草原鼠患问题数学建模.docx

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草原鼠患问题数学建模

论文题目：

草原鼠患问题

组别：

本科生

参赛专业：

自动化

国际经济与贸易

参赛学院：

电气工程学院

经济管理学院

草原鼠患问题

1.摘要

本文主如果通过大沙鼠种群结构数量对大沙鼠的种群数量进行预测。

在构建数学模型的时候，咱们第一进行了一些必要的假设和分析，并对一些模糊性的指标进行了适当的取舍和合理的假设，有些方面近似以为在一按时刻段里是均匀的，如此就使得那个数据模型既符合实际乂具有可操作性。

在具体成立数学模型和求解的进程中，咱们选用能最大限度保留原始数据进行分析计算的方式一一主成份分析法，如此使咱们的模型加倍准确的反映大沙鼠的种群数量的动态转变。

然后按照大沙鼠在某一特定的范围内所占老鼠的比例，进而预测该范圉内老鼠的种群数量。

考虑到大沙鼠的种群数量会受种群年龄结构的影响，按照题U的要求，咱们针对时刻的长短别离就短时刻和长期构建了两个数学模型，一个针对短时刻的，咱们忽略了种群年龄结构对种群数量的影响，另一个则需考虑。

在构建数学模型的时候，咱们忽略了一些要素，诸如大沙鼠的交尾情形，性别比例等等。

针对短时刻情形，咱们提出了J-S模型，近似的以为短时刻内老鼠的增加是呈J型或s型增加的。

针对长期情形，咱们运用矩阵模型对近儿年大沙鼠种群数量变更进行推演，验证其变更原因，做出预测方程。

本文以精河大沙鼠为例，对100X100m2的样方30个进行研究（J-S模型），对一公顷的样方进行研究（矩阵模型）.

在对数据的处置方面咱们同时采用了Excel和Matlab软件对数据进行了处置。

对方案的评佔时N,能够用数学模型2求解，如此更准确。

2.符号说明

符号

说明

t

时间

Ro

净生殖率

T

世代周期

J

内禀增长率

r

净增长率

N

当前数量

K

环境允许种群数量上限

K-N

环境能供养的种群数量

X

周限增长率

3.数学模型1（不考虑种群年龄结构问题）

短时刻情形（J型模型）

大沙鼠的净增加率r大体上是一常数（r=b-d,b为诞生率，d为死亡率）。

设t时刻大沙鼠的数量为N（t）,/=心时，N（rJ=N0,

则

N（t+At）-N（t）=N（t）rAt

即

jdN（r）“、

=N（t）r

\dt.Ng=心

那个方程的解为

N（t）=Noe

那个模型的显著的特点是：

种群翻一番所需时刻是固定的。

令种群数量翻一番所需的时刻为T,则有

2N°=N膚

故

丁ln2

In2

0.5070

1=

2002-2003年大沙鼠的净平均增加率r见下表

2002年

2003年

平均增长率

春季

夏季

冬季

平均增长率

而样方所测得的月捕鼠的数量:

老鼠

大沙鼠

数量（单位/只）

5S7

175

由a

r

山此预测未来儿年老鼠数量取得数据:

时间

数量/只

2003年

175

2004年

290

2005年

482

2006年

806

2007年

1330

数量/只

但是，当总数增大时，生物群体的各成员之间山于有限的生存空间，总数有限，所以大沙鼠J型模型假设的大沙鼠的净增加率不可能始终维持常数，它应当与大沙鼠的数量有关。

长期情形（S型模型）

大沙鼠的净增加率应当与大沙鼠的数量有关，即r=r（N）从而有

—W

现在取得微分方程：

dtK

（2）式可改写成

对其最简单的改良就是引进一次项（竞争项），

（2）式被称为Logistic模型或生物总数增加的统计筹算律，一次项是负的，因为当种群数量专门大时，会对自身增加产生抑制性。

对（3）分离变量：

—+一1一=kKdt

\.NK-N）

两边积分并整理得:

K

1

.—kKt

+Ce

令X（0）=No求得:

K―心

心

故（3）的知足初始条件\（0）=\0的解为:

