ω)
0°
-26.6°
-45°
-63.5°
-71.5°
-76°
-78.7°
-90°
A(ω)
1.0
01/T2/T3/T4/T5/Tω
φ(ω)
0°
-90°
01/T2/T3/T4/T5/Tω
图5-4幅频和相频特性曲线
Im
ω=∞ω=0
0Re
ω
ω=2/Tω=1/(2T)
ω=1/T
图5-5Φ(jω)=1/(1+jωT)幅相曲线
幅相频率特性曲线简称幅相曲线,是频率响应法中常用的一种曲线。
其特点是把频率ω看作参变量,将频率特性的幅频特性和相频特性同时表示在复数平面上,例如按表5-1所示频率特性数据,可画出幅相曲线如图5-5所示,图
中实轴正方向为相角的零度线,逆时针转过的角度为正角度,顺时针转过的角度为负角度。
对于某一频率ω,必有一个幅频特性的幅值和一个相频特性的相角与之对应,此幅值和相角在复数平面上代表一个向量。
当频率ω从零到无穷大变化时,相应向量的矢端就绘出一条曲线。
这条曲线就叫做幅相曲线。
幅相曲线中常用箭头方向代表ω增加时,幅相曲线改变的方向。
鉴于幅频特性是ω的偶函数,相频特性是ω的奇函数,一旦画出了ω从零到无穷大时的幅相曲线,则ω从零到负无穷大时的幅相曲线,根据对称于实轴的原理立即可得。
因此,一般只需研究ω从零到无穷大时的幅相曲线,这种画有幅相曲线的图形称为极坐标图。
对数频率特性曲线又称伯德曲线,包括对数幅频和对数相频两条曲线,是频率响应法中广泛使用的一组曲线。
这两条曲线连同它们的坐标组成了对数坐标图或称伯德图。
123.16248102031.624080100ω
00..3010.6020..90313.016.029.0310lgω
一倍频程
十倍频程十倍频程
图5-6对数分度示意图
对数频率特性曲线的横坐标表示频率ω,并按对数分度,单位是[弧度/秒]。
所谓对数分度,是指横坐标以lgω进行均匀分度,即横坐标对lgω来讲是均匀的,对ω而言却是不均匀的,如图5-6所示。
从图中可以看出,频率ω每变化十倍(称为一个十倍频程),横坐标的间隔距离为一个单位长度。
横坐标以ω标出,一般情况下,不应标出ω=0的点(因为此时lgω不存在)。
若ω2位于ω1和ω3的几何中点,此时应有lgω2-lgω1=lgω3-lgω2,即ω22=ω1ω3,例如ω=1和ω=10两点的几何中点为ω=3.162。
对数幅频特性曲线的纵坐标表示对数幅频特性的数值,均匀分度,单位是[分贝],记作db,对数幅频特性定义为L(ω)=20lgA(ω);对数相频特性曲线的纵坐标表示相频特性的数值,均匀分度,单位是[度]。
图5-7是Φ(jω)=1/(1+jωT)的对数幅频和对数相频曲线。
L(ω)(db)
0.1110ωT
-10
-20
φ(ω)(度)
0.1110ωT
-30
-60
-90
图5-71/(1+jωT)的对数幅频特性
和对数相频特性曲线
0(db)
-5
-10
-15
-20
-100-80-60-40-200(度)
图5-81/(1+jωT)的对数幅相曲线
频率响应法中见到的另一种曲线是对数幅相曲线(又称尼可尔斯曲线),对应的曲线图称为对数幅相图(又称尼可尔斯图)。
对数幅相图的特点是以ω为参变量,横坐标和纵坐标都均匀分度,横坐标表示对数相频特性的角度,纵坐标表示对数幅频特性的分贝数,图5-8是1/(1+jωT)的对数幅相曲线。
频率特性与时域响应的关系系统的频率特性与时域响应之间存在一定的关系,这种关系是频域分析和设计方法的依据。
设线性定常系统的输入和输出均满足狄里赫利条件,并且绝对可积,则可求得其富里叶变换:
(5-11)
(5-12)
根据频率特性的定义,若系统的频率特性为Φ(jω),有:
C(jω)=Φ(jω)R(jω)(5-13)
对公式(5-13)进行富里叶反变换,即可求得系统的时域响应。
例如系统的单位脉冲响应为:
(5-14)
一般情况下,当输入信号为r(t)时,系统的响应可用卷积分求得:
(5-15)
