高一数学专题72 复数的四则运算解析版.docx

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高一数学专题72复数的四则运算解析版

专题7.2复数的四则运算

运用一四则运算

【例1】

（1）（2018·河北高二期末（文））为虚数单位,则（）

A.B.

C.D.

（2）（2019·上海市吴淞中学高二期中）在复数范围内分解因式：

______．

【答案】

（1）C

（2）

【解析】

（1）由复数的基本运算性质,可得,其中为自然数,设,

两边同乘可得：

两式相减可得

所以,故选C.

（2）由可得：

所以.

故答案为：

.

【举一反三】

1．（2019·上海高二期末）在复数集,方程的解为________.

【答案】

【解析】设复数是方程的解,

则,即,

所以,解得,所以.故答案为：

2．（2017·上海交大附中高二期中）是虚数单位,则_______.

【答案】

【解析】为数列的前项的和,

则,

上述两式相减得,

.

故答案为：

.

3．（2019·上海市向明中学高二月考）的所有能取到的值构的集合为_____________.

【答案】

【解析】,

当为奇数时,；

当为偶数时,．

故答案为：

．

运用二复数相等

【例2】（2019·湖南衡阳市八中高三月考（文））已知a,b∈R,i为虚数单位,（2a+i）（1+3i）=3+bi,则a+b=（）

A.22B.-16C.9D.-9

【答案】A

【解析】∵（2a+i）（1+3i）＝3+bi,

∴2a﹣3+（6a+1）i＝3+bi,

∴,

解得a＝3,b＝19,

∴a+b＝3+19＝22,

故选：

A．

【举一反三】

1．已知,,则（）

A.B.C.2D.

【答案】D

【解析】因为且,

所以,所以,故选D.

2．（2019·黄陵中学高新部高二期末（理））已知i是虚数单位,m,n∈R,且m+i=1+ni,则＝（　　）

A.iB.1C.－iD.－1

【答案】A

【解析】因为,所以,则.故选：

A.

3．（2019·安徽高二月考（文））,为虚数单位,若,则的值为（）

A．1B．-1C．2D．-2

【答案】A

【解析】由（m+i）（2﹣3i）＝（2m+3）+（2﹣3m）i＝5-i,得,即m＝1．故选：

A．

运用三最值问题

【例3】（2019·上海市进才中学高二月考）设复数,（是虚数单位）,若复数满足,则的最小值是（）

A.1B.2C.D.

【答案】B

【解析】设复数在复平面内对应的点,

因为,,

所以在复平面内所对应的点、之间的距离为,

由,可得的轨迹是以为焦点,,实半轴长,半焦距的双曲线的右支,

而,且点在直线上,

所以的最小值等于与之间的距离减去,

即=2.

故选.

【举一反三】

1（2019·安徽高三开学考试（理））复数满足,则的最大值是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】设,则,

则复数在复平面内所对应的点的轨迹是以为圆心,以为半径的圆,,其几何意义是原点到圆上一点距离的平方,原点到圆心的距离为,

因此,的最大值为,故选：

B.

2．（2019·江西高三月考（文））若复数满足,则的最大值为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由题意可知,复数对应的点的轨迹是以点A（-3,4）为圆心,半径为2的圆,表示圆上的点到原点的距离的平方,因为,所以

的最大值为,故选D.

3．（2019·河南高二月考（理））已知复数,且,则的最大值为（　　）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】∵复数,且,

∴,

∴．

设圆的切线,则,

化为,解得．

∴的最大值为．

故选：

C．

运用四有关复数方程

【例4-1】（2019·上海高三）已知关于t的一元二次方程,当方程有实数根时,则实数t的取值范围________.

【答案】

【解析】因为关于t的一元二次方程有实数根,得,由复数相等的充要条件可得：

消得,则所求点的轨迹为以为圆心,为半径的圆,

直线与圆有公共点,

则,解得,

故答案为：

.

【举一反三】

1（2019·上海市向明中学高二期中）已知关于的方程有实数解,则_______.

【答案】或3

【解析】因为关于的方程有实数解,所以使得

成立.

或.

故答案为：

或.

运用五综合运用

【例4】（2019·江西景德镇一中高二期中（文））设是复数,给出四个命题：

①若,则

②若,则

③若,则

④若,则

其中真命题的个数有（　　）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【解析】由是复数,得：

在①中,若,则的实部和虚部都相等,∴,故①正确；

在②中,若,则的实数相等,虚部互为相反数,∴,故②正确；

在③中,若,则,故③正确；

在④中,若,则由复数的模的性质得,

如,但,故④不正确．

故选：

C．

【举一反三】

1.（2019·上海市复兴高级中学高二期末）设有下面四个命题:

（1）若复数满足则

（2）若复数满足则

（3）若复数满足则

（4）若复数满足则

则正确命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】设复数,则,对于

（1）,因为所以,则,故

（1）正确；,因为所以或,当时,为纯虚数,故

（2）不正确；因为所以,,故（3）正确；设,因为所以,当,显然满足条件,但,故（4）不正确,所以正确命题的个数为2.

故选：

B

2．（2019·吉林高二期中）下列命题正确的是（）

A．复数不是纯虚数

B．若,则复数为纯虚数

C．若是纯虚数,则实数

D．若复数,则当且仅当时,为虚数

【答案】B

【解析】选项A中,当时,复数是纯虚数,故错误；选项B中,时,复数,为纯虚数,故正确；选项C中,是纯虚数,则,即,得,故错误；选项D中,没有给出为实数,当,时,也可以是虚数,故错误.

所以选B项.

