勾股定理中的动点题终审稿.docx
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勾股定理中的动点题终审稿
文稿归稿存档编号:
[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-MG129]
勾股定理中的动点题
勾股定理中的动点题
动点题是近年来中考的的一个热点问题,解这类题目要“以静制动”,即把动态问题,变为静态问题来解。
一般方法是抓住变化中的“不变量”,以不变应万变,首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量,第二,按照图形中的几何性质及相互关系,找出一个基本关系式,把相关的量用一个自变量的表达式表达出来,然后再根据题目的要求,依据几何、代数知识解出。
第三,确定自变量的取值范围,画出相应的图象。
这类题目难度较大从数学知识点来看,一般考察几何图像的判定和性质(如梯形,相似三角形,直角三角形等)以及函数和方程的知识等综合性很强.从数学思想方法看有:
数形结合的思想方法,转化的思想方法,分类讨论的思想方法,方程的数学,函数的思想方法等关键:
动点中的分类讨论:
抓住运动中的关键点,动中求静.
1、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC=4,∠A=120°.动点P、E、M分别从B、A、D三点同时出发,其中点P沿BA向终点A运动,点E沿AD向终点D运动,点M沿DC向终点C运动,且它们的速度都为每秒2个单位.连接PE、PM、EM,设动点P、E、M运动时间为t(单位:
秒),△PEM的面积为S.
(1)判断△PAE与△EDM是否全等,说明理由;
(2)连接BD,求证:
△EPM∽△ABD;
(3)求S与t的函数关系式,并求出△PEM的面积的最小值.
考点:
相似三角形的判定与性质;二次函数的最值;全等三角形的判定;勾股定理;梯形。
解答:
解:
(1)△PAE≌△EDM,
理由如下:
根据题意,得BP=AE=DM=2t,
∵AB=AD=DC=4,∴AP=DE=4﹣2t(1分)∵在梯形ABCD中,AB=DC,
∴∠PAE=∠EDM;(2分)又AP=DE,AE=DM,∴△PAE≌△EDM.(3分)
(2)证明:
∵△PAE≌△EDM,∴PE=EM,∠1=∠2(4分)
∵∠3+∠2=∠1+∠BAD,∴∠3=∠BAD;(5分)
∵AB=AD,∴;(6分)∴△EPM∽△ABD.(7分)
(3)过B点作BF⊥AD,交DA的延长线于F,过P点作PG⊥AD交于G;
在Rt△AFB中,∠4=180°﹣∠BAD=180°﹣120°=60°,
∴BF=AB?
sin∠4=4?
sin60°=
∴S△ABD=.(8分)
在Rt△APG中,PG=AP?
sin∠4=(4﹣2t)
sin60°=(2﹣t).
AG=AP?
cos∠4=(4﹣2t)
cos60°=2﹣t,
∴GE=AG+AE=2﹣t+2t=2+t.
∵PE2=PG2+GE2∴[(2﹣t)]2+(2+t)2=4t2﹣8t+16.
∵△EPM∽△ABD,∴=(9分)
∴S△EPM=4×=;
∴S与t的函数关系式为S=(0≤t≤2)(10分)
即S=
∴当t=1,S有最小值,最小值为.(12分)
另一解法(略解)在Rt△APG中,PG=AP?
sin∠4=(4﹣2t)
sin60°=(2﹣t).
AG=AP?
cos∠4=(4﹣2t)
cos60°=2﹣t.
在Rt△MFD中,FM=DM?
sin∠MDF=2t?
sin60°=,DF=DM?
cos∠MDF=2t?
cos60°=t.
∴GF=AG+AD+DF=2﹣t+4+t=6,GE=AG+AE=2﹣t+2t=2+t,
EF=ED+DF=4﹣2t+t=4﹣t;∴S△EPM=S梯形PGFM﹣S△PEG﹣S△EFM=.(0≤t≤2)
2、(2010?
湘潭)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠D=90°,AC⊥BC,AB=10cm,BC=6cm,F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动,E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动,设运动时间为t秒(0<t<5).
(1)求证:
△ACD∽△BAC;
(2)求DC的长;
(3)设四边形AFEC的面积为y,求y关于t的函数关系式,并求出y的最小值.
考点:
二次函数的最值;勾股定理;相似三角形的判定与性质。
解答:
解:
(1)∵CD∥AB,∴∠BAC=∠DCA(1分)
又AC⊥BC,∠ACB=90°,∴∠D=∠ACB=90°,(2分)
∴△ACD∽△BAC(3分).
