数值计算方法宋岱才版课后答案.docx
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数值计算方法宋岱才版课后答案
第一章绪论
一本章的学习要求
(1)会求有效数字。
(2)会求函数的误差及误差限。
(3)能根据要求进行误差分析。
二本章应掌握的重点公式
(1)绝对误差:
设x为精确值,x为x的一个近似值,称exx为x的绝对误
差。
(2)相对误差:
er
e
。
x
(3)绝对误差限:
e
x
x。
(4)相对误差限:
r
x
x。
x
x
(5)一元函数的绝对误差限:
设一元函数f
x
0,则
df
x。
f
dx
(6)一元函数的相对误差限:
r
f
1
df
x
。
f
dx
(7)二元函数的绝对误差限:
设一元函数
则
f
。
f
x,y
0,
f
y
y
(8)二元函数的相对误差限:
f
1
f
x
f
。
r
f
x
y
y
三本章习题解析
1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,
(1)试指出它们有几位有效数字,
(2)分别
估计A1
X1X2
X3及A2
X2
的相对误差限。
X4
x11.1021,x2
0.031,x3
385.6,x4
56.430
解:
(1)x1
有5位有效数字,x2
有2位有效数字,x3
有4位有效数字,
x4有5位有效
数字。
(2)A1
x1x2x3
A1
x2x3,
A1
x1x3
A1
x1x2,由题可知:
A1
为A1的近似值,
x1
x2
x3
x1,x2,x3
分别为x1,x2,x3近似值。
所以
A1
rA1
A1
1
A1
x1
A1
x2
A1
x3
A1
X1
X2
X3
1
x2
x3
1
104
x1x3
1
103
x1x2
1
101
0.215
x1x2x3
2
2
2
A2
X2,则有A2
1
A2
x2
2
同理有A2
为A2的近似值,x2
,x4
为x2,
X4
x2
x4
x4
x4
x4的近似值,代入相对误差限公式:
A2
rA2
A2
1
A2
X2
A2
X4
A2
X2
X4
X4
1
1
3
X2
1
10
3
5
10
2
2
10
X2
X
2
X4
4
2.正方形的边长大约为100cm,怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2?
解:
设正方形的边长为x,则面积为Sx2,ds2x,在这里设x为边长的近似值,S为
dx
面积的近似值:
由题可知:
s
ds
x
1
dx
即:
2x
x
1
推出:
x
1
0.005cm。
200
3.测得某房间长约
L=4.32m,宽约为d=3.12m,且长与宽的误差限均为
0.01m,试问房
间面积S=Ld的误差限和相对误差限分别为多少?
解:
设sld
则有:
s
d,
s
l。
在这里l,d,S
分别为l,d,s的近似值:
l
d
s
s
l
s
ddl
ld
3.120.01
4.320.010.0744cm2
l
d
S
0.0744
相对误差限为:
rS
0.0055
。
S
4.323.12
4.下列公式如何计算才比较准确:
e
2x
1
(1)当x的绝对值充分小时,计算
2
;
(2)当N的绝对值充分大时,计算
N
1
1
N
1
x2dx;
(3)当x的绝对值充分大时,计算
x
1
x1
。
x
x
2x
2x
2x
4x
x
3x
x
e
1
e
1
e
1
=ee
e
解:
(1)当x
0时,e
1
=
2x
x
2
x
x
x
x
x
2e1
2eee
2eee
3x
x
x
2x
2x
=
e
e
x
ee
e
x
x
e
x
e
2
e
2e
N1
1
N
1
(2)当N
时,
2dx=argtgx
=argtg
N
1argtgN
N1
X
N
=argtg
1
1N
N
1
x
1
x
1
1
1
1
1
x
x
x
x
(3)当x
时,
x
=
x
x
x
x
1
1
x
x
x
x
x
=
2
。
2
2
x
x
x
1
1
5.
列yn
满足递推关系
yn=10yn1
-1,n=1,2,,若y0=
2
1.41
,计算到y10时误差有
多大?
这个计算数值稳定吗?
解:
已知准确值
y0
2
,近似值y0
1.41
,设他们的误差为
0
y0
y0,则有:
1
y1
y1
10y0
110y0
1=10y0
y0
100
2
y2
y2
10y1
1
10y1
1=100y0
y0
100
0
y10
y10
10
y9
1
10
y9
1
=
10
y0
y0
10
以此类推所以
10
100
10
10
10
21
2
21
8
=10
2
1.41
10
10
10
6.
计算f
6
,取
2
1.4,直接计算和用
1
来计算,哪一个最好?
2-1
3
3
2
2
解:
依题意构造函数
f
x
x
1
,则fI
x
6
x
5
,由绝对误差公式
1
f
f
x
x
=
6
1.41
5
2
1.4
6
0.0124
1
101=0.003072
2
7.