5-2典型环节的频率特性
通常线性定常系统的开环传递函数可看作是由一些典型环节串联而成,这些典型环节包括:
比例环节K;惯性环节1/(1+Ts),T>0;一阶微分环节1+Ts,T>0;积分环节1/s;微分环节s;振荡环节1/(s2/ωn2+2ξs/ωn+1),ωn>0,0<ξ<1以及二阶微分环节s2/ωn2+2ξs/ωn+1,ωn>0,0<ξ<1。
在系统的开环传递函数中,还可能出现(Ts-1)、(s2/ωn2-2ξs/ωn+1)以及1/(Ts-1)、1/(s2/ωn2-2ξs/ωn+1)等,习惯上,把这些环节称为不稳定环节,即不稳定惯性环节1/(Ts-1),不稳定振荡环节1/(s2/ωn2-2ξs/ωn+1),不稳定一阶微分环节(Ts-1)和不稳定二阶微分环节(s2/ωn2-2ξs/ωn+1),另外,系统中还可能出现延迟环节e-τS。
本节着重研究这些典型环节的幅相曲线和对数频率特性曲线的绘制方法及其特点。
比例环节比例环节的传递函数为常数K,其频率特性为:
G(jω)=K(5-16)
比例环节的幅频特性和相频特性的表达式为:
(5-17)
ImL(ω)
20lgK
Reφ(ω)ω
0K
ω
图5-9比例环节的幅相曲线和对数频率特性曲线
相应的对数幅频特性和相频特性为:
(5-18)
比例环节的幅相曲线和对数频率特性曲线如图5-9所示。
惯性环节惯性环节的传递函数为1/(1+Ts),其频率特性为:
j
jωT1+jωT
01
图5-101+jωT向量图
(5-19)
惯性环节的幅频特性和相频特性的表达式为:
(5-20)
在绘制幅相曲线时,注意到图5-10中向量1+jωT在ω由0→∞变化时,其幅值由1变化到∞,而相角由0°变化到90°,说明惯性环节1/(1+jωT)的幅值由1变化到0,相角由0°变化到-90°,据此可以画出惯性环节幅相曲线的大致形状。
通过逐点计算,可以画出惯性环节幅相曲线的精确曲线,惯性环节的幅相曲线如图5-5所示。
可以证明,惯性环节的幅相曲线为半圆。
惯性环节的对数幅频特性和相频特性为:
(5-21)
可以通过计算若干点的数值来绘制惯性环节的对数幅频特性和相频特性的精确曲线,如图5-11所示。
工程上,此环节的对数幅频特性可以采用渐近线来表示。
定义ω1=1/T为交接频率,渐近线表示如下:
L(ω)=0ω<<ω1时,(5-22)
L(ω)=-20lg(ωT)=-20lgω+20lgω1ω>>ω1时,(5-23)
从渐近线的表达式可以看出,在ω<<ω1时,式(5-22)为一条0db的水平线;在ω>>ω1时,L(ω)与lgω成线性关系,由于在伯德图中,横坐标是以lgω线性分度的,故渐近线式(5-23)为一条斜率为-20db/(十倍频程)(记为-20db/dec)的直线(即ω每增加十倍,对数幅频特性下降20db)。
为方便起见,在ω<ω1的区段,以式(5-22)作为惯性环节对数幅频特性曲线的渐近线(或称近似曲线);在ω>ω1的区段,以式(5-23)作为惯性环节对数幅频特性曲线的渐近线(或称近似曲线),两段渐近线在交接频率ω1处相交,如图5-11所示。
对数幅频特性曲线渐近线与准确曲线之间存在误差,若规定误差ΔL(ω)为准确值减去近似值,可得到ΔL(ω)的表达式如下:
ω<ω1时
ω>ω1时(5-24)
由式(5-24)可制作出误差曲线,必要时可利用误差公式或误差曲线来进行修正,最大的误差发生在交接频率ω1处,其值为-3db。
L(ω)(db)
0.1110ωT
渐近线
-10
精确曲线
-20
φ(ω)(度)
0
0.1110ωT
-30
-60
-90
图5-11惯性环节的对数幅频特性
和对数相频特性曲线
对数相频特性曲线的绘制没有类似的简化方法。
只能给出若干个ω值,逐点求出相应的φ(ω)值,然后用平滑曲线连接。
有时,也可以采用预先制好的模板绘制。
对数相频特性曲线如图5-11所示。
交接频率ω1也称为惯性环节的特征点,此时A(ω1)=0.707,L(ω1)=-3db,φ(ω1)=-45°。