N°+（K_No）严

易见

N（0）=N°

limW）=k

N（t）的图形见下

4•数学模型2（考虑种群年龄结构问题）矩阵模型

4.L1

运用矩阵模型N『A比

F0F1

F2

…Fn-1

Fn

%

P0

0

0

...0

0

0

P1

0

...0

0

N\.q

NO二

0

0

P2

...0

0

•••

•••

•••

■•••••

•••

*r

0

0

0

...Pn-\

0

NnQ

其中Fx表示各年龄组的特定诞生率，表示PX各年龄组的特定存活率,

%N沁。

……表示t时刻种群的年龄组成。

A称为转化矩阵。

精河大沙鼠

4.2.1

2002年精河大沙鼠不同时期的增加率

atdifferentperiodsin2002

时期period

Ro

T

X

春季spring

18.6667

3.0892

0.9174

2.5790

夏季stunner

4

4.5000

0.3081

1.3608

秋护autunin

3

3.5000

0.3139

1.3688

4.2.2

2003年精河大沙鼠不同时期的增加率

atdifierentperiodsin2003

时期period

Ro

T

Gnh

春季spring

10

3

0.7675

2.1544

SI季summer

4

4

0.3466

1.4113

秋季autumn

6

5

0.3584

1.-1259

4.2.3

不同时期精准的f和C*值（2002年）

OpimusatgjifiTerentperiods

时期period

1■龄

age1

2龄age2

3龄age3

4龄age4

5龄age5

春季spring

0.9489

0

0

0.9586

0.04M

0

夏季suminer

0.3106

0.5723

0.1398

0.1025

0.0751

0.1102

秋孚autumn

0.3172

0.6402

0.0777

0.1698

0.0824

0.0299

4・2.4

不同时期精准的g和C*值（2003年）

Opimusatdifferentperiods（2003）

时期period

rm

1龄age1

2龄age2

3龄age3

4龄age4

5龄

age5

春季spring

0.7672

0

0

0.8115

0.1885

0

夏季sujiuner

0.3464

0.5077

0.4309

0.0000

0.0359

0.0255

秋乍autumn

0.3582

0.2987

0.4176

0.1459

0.1021

0.0357

4.2.5

2002-2003年精河大沙鼠不同时期的胎仔数

不同时期

年份

年龄纽

胎仔

数

（只）

Different

Year

Agegroups

Littlesizes（number）

Periods

1234567

8

9

春季

2002

3

1

2

Spring

4

1

5

2003

3

1

1

4

5

夏季

2002

3

Sumer

4

1

5

2003

3

4

1

5

秋季

2002

3

1

1

Autumn

4

1

1

5

2003

3

4

5

1

4.2.6

3、4、5龄期的雌成体数量

龄期

3

4

5

雌成体数/只

10

8

3

4.2.7

III4.2.5和表取得雌鼠的特定诞生率

f2

F-i

f4

F,

数量/只

0

0

3

4.2.8

各龄期到下一龄期的存活率p.v为

.模型预测

4.3.1数据验证

数据代入矩阵模型NZ+1=A

0

0

3.6

3

1.67

10

0.46

0

0

0

0

2

（）

0.61

0

0

0

，Nq=

5

0

0

0.58

0

0

3

0

0

0

0.670

2

由2002年9月预测得出2003—2008年的数量为:

