版高中数学第一章立体几何初步123第2课时平面与平面垂直学案新人教B版必修2.docx
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版高中数学第一章立体几何初步123第2课时平面与平面垂直学案新人教B版必修2
1.2.3第2课时 平面与平面垂直
学习目标
1.理解面面垂直的定义,并能画出面面垂直的图形.2.掌握面面垂直的判定定理及性质定理,并能进行空间垂直的相互转化.3.掌握面面垂直的证明方法,并能在几何体中应用.
知识点一 平面与平面垂直的定义
1.条件:
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直.
2.结论:
两个平面互相垂直.
3.记法:
平面α,β互相垂直,记作α⊥β.
知识点二 平面与平面垂直的判定定理
思考 建筑工人常在一根细线上拴一个重物,做成“铅锤”,用这种方法来检查墙与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时,如果墙壁贴近铅锤线,则说明墙和地面什么关系?
此时铅锤线与地面什么关系?
梳理 平面与平面垂直的判定定理
文字语言
如果一个平面过另一个平面的________,则这两个平面互相垂直
图形语言
符号语言
a⊥α,________⇒α⊥β
知识点三 平面与平面垂直的性质定理
思考 黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直?
梳理
文字语言
图形语言
符号语言
如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内________垂直于另一个平面
α⊥β,α∩β=CD,BA⊂α,BA⊥CD,B为垂足⇒BA⊥β
类型一 面面垂直的判定
例1 如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上,求证:
平面AEC⊥平面PDB.
反思与感悟 应用判定定理证明平面与平面垂直的基本步骤
跟踪训练1 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=
AA1,D是棱AA1的中点.证明:
平面BDC1⊥平面BDC.
类型二 面面垂直的性质定理及应用
例2 如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.
求证:
BC⊥AB.
反思与感悟 证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:
(1)两个平面垂直.
(2)直线必须在其中一个平面内.(3)直线必须垂直于它们的交线.
跟踪训练2 如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,G为AD边的中点.
求证:
(1)BG⊥平面PAD;
(2)AD⊥PB.
类型三 垂直关系的综合应用
例3 如图所示,△ABC为正三角形,CE⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=AC=2BD,M,N分别是AE,AC的中点,求证:
(1)DE=DA;
(2)平面BDMN⊥平面ECA;
(3)平面DEA⊥平面ECA.
反思与感悟 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直,最终达到目的,其转化关系如下:
跟踪训练3 如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点,求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
1.下列四个命题
①垂直于同一条直线的两条直线相互平行;
②垂直于同一个平面的两条直线相互平行;
③垂直于同一条直线的两个平面相互平行;
④垂直于同一个平面的两个平面相互平行.
其中错误的命题有( )
A.1个B.2个
C.3个D.4个
2.如图,设P是正方形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( )
A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直
B.它们两两垂直
C.平面PAB与平面PBC垂直,与平面PAD不垂直
D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
3.如图,在四面体ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,那么D在面ABC内的正投影H必在( )
A.直线AB上B.直线BC上
C.直线AC上D.△ABC内部
4.如图所示,已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,且AF=DE,AD=6,则EF=________.
5.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面四边形ABCD是平行四边形,SC⊥平面ABCD,E为SA的中点.
求证:
平面EBD⊥平面ABCD.
1.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系,体现了数学中的化归转化思想,其转化关系如下:
2.运用平面垂直的性质定理时,一般需要作铺助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.
答案精析
问题导学
知识点二
思考 都是垂直.
梳理 垂线 a⊂β
知识点三
思考 容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直,因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线,则所画直线必与地面垂直.
梳理 垂直于它们交线的直线
题型探究
例1 证明 设AC∩BD=O,连接OE,
∵AC⊥BD,AC⊥PD,PD,BD为平面PDB内两条相交直线,
∴AC⊥平面PDB.
又∵AC⊂平面AEC,
∴平面AEC⊥平面PDB.
跟踪训练1 证明 由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,
所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1⊂平面ACC1A1,
所以DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1,所以平面BDC1⊥平面BDC.
例2 证明 如图,在平面PAB内,
作AD⊥PB于D.
∵平面PAB⊥平面PBC,
且平面PAB∩平面PBC=PB.
∴AD⊥平面PBC.
又BC⊂平面PBC,
∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC,又∵PA∩AD=A,∴BC⊥平面PAB.
又AB⊂平面PAB,∴BC⊥AB.
跟踪训练2 证明
(1)平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°,
∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD.
∴BG⊥平面PAD.
(2)由
(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD.
又BG∩PG=G,
∴AD⊥平面PBG,又PB⊂平面PBG,
∴AD⊥PB.
例3 解
(1)取CE的中点F,连接DF,易知DF∥BC,
因为CE⊥平面ABC,
所以CE⊥BC,
所以CE⊥DF.
因为BD∥CE,所以BD⊥平面ABC,
所以BD⊥AB.
在Rt△EFD和Rt△DBA中,
因为EF=
CE=DB,DF=BC=AB,
所以Rt△EFD≌Rt△DBA,
所以DE=DA.
(2)因为EC⊥平面ABC,所以EC⊥BN,
因为△ABC为正三角形,
所以BN⊥AC.
因为EC∩AC=C,
所以BN⊥平面ECA.
又因为BN⊂平面BDMN,
所以平面BDMN⊥平面ECA.
(3)因为M,N分别是AE,AC的中点,
所以MN綊CF綊BD,
所以四边形MNBD是平行四边形,
所以DM∥BN,
由
(2)知BN⊥平面ECA,
所以DM⊥平面ECA.
又因为DM⊂平面DEA,
所以平面DEA⊥平面ECA.
跟踪训练3 证明
(1)∵PA⊥AD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD.
(2)∵AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,E和F分别是CD和PC的中点,故四边形ABED为平行四边形,故有BE∥AD.
又AD⊂平面PAD,BE⊄平面PAD,
∴BE∥平面PAD.
(3)在平行四边形ABED中,由AB⊥AD可得,ABED为矩形,故有BE⊥CD.①
由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AB,再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD,
∴CD⊥平面PAD,故有CD⊥PD.
再由E、F分别为CD和PC的中点,可得EF∥PD,
∴CD⊥EF.②
而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线,故有CD⊥平面BEF.
由于CD⊂平面PCD,
∴平面BEF⊥平面PCD.
当堂训练
1.B 2.A 3.A
4.6
解析 ∵AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,∴AF∥DE.
又AF=DE,∴四边形AFED为平行四边形,故EF=AD=6.
5.证明 连接AC与BD交于O点,连接OE.
∵O为AC的中点,E为SA的中点,
∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD,
∴EO⊥平面ABCD.
又∵EO⊂平面EBD,∴平面EBD⊥平面ABCD.
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