(2)……………………4分
∵△ACD∽△BAC∴……………………5分
即解得:
……………………6分
(3)过点E作AB的垂线,垂足为G,
∴△ACB∽△EGB……………………7分
∴即故…………………8分
==故当t=时,y的最小值为19
3、(2007?
河北)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=50,AD=75,BC=135.点P从点B出发沿折线段BA﹣AD﹣DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动;点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动,过点Q向上作射线QK⊥BC,交折线段CD﹣DA﹣AB于点E.点P、Q同时开始运动,当点P与点C重合时停止运动,点Q也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)当点P到达终点C时,求t的值,并指出此时BQ的长;
(2)当点P运动到AD上时,t为何值能使PQ∥DC;
(3)设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S,分别求出点E运动到CD、DA上时,S与t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)
(4)△PQE能否成为直角三角形若能,写出t的取值范围;若不能,请说明理由.
考点:
等腰梯形的性质;全等三角形的判定与性质;直角三角形的性质;平行四边形的判定。
解:
(1)t=(50+75+50)÷5=35(秒)时,点P到达终点C.……………(1分)
此时,QC=35×3=105,∴BQ的长为135-105=30.………………(2分)
(2)如图8,若PQ∥DC,又AD∥BC,则四边形PQCD
为平行四边形,从而PD=QC,由QC=3t,BA+AP=5t
得50+75-5t=3t,解得t=.经检验,当t=时,有PQ∥DC.………(4分)
(3)①当点E在CD上运动时,如图9.分别过点A、D
作AF⊥BC于点F,DH⊥BC于点H,则四边形ADHF为矩形,且△ABF≌△DCH,
从而FH=AD=75,于是BF=CH=30.∴DH=AF=40.
又QC=3t,从而QE=QC·tanC=3t·=4t.(注:
用相似三角形求解亦可)
∴S=S⊿QCE=QE·QC=6t2;………………………………………………………(6分)
②当点E在DA上运动时,如图8.过点D作DH⊥BC于点H,
由①知DH=40,CH=30,又QC=3t,
从而ED=QH=QC-CH=3t-30.
∴S=S梯形QCDE=(ED+QC)DH=120t-600.…………………………(8分)
(4)△PQE能成为直角三角形.……………………………………………………(9分)
当△PQE为直角三角形时,t的取值范围是0<t≤25且t≠或t=35.…(12分)
(注:
(4)问中没有答出t≠或t=35者各扣1分,其余写法酌情给分)
下面是第(4)问的解法,仅供教师参考:
①当点P在BA(包括点A)上,即0<t≤10时,如图9.过点P作PG⊥BC于点G,则PG=PB·sinB=4t,又有QE=4t=PG,易得四边形PGQE为矩形,此时△PQE总能成为直角三角形.
②当点P、E都在AD(不包括点A但包括点D)上,即10<t≤25时,如图8.
由QK⊥BC和AD∥BC可知,此时,△PQE为直角三角形,但点P、E不能重合,
即5t-50+3t-30≠75,解得t≠.
③当点P在DC上(不包括点D但包括点C),
即25<t≤35时,如图10.由ED>25×3-30=45,
可知,点P在以QE=40为直径的圆的外部,故∠EPQ不会是直角.
由∠PEQ<∠DEQ,可知∠PEQ一定是锐角.对于∠PQE,∠PQE≤∠CQE,
只有当点P与C重合,即t=35时,如图11,∠PQE=90°,△PQE为直角三角形.
综上所述,当△PQE为直角三角形时,t的取值范围是0<t≤25且t≠或t=35.
4、(2009?
青岛)如图,在梯形ABCD中,,,,,点由B出发沿BD方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动,速度为1cm/s,交于Q,连接PE.若设运动时间为(s)().解答下列问题:
(1)当为何值时,
(2)设的面积为(cm2),求与之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻,使若存在,求出此时的值;若不存在,说明理由.
(4)连接,在上述运动过程中,五边形的面积是否发生变化说明理由.
考点:
平行线的判定;根据实际问题列二次函数关系式;三角形的面积;勾股定理;相似三角形的判定与性质。
解:
(1)∵∴.
而,∴,∴.
∴当.2分
(2)∵平行且等于,∴四边形是平行四边形.∴.
∵,∴.
∴.∴..∴.
过B作,交于,过作,交于.
.∵,∴.
又,,,
.6分
(3).