一阶微分环节一阶微分环节的传递函数为1+Ts,其频率特性为:
(5-25)
一阶微分环节的幅频特性和相频特性的表达式为:
(5-26)
注意到向量1+jωT在ω由0→∞变化时,其幅值由1变化到∞,而相角由0°变化到90°,其实部始终为1,一阶微分环节的幅相曲线如图5-12所示。
一阶微分环节的对数幅频特性和相频特性为:
(5-27)
Im
ω=0
01Re
图5-12一阶微分环节幅相曲线
L(ω)(db)
20
10
0.1110ωT
φ(ω)(度)渐近线
90
60
30
0.1110ωT
图5-13一阶微分环节的对数幅频特性
和对数相频特性曲线
可以采用计算若干点的数值来绘制一阶微分环节的对数幅频特性和相频特性曲线。
工程上,此环节的对数幅频特性可以采用渐近线来表示。
定义ω1=1/T为交接频率,渐近线表示如下:
L(ω)=0ω<<ω1时,(5-28)
L(ω)=20lg(ωT)=20lgω-20lgω1ω>>ω1时,(5-29)
从渐近线的表达式可以看出,在ω<<ω1部分渐近线为一条0db的水平线,在ω>>ω1部分渐近线为一条斜率为+20db/dec的直线,两段渐近线在交接频率ω1处相交,如图5-13所示。
对数幅频特性曲线渐近线与准确曲线之间存在误差,必要时应进行修正,最大的误差发生在交接频率ω1处,其值为3db。
交接频率ω1也称为一阶微分环节的特征点,此时A(ω1)=1.414,L(ω1)=3db,φ(ω1)=45°。
比较惯性环节和一阶微分环节可以发现,它们的传递函数互为倒数,而它们的对数幅频特性和相频特性则对称于横轴,这是一个普遍规律,即传递函数互为倒数时,对数幅频特性和相频特性对称于横轴。
积分环节积分环节的传递函数是1/s,其频率特性为:
(5-30)
积分环节的幅频特性和相频特性的表达式为:
(5-31)
其幅相曲线如图5-14所示,显然ω由0→∞变化时,其幅值由∞变化到0,而相角始终为-90°。
积分环节的对数幅频特性和相频特性为:
(5-32)
其相应的对数幅频特性和相频特性曲线如图5-15所示,由图可见,其对数幅频特性为一条斜率为-20db/dec的直线,此线通过ω=1,L(ω)=0db的点。
相频特性是一条平行于横轴的直线,其纵坐标为-π/2。
Im
ω→∞
0Re
ω→0
图5-14积分环节的幅相曲线
L(ω)(db)
-20db/dec
1ω
φ(ω)(度)
ω
-90
图5-15积分环节的伯德图
微分环节微分环节的传递函数是s,其频率特性为:
(5-33)
微分环节的幅频特性和相频特性的表达式为:
(5-34)
其幅相曲线如图5-16所示,显然ω由0→∞变化时,其幅值由0变化到∞,而相角始终为+90°。
微分环节的对数幅频特性和相频特性为:
(5-35)
其相应的对数幅频特性和相频特性曲线如图5-17所示,由图可见,其对数幅频特性为一条斜率为+20db/dec的直线,此线通过ω=1,L(ω)=0db的点。
相频特性是一条平行于横轴的直线,其纵坐标为π/2。
积分环节和微分环节的传递函数互为倒数,它们的对数幅频特性和相频特性则对称于横轴。
Im
ω→∞
ω=0
Re
0
图5-16微分环节的幅相曲线
L(ω)(db)
20db/dec
1ω
φ(ω)(度)
90
ω
图5-17微分环节的伯德图
振荡环节振荡环节的传递函数是1/(s2/ωn2+2ξs/ωn+1),ωn>0,0<ξ<1,振荡环节的频率特性为:
(5-36)
幅频特性和相频特性的解析表达式分别为:
(5-37)
(5-38)
幅相曲线的起点为G(j0)=1/0°,终点为G(j∞)=0/-180°。
当ω由0→∞变化时,A(ω)由1→0,φ(ω)由0°→-180°变化,据此可以画出振荡环节幅相曲线的大致形状。
通过逐点计算,可以画出振荡环节幅相曲线的精确形状,振荡环节的幅相曲线如图5-18所示,图上以无因次频率μ=ω/ωn为参变量。
