高等数学上册典型例题精选集合doc.docx
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最新高等数学上册典型例题精选集合
第一章函数
例1求函数/(x)
亦+1的定义域。
|X|+兀—1
解:
2x>0
|x|+兀一1工0
解之得5呜,即定义域为:
[0丄)5:
+oo)。
22
例2已知于(兀),求于[/(兀)]的定义域。
1+X
解:
由W右,得心讣世
1x+l
=■二,
1X+2
1+-
1+x
故所求定义域为兀H—1,兀H-2的全体实数。
例3求函数y=ln吐竺的定义域°
a-bx
解:
解不等式凹£>0,当°,〃同号时吐工>0的解为|x\<^
a-bxa-bxb
当a"异号时兰丈竺〉0的解为|x|<-£・
a-bxb
故所求的定义域为:
|x|<|y|.
b
例4设f(x)=x,g(x)=y[x^,问f(x)和g(x)是否表示同一函数?
解:
值域不同。
当xvO时,对应规律不同,故为不同的函数。
Y~—1一
例5设/(x)=,g(x)=x+1,问f(x)和g(x)是否表示同一函数?
x-\
解:
定义域不同,故表示不同的函数。
例6证明;若函数丿=/(x),(-oo,-|-oo)的图形关于直线x=a和x二b(b>a)
对称,则f(x)为周期函数。
证明:
由于函数y二f(x)关于直线x=a对称,因此,对于任意的x皆有
/(兀)=f\a+S一x)l=f(2a一兀),
又函数y二f(X)关于直线X=b对称,因此有
f(2a-x)=f[h+(/?
-2^z+x)]=/([x+2(b-a)],
可知,对于任意的x皆有/(x)=/fx+2(Z>-a)],B卩f(x)是以2(b・a)为周期的函数。
例7设f(x)是以正数g为周期的周期函数,且已知当0vxSa时,f(x)=x\试求周期函数/(X).
解:
设兀=u+na,其中uw(O,aJ,xe(na,(w4-l)a],(n=0,±1,±2,…)
由周期函数的定义得/(x)=/(u),u=x-na,且/(«)=于是得
/(x)=(x-(〃0,(川+1)4],(川=0,±1,±2,…)
例8已知定义在[0,4]上的函数/(兀)=3",先把它延拓到卜4,0],使它成为偶函数,然后再把已延拓到卜4,4]上的函数延拓到整个实数轴上,使其成为以8位周期的函数。
解:
由题设,由偶函数的定义,延拓到卜4,4]上的偶函数是
g(x)=
3X
3一'
0 其次,因周期是&故由条件g(x)=g(x-8k),keZ,知, 当8* h(x)=g(x-8k)=3x~sk, 而当8k-4 h(x)=g(x-8k)=3~(x-8k), (nx-8* 3- 8* 8k-4 1\xx<0 f(x)=-(x+\x\\g(x)=<2求/[g(X)]。 2[x^x>0 解: x<0 x>0 ftg(x)]=l: [gM g(x)vOgW>0 x<0 x>0 例10已知/G)当x>0时的表达式为ex-\,试确定/(兀)当XV0时的 表达式,使它在(-8,+°°)内: (1)为奇函数。 (2)为偶函数。 解: (1)由奇函数的定义: /(x)=-/(-x),当xvO时,—x>0,于是 /(X)=-/(-X)=—(旷大—1)=—厂+10 (2)rh偶函数的定义: /(X)=/(-X),当XV0时,-X>o,于是 /(兀)=/(一兀)=厂一1。 \2x0 例11设/(x)=\g(x)=\nx.0 [x^1 解: 因为B]={x|0 2Inxxe[l,e]n(0,g)J21nxxe[l.e] In"xxgO,w]c(0,+oo)hrxxe(e.e^] 例12设/(X)=y|x'": 验证f{f[/M]}=i.0|X|>1 解: 由题设,对任意的x,0(x) 例13设函数g(x)=\ x+2 x<0 x>0 /(x)= "<: 求&[子(兀)]・ x>0 解: 首先写出以f(x)为自变量的函数g[f(x)].得 g[f(x)]= 2-mo /(x)+2 x<0x>Q" 由f(x)的定义域知,兀》0时,/(x)=-x 入得 g[/(x)]= 2+x x2+2 x>0x<0" x<0 x<0 ,求 /V(x)],g[g(x)]J[g(QLg[/(x)]・ W: g[g(x)]= 0 -rw g(x)<0 g(X)>0 =O.(vVx,g(x)<0) 0 g(") g(x)<0 g(AT)>0 =.0(•・•Vx,g(x)<0) g[f(x)]=< 0 -/2W f(x)<0J0f(x)>0~\-x2 x<0 x>0 =gM. 