若,则有,解得
(4)在和中,
∴.
∴在运动过程中,五边形的面积不变.12分
5、如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,AD=9cm,CD=12cm,BC=15cm.点P由点C出发沿CA方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,线段EF由AB出发沿AD方向匀速运动,速度为1cm/s,且与AC交于Q点,连接PE,PF.当点P与点Q相遇时,所有运动停止.若设运动时间为t(s).
(1)求AB的长度;
(2)当PE∥CD时,求出t的值;
(3)①设△PEF的面积为S,求S关于t的函数关系式;
②如图2,当△PEF的外接圆圆心O恰在EF的中点时,则t的值是多少(直接写出答案)
考点:
相似三角形的判定与性质;三角形的面积;等腰三角形的判定;勾股定理;直角梯形;三角形的外接圆与外心。
解:
(1)过A作AM⊥BC于M,则四边形AMCD是矩形;∴AD=MC=9cm,AM=CD=12cm;
Rt△ABM中,AM=12cm,BM=BC﹣MC=6cm;
由勾股定理,得:
AB=6cm(只写答案给1分)(3分)
(2)∵∠D=90°,AD=9cm,CD=12cm,∴AC==15cm
∴AP=15﹣t当PE∥CD时△AEP∽△ADC
∴=即解得(符合题意)∴当PE∥CD时,t=45/8
(3)①过点E,F作EG⊥AC于G,FH⊥AC于H.因为AC=BC;EF‖AB易证AQ=AE=t(1分)
在RT⊿ADC中,sin∠DAC=DC/AC=12/15∴EG=AE×sin∠DAC=12/15t;
∵AD∥BC∴∠ACB=∠DAC∴FH=CF×sin∠ACB=CF×sin∠DAC=12/15(15-t)=12-12/15t
PQ=15-2tEG+FH=12
∴S△PEF=S△PQE+S△PQF=+==﹣12t+90;
②易知:
AE=CP=t,AP=CF=CQ=15﹣t,∠EAP=∠FCP,
∴△AEP≌△CPF,∴EP=PF;
∵EF是⊙O的直径∴∠EPF=90°;
∴△EPF是等腰直角三角形;易知EF=AB=6cm;
∴S=1/2×6×3=45cm2;
代入①的函数关系式,得:
﹣12t+90=45,解得t=.(3分)
点评:
此题考查了直角梯形的性质、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形和相似三角形的判定和性质等知识的综合应用能力.
6、如图,在直角梯形中OABC,已知B、C两点的坐标分别为B(8,6)、C(10,0),动点M由原点O出发沿OB方向匀速运动,速度为1单位/秒;同时,线段DE由CB出发沿BA方向匀速运动,速度为1单位/秒,交OB于点N,连接DM.
若设运动时间为t(s)(0<t<8).
(1)当t为何值时,以B、D、M为顶点的三角形△OAB与相似
(2)设△DMN的面积为y,求y与t之间的函数关系式;
(3)连接ME,在上述运动过程中,五边形MECBD的面积是否总为定值若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
考点:
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定;直角梯形。
专题:
综合题;动点型;分类讨论。
解:
(1)分类讨论。
若△BAO∽△BDM,则,(1分)
在直角梯形中OABC由B(8,6)、C(10,0)可知AB=8,OA=6:
OB=OC=10
8/t=10/10-t解得t=40/9(2分)
若△BAO∽△BMD,,(3分)即8/10-t=,解得t=;(4分)
所以当t=40/9t=50/9,以B,D,M为顶点的三角形与△OAB相似.
(2)过点M作MF⊥AB于F,则△BFM∽△BAO;
从而MF/6=(10-t)/10,所以MF=6﹣5/3×t,(5分)
S△BDM=1/2BD?
MF=1/2t(6﹣5/3×t),(6分)
容易证△BDN∽△OBC
S△OBC=1/2×10×6=30,S△BDM/S△OBC=()2,所以S△BDN=t2(7分)
①当0<t≤5时,y=S△DMN=S△BDM﹣S△BDN=t(6﹣t)﹣t2=﹣t2+3t;
②当5<t<8时,y=S△DMN=S△BDN﹣S△BDM=t2﹣t(6﹣t)=.(8分)
(3)在△BDM与△OME中,
BD=OM=t,∠MBD=∠EOM,BM=EO=10﹣t,
所以△BDM≌△OME;(9分)
从而五边形MECBD的面积等于三角形OBC的面积,因此它是一个定值,
SMECBD=30.(10分)
点评:
此题考查的知识点有:
直角梯形的性质、相似三角形及全等三角形的判定和性质、图形面积的求法等知识,
(2)题中一定要根据M、N的不同位置分类讨论,以免漏解.