由图可见,无论ξ多大,μ=1(即ω=ωn)时,相角都等于-90°而幅值为1/2ξ。
图5-19为A(ω)与μ的关系曲线,由曲线可知,ξ小于某个值时,幅频特性出现谐振峰值Mr,峰值对应的频率称为谐振频率ωr,μr=ωr/ωn叫做无因次谐振频率。
μr随ξ减小而增大,最终趋于1。
A(ω)
ξ=0ξ=0
0.2
20.5
0.7
1.0
1
01μ=ω/ωn
图5-19振荡环节的A(ω)与μ的关系曲线
Im
01
Re
μ→∞μ=0
ξ=0.8
ξ=0.6
μ=1
ξ=0.4
图5-18振荡环节的幅相曲线
将方程(5-37)对μ求导并令它等于零,可得:
(ξ≤0.707)(5-39)
或谐振频率:
(ξ≤0.707)(5-40)
幅频特性谐振峰值:
(ξ≤0.707)(5-41)
方程(5-39)和(5-40)只在ξ≤0.707时才有意义,因为ξ>0.707时,幅频特性的斜率永远为负,因而没有谐振峰值。
式(5-41)表明了Mr与阻尼比ξ关系,对于振荡环节来说,阻尼比越小,Mr越大,系统的单位阶跃响应的超调量也越大;反之,阻尼比越大,Mr越小,超调量也越小。
可见,Mr直接表征了系统超调量的大小,故称为振荡性指标。
振荡环节的对数幅频特性和相频特性为:
(5-42)
(5-43)
在绘制对数幅频特性曲线时,注意到其渐近线可表示如下:
L(ω)=0ω<<ωn(5-44)
L(ω)=-40lgω/ωnω>>ωn(5-45)
即在ω<<ωn时,渐近线是一条0db的水平线,而在ω>>ωn时渐近线是一条斜率为-40db/dec的直线,它和0db线交于横坐标ω=ωn的地方。
因为自然频率ωn是两条渐近线交接点的频率,故称为振荡环节的交接频率。
20db
ξ=0.1
10db0.2
0.3
0db0.5
0.7
-10db1
渐近线
-20dbξ=0.10°
0.2-45°
-30dbξ=10.3-90°
0.7-135°
-40db0.5-180°
0.10.20.40.60.81246810
ω/ωn
图5-20振荡环节的伯德图
对数幅频特性曲线及其渐近线如图5-20所示。
由图可见,用渐近线来表示对数幅频特性曲线时存在误差,误差大小既和ω有关也和ξ有关。
若规定误差ΔL(ω,ξ)为准确值减去近似值,可得误差计算公式:
(ω≤ωn)(5-46)
(ω≥ωn)(5-47)
根据公式(5-46)和(5-47)可绘制出误差曲线,误差的大小与ξ有关,必要时可以用误差公式或误差曲线进行修正。
对数相频特性曲线如图5-20所示,ξ不同,曲线的形状也有所不同。
二阶微分环节二阶微分环节的传递函数是s2/ωn2+2ξs/ωn+1式中ωn>0,0<ξ<1。
相应的频率特性为:
G(jω)=1-ω2/ωn2+j2ξω/ωn(5-48)
可知幅相曲线的起点为G(j0)=1/0°,终点为G(j∞)=∞/180°,当ω由0→∞变化时,A(ω)由1→∞,φ(ω)由0°→+180°变化,据此可以画出二阶微分环节幅相曲线的大致形状。
通过逐点计算,可以画出二阶微分环节幅相曲线的精确形状如图5-21所示。
Im
ξ=0.7
ξ=0.5
ξ=0.3
ω=0
01Re
图5-21二阶微分环节的幅相曲线
L(ω)db
渐近线
20
1ξ=0.310ω/ωn
-20ξ=0.7ξ=0.5
φ(ω)(度)
180
ξ=0.5
90ξ=0.7ξ=0.3
110ω/ωn
图5-22二阶微分环节的伯德图
二阶微分环节和振荡环节的传递函数互为倒数,它们的对数幅频特性和相频特性对称于横轴。
二阶微分环节的伯德图如图5-22所示。
注意到对数幅频特性曲线的渐近线在ω<ωn时是一条0db的水平线,而在ω>ωn时是一条斜率为+40db/dec的直线,它和0db线交于横坐标ω=ωn的地方。
ωn称为二阶微分环节的交接频率。
j
jωT-1jω
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