电动力学习题解答5.docx
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电动力学习题解答5
第五章电磁波的辐射
1.假设把麦克斯韦方程租的所有矢量都分解为无旋的(纵场)和无散的(横场)两局部,写出E和〃的这两局部在真空中所满足的方程式,并证明电场的无旋局部对应于库仑场。
解:
真空中的麦克斯韦方程组为
PxE=—6B/dt、
(1)
V•E=p/£()9
(2)
VxB=//()J+!
dt,(3)
VB=O(4)
如果把方程组中所有矢量都分解为无旋的纵场和无散的横场,并分别用角标L和T表示,贝IJ:
由于V・B=O,所以B本身就是无散场,没有纵场分量,即
=0,B=BT•
E=E[+,VxEl=0,X7・Er=0:
I
J=JLJT'L=»▽Jy=O:
由
(1)得:
Vx(Ej+Fy.)=VxEt=—dBr/dt(5)
由
(2)得:
▽•(£:
厶+E/)=▽•£;厶=q/勺(6)
由(3)得:
VxBr=p(y(JL+Jz)+^}£{}d{EL+EL)/dt
=(“丿丄+“血肚厶/dt)+(//0Jr+“辰)6£\/dt)(7)
由电荷守恒定律口J=-dp/dt得:
V-JL=-dp/dt=-v•&)6EL/dt)又因为VxjL=o=-Vx(foaEL/a/),所以jL=-£odEL/dt,即
JL+jQE[/&=O(8)
(7)式简化XBt=JL1°JT+“)£()加7・I&(9)
所以麦克斯韦方程租的新表示方法为:
J
VxET=-dBT/dt
VxBT=“()Jt+//oeodETlot
B(=0 JL+£()dEL/dt=0 由VxEz=0引入标势0,El=-V(p,代入JEL=pl细得, V2(p=-p/s0 上式的解就是静I上电荷在貞•空中产生的电势分布,所以对应静止电荷产生的库仑场。 2.证明在线性各向同性均匀非导电介质中,假设°=0,J=0,那么E和B可完全由矢势A决泄。 假设取卩=0,这时A满足哪两个方程 解: 在线性各向同性均匀非导电介质中,假设p=0,J=0,那么麦氏方程表示为: VxE=-dB/dt (1) VxH=cD/ot (2) VD=0 (3) VB=0 (4) 其中,D=sE,H=B仃1、由于(4)式,引入矢势4使 B=VxA(5) 即B可完全由矢势A决定。 将(5)代入 (1),得: VxCE+dA/dt)=O,(6) 由此引入标势0,使E+dA/dt=-v(p,即 E=—V(p—dA/dt(7) 将(7)式代入(3)得: V2(p+d/•A)=0(8) 所以,0可由A决定,进而,E也可完全由矢势A决能。 如果取0=0,由(8)式得: ▽・A=0(9) 将(5)、(7)代入 (2),并注意到0=0,得: V2A一Ll£—-=0(10) dr (9)、(10)即为0=0时A满足的两个方程。 3.证明沿z轴方向传播的平面电磁波可用矢势A(cor)表示,其中r=t-z/c,A垂直于Z轴方向。 证: 平面电磁波在没有电荷分布的空间中传播,势的方程为 V2A-jL/{)£od2A/dt2=0 < V2(p-(p/dt1=0 沿z轴方向传播的平而波解为 A=A()e"心如,(p=火-切 A与0满足洛伦兹条件: V-A+p()£0d(p/dt=0o所以ik-A-ic^i^s^cp=0,即 (p=c2k'AlCD 因此,只要给定A,就可以确左0,从而E和B随之确定。 由于 B=VxA=ikxA,E=cBxn 所以E和B只与矢势的横向分量有关,即平而电磁波可由A丄来表示,即 B=VxA_=ikxA丄,E=cBxn 其中去=人丄〞=含丄訂如5)=血丄才时 根据题意A丄可记为A(cor),英方向与z轴垂直。 4.设真空中矢势A可用复数傅里叶展开为A(xj)=工[你⑴+a;(t)e~,kx],其中“; k 是你的复共轨。 .2 (1)证明你满足谐振子方程—(0+k2c2ak(t)=0. (2)中选取标准VA=0>0=0时,证明kak=0. (3)把E和B用你和“;表示岀来。 解: (1)证明: 因为4(x,r)=工⑷⑴/山+“;("*k 所以,根据傅立叶级数的正交性,必有: ak(r)=JA(x,t)e,kx(jx 在洛伦兹标准下,V2A-ju0£Qd2A/dt2t考虑到真空中J=0, 故,v2A=jLiAd2A/dt2,所以 (1)式化为 C>^Z)=feikx(c2V2A)dx (2) drJ 而k2c2ak(t')=|k2c'A(x,t)e,kx(ix 于是U岁)+k2c2ak⑴=jeikx[c2V2A+k2c2A(x,t)}dx(3) 因为A(x,r)=+a;(t)e~ikx],所以 k V2A(xJ)=-^2A(xJ) 所以(3)式右边积分中,被积函数为0,积分为0。 