7、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD=4,BD⊥CD,E是BC的中点.
(1)求∠DBC的度数;
(2)求BC的长;
(3)点P从点B出发沿B→C以每秒3个单位的速度向点C匀速运动,同时点Q从点E出发沿E→D以每秒1个单位的速度向点D匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点也停止运动.设运动时间为t(s),连接PQ.当t为何值时△PEQ为等腰三角形.
考点:
梯形;等腰三角形的判定。
解:
(1)设∠DBC=x,因为AD∥BC,AB=AD,
所以∠ABD=∠ADB=x,四边形ABCD为等腰梯形,∠BCD=2x,
又BD⊥CD,所以x+2x=90°,即x=30°.即∠DBC=30°.
(2)在Rt△BCD中,E是BC的中点,所以DE=BE=CE
又∠C=60°,所以△CDE为等边三角形.所以DE=DC=4,即BC=2DE=8.
(3)若点P在BE上,因为∠PEQ=120°,所以PE=QE;即4﹣3t=t,解之t=1s;
若P在EC上,因为∠PEQ=60°,所以PE=QE,
即3t﹣4=t,解之t=2s.所以当t=1s或t=2s时,△PEQ是等腰三角形.
8、(2009?
乐山)如图在梯形ABCD中,DC∥AB,∠A=90°,AD=6厘米,DC=4厘米,BC的坡度i=3:
4,动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动,动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿BCD方向向点D运动,两个动点同时出发,当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止.设动点运动的时间为t秒.
(1)求边BC的长;
(2)当t为何值时,PC与BQ相互平分;
(3)连接PQ,设△PBQ的面积为y,探求y与t的函数关系式,求t为何值时,y有最大值最大值是多少
考点:
梯形;二次函数的最值。
专题:
分类讨论。
解:
(1)作CE⊥AB于E,则四边形ADCE是矩形.又…….2分
在中,由勾股定理得:
………3分
(2)要使PC与BQ相互平分由,只需保证四边形CPBQ是平行四边形,
此时在上)由
(1),得AB=4+8=12,则PB=12﹣2t.
即解得即秒时,与相互平分.
(3)①当在上,即时,作于,则
即8分
=9分
当秒时,有最大值为10分
②当在上,即时,
=易知随的增大而减小.故当秒时,
有最大值为
综上,当时,有最大值为12分
9、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,AD=6,BC=12,梯形ABCD的面积为36,动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动,动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向点B运动,两点同时出发,点P到达点C时,Q点随之停止运动.
(1)线段CD的长为 5 ;
(2)设P、Q运动时间为t(0<t<5)秒,PQ与梯形ABCD的边DC、BC所围成的三角形的面积为S,求S与t之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻,使以P、Q、C三点为顶点的三角形是直角三角形,若有,请求出相应时间;若没有,请说明理由.
考点:
梯形;一次函数综合题;平行线分线段成比例;相似三角形的判定与性质。
专题:
代数几何综合题;存在型;分类讨论。
分析:
(1)作AE⊥BC,DF⊥BC,则四边形ADFE是矩形,△ABE≌△DCF,由勾股定理可求得CD的值;
(2)过点P作PG⊥BC于点G,则PG是△PCQ的高,由平行线的性质可求得高PG用t表示的代数式,而CQ=2t,故可求得S与t的关系式;
(3)分两种情况讨论:
当PQ⊥BC时,作DE⊥BC于E,由平行线分线段成比例可求解;当QP⊥CD时,可由相似三角形的性质求解.
解答:
解:
(1)作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分为点E、F,则四边形ADFE是矩形,EF=AD=6,AE=DF,
由题意四边形ABCD是等腰梯形,AB=CD,∠AEB=∠DFC,
∴△ABE≌△DCF,
∴CF=BE=(BC﹣EF)÷2=3
∵梯形的面积为36,
∴DF=36×2÷(AD+BC)=36×2÷(6+12)=4
在Rt△CDF中,由勾股定理得CD==5;
(2)过点P作PG⊥BC于点G,则PG是△PCQ的高,有PG∥DF,
∴PG:
DF=CP:
CD,
∵DP=t,CD=5,DF=4,PC=CD﹣DP
∴PG=,
∵CQ=2t,
∴S△PCQ=CQPG=2t=
(3)当P、Q、C三点构成的三角形是直角三角形时,有两种情况:
①当PQ⊥BC时,作DE⊥BC于E,
∴PQ∥DE,
∴=,∴t=(7分)
②当QP⊥CD时,
∵∠QPC=∠DEC=90°,∠C=∠C,∴△QPC∽△DEC,
∴=,=,∴t=(9分)
由①、②知:
当t=或时,P、Q、C三点构成的三角形是直角三角形
点评:
本题考查了等腰梯形的性质,利用了平行线分线段成比价的性质、相似三角形的知识.注意处级(3)小题要分两种情况讨论.
