数学思维训练教材六年级上册.docx
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数学思维训练教材六年级上册
第1讲比较大小„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1第2讲速算与巧算„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4第3讲比的意义和应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7第4讲按比例分配„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10第5讲分数应用题
(一)„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„13第6讲分数应用题
(二)„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„15第7讲列方程解分数应用题„„“„„„„„„„„„„„„„„„„17第8讲百分数应用题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„19第9讲单位“1”的妙用„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„21第10讲倒推法解题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„23第11讲对应法解题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„25第12讲利润和利息„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„27第13讲巧算周长„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„29第14讲智求面积„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„32第15讲鸡兔同笼„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„35思维训练检测
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(二)„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„49
第1讲比较大小
在平时数学学习,尤其是数学竞赛中,我们经常遇到一些题目:
23101215
(1)比较这几个分数的大小:
、、、、57372329
55555
(2)试比较和,那个分数大?
7777777
„„
如果我们不去研究其中的规律,相信大家一定会很难解决这样的题目。
本讲,我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法。
23941例1:
已知A1=B=C=D=E1(ABCDE都不等于0),453105
将A、、B、C、D、E按从大倒小的顺序排叠起来。
分析与解为了方便比较,我们首先将这五个算式统一写成乘法形式,这样原来
21945的算式就变成A1=B1=C=D=E。
下面我们可以运用倒数的知识来解决563310
这一问题。
23首先我们可以假设所有算式的运算结果等于1。
那么,A就是1的倒数,即;同53
3111理,B应是,C是1,D是1,E是1。
这样,我们很容易就能比较出这五个数的4594
大小。
11133因为1>1>1>>,所以D>E>C>B>A.54549
随堂练习一:
254如果a=b1=c=d(a、b、c、d均不等于0),a、b、c、d四个数中,谁最大?
556
谁最小?
23101215例2:
将下列分数从小到大排列起来:
、、、、。
57372329
分析与解比较几个分数的大小,课本上介绍的主要方法是先通分,再比较大小。
就本题而言,如果用通分再比较,太麻烦,我们可以根据“同分子的分数,分母大的分数反而小”这一性质,把这几个分数先化成同分子的分数,在进行比较就比较容易了。
因为2、3、10、12、15、的最小公倍数是60,根据分数的基本性质,可以把它们分别化6060606060为:
、、、、。
150********5148
60606060602由150>148>145>140>138,可以得到:
﹤﹤﹤﹤,即150********01385
1512310﹤﹤﹤﹤。
3729723
方法点评如果几个分数的公分母比较大时,采用先通分、再比较的方法比较复杂。
我们可以考虑将这些分数先化成同分子的分数,再比较大小。
1
随堂练习二:
把下列分数按从小到大的顺序排列起来。
56151030、、、、4617193337
5555553666661例3:
已知A=,B=。
试比较A与B的大小。
5555555666663
分析与解这两个分数的分子与分母的值都比较大,无论采用“先同分、再比较”,还是“先化成同分子的分数,再比较”的方法,都不容易。
但仔细观察,可以发现:
这两个分数的分子都比分母小2。
我们可以根据这一特点,先比较这两个分数与1的差,再确定这两个分数的大小,这种比较方法我们把它称为“间接比较法”。
因为比A比1少2222,B比1少,而﹤,所以A﹥B。
55555556666635555555666663
方法点评如果两分数的分子与分母的差相等时,我们可以用间接比较法,即先比较这两个分数与1的差,再确定这两个数的大小。
随堂练习三:
试比较下列两个分数的大小。
443557
445和559
例4:
比较55555和,那个分数大?
7777777
分析与解这道题中的两个分数与上面几个题中的分数有所不同,虽然也可以采用通分或化成同分子的分数的方法,但显然不是最佳方法。
仔细分析这两个数,可以发现这两个数的分母都比分子的14倍多7,所以我们可以线比较它们的倒数的大小,倒数大的那个分数的值比较小。
想一想,这是为什么?
