初中数学千题解——最值问题100题(教师版).docx

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1.如图3.1所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D为边AB的中点，点P为边AC上的动点，则PB+PD的最小值为（）

A.B.A.A.

1.解延长BC至点，使，连接、，如图4.1所示，

∴AC垂直平分，∴，∴AC平分.

∵，∴，∴为等边三角形.

∵点P为AC上一点，∴，∴，

当且仅当、P、D在同一直线上时，如图4.2所示，取得最小值.

在中，，，∴，

故答案是C.

思路点拨:

这是典型的“将军饮马”型线段和最值问题，利用对称法将动线段构造至动点P所在直线的两侧；根据“两点之间线段最短”找到最小值位置，利用勾股定理进行计算即可.

拓展若点D为边AB上任意一定点，则依旧可以根据勾股定理和60°特殊角计算的长度；若点D是边AB上的一动点，则将变为一条动线段，利用“垂线段最短”可确定最值位置还是在中点处.

2.如图3.2所示，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足，则点P到AB两点距离之和PA+PB的最小值为.

2.解令点P到AB的距离为d.

∵，∴，

∴点P为到AB距离为2的直线、上的点.

直线、关于AB对称，因此选其中一条进行计算.

作点B关于直线的对称点，连接、、，如图4.3所示，

∴，

当且仅当A、P、三点共线时取得最小值，如图4.4所示.

在中，，，

∴，

故的最小值是.

思路点拨:

这是典型的“将军饮马”型线段和最值问题.根据题目中中给出的面积关系，可判断点P的运动轨迹为直线（或称为“隐线”）；利用轴对称的性质，构造对称点，再运用线段公理获得不等式；根据勾股定理计算最值.

3.如图3.3所示，在矩形ABCD中，AD=3，点E为边AB上一点，AE=1，平面内动点P满足，则的最大值为.

3.解令点P到AB的距离为d.

∵，∴，

∴点P在到AB距离为2的直线、上，如图4.5所示.

作点E关于直线的对称点，连接并延长交直线于点P，连接EP，如图4.6所示，

∴.

当点P在直线上时，，当且仅当D、、P三点共线时取得最大值.

当点P在直线上时，，当且仅当D、E、P三点共线时取得最大值，如图4.7所示.

在Rt△ADE中，，，∴，

∴，

∴当点P为DE的延长线与直线的交点时有最大值.

思路点拨:

解法如题2，需要找出满足条件的点P所在的“隐线”，这里两条直线均要考虑（因为图形不对称）.由于两边之差小于第三边，在共线时取得最大值，故遵循“同侧点直接延长，异侧点需对称后再延长”的规律，分别计算最大值并进行大小比较.

特别说明笔者认为这里的最大值只能取一个值.改编此题的目的是让大家不要忽略矩形外的“隐线”，毕竟题中叙述点P时用的是“平面内”，而非“矩形内”.

4.已知，则y的最小值为.

4.解原式.

建立平面直角坐标系，设，，，则AB在x轴的两侧，

∴，，

∴，

当A、P、B三点共线时，y值最小，∴.

思路点拨:

若将式子看作函数，对于初中生来说解题难度较大.若换个角度，将每一个根式都看作是两点间的距离（距离公式是平面直角坐标系中的勾股定理），则将问题转化为我们熟悉的几何最值模型——两点之间线段最短.

5.已知，则y的最大值为.

5.解原式.

建立平面直角坐标系，设，，，

∴，，

∴，

当A、P、B三点共线，即点P在AB延长线上时y值最大，∴.

思路点拨:

阅读题目时需观察清楚“＋”或“－”，切不可盲目下笔.本题与题4形式相似，解法相近，但是又有所不同.将代数式转化为平面直角坐标系中的两条线段的差；利用三边关系中的两边之差小于第三边，共线时取等找到最大值.

