相似全章教案.docx
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相似全章教案
第1课时:
相似图形
教学目标:
1.理解相似形的概念,能举出日常生活中相似的图形.
2.能判断所给的图形是否是相似图形.
教学重点:
相似的基本特征是形状相同.
教学难点:
找出相似图形平移的对应角与对应边.
教学过程:
一、创设情境
出示大小不一样的照片两张,及大小不同的世界图片,供学生观察,提出问题:
这几组图片有什么相同的地方呢?
二、探索归纳
这些图片虽然大小不一样,但形状相同.
由于不同的需要,我们用同一底片冲洗、放大得到的相片有1寸的、也有2寸的、也有更大的,这些大小不一样的相片其形状是相同的.
大小不同的中国地图或世界地图,其形状也是相同的,只是由于需要的不同,它们被印制成大小不一样的图片.
日常生活中我们会碰到很多这样形状相同、大小不一定相同的图形,在数学上,我们把具有相同形状的图形称为相似形(similarfigures).
三、实践应用
例1如图所示是一些相似的图形.
例2
(1)放大镜下的图像与原来的图形相似吗?
(2)你看过哈哈镜吗?
哈哈镜中的形象与你本人相似吗?
答
(1)相似,
(2)不相似.
例3下图中的三组图形,看起来每组中的两个有点相像,但它们不是相似形.
如下图所示,左边格点图中有一个四边形,请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形,和你的伙伴交流一下,看谁的方法又快又好.
练习
1.观察你周围的一切,举出几个相似图形的例子.
2.你看到过你在水中的倒影吗?
倒影中的形象与你本人相似吗?
(注意分多种情况)
3.图中的三个边长不等的等边三角形是相似的图形吗?
四、交流反思(分层练习):
师本节课我们主要学习了哪些内容?
生
(1)相似形的概念(即具有相同形状的图形);
(2)怎样辨别相似图形(一个图形经过放大或缩小而成另一个图形);
(3)画出简单的相似图形.
五、教学反思:
六、课时作业:
1.观察你周围的事物,并举出几个相似图形的例子.
2.试着用所给的格点图把下面的图形放大.
第2课时:
成比例线段
教学目标:
1、了解成比例线段的意义,会判断四条线段是否成比例。
2、利用比例的性质,会求出未知线段的长。
教学重点:
判断四条线段是否成比例,利用比例的性质求未知线段的长。
教学难点:
判断四条线段是否成比例,利用比例的性质求未知线段的长。
教学过程:
一、设计问题情景,导入新课
投影两幅大小不一样的中国地图,问:
1、这两张图形有什么联系?
它们是平面图形,它们的开关相同,大小不相同,是相似形。
2、这两个图形是相似图形,为什么有些图形是相似的,而有的图形看起来相像又不会相似呢?
相似的两个图形有什么主要特征呢?
为了探究相似图形的特征,本节课先学习线段的成比例。
二、交流合作,探索新知
1、试一试:
由下面的格点图可知,
=_________,
=________,这样
与
之间有关系_______________.
2、概括:
像这样,对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比,如
(或a∶b=c∶d),那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段(proportional segments).此时也称这四条线段成比例.
3、例1判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段:
(1)a=4,b=6,c=5,d=10;
(2)a=2,b=
,c=
,d=
.
4、练习:
1.判断下列线段是否是成比例线段:
(1)a=2cm,b=4cm,c=3m,d=6m;
(2)a=0.8,b=3,c=1,d=2.4.
5、新结论:
对于成比例线段我们有下面的结论:
如果
,那么ad=bc.
如果ad=bc(a、b、c、d都不等于0),那么
.
以上结论称为比例的基本性质.
6、思考:
请试着证明这两个结论。
这两个命题间有什么关系?
7、练习:
(1)、如果
,那么b叫做a、c的比例中项,也可以写成
。
(2)、已知:
线段a、b、c满足关系式
,且b=4,那么ac=______.
8、例2证明:
(1)如果
,那么
;
(2) 如果
,那么
.
9、练习:
已知
,那么
、
各等于多少?
10、想一想:
根据比例的基本性质,由
,你还可以得到其他哪些类似的结论?
三、交流反思
1、什么样线段是成比例线段?
2、线段成比例与线段比有什么区别?
3、比例有哪些性质?
四、课时作业:
1、在比例尺为1:
8000的校地图上,矩形运动场的图上尺寸是
,矩形运动场的实际尺寸是多少?