55755577755555的倒数是14的倒数是14,因为14﹥14,所以﹤。
557777555555557777777777
方法点评从本题可以看出,如果两个分数的分子与分母具有相同的倍数关系,而且余数相同,采用比较倒数的方法比较简便。
随堂练习四:
试比较1917和的大小。
192172
例5:
试比较下面两个分数的大小。
12072207和10062006
分析与解观察这两个分数,你会发现用上面的几种方法无法解答。
但分析其中的数据,你会发现,第二个分数的分子2207=1207+1000,分母2006=1006+1000,即第一个2
12072207的分子与分母都加上同一个数:
1000,就正好等于第二个分数。
10062006
aak方法点评当a﹥b时,﹥,即一个分数的分子和分母都加上同一个数,bbk
12072207得到的新分数比原分数小,所以﹥。
同理,一个真分数的分子和分母都加上10062006
同一个数,得到的分数比原分数大。
分数
随堂练习五:
比较29129与的大小23123
拓展训练
1、把下面及格分数按照从大到小的顺序起来。
1836314715、、、、1937481632
2、比较下面两个分数的大小。
499501和9991001
2214433、比较和的大小。
332665
98765432198765432120094、比较与的大小。
1234567891234567892009
71717171715、比较与的大小。
8383838383
3
第2讲速算与巧算
专题简析:
学习数学离不开数的计算,而学习数学的最终目的在于运用所学的数学知识、技能来解决实际问题。
因此,要学好数学,就必须做到计算准确而又迅速。
本讲就介绍一些速算与巧算的技巧。
例1:
计算下面各题。
12003
(1)649
(2)20032003172004
分析与解同学们都会计算带分数除法,但相信同学们看了这两道题目后,都会
1分成一个917
的倍数与另一个较小得数,再利用除法的性质就可以使计算简便;把例
(2)中的被除数和除数利用商不变的性质,同时除以2003后,计算就很简便了。
12003
(1)649
(2)20032003172004
12003=(63+1)9=(20032003)(20032003)172004
12003=639+19=1(20032003+2003)172004
1811=7+=111792004
22004=7=200517
方法点评:
有些分数四则运算用一般的方法既麻烦又费时,而且有容易出错,这感到计算太麻烦,如果我们开动脑筋想一想,就会发现:
可以把
(1)64时可以通过款差题目中的数据特点,把一个数拆成几个数,在计算,往往可以达到事半功倍的效果。
随堂练习一:
计算:
(1)5555167
(2)16716716856
111111111111例2:
计算:
(1+)(1+)—(1+)()345645453456
分析与解这道题虽然算式很长,但仔细分析其中的数据,可以发现组成这个算式的数并不多,我们可以把重复出现的数用字母表示,这样可以简化题意,方便简算。
111111设=A1+=B,原来的算式可以转化成:
345645
(1+A)B-BA
=B+AB-AB
=B
119所以本题的结果为:
1+=14520
4
方法点评:
用字母是可以使复杂的算式变得简洁,有助于我们发现规律。
随堂练习二:
计算:
(1+35723572357357)×(+)-(1++)×()78957895789789例3:
计算
112112321...122233333
123484950494821......50505050505050505050
分析与解这组分数的特点是:
分母为1的分数有1个,分母为2的分数有3个,分母为3的分数有5个„„且同分母的分数的和依次为1,2,3,4,5…这是一个扥差数列,可以直接利用等差数列求和公式来计算,即(首项+末项)×项数÷2=数列的和。
原式=1+2+3+4+…+49+50
=(1+50)×50÷2
=1275
方法点评:
在数列求和中,发现与研究数列规律是解决有关问题的前提,灵活选用合适的方法是基本策略,转化与分组是主要方法和技巧。
随堂练习三:
计算:
112112*********01921...+......1222333332020202020202020例4:
225511)÷()11131113
200220022002200220022002
(2)200320032003200320032003计算:
(1)(13
分析与解
(1)被除数与除数中两个分数的分母分别相同,经试验发现:
2214514511551111==145×(),=5×().所以,111311*********31113
145145551111原式=()÷()=145×()÷5×()=145÷5=29111311*********3
(2)我们注意到,这个分数的分子与分母尽管数据很长,但每个数据分别是由2002和2003组成。