又解: 当x<0时,g(x)=0,从而 /[/(X)]=/(O)=0;g[g(x)]=g(O)=0; f\g(兀)1=/(o)=0;g\/(x)]=g(0)=0 当兀>0时,/(x)=x,g(x)=-x2,从而 =/(x)=x;g[g(x)]=g(-x2)=0; =/(-x2)=0;g[/(x)]=g(x)=-x2. 综上所述得同上结果。 XX<1 例15求函数y=lx2l 2X4 解: 由丁=X,—ooV兀V1得兀=”一8 综上所述得其反函数为 XX<1 y= logj16 例16证明: 若函数j=/(x),(-oo 证明: 因为y=/(x),(-oo /(2a-x)=2j0-/(x) (1) 又由于y=/(x),(-oo (2«-x,2j0-/(x))及 (1)式推得 f[x^2(b-a)]=2y}-[2j0-/(x)] (2) 设/(兀)=£(兀)+三二色工,⑶ b-a 下面证明g(x)是以2(b-a)为周期的函数。 因为gM=f(x)-y,~y°x,根据 (2)式得 b-a g[x+2(b-a)]=/[x4-2(b-a)]-牛主“+2(b-a)] b-a =2丿1一2几+/(工)一~兀一2(丿]一Jo) b-a =fM一y()x=g(x). b-a 由此可见g(Q是以2(*-a)为周期的函数,根据(3)即知函数/(x)是 线性函数与周期函数的和。 特别地,y0=时,/(x)=g(x)是周期函数。 例17容器屮装有A,B,C三个阀,在每分钟内,A,B分别流入20升、25升水,C流出80升水,若A开放5分钟后开放B,B开放10分钟后开放C,求容器中水量与吋间t的函数关系,并绘11! 它的图形。 解: 设阀门A开放t分钟末时容器中的水量为y,则得 20/0<5 20x5+(20+25)(/-5)5 丿=<100+45x10+(45—80)(/—15)15 20/ 0 45/-125)5<^<15 J=1-35/+1075)15<30-7 0Z>30- 7 第二章极限与连续 例1对于数列{兀“},若x2jt_1ta,(ktoo),x2kta,(kt8),证明 无“TCl,(/7T8) 证明: X/£>0, 因为tq,仗too),所以存在正整数K「当k>Kx时,有 Ix2k_}-a\<£ (1) 因为X2kTci,伙too),所以存在正整数K2,当k>K2时,有 |x2k-a\<£ (2) 取N=max{2K|-1,2心},则当斤>N时, (1)、 (2)同时成立。 若处{2k—l}/>Nn2K]-l>K],-a\ 若fiw{2k},n>N>2K2>K2,\xn—a\ 所以\/£>0,MN,当n>N时,|兀〃-g|v£成立, 由定义得XriTd,(/2—>g)。 例2设X],X2,••-是使不等式0V兀“V1,(1-%)x“+]>*,(〃二1,2,…) 成立的任何实数,证明: limxn=—・ “too"2 证明: 因为/? x(l-x)<一,因此(l-xH)xM<(l-xn)xw+1,又由 4 xnv1知,1-xn>0,所以xn<兀“+|,故数列{兀”}单调递增维向量 有上界1,故limxn存在。 设limxn=a,则rtl(1-xn)xn+i>丄知,a必满 /1T8〃T84 足(\-a)a»丄,于是必有a=—,B|JlimxH=—・ 422 vIwx] 仮ij3lim-. “Toon 解: 因为磁一1v[赵] nn i・[nx] lim二x. /1T8If lim 71T8 PT nl 解: 因为nl<工p! <(n-2)(n-2)! +(t? -1)! +/: ! <2(〃-1)! +〃! p=l ZP! PT nl 25-1)! 门n\ lim “Too /I 2>! nl 1. 例5利用定义证明limVx+4=3o 兀t5 证明: 任给£>0,因为 |厶+4-3|二 (J兀+4+3)(J兀+4—3) 厶+4+3 丨兀-5| Jx+4+3 丿兀-5| _3 (—4 要使|血一32只要号“,即A5Z就可。 故取6=3e,当Ov|x—5|v》时,|Jx+4—3|V£成立。 所以 lim厶+4=3 xt5 例6设/(%)=< px4-1X〉0 ,问Q取何值时,lim/(x)存在? x+ax<0x->° 解: 因limf(x)=lim(x+a)=a,limf(x)=lim((? v+1)=2,xtO~x->0~入tO*xtO* 故当ci=2时,limf(x)=limf(x),即limf(x)存在。 XT()-xtO'XTO 例7设lim(fct+b-丄二’)=0,求常数R和b。 XTsX+1 +1 解: 因为lim(也+b——) XT8兀厶+1 恤伙一1)/+加2+也+—1 XT8+1 按有理分式当XTOO时的计算公式,若要上式右端的极限为零,必须分子中的X3,%2的系数为零,故k=l,b=O。 