2、在比例尺不同的城市两张地图中,量得A、B、C三地的图上距离,第一张地图中量AB=3.6cm,AC=3cm,在第二张地图上量得AB=6cm,那么第二张地图中量得AC为多少?
第3课时:
相似图形的性质
教学目标:
(1)让学生探索并确认相似图形的特征,知道相似多边形的对应角相等,对应边成比例。
(2)让学生探索并确认识别两个多边形相似的方法。
(3)应用相似多边形的特征进行有关的计算或判定。
教学重点:
相似多边形对应边成比例,对应角相等,并用之识别两边形是否相似。
教学难点:
应用相似多边形的特征进行有关的计算或判定。
教学过程:
一、创设情境,提出问题
1、怎样的图形是相似图形?
2、怎样的四条线段是成比例线段?
3、两个相似的平面图形之间有什么关系呢?
为什么有些图形是相似的,而有些不是呢?
相似图形有什么主要性质呢?
做一做:
图24.2.2是某个城市的大小不同的两张地图,当然,它们是相似的图形.设在大地图中有A、B、C三地,在小地图中的相应三地记为A′、B′、C′,试用刻度尺量一量两张地图中A(A′)与B(B′)两地之间的图上距离、B(B′)与C(C′)两地之间的图上距离.
AB=______cm,BC=______cm;A′B′=______cm,B′C′=______cm.
显然两张地图中AB和A′B′、BC和B′C′的长度都是不相等的,那么它们之间有什么关系呢?
小地图是由大地图缩小得来的,我们能感到线段A′B′、B′C′与AB、BC的长度相比都“同样程度”地缩小了.计算可得
=________,
=________.我们能发现
=
.
上面地图中AB、A′B′、BC、B′C′这四条线段是成比例线段.实际上,上面两张相似的地图中的对应线段都是成比例的.这样的结论对一般的相似多边形是否成立呢?
二、自主探究,大胆猜想
1、动手实验,直观探索
图18.2.2中两个四边形是相似形,仔细观察这两个图形,它们的对应边之间是否为比例线段的关系呢?
对应角之间又有什么关系?
提示:
为了验证你的猜测是否正确,可以用刻度尺和量角器量量看。
再看看图18.2.3中两个相似的五边形,是否与你观察图18.2.2所得到的结果一样?
交流合作,大胆猜想让学生在独立动手的基础上,进行交流与合作,并大胆地猜想结果。
3、概括总结,确认猜想
概括:
由此可以得到两个相似多边形的特征:
对应边成比例,对应角相等。
实际上这也是我们识别两个多边形是否相似的方法,即如果_____________
____________________________,那么这两个多边形相似。
提醒:
这就是我们判定两个多边形是否相似的判定方法。
想一想:
如果两个多边形的边数不呢?
三、范例讲解,深化认知1、例:
在图18.2.4所示的相似四边形中,求未知边x、y的长度和角度a的大小。
2、变式拓展,优化认知
思考:
(1)两个三角形一定是相似形吗?
两个等腰三角形呢?
两个等边三角形呢?
两个等腰直角三角形呢?
(2)所有的菱形都相似吗?
所有的矩形呢?
所有的正方形呢?
四、练习巩固,应用新知
1.根据下图所示,这两个多边形相似吗?
说说你的理由。
2.如图,正方形的边长a=10,菱形的边长b=5,它们相似吗?
请说明理由。
五、归纳总结,回顾新知
1、相似多边形具有什么特征?
2、我们可用什么方法来识别两个多边形是否相似?
六、教学反思:
七、课时作业:
1.所有的矩形都相似吗?
所有的正方形呢?
第4课时:
相似三角形
教学目标:
1、知道相似三角形的概念;会根据概念判断两个三角形相似。
2、能说出相似三角形的相似比,由相似比求出未知的边长。
教学重点:
知道相似三角形的概念;相似比有关计算。
教学难点:
探索两三角形相似。
教学过程:
一、设计问题情境,导入新课
引入复习:
什么是相似形?
识别两个多边形是否相似的标准是什么?
相似三角形有什么特征呢?
(三组对应角相等,三组对应边成比例)
二、交流合作,探索新知
1、让学生充分思考,并与伙伴交流后,教师给出以下具体的问题。
△ABC与△A′B′C′相似,让学生写出它的对应边和对应角的关系。
2、相似三角形的记法。
△ABC∽△A′B′C′(注意:
书写两个三角形相似时,表示对应顶点的字母要写在对应的位置上,这样可以准确地找出相似三角形的对应角和对应边。
)
试问:
(1)全等的两个三角形一定相似吗?