因而我们可以先采用分解质因数,找出其中的规律,再进行简便计算。
因为2002=2002×1
20022002=2002×10001
200220022002=2002×1000110001
所以2002+20022002+200220022002=2002×(1+10001+100010001)
同理2003+20032003+200320032003=2003×(1+10001+100010001)13
原式=
2002(110001100010001)2002=2003(110001100010001)20035
随堂练习四:
114411)÷()119119
17171717171717171717
(2)23232323232323232323
1111...例5:
计算1223341920计算:
(1)(9
分析与解这道题的加数很多,如果采用同分后计算公分母一定很大,这显然不切合实际。
下面我们来分析一下:
11111111=1-,=,….=122232319201920
111111111...=1-++…+12233419202231920
1=1-20
19=20
方法点评:
这种把一个分数拆成两个分数的差或和的方法,叫做裂项法。
但是需要指出的是,题中每个分数的分母是两个连续自然数的乘积,如果不是,方法就不同了,裂项法的主要计算方法可以用下面公式来概括。
1111当a﹤b时,=()×abbaab
随堂练习五:
计算111...122399100
拓展训练
11111111111.、计算(1+)×(+)-(1++)×()4545645645
246983599......2、计算()-()343343343343686686686
1919191919191919191919191919193、计算232323232323232323232323232323
111114、计算144771010131316
1111115、计算(1+)×(1-)×(1+)×(1-)ׄ×(1+)×(1-)22335050
6
第3讲比的意义和应用
比有奇妙的作用,在许多分数、百分数应用题中,如果恰当运用比的知识,你会真正理解什么是“事半功倍”。
在这一讲,我们一起研究这方面的知识。
例1:
两只相同的杯子中装满盐水,一只杯子中盐与水的比是1︰2,另一只杯子中盐与比是1︰5。
若把两杯盐水混合在一起,这时盐与水的比是多少?
分析与解要求混合液中的盐与水的比是多少,只要求出混合液中盐与水分别是多少就行了,因为两只杯子相同,所以设每只杯子中的盐水为1,则第一支杯子中的盐占1215,水占;第二只杯子中的盐占,水占。
两只杯子中的盐水混合后,12121515
111253盐为+=,水为+=。
所以,混合液中的盐与水的比为:
1215212152
1125(+)︰(+)12151215
13=︰22
=1︰3。
答:
混合后,盐与水的比为1︰3。
方法点评:
求两个量的比时,首先要能正确分析与计算每个量所占的份数或分率,然后再进行解答。
随堂练习一:
六年
(1)班男、女人数的比是5︰4,六年
(2)班男、女人数的比是2︰1,两班人数相等。
求六年
(1)班男男生与六年
(2)班男生的人数比。
1例2:
如右图,原形中的阴影部分面积占圆面积的,4
1占正方形面积的,三角形中阴影部分的面积占三角形面3
11积的,占正方形面积的。
圆,正方形、三角形面积的54
最简整数比是多少?
分析与解要求圆、正方形、三角形面积的最简整
数比是多少,只需知道这三个图形的面积各是多少就行了,因为圆和三角形都与正方形
11的面积有关,我们就设正方形的面积为12,那么圆的面积就是:
12×÷=16;三角形34
1111的面积为:
12×÷=15。
所以这三个图形的面积比就是:
(12×÷)︰12︰(124534
11×÷)=16︰12︰1545
方法点评在求几个量的比时,我们可以先假设其中一个量等于几,
然后根据条件7
计算出其他量,再求比,这样解决问题比较容易。
随堂练习二:
如图,两个长方形重叠部分的面积相当于大长11方形面积的,相当于小长方形面积的。
这两个74
长方形的面积比是多少?
例3:
有大小两个长方形,大长方形的长比11,而小长方形的宽比大长方形的宽多.。
求这两个长方形的面积比。
410
1分析与解大长方形的长比小长方形的长多,可以把小长方形的长看做4份,4
1大长方形的长就是1+4=5份;小长方形的宽比大长方形的宽多.。
可以理解成八大长10
方形的宽看做10份,小长方形的宽是1+10=11份。
所以,这两个长方形的面积比为:
(5×10)︰(4×11)
=55︰44
=25︰22
答:
大小两个长方形的面积比为25︰22。
小长方形的长多
随堂练习三:
有大小两个正方形,大正方形的边长比小正方形的边长多
比。
23451。
求两个正方形的周长4例4:
六年
(1)班男人数的与女生人数的相等,已知男生比女生多5人,这
个班男、女生各有多少人?