42,38,36,53,46,49只，曲于是用3公顷样地做的推算，则密度别离为：

14,,12,,,只/公顷。

0

0

3.6

3

1.67

5

0.46

0

0

0

0

12

A二

0

0.61

0

0

0

，Nq-

3

（）

0

0.58

0

0

2

（）

0

0

0.670

1

由2003年9月预测得出2004—2009年的数量为：

31,47,40,49,75,88只，由于是用3公顷样地做的推算则密度别离为：

，，，，25,只/公顷。

4.3.2

III2002年和2003年预测的数量

年份

1龄

2龄

3鈴

4龄

5龄

1龄

2龄

3龄

4龄

5龄

Year

Age1

Age2

Age3Age4

Age5

Age1Age2

Age3

Age4

Age5

2003

30

5

1

3

3

2004-

18

15

3

1

2

19

2

7

2

1

2005

16

8

9

2

1

33

9

1

4

4

2006

40

6

4

2

1

17

15

6

1

1

2007

22

16

5

2

1

27

8

9

4

1

2008

26

16

5

2

1

46

12

9

5

3

2009

52

21

7

5

3

4.3.3预测图形

5.任务评估

短时刻

设相同的时刻t后，自然状态下种群数量丫

N（t）=Noer（r-r（,）

5.1.1（用灭鼠药）

用灭鼠药后种群数量为X,,消耗资金S],老鼠药对老鼠的致死率«（含正常死亡率），每只老鼠被药死的本钱为叫，性价比为Q|（即每只老鼠致死所需资金）

则N严NjDf）

Si=（N广NJm.

Q二=——

'n「—N\

5.1.2（引入天敌）

引入宇夏银狐后种群数量为消耗的资金S]，宇夏银狐对老鼠的致死率为

d,（含正常死亡率），每只银狐本钱m、元，引进p只，性价比为Q,

■••

则

N2=N°eS〃2）（f）

S3—pm2

5.1.3（人工种植牧草）

按期人工种草,t时刻老鼠种群数量为山，消耗资金S3,老鼠死亡率为d3,每次种草消耗资金s3n,种了n次，性价比为乞

N=

5.1.4讨论与评估

若Q,

若QZ

若Q、

长期

设设相同的时刻t（很长）后，自然状态下种群数量N,

N0K

N，二A/o+（K_No）严

5.2.1（用老鼠药）

先用传统灭鼠药口后，种群数量为Nn,消耗资金为SH,老鼠药对老鼠的致死

率为dH（含正常死亡率），每只老鼠被药死的本钱为叫「后用新研制的老鼠

药5后，种群数量为X12,消耗资金为,2,老鼠药对老鼠的致死率为d12（含

正常死亡率），每只老鼠被药死的本钱为m12,性价比为Q,

则

t=tt+t2

N尸＞

N°K

N=M+（K-N°）幺吨

K=Kr=K（b-dJ

S1=S1I+SI2=（N0-N0）mu+（N1I-N0）mI2

Q严一

N厂N、

5.2.2（引入天敌）

引入宇夏银狐后种群数量为乂，消耗的资金S,,宇夏银狐对老鼠的致死率为

d,（含正常死亡率），每只银狐本钱g元，引进p只，性价比为Q.

N2=N.e（n

S=pm2

5.2.3（人工种植牧草）

按期人工种草,t时刻老鼠种群数量为山，消耗资金S3,老鼠死亡率为d3,次种草消耗资金S3”，种了n次，性价比为Q

N=N°e（n

S3=E53M=S3I+S32+

5.2.4讨论与评估

若Q,

若Q2

若Q、

6.团队方案（提出建议）

方案1

6.1.1说明

对原有的投灭鼠药、引入天敌、人工种植牧草3个方案进行整合。

6.1.2

3种方案同时采用，保证其种群数量不会达到K值（即呈J型增加，但基数不同）,设方案整体为1,则用灭鼠药、引入天敌（以宇夏银狐为例）、人工种植牧草各占入】，入2，入3

则知足X,+X2+入3=1

有目标函数：

（N。

为3种方案同时釆用t后种群数量）

线性条件为:

人!

2]+无202+兄3Q3<{Q|，Qv^3}min

FW—ymM—n厂g,N厂y

2]S]+A2S2+A353<{SpS2f5*3}min

方案2

6.2.1说明

堵洞法：

用于洞口明显的鼠种。

6.2.2方式

投药前1〜2天，将样方内（15〜20亩）所有的鼠洞用土堵塞，经24小时后，检查被盗开的鼠洞数。

投药后（急性杀鼠剂施后3〜5天，慢性杀鼠剂10〜15天），再将所有的鼠洞从头堵塞起来，经24小时后，再检查被盗开的鼠洞，按照两次的盗洞率，可检查灭洞率（灭鼠率）。

6.2.3计算公式

设灭前堵洞数为A’，盗开洞数为丄，盗洞率为G；灭后堵洞数为Bi,盗开洞

数为B：

盗洞率为G.灭洞率（灭鼠率）为T。

X100%

X100%

Al-A2

c讦

Ax

Bi—B2

C2=

Bi

T=

X100%

Cx