10、菱形ABCD的边长为24厘米,∠A=60°,质点P从点A出发沿着AB﹣BD﹣DA作匀速运动,质点Q从点D同时出发沿着线路DC﹣CB﹣BD作匀速运动.
(1)求BD的长;
(2)已知质点P、Q运动的速度分别为4cm/秒、5cm/秒,经过12秒后,P、Q分别到达M、N两点,若按角的大小进行分类,请问△AMN是哪一类三角形,并说明理由.
考点:
菱形的性质。
专题:
计算题;动点型。
分析:
(1)根据菱形各边长相等和∠A=60°即可求证△ABD为等边三角形;
(2)根据菱形的边长和P、Q的移动速度可以求得M、N的位置,即可求得△AMN的形状.
解答:
解:
(1)菱形各边长相等,边长为24cm,∠A=60°,
∴△ABD为等边三角形,∴BD=24厘米,
(2)P点的移动速度为4cm/秒、Q的移动速度为5cm/秒,
故12秒后P与D重合、Q点为线段BD的中点,∴△AMN为直角三角形.
点评:
本题考查了菱形各边长相等的性质,考查了等边三角形的判定,考查了等腰三角形的腰长相等的性质,本题中正确求得M、N的位置是解题的关键.
11、如图矩形ABCD中,AB=10cm,AD=6cm,在BC边上取一点E,将△ABE沿AE翻折,使点B落在DC边上的点F处.
(1)求CF和EF的长;
(2)如图2,一动点P从点A出发,以每秒1cm的速度沿AF向终点F作匀速运动,过点P作PM∥EF交AE于点M,过点M作MN∥AF交EF于点N.设点P运动的时间为t(0<t<10),四边形PMNF的面积为S,试探究S的最大值
(3)以A为坐标原点,AB所在直线为横轴,建立平面直角坐标系,如图3,在
(2)的条件下,连接FM,若△AMF为等腰三角形,求点M的坐标.
考点:
相似三角形的判定与性质;二次函数的最值;角平分线的性质;勾股定理;矩形的性质。
专题:
代数几何综合题;动点型;分类讨论。
分析:
(1)根据翻折对称性EF=BE,AF=AB,利用勾股定理求出DF的长,CF=AB﹣DF,在△CEF中,设EF为x,
则CE=6﹣x,利用勾股定理列式求解即可求出EF;
(2)根据相似三角形对应边成比例求出PM的长,矩形的面积等于PM?
PF,再根据二次函数最值问题求解;
(3)因为三角形的腰不明确,分AM=MF和AM=AF两种情况讨论,①当AM=MF时,根据等腰三角形三线合一的性质点M是AE的中点,根据三角形中位线定理即可求出点M的坐标;②当AM=AF时,根据相似三角形对应边成比例求解点M的坐标.
解:
(1)由题意,得AB=AF=10,
∵AD=6,∴DF=8,∴CF=2.(2分)
设EF=x,则BF=EF=x,CE=6﹣x
在Rt△CEF中,22+(6﹣x)2=x2解得,,∴;(4分)
(2)∵PM∥EF,
∴△APM∽△AFE,∴即,∴,
∵PMNF是矩形,∴S=PM?
PF=(6分)
∵,∴当时,;(8分)
(3)①若AM=FM,则,
过点M作MG⊥AB于G,则△AMG∽△AEB,
∴,,∴M(5,);(11分)
②若AM=AF=10,过点M作MH⊥AB于H,
由△AMH∽△AEB,得AH=3,MH=,
∴M(3,).故点M的坐标为(5,)或(3,).
点评:
本题综合性较强,主要利用勾股定理,等腰三角形的性质,二次函数最值问题求解,相似三角形对应边成比例的性质,熟练掌握各定理和性质并灵活运用是解
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