分析与解根据男人数的与女生人数的相等,可以列出数量关系:
男生人数×24=女生人数×。
35
2423假设男人数的与女生人数的都是1,则男生人数为1=;女生人数为3532
451=。
所以,男、女生人数的比为:
54
24
(1)︰
(1)35
35=︰24
=6︰5
每一份的人数就是:
5÷(6-5)=5(人)
男生人数就是:
5×6=30(人)
女生人数就是:
5×5=25(人)
答:
男生有30人,女生有25人。
82345
随堂练习四:
拔一根绳子按5︰3截成甲、乙两段,已知乙比甲短1.2米。
这根绳子原来全长多少米?
例5:
小丽读一本书,已读的页数和未读的页数的比是1︰5,若再读45页,则已读的页数和未读的页数的比是3︰5。
这本书共有多少页?
分析与解根据“已读的页数和未读的页数的比1︰5”可知,把未读的页数看做
1。
若再读15
45页,则已读的页数和未读的页数的比是3︰5.即把这时已读的页数看做3份,未读的
3页数看做5份,总页数就是3+5=8份,这时已读的页数占总数的。
45页占总页数的35
315-=,这本书共有的页数是:
351524
3145÷(-)3515
5=45÷24
=216(页)
答:
这本书共有216页。
1份,未读的页数看5份,总页数就是1+5=6份,已读的页数占总页数的
随堂练习五:
一条路,已修的米数和未修的米数比为2︰3,后来又修了2000米,这时已修的米数与未修的米数比为3︰2。
这条路全长多少米?
拓展训练
1、两个西服厂,一个月后,再加满蒸馏水。
求这时瓶里蒸馏水与纯酒精的比。
4、一个长方形长与宽的为7︰3,如果把长减少12厘米,宽增加16厘米,正好变成一个正方形。
这个长方形的面积是多少平方厘米?
5、水池里直立着两根木桩,露出水面部分的长度比为10︰1,当水面下降20厘米后,露出水面那部分的长度之比为5︰2。
求木桩原来露出的部分是多少厘米?
9
第4讲按比例分配
例1:
有一块长方形的土地,测得周长为60米,.长与宽的比是3︰2.求这块地的
面积。
分析与解求长方形的面积必须知道长与宽,已知长方形的周长为60米,那么,
长与宽的和就是:
60÷2=30(m);它的长就是:
30×
2=12(米。
)至此,长方形的面积很容易求出。
23
60÷2=30(m)
330×=18(米)23
330×=18(米)23
18×12=216(平方米)3=18(米);它的宽就是:
30×23
答:
这块长方形土地的面积是216平方米。
方法点评:
此题的解题关键是先求出长与宽的和,然后在按比例分配球出长与宽,
进而求出它的面积。
随堂练习一:
长方体的棱长总和为220厘米,已知长、宽、高的比为5︰4︰2.这个长方体的体积
是多少立方厘米?
例2:
西园村挖一条水渠,全长420米,第一、二两队所挖米数比是3︰4,第二、
三两队所挖米数比是6︰7。
三个队各挖了多少米?
分析与解我们注意到,这题给出两个比,两个比中都含有第二队,但第二队在
这两个比中所占的份数却不同。
因此,要解决问题,必须首先把这两个比进行统一,转化成连比。
这里利用比的基本性质,把两个比中的第二队所占的份数转化为相同。
第一队︰第二队︰第三队
3︰4=(3×3)︰(4×3)=9︰12
6︰7=(6×2)︰(7×2)=12︰14
这样,我们可以得到第一、二、三队所挖的米数比为9︰12︰14,下面只需将420
米按比例分配就行了。
9+12+14=35
9420×=108(米)35
12420×=144(米)35
14420×=168(米)35
答:
第一队挖了108米,第二队挖了144米,第三队挖了168米。
10
方法点评:
这道题的解题关键是:
应用比的基本性质,把三个队的米数之间的联系有两个独立的比转化成一个连比。
随堂练习二:
人民路小学六年级的学生分三批去幼儿园参观海狮表演,第一批与第二批的人数比为5︰4,第二批与第三批的人数比为3︰2.已知六年级共有学生210人,第二批有多少人?