(2)相似的两个三角形会全等吗?
3、练习:
(1)1.如图,正方形ABCD的边长为1,点O为对角线的交点,试指出图中的相似三角形.
(2)判断下面两个三角形是否相似,简单说明理由:
4、相似三角形的相似比.让学生知道相似比是有顺序关系的。
如果记
=k,那么这个比值k就表示△ABC与△A′B′C′的相似比。
①教师讲解说明:
相似三角形对应边的比可以反映两个三角形的大小关系,所以给它起个名字,叫相似比,也叫相似系数。
相似三角形对应边的比叫相似比。
②与学生一起探究相似比中需要注意的问题:
ΔABC和ΔA′B′C′的相似比为2,则ΔA′B′C′和ΔABC的相似比是多少?
说明两个相似三角形的相似比具有顺序性。
一般来说,ΔABC和ΔA′B′C′的相似比为K1,ΔA′B′C′和ΔABC的相似比为K2,则K1=1K2,且K1≠K2,当且仅当它们全等时,才有K1=K2=1
5、观察并思考:
在图24.3.2中,DE∥BC,则ΔADE与ΔABC相似吗?
能否加以证明?
(根据定义)
6、让学生自己尝试把这一命题归纳成定理:
平行于三角形一边的直线和其他两边(或者两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。
7、练习:
(1)已知:
D、E分别是ΔABC的边AB、AC边上的中点,问△ADE和ΔABC相似吗?
为什么?
如果相似,请求出ΔABC∽△ADE的相似比。
(2)如果一个三角形的三边长分别是5、12和13,与其相似的三角形的最长边长是39,那么较大三角形的周长是多少?
较小三角形与较大三角形周长的比是多少?
引导学生分析:
其相似三角形的对应边是哪些边?
相似比是多少?
一个三角形较大?
要计算出它的周长还需求什么?
根据什么来求?
三、课堂练习:
1、如图
(1),DE//BC,用刻度尺量一量线段AB,AC,BC,AD,AE,DE的长,判断△ABC与△ADE相似吗?
如果相似,写出它们的对应边的比例式。
2、如图
(2),已知△ABC∽△ACD,
(1)指出它们的对应角,对应边,写出对应边的比例式。
(2)若AC=6,AD=4,BD=5.4,你还能算出哪些线段的长?
请算一算。
(3)、 右边是用12个相似的直角三角形所组成的图案,请你也用相似三角形设计出一个或两个美丽的图案.
四、课堂小结,注重反馈
(1)什么样的三角形叫做相似三角形。
(2)两个相似三角形的相似比为1,这两个三角形有什么关系?
(3)如果一条直线平行于三角形一边,与其它两边或其延长线相交截得的三角形与原三角形相似吗?
指出它们的对应边。
五、教学反思:
六、课时作业:
如图,DE∥BC,且AD=1,AE=1.5,DB=2,EC=3,DE=2,BC=6,试说明△ADE∽△ABC,并指出它们的相似比。
第5课时:
相似三角形的判定
(1)
教学目标:
1、会说出识别两个三角形相似的方法:
有两个角分别相等的两个三角形相似。
2、会用这种方法判断两个三角形是否相似。
教学重点:
理解,利用“有两个角分别相等的两个三角形相似”的识别方法
教学难点:
探索出这种方法,应用三角形特殊性质。
教学过程:
一、设计问题情境,导入新课
复习引入:
1、两个矩形一定会相似吗?
为什么?
2、如何判断两个三角形是否相似?
3、如图(准备好教具:
两个相似三角形)问是否存在识别两个三
角形相似的简便方法?
本节课就是探索这方面的识别两个三角形
相似的方法。
二、交流合作,探索新知
1、观察你与你同伴的直角三角尺,同样角度(30°与60°,或45°与45°)让学生充分思考,并与伙伴交流后,它们相似吗?
2、探索:
如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等,那么它们相似吗?
3、让学生任意画两个三角形(可以画在下面的格点图上),使其三对角对应相等.用刻度尺量两个三角形的对应边,看看两个三角形的对应边是否成比例.你能得出什么结论?
(如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等,那么这两个三角形__________.)