1．（2019·陕西高考模拟（理））已知,,则的共轭复数为

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】由,得,

∴,其共轭复数为,故选A．

2．（2019·山东高三月考）设,（为虚数单位）,且,则（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】由,,

得,

又,,

即．

故选：

．

3．（2019·上海高二期末）已知关于的实系数一元二次方程的一个根在复平面上对应点是,则这个方程可以是（）

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】因为方程的根在复平面内对应的点是,

可设根为：

（为虚数单位）,所以方程必有另一根,

又,,

根据选项可得,该方程为.

故选：

A

4．（2019·上海曹杨二中高二期末）若是关于的实系数一元二次方程的一个根,则（）

A.,B.,

C.,D.,

【答案】B

【解析】由题意可知,关于的实系数一元二次方程的两个虚根分别为和,

由韦达定理得,解得.

故选：

B.

5．（2018·上海交大附中高二期末）对于一元二次方程（其中,）下列命题不正确的是（）

A.两根满足,；

B.两根满足；

C.若判别式时,则方程有两个相异的实数根；

D.若判别式时,则方程有两个相等的实数根；

【答案】B

【解析】若一元二次方程,则方程有两个相异实根

由韦达定理得：

,则正确；

当为虚根时,,则错误；

若一元二次方程,方程有两个相等实根,正确.

故选：

6（2017·上海交大附中高二期中）给出下列命题：

其中正确命题的序号为__________.

①若,则；

②若、,且,则；

③若,则是纯虚数；

④若,则对应的点在复平面内的第一象限.

【答案】④

【解析】对于命题①,取,则,命题①错误；

对于命题②,虚数不能比大小,命题②错误；

对于命题③,取,则,命题③错误；

对于命题④,,则,该复数对应的点在复平面内的第一象限.

故答案为：

④.

7．（2019·上海市行知中学高二期中）已知复数（）的模为,则的取值范围是________

【答案】

【解析】因为复数（）的模为,

所以,

设,则直线与圆有交点,

所以,解得,所以,

即.

故答案为:

8．（2019·上海市向明中学高二期中）若且则的取值范围是________.

【答案】

【解析】因为所以设因为所以,复数在复平面对应点的轨迹是以原点为圆心半径为4的圆O.式子的几何意义是：

圆上任意一点到的距离,圆心O到的距离为,由圆的几何性质可知：

圆上任意一点到的距离的最大值为,最小值为,

因此的取值范围是.

故答案为：

9．（2019·上海曹杨二中高二期末）若复数满足,则的最大值是______．

【答案】

【解析】由复数模的三角不等式可得,

因此,的最大值是.

故答案为：

.

10．（2019·宁县第二中学高二期中（文））已知复数z,且|z|＝1,则|z+3+4i|的最小值是________．

【答案】4

【解析】方法一：

∵复数z满足|z|＝1,

∴|z+3+4i|≥|3+4i|﹣|z|＝5﹣1＝4,

∴|z+3+4i|的最小值是4．

方法二：

复数z满足|z|＝1,点z表示以原点为圆心、1为半径的圆．

则|z+3+4i|表示z点对应的复数与点（﹣3,﹣4）之间的距离,

圆心O到点（﹣3,﹣4）之间的距离d5,

∴|z+3+4i|的最小值为5﹣1＝4,

故答案为：

4．

11．（2019·上海市复兴高级中学高二期末）计算:

______.

【答案】

【解析】

故答案为：

12．（2017·上海交大附中高二期中）设为实数,在复数中解方程：

.

【答案】见解析.

【解析】

（1）当时,,可得,,则,得出,此时,,解得或；

（2）若为虚数,由,可得,则为纯虚数,

可设,由,得,.

即,,,可得出,

所以,,即.

①当时,即当时,或,

即或,

此时或或或,

则或或或；

②当时,即当时,此时,,即.

解得或,此时,或.

综上所述：

.

13．（2019·上海市进才中学高二期末）设,关于的方程的两个根分别是和.

（1）当时,求与的值；

（2）当时,求的值.

【答案】

（1）,,；

（2）4

【解析】

（1）当时,,

.

（2）依题意,,其得,所以.

（或,由,所以）

14．（2019·上海市复兴高级中学高二期末）是关于的方程的一个根.

（1）若且求实数的值；

（2）若且为虚数,求实数的值.

【答案】

（1）

（2）或2

【解析】

（1）当时,则有,无实数解；当时,则有,解得,故实数的值为.

（2）根据题意设,代入方程可得,所以,又所以,解得或2,

故实数的值为或2.

15．（2019·上海市青浦区第一中学高二期末）已知复数,,.

（1）若,求实数的取值范围；

（2）若是关于的方程的一个根,求实数与的值.

【答案】

（1）

（2）,或

【解析】

（1）

于是

又,所以,解得：

.

所以实数的取值范围为.

（2）由

（1）知,.

因为（）是方程的一个根,

（）也是此方程的一个根,

于是

解得或,且满足

所以,或

16．（2019·山东高二期末）

（1）设集合},,且,求实数m的值.

（2）设,是两个复数,已知,,且·是实数,求.

【答案】

（1）或或

（2）或

【解析】

（1）由

解得：

或∴,

又∵

∴当时,此时符合题意.

当时,则.由得,

所以或

解得：

或

综上所述：

或或

（2）设,∵

∴,

即①

又,且,是实数,

∴②

由①②得,,或,

∴或

17．（2019·甘肃省武威第五中学高二月考）计算:

（1）；

（2）.

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】

（1）

（2）

18．（2019·山东高二期末）已知.

（1）若,求.

（2）设复数满足,试求复数平面内对应的点到原点距离的最大值.

【答案】

（1）

（2）

【