X+1) 例8设lim(ax-b)=-y求常数a"的值。 心8兀+12 兀+1? 解: lim(ax-b)=lim(x-ldax-b) xT8x+1—1+x =lim[(l一a)x-\_b] XT81+x 要使上述极限等于丄,必需且只需1一a二0-1-b=-.H卩a二l,b二一。 222 例9已知lim"、+""+〃=2,求a,b°XT2x2-x-2 +z7V+h 解: 因为limU2-x-2)=0且lim—=2,存在,所以 XT2xt2x--x-2 lim(x2+ar+b)=0,即4+2a+b=0(A) xt2 x1+ax+b(x-2)(x+2+a)兀+2+a4+a 又2=lim=lim=lim= xt2x2-x-222(x-2)(兀+1)兀t2%+13 得a=2,代入(A)得b=-S.故得a=2,b=-S 例10己知lim XT8 兀+c、 x =4(c工0),求c。 n-c丿 解: 因为 lim JVT8 "兀+cY lim(^^£ YT8x-C )x=lim(1+ 2c 上匚)云 x-c丿 x-c =e2c=4 所以c=ln2 解: 令+则当xt0时,fTl。 Jx+1—1十—1[•/? +/+]3 lim—t=—=lim—=lim=— “to"兀+1—1—I厂_i3r+12 例12求亦長一罷+R XT/ 解: lim仮一严+曲 ・TTa+«/“2一八2 x-aI I—-j=+a/兀一d lim七+也 J(X+d)(X-d) x—>a y! x-a*] =lim低+丽二 XT" Jx+Cl ..y[x-4a+y/x-a lim1 XT/./□Z? 4x-4ay/x-a lim/•+lim,• jVx2-a25 x2-a2 x-a lim "T"(V^+V^)v兀彳—a =+lim/ 入"Qx+a =lim—y=7=―/+lim/= (心++q2/Qx+a 2cosvxc 例13设/(x)=\f~,其中0c是已知常数,问: \ax+bx>c (1)当cHO时,应选g为何值,使/(x)为连续函数? (2) 若c=0,则a,b应为何值,/(x)为连续函数? 解: (1)a 2cosc-b C (2)b' =2卫为任意值。 x3-l 例14求函数/(%)=兀’的连续区间、间断点及其类型。 A,x=\. 乂3_i 解: tlim/(x)=lim-=lim(x2+x+1)=3, XTlXT1X~\XTl A=3时,lim/(x)=/(l), x->l F-l 从而/(X)在兀=1处连续。 又因为兀Hl时,/(X)=-—为有理分式, x-\ 在(―,1)及(1,+8)内连续。 所以当A=3时,/(兀)的连续区I'可为 (_oo,+oo); 当AH3时,vlim/(x)f(x)在兀=1处间断,连续区间为 XT】 (—00,1)及(l,+oo)。 X=1为可去间断点。 (分段函数的分段点是函数可能的间断点) 的连续区间。 例"函数畑(—2) 解: 定义域为(-00,1)U(1,2)0(2,+oo),即XH1,2.为无穷间断点,故函数的连续区间为: (-00,1)>(1,2)、(2,+oo). (初等函数的连续区间就是有定义的区间) 例16求极限limx[丄]. ”T°X 解: 因为—lv[——, XXX 当x>0时,有1-x xxto*x 当x<0时,limx[—]=1 x 所以limx[丄]=1. "TOX 又解: 因为兀[丄]=x[--(-)],(丄)为丄的小数部分,取极限即得。 X兀兀XX 例17设/(x)=sin-,证明对于满足条件-1<«<1的任何a,皆可造出 X 序列xnT0,(n=1,2,…),使lim/(xn)=a. 〃T8 Jl 解: Vag[-1,1],令兀。 =arcsina, o§彳,即有sin"。 令七=-"=12…)显然有七tO"=12…),并且 +x0 =sin—=sin(2兀龙+x0)=sinx0=a.兀“ 因此有 \imf(xn)=a. 〃T8 例18设/(兀)在[a,b]±连续,且f(a)b,证明至少存在一点 ce[a.h],使/(c)=c0 证明: 设F(x)=f(x)-x, 例17己知函数f(x)在[0,1]±非负连续,且f(O)=f(l)=O„则对任一实数 Z,(0vZv1),必有实数c,(05c51),使/(c)=/(c+Z). 证明: 作函数F(x)=/(x)-/(x+Z),则 F(0)=/(0)-/(/)<0F(l-Z)=/(0)-/(I)=/(1-/)>0 若F(0)=0,则c=0即为所求,若F(l-Z)=0,则c=1一2即为所求。 