4、让学生分小组讨论。
师总结:
得到识别两个三角形相似的一个较为简便的方法:
如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似.
5、思考:
如果两个三角形仅有一对角是对应相等的,那么它们是否一定相似?
举例说明。
(你所用的两块不一样的直角三角尺)
6、例1如图24.3.4所示,在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,∠A=∠A′,证明△ABC∽△A′B′C′.
7、练习:
(1)、△ABC和△
中,∠A=40°,∠B=80°,∠
=80°,∠
=60°.
则△ABC与△
相似吗?
为什么?
(2)、找出图中所有的相似三角形.
8、例2 如图18.3.5,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,证明:
△ADE∽△EFC.
9、练习:
(1).如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是∠ABC的平分线交AC于D,
证明:
△ABC∽△BDC.
(2).在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.⑴试说明:
CD2=AD·BD;⑵找出图中所有的相似三角形.
三、课堂小结,注重反馈
本节课我们学习了识别两个三角形相似的一
个较为简便的方法:
有两个角对应相等的两个三角形相似。
四、教学反思:
五、课时作业:
1.如图,找出下列图形中的相似图形,并说明理由.
⑴AB∥CD⑵∠ADE=∠C⑶①∠1=∠2;②∠2=∠B;③DE∥BC.
第6课时:
相似三角形的判定
(2)
教学目标:
会说出识别两个三角形的相似的方法:
(1)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。
(2)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
教学重点:
说出相似三角形的识别方法,正确判断三角形是否相似。
教学难点:
灵活应用三种方法判断三角形相似
教学过程:
一、设计问题情境,导入新课
同学们现在要判断两个三角形相似有哪几种方法?
(提问学生)
师总结:
有两种方法
(1)是根据定义;
(2)是有两个角对应相等的两个三角形相似。
二、交流合作,探索新知
1、观察图18.3.6,如果有一点E在边AC上,那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢?
引导学生通过量角或量线段计算之后,得出△ADE∽△ABC。
分析题目条件:
(1)有一个公共角∠A,
(2)AD=
AB,AE=
AC,
结论:
△ADE∽△ABC
探索:
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似吗?
2、总结另一个判断相似的方法:
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.
符号语言:
∵
,
∴△ABC∽△
.
3、课本例题。
例3 判断图18.3.7中△AEB和△FEC是否相似?
∴ △AEB∽△FEC(如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似).
注意:
学生的书写,体现思考问题的逻辑性。
练习:
下列各组条件中,不能确定△ABC∽△
的是.
⑴∠A=∠A′=80°,∠B=40°,∠C′=60°;
⑵∠A=∠A′,AB=12,AC=15,A′B′=16,A′C′=20;
⑶∠A=∠A′,AB=15,BC=10,A′B′=18,B′C′=12.
4、探索:
如果两个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似吗?
完成下面的做一做,再讨论总结判断另一个相似的方法。
做一做:
在图24.3.8的方格上任画一个三角形,再画出第二个三角形,使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数.画完之后,用量角器比较两个三角形的对应角,你发现了什么结论?
大家的结论都一样吗?
我们可以发现这两个三角形相似.即:
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
5、例4 在△ABC和△A′B′C′中,已知:
AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,A′B′=18cm,B′C′=24cm,A′C′=30cm.试判定△ABC与△A′B′C′是否相似,并说明理由.(小组讨论完成)
练习:
1.如图,若
,则∠BAC=∠,∠ADC=∠.
2.如图,
,则∠BAD=∠.
第1题图:
第二题图:
三、课堂小结,注重反馈
到现在我们学习了识别两个三角形是否相似的三种较简便的方法,请同学回忆说出。
四、教学反思:
五、课时作业:
1、依据下列各组条件,判定△ABC和△A′B′C′是否相似,并说明理由.
(1)AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm,A′B′=16cm,B′C′=12.8cm,A′C′=25.6cm;
(2)∠A=80°,∠C=60°,∠A′=80°,∠B′=40°;
第7课时:
相似三角形的性质
教学目标:
会说出相似三角形的性质:
对应角相等,对应边成比例,对应中线、角平分线、高的比等于相似比,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。
教学重点:
相似三角形对应高的比等于相似比、面积的比等于相似比平方
教学难点:
相似三角形对应中线、对应角平分线的比等于相似比
教学过程:
一.创设问题情境
1、识别两个三角形相似的简便方法有哪些?