例3:
工厂把10000元奖金分给三个车间,第一车间与第二车间所得奖金的比是3︰2,第三车间比第二车间多200元。
三个车间各得多少元?
分析与解根据题意,把第一车间所得奖金看做3份,第二车间所得奖金数是2份,第三车间所得将金属应为2份多200元。
从10000元奖金中先拿出200元给第三车间,那么剩下的9800元中,三个车间应得奖金的比是322,再按比例进行分配。
最后第三车间的奖金加上先分得的200元就行了。
3+2+2=7
10000-200=9800(元)
39800×=4200(元)7
29800×=2800(元)7
2800+200=3000(元)
答:
第一车间分得4200元,第二车间分得2800元,第三车间分得3000元。
随堂练习三:
甲、乙、丙三堆煤共450吨,甲堆煤与乙堆煤的重量比为5︰4,丙堆煤的重量是乙堆煤的1.5倍。
三堆煤各重多少吨?
1例4:
A、B两桶油共重90千克,若把A桶中油的倒入B桶,则两桶油的重量4
比是1︰2.A、B两桶油原来各多少千克?
1分析与解把A桶油的倒入B桶,两桶油的总重量没有变,还是90千克。
因4
11此可以按比例分配求出现在A桶油的重量:
90×=30(千克)。
A桶倒出后是30124
3千克,即30千克占A桶油原有油的,这样可以倒推A桶原有油的重量。
则就可求出B4
桶油的重量。
190×=30(千克)12
330÷=40(千克)4
90-40=50(千克)
答:
A桶原有油40千克,B桶原有油50千克。
方法点评解决这道题的关键是抓住两桶油的总重量不变,先求出A桶油现在的重量,再倒推出原有油的重量。
随堂练习四:
11
1放入第二个书架,则第一个书4
架上的书与第二个书架上的书的本数比是9︰11.两个书架上原来各有多少本书?
两个书架一共放书360本,如果从第一个书架取出
例5:
水果批发部运来苹果、橘子、和香蕉三种水果。
出售时,苹果、橘子、和香蕉每千克的价格比为4︰5︰6.已知上周这三种水果售出数量比是3︰2︰4,又知苹果共卖得2160元,这个批发部上周出售水果的收入是多少元?
分析与解根据这三种水果的单价比为4︰5︰6.,以及数量比为3︰2︰4,可以先计算出这三种水果的总价比(4×3)︰(5×2)︰(6×4)=12︰10︰24=6︰5︰12由此66可知,苹果的总价占售出水果总价的。
因此售出水果的总价很容易求出。
651223
(4×3)︰(5×2)︰(6×4)=6︰5︰12
62160÷=8280(元)23
答:
这个批发部上周售出水果的总价为8280元。
方法点评解答这个题的关键是根据三种水果的单价比和数量比,先求出总价比,进而求出总价。
随堂练习五:
甲乙两个三角形,他们的底边之比为2︰3,高之比为3︰5.已知甲三角形的面积比乙三角形的面积小30平方厘米,求这两个三角形的面积。
拓展训练
1、一个长方体,长、宽、高的比是4︰3︰7.已知这个长方体的底面周长为56厘米,这个长方体的体积是多少立方厘米?
2、甲数和乙数的比是23,乙数和丙数的比是45,甲数和丙数的比是多少?
33、大、小两筐苹果共60千克,把大筐苹果重量的放入小筐后,大、小两筐苹果7
的重量比为2︰3。
大、小两筐原来各装多少千克苹果?
4、商店现有梨、苹果、橘子若干千克,重量比为4︰9︰5.两天后,三种水果工卖出
1780千克,这时苹果还余50千克,梨还余20千克,橘子余下的是卖出的。
原来三种水4
果各有多少千克?
5、学校田径队和游泳队共有32个男生、18个女生。
已知田径队中男生人数与女生人数的比为5︰3,游泳队中男生人数与女生人
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