求二次方程x
2-16x+1=0的较小正根,要求有
3位有效数字。
解:
由求根公式:
x
16
162
4。
所以。
x1
8
63,x2
8
63对比可知:
2
较小的根为x2
8
63,由相近数相减原理则有:
x28
63
8
63
8
63
1
0.0627
8
63
8
63
8.如果利用四位函数表计算1cos20,试用不同方法计算并比较结果的误差。
解:
1
cos20
1
0.994
0.006
1
cos20
1
sin220
0.03492
6.092104
cos20
1.994
9.设x的相对误差限为δ,求x
100的相对误差限。
解:
由题意可知:
设fx
x100,则有fI
x100X99在这里设x为X的近似值,f
为f
的近似值,由已知
x的相对误差限为
。
99
所以:
f
f
fI
x
x
100
x
x
100
x
100
f
f
x
100
x
x
10.已知三角形面积
S=1absinc,
其中c
为弧度,满足
0 ,且a,b,c, 的误差分别为 2 2 a, b, c。 证明面积误差 s满足 s a+ b+ c。 s a b c 解: 由误差定义: s s a s b s c s 1 s 1 a b c ,又因为: bsinc, asinc a 2 b 2 s 1abcosc,代入上式可得: s 1bsinca 1asinc b 1abcoscc c 2 2 2 2 1 bsinc 1 asinc 1 s 2 2 abcosc a b 2 c, 两边同除以s可得: s 1 1 1 absinc absinc absinc 2 2 2 约分可得: s a b c 则有: tgc>c>0., s a b ,因为: 0 tgc 2 所以命题 s a b c s a b 成立。 c 第二章插值法 一本章的学习要求 (1)会用拉格朗日插值和牛顿插值求低阶插值多项式。 (2)会应用插值余项求节点数。 (3)会应用均差的性质。 二本章应掌握的重点公式 (1)线性插值: L1x l0 x y0 l1 xy1。 (2)抛物插值: L1 x l0 x y0 l1 x y1 l2 x y2。 (3)n次插值: Ln n x lk x yk。 k 0 (4)拉格朗日插值余项: Rn x f x Ln x fn1 1x 。 n n 1! (5)牛顿插值公式: NXfx0 fx0,x1 xx0 fx0,x1 xn xx0 xx1xxn1。 n f xj (6)fx0,x1,xn 。 xx0 xx1 xxj1xxj1 j1 xxn (7)fx0,x1,xn f n 。 n! (8)牛顿插值余项: Rn x f x Nn x f x0,x1 xn n1 x。 三本章习题解析 1.给定x,fx 的一系列离散点( 1,0),(2,—5),(3,— 6),(4,3),试求Lagrange 插值多项试。 解: 设所求插值多项式为 px L3 X l0x y0l1x y1 l2xy2 ,且已知: x01,y0 0,x1 2,y1 5,x2 3,y2 6,x3 4,y3 3,代入插值基函数公 式: 可得: l0 x x1 x x2 x x3 = x x1 x0 x2 x0 x3 x0 l1 x x0 x x2 xx3 = x x0 x1 x2 x1 x3 x1 l2 x x0 x x1 x x3 = x x0 x2 x1 x2 x3 x2 x 2 x 3 x 4 1 2 3 x 1 x 3 x 4 1 1 2 x 1 x 2 x 4 2 1 1 化简代入px得: pxx34x23 2.若fx 2x6 3x5 x3 1,求f30,31L36 ,f30,31L37 。 解: 由f6 x 26! ,所以: f 6 26! ,f7 x f7 0.由均差的性质(三) f 6 26! 2,f30,31 37 f 7 0 可知: f30,31L36 L 0 6! 7! 6! 7! 3.给定函数表 xi 0 1 2 3 4 5 f xi -7 -4 5 26 65 128 (1) 试用Lagrange插值法求一个三次插值多项式 L3 X ,并由此求 f 0.5 的近似值。 (2) 试用Newton插值公式求一个三次插值多项式 N3 X ,并由此求 f 0.5 的近似值。 解: (1) n 3,取0.5附近的4个点为宜。 故取, x0 0,y0 7,x1 1,y1 4,x2 2,y2 5,x3 3,y326。 则 L3 Xl0x y0 l1xy1 l2x y2 ,按照习题 1求出插值基函数。 代入L3X。 可得: 3X 2x7,所以: f0.5 1 3 75.875 21 L x 3 2 2 (2)设牛顿插值多项式为 N3x fx0 fx0,x1 xx0 fx0,x1,x2 xx0 xx1 fx0,x1,x2,x3 xx0xx1 xx2 , 列差商表: xi yi 一阶插商 二阶插商 三阶插商 0 -7 1 -4 3 2 5 9 3 3 26 21 6 1 所以: N3 X 7 3x 0 3x 0 x 1 x 0 x 1x 2 x3 2x 7=-5.875 n k k n其中lj
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