二.讲解新课.
上述两个三角形会相似,它们对应边的比就是相似比,
∽
,相似比为:
两个三角形相似,除了对应边成比例、对应角相等之外,还可以得到许多有用的结果.例如,在图18.3.9中,△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形,相似比为k,其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高,那么AD、A′D′之间有什么关系?
△ABD和△A′B′D′都是直角三角形,而∠B=∠B′,因为有两个角对应相等,所以这两个三角形相似.那么
由此可以得出结论:
相似三角形对应高的比等于相似比.图18.3.10中
(1)、
(2)、(3)分别是边长为1、2、3的等边三角形,它们都相似.
(2)与
(1)的相似比=________________,
(2)与
(1)的面积比=________________;(3)与
(1)的相似比=________________,(3)与
(1)的面积比=________________.从上面可以看出当相似比=k时,面积比=k2.数学上可以说明,对于一般
的相似三角形也具有这种关系.由此可以得出结论:
相似三角形的面积比等于________________________.
“相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定,待证明后再强调是“相似比的平方”,以加深学生的印象.
相似三角形面积的比,等于相似比的平方.
例5已知:
△ABC∽△A′B′C′,且相似比为k,AD、A′D′分别是△ABC、△A′B′C′对应边BC、B′C′上的高,求证:
.
思考:
图18.3.11中,△ABC和△A′B′C′相似,AD、A′D′分别为对应边上
的中线,BE、B′E′分别为对应角的角平分线,那么它们之间有什么关系呢?
可以得到的结论是_________________________________.想一想:
两个相似三角形的周长比是什么?
可以得到的结论是___________________________________.
相似三角形周长的比等于相似比.
注:
(1)在应用性质时要注意由相似比求面积比要平方,这一点学生容易掌握,但反过来,由面积比求相似比要开方,学生往往掌握不好,教学时可增加一些这方面的练习.
(2)在掌握相似三角形性质时,一定要注意相似前提,如:
两个三角形周长比是
它们的面积之比不一定是
因为没有明确指出这两个三角形是否相似,以此教育学生要认真审题.
例1 已知:
如图5-48,△ABC∽△A′B′C′,它们的周长分别是60cm和72cm,且AB=15cm,B′C′=24cm,求BC、AB、A′B′、A′C′.
此题学生一般不会感到有困难.
补充例题 有同一三角形地块的甲、乙两地图,比例尺分别为1∶200和1∶500,求甲地图与乙地图的相似比和面积比.
练习:
1.如果两个三角形相似,相似比为3∶5,则对应角的角平分线的比等于多少?
2.相似三角形对应边的比为0.4,那么相似比为___________,对应角的角平分线的比为__________,周长的比为___________,面积的比为_____________.
3.如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2,这两个三角形相似吗?
如果相似,求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比.
三、课堂小结,注重反馈
这节课,我们主要学习了相似三角形的那么性质?
四、教学反思:
五、课时作业:
1、
∽
,相似比是3:
2,则其对应中线的比等于________
对应高的比等于________,对应的面积比等于__________
2、相似三角形的对应角平分线比为
,则相似比是__________,周长比为______
面积比为__________
第8课时:
相似三角形的应用
(1)
教学目标:
会应用相似三角形的有关性质,测量简单的物体的高度或宽度。
教学重点:
应用相似三角形的知识解决实际问题
教学难点:
把实际问题转化为数学模型
教学过程:
一.复习引入,创设问题情境
1、相似三角形有哪些性质?
2、如图,B、C、E、F是在同一直线上,AB⊥BF,DE⊥BF,AC//DF,
(1)△DEF和△ABC相似吗?
为什么?
(2)若DE=1,EF=2,BC=10,那么AB等于多少?
二.讲解新课.
第二题我们根据两个三角形相似,对应边成比例,列出比例式计算出AB的长,古人也懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度。
例一.古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法:
为了测量金字塔的高度OB,先竖一个已知长度的木棒O
B
比较棒子的影长
与金字塔的影长AB,即可近似算出金字塔的高度OB,如果O
B
=1,
=2,AB=274,求金字塔的高度OB。
(师析:
我们要知道在同一时刻太阳光是平行光线,所以这实际上与第二题问题是一样的。
同学们自己独立思考,然后完成并同组讨论核对答案.师最后讲评并板演)
例二.我军一小分队到达某河岸,为了测量河宽,只用简单的工具
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