所以孜满足谐振子方程 气岀+Tc2畋(r)=0。 (2)中选取标准VA=0.0=0时 0•4=V•工⑷{t)eikx+ak(t)e~ikx]=工[ak⑴•Ve,kx+“;⑴•kk =工[ikak⑴严-ik•“;(t)e~,kx]=0 k 因为ak(t),“;(/)是线性无关正交组,所以要使上式成立,必有 kak(t)=k•";(/)=0 (3)A(x,Z)=^[«A(r)Zx+ak(t)e~ikx]t所以 k B=VxA=^[/Ax«a(t)eikx-ikxak(t)e~,kx] 5•设4和0是满足洛伦兹标准的矢势和标势。 c2dt (1)引入一矢量函数Z(x,f)(赫兹矢虽: ),假设令0=V・Z,证明A=-l—o (2)假设令(p=—UP、证明Z(xj)满足方程Wz一丄空纟一疋“p,写出在真 空中的推迟解。 (3)证明E和B可通过Z用以下公式表出: 1O E=Vx(VxZ)-c2z/()P,B=r—VxZ。 dt (1)证明: A和0是满足洛伦兹标准的矢势和标势,所以有 1c(p ▽・A+——=0 c2dt (3)将0=_V・Z,A=4-—代入E=-V(p-dA/dt双B=J4,得: c~dt E=Vx(VxZ)-c'“()P, B=-V—VxZ c2dt 6.两个质量、电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞,证明电偶极辐射和磁偶极辐射都不会发生。 证: 电偶极矩的变化产生的辐射场为: 严 ikR 〃=—(pxn),E=一(pxn)xn 4亦$R4亦()L/? 磁偶极矩的变化产生的辐射场为: //严H严 E=——(/nx/i),B=^-^(mxn)xn 4兀cR4卅R 在两个质量、电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞的过程中,取两粒子的连线为x轴,那么系统的电偶极矩 p=qx\+qx2=(7(xI+x2) 由于两粒子质量相同,根据牛顿第二沱律,有=-x2,所以p=o.因此系统的电偶极矩产生的辐射场为0: 又由于系统的磁偶极矩加=0.所以系统的磁偶极矩产生的辐射场为0,即两个质量.电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞,电偶极辐射和磁偶极辐射都不会发生。 7•设有一球对称的电荷分布,以频率0沿径向作简谐振动.求辐射场,并对结果给以物理解释。 解: 因为电荷为球对称分布,不失一般性.设球而上均匀分布了总电量为0的电荷,于是, 球面电荷密度为 b=Q/4ttR2 取如下图相对的两块小而元dSi,dS2,由于两块小面 元对应相同的立体角,故有相同的面积dS}=dS2, dq】=odS]=odS2=de/2 因为两电荷元d^,do? 球对称分布,又以相同的频率Q沿径向作简谐振动,斥以有 故此两电荷元的振动不能产生辐射场。 根据场的叠加原理整个球对称分布的电荷体系 沿径向的简谐振荡是不能产生辐射场的振动,辐射场为O’」 8.一飞轮半径为R.并有电荷均匀分布在其边缘上,总电量为0°设此飞轮以恒左角速度Q旋转,求辐射场。 解: 设飞轮边缘的厚度为乩于是边缘上的电荷而密度b=QI2兀Rd, 体系的电偶极矩为p=f_J・〃・d/・x=2"・d/ J2叔I2欣J 体系的磁偶极矩心2=聲余•甘誓e 由此得P=O,m=0,故辐射场为0。 9.利用电荷守恒泄律,验证A和0的推迟势满足洛伦兹条件。 证明: 推迟势A与0可写作: A(x,r)=^-f,/(X--dV\^(xj)=—*—fP(X-Z-dV, 4兀2r4亦“丄r 其中f=t~-对于,•的函数,有貯=—▽ v-A(x,r)=^-[v-,/(v—}dV' 4/rr 因为忆=—•▽厂=1乞•宅r cdfcdf cdt 所以V-J(x',f)=▽"(*,f画-VJ(x*,f) ▽•4=牛“(门尸)・斗dW+¥jf[0J(W)r5-WJ(U]d0 =逡产件2d『+斜冲WW 由于J^J(x-}dV'=J: /(v,--dS1=0,所以 V-A=^/lvj(x-j'),_sldVq/ry.r 另外丄丝=丄丄卩空戒=仏卩空d*LdtL4亦。 *./•dt4/rrdt1 所以讐嗨Hvw)s+鈴呵 由电荷守恒左律,U(疋了)心喻+字=0即得A和0的推迟势满足dt9 VT+丄空=0 Ldt 10•半径为他的均匀永磁体,磁化强度为球以恒左角速度0绕通过球心而垂直于M。 的轴旋转,设R{}co«c.求辐射场和能流。 〔提示: 以角速度。 转动,可分解为 相位差为刃2的互相垂直的线振动;直角坐标基矢与球坐标基矢变换关系为 /\ sin&cos0 COS&COS0 _sin0、 /、 J r = sinOsin0 cos&sin0 COS0 C丿 COS& -sin& 0 z e 解: 此题相当于一个位于原点的磁偶极子的旋转,此磁偶极子的磁偶极矩为: 其旋转振荡可分解为x,y方向上相位差为只/2的简谐振荡的合成。 I=—碣;M〔〕COS〔6X〕Cx‘ my=—硏: A/。 sin〔6Jf〕ev=—兀cos〔6X一—〕ev 332 4亍4 用复数形式表达为: mx=-7rRlM^ex.mv=i- 根据磁偶极矩辐射场公式B=-^elkR{mxn〕xn,得 4亦-R B*=-严|凤MgU"©xer〕xer =-如必処小心>〔sx勺〕xj 3c2R 同理可得B、=T•如雋%严xejxe「 3lR 再根据直角坐标基矢与球坐标基矢变换关系 /、 'sin&cos。 COS&COS0 _sin。 、 7*、 s J = sinsin cos&sin0 COS0 <^z> 、COS& X 一sin。 0, z Bx=勢人'〔%cos0COS0-%sill1 By=": H"〔e0cos&sin0+e©cos〔/>〕ie''kR~c'31 B=B+B=坐竺%©cos&+ie^ei〔kR~^3c 〕 同理,根据辐射场公式 42 DXA〕ikR✓••、cZA〕^^〃? •2/t E=-1e〔nixw〕,S=,…=sinOn 4兀cR32卅沖 及坐标基矢变换关系,可得: E=3R'%(%-Jcos&)egg 3cR S=匕一(1+cos-0)er 18c3/? 2r M・带电粒子€作半径为Q的非相对论性圆周运动,盘旋频率为0。 求远处的辐射电磁场和辐射能流• 解: 带电粒子作匀速圆周运动,其磁偶极矩加是常矢量,因此不产生电磁辐射,但此系统的电偶极矩是一旋转的变化^p=eaer.仿上题解法,把旋转量p分解为x,y方向上的两个简谐振荡: —//yr px=eacoscotex=eaeex p、=eacos(ar—托12)e、=eae~lUJ~z2'es=eaie~l(Jes 由此可得: px=-icoeae^^ex,px=八 •Till p、=eacoee 根据公式B=座eikR(nxp)及直角坐标基矢与球坐标基矢变换关系 4rrR 莎好si"及直角坐标基矢与 再根据公式E=凹竺严5xp)xn,S 47tR 球坐标基矢变换关系,得 E=鱼f{edcos0+iejdg®,S=陛";(1+cos20)er 4兀R°°32丘cR-r 12.设有一电矩振幅为Pq,频率为0的电偶极子位于距理想导体平而为g/2处,Pu平行于导体平而。 设a«A,求在R»A处电磁场及辐射能流。 解: 如下图,设平而xoy是导体平而,利用镜像 法,构造图中电偶极子p°的镜象P;。 由图可得: P=Po严5’P=一心)訂° 电偶极子p产生的辐射磁场为 B\=一©二pxer4^0cR 4亦0R 电偶极子的镜象P'产生的辐射磁场为 1知R+{co4.nr叫COS&淋/*r〕 e-eex _Q,P〔〕』眛如上灼c"「今OS。 彳〔cos-bsirr0+cosc/cos^〔p〕er 2“o32/rcR 13.设有线偏振平而波E=E〔}ei 设平而波的波长2眉k远大于球半径R。 ,求介质球所产生的辐射场的能流。 解: 由题设条件,平面波的波长2;r/k远大于球半径R。 ,可以认为整个介质球每一时刻都处于匀强电场E=E.e-^中,极化矢量P在每一时刻都可以看作是均匀的。 仿照静电场情形〔课本68页〔〕式〕可得 P=土単3勻E=三¥3勻耳严%: £+2匂£+2匂 球内极化电荷Q,=VP=0,球而极化电荷a;,=nP=erP=PcosO, 根据p=\S,xdS可知,介质球所产生的辐射场相当于电偶极矩 所产生的辐射。 B=—1—严皿〔一匂〕&E。 严〔~ez〕xer E=cBxer= S=—cB2e 2"。 〔£-$0〕。 俺Eqs曲〕 〔£+2sq〕c2R =s"同sin几 2^8+ls^cR11
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