若F(0)H0,F(l—/)工0,则F(0)v0,F(l—/)>0,对连续函数F(x),由介值定理,存在0vcvl—Zvl,使F(c)=/(c)—/(c+2)=0,即 存在ce[0,l-Z],使/(c)=/(c+2). 例18设函数f(x)在[a,b]上连续,且f(a)=f(b),证明一定存在长度为耳的区间[。 0]u[«,&],使f(a)=/(/? ),即在区间S,字]上一定存在C,使/(c)=/(c+~). b—a 证明: 令F(x)=/(x)-/(x+).对F(x)用介值定理即可。 2 例19设n为自然数,函数f(x)是[0,n]上的连续函数,且f(0)=f(n),则一定存 在a,a+lw[0刖,使子(a)=/(a+1). 证明: 令g(x)=f(x+1)-/(x),则g(x)是[0,n・l]上的连续函数,且 JI-1 i>(Q=m)-/(o)=o, k=() 记M(g)=max[g(x几加(g)=min[g(兀儿则 0 加(g)Wg(R)5M(g),(R=0」2・・・/一1) m(g)<— In—I gS)=—》g伙)=0,即由g(a)=f(a+1)-/(a)=0,所以 IIk=0 /(a)=/(a+l). 例20lim寸cosj^xtO* 解: 属于“广”型,令長=$, 1Icosy-1ilimVcosVx=lim(cosy)'=1im[1+(cosy-1)|cosV_1'=e2 xt0・xtO,xt(? 例21lim(sin—+cos—)n “thnn n 解: lim(sin—+cos—)rt=lim[(sin—+cos—)2]"T+oon/I sin— 2%—2兀sin— 升T+ H— =lim(1+sin——)2=lim[(1+sin——)八]"n 例22lim(Jx+y[x一J7) A-»+oo 解: lim(V%+Vx-Vx)=lim x—>+cox—>4-00 (Jx+Vx-Vx)(vx+Vx+Vx) lim. AT+°°J*坂+VX 例23lim XT+8 xcosx =o, lim^-sinn! =0, “T+oo”+l 例24设lim/(x)存在,且/(兀)=x2+2兀lim/(兀),求/(x)・ XT1兀一>1 解: 设lim/(x)=A,则/(x)=_? +2曲,两边取xtI时的极限,得XT1 A=]+2A9可得A=-1,故f(x)=x2-2x. 例25设/(兀)连续可导,且f(x)=Inx+£f{x)dx-/z(l),求/(兀)・解: 设A=^f(x)dx,B=fX\\则/(x)=lnx+A-B,有 A=£f{x)dx=£(In兀+A-B)dx=1+(A-B)(e-1), B=/z(l)=(Inx+A-BY|,=I=1,得A=1,所以/(x)=lnx 例26设当xtO时,与兀“是同阶无穷小,则兀二[5] 例27 第三章导数与微分 例1设/(x)=(x-a)g(x),且g(x)在x=a连续,求f\a)0 解: 因为g(x)在x=a连续,故limg(x)=g(a),又 x—^a f\a)二lin/E—弘)二limH-0二恤&⑴二的° XT。 x—ax—ax^a 注意: 下面的解法是错误的。 因为/'⑴=[(x-a)g(x)]'=g(兀)+(兀一d)g'(x) 所以.厂⑺)=g(d)+(a-d)g'(a)=g(o)。 因为题中并未假定g(x)可导。 例2设f(x)=\8Msm~“°,且g(0)=g'(0)=0,证明0x=0 广(0)=0o 证明: y'(0)=limfE_=limg(x)-g(0)sin丄=0。 Z)x-0Z)x-0x 例3设/(劝在兀。 可导,证明 lim用。 +弘)-弘。 -旳=(a+b)f(Xo) 力toh 证明: lim/(xo+^)-/(xo-Z^) A->0h =Hm/(兀0+ah)一/(兀。 )+/(心)一/(兀。 一bh) /? toh lim D Ilim汕几兀。 +("")】-/("())//-»() —b・h =(Q+/? )/©()) 例4a,b为何值时,函数/(x)=X~]在兀=1处连续且可导? ax+bx>1 解: a=—\.b=2 例5设以2为周期的函数/(X)在(-oo,,+oo)可导,且 XT()2x 求曲线y=/(X)在点(3,/(3))处切线的斜率。 解: 向『⑴一/(I“)=丄]im/【I+(5一/⑴显门1)=一1, 52x2"-x2 即.厂 (1)=一2, 又因为/(x+2)=/(x),所以广(兀+2)=广⑴,从而 r(3)=
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