6．如图3.4所示，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4，点D是边AB上一动点，连接CD，以AD为直径的圆交CD于点E，则线段BE长度的最小值为．

解：

连接AE，取AC得中点F，连接EF，如图4．8所示

∵AD是圆的直径

∴∠AED＝90°

∴∠AEC＝90°

∴EF＝AC＝2

∴点E的轨迹为以点F为圆心的圆弧（圆的定义）

∴BE≥BF－EF

当且仅当B、E、F三点共线时等号成立，如图4．9所示

在Rt△ABF中，AF＝2，AB＝4

∴BF＝＝＝2，

∴＝BF－EF＝2－2

思路点拨

阅读题目时要找到三条关键信息：

点E为圆周上一点，AD所对的圆周角是90°，∠DEC是平角，连接AE后就找到了定弦定角（或斜边上的中线），若一个角的度数和其所对的一条线段均为定值，则这个角的顶点的轨迹为圆（根据题目需求判断是否需要考虑两侧）．因此判断出点E的轨迹是圆（不是完整的圆，受限于点D的运动范围）．根据三角形的三边关系，知B、E、F三点共线时BE取得最小值．

7．如图3.5所示，正方形ABCD的边长是4，点E是边AB上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P时边AB上另一动点，则PD＋PG的最小值为．

解：

取BC得中点F，连接GF，作点D关于AB的对称点D′，连接D′P、D′A，如图4.10所示．

∴DP＝D′P

∵∠BGC＝90°，点F为BC的中点

∴GF＝BC＝2

∵PD＋PG＝PD′＋PG≥D′G

又D′G＋GF≥D′F

∴PD＋PG＋GF≥D′F－GF

如图4．11所示，当且仅当D′、P、G、F四点共线时取得最小值．

根据勾股定理得D′F＝＝2

∴PD＋PG的最小值为2－2

思路点拨

不难发现∠BGC＝90°是个定角，因此点G的轨迹为以BC为直径的圆（部分），可以通过斜边上的中线构造长度不变的动线段，再利用三边关系求解．

8．如图3.6所示，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为边AD、DC上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为边BC上一动点，则PA＋PG的最小值为．

解：

作点A关于BC的对称点A′，连接A′B、A′P、DG，如图4.12所示

∴PA′＝PA

∴PA＋PG＝PA′＋PG

∵∠ADC＝90°，EF＝2

∴DG＝EF＝1

∵PA′＋PG＋DG≥A′D

∴PA′＋PG≥A′D－DG

如图4．13所示，当且仅当A′、P、G、D四点共线时等号成立

根据勾股定理得

A′D＝＝＝5

∴PA＋PG的最小值为4．

思路点拨

与题7的已知条件是相似的，解法几乎一致，抓住核心条件，线段EF始终不变，线段EF所对的角为直角，因此斜边上的中线DG始终不变，从而判断出点G的轨迹图形为圆．利用轴对称的性质将线段和最小值问题转化为点到动点的距离最小值问题，再根据圆外一点到圆周上一点的距离最值求解．

9．在平面直角坐标系中，A（3，0），B（a，2），C（0，m），D（n，0），且m2＋n2＝4，若点E为CD的中点，则AB＋BE的最小值为（）

A．3 B．4 C．5 D．25

解：

∵C（0，m），D（n，0），m2＋n2＝4，

∴CD2＝4，

∴CD＝2

在Rt△COD中，点E为CD的中点

∴OE＝1，即点E在以O为圆心，1为半径的圆上．

作图4．14，连接OE，过点A作直线y＝2的对称点A′，连接A′B、A′O

∴A′（3，4）

∴AB＋BE＝A′B＋BE＝A′B＋BE＋EO－EO≥A′O－EO

如图4.15所示，当且仅当A′、B、E、O四点共线时等号成立．

根据勾股定理得A′O＝＝5

∴AB＋BE的最小值为4

思路点拨

根据两点之间的距离公式m2＋n2＝CD2，得到CD的长度；由已知条件判断出OE为斜边上的中线，OE＝CD（定值）；根据圆的定义可知点E的轨迹是以坐标原点为圆心、CD为半径的圆；利用对称的性质将线段和的最值问题转化为圆外一点到圆周上一点的距离最值问题．

10．如图3.7所示，AB＝3，AC＝2，以BC为边向上构造等边三角形BCD，则AD的取值范围为．

解：

以AB为边向上作等边△ABE，连接DE，如图4．16所示

∴AB＝BE，CB＝BD，∠ABC＝∠EBD＝60°－∠CBE

在△ABC和△EBD中

∴△ABC≌△EBD（SAS）

∴DE＝AC＝2

∴点D的轨迹是以点E为圆心，2为半径的圆．

∴AE－ED≤AD≤AE＋ED

如图4．17和图4．18所示，当且仅当A、E、D三点共线时取得最值

∴1≤AD≤5

思路点拨

这样理解AB＝3，AC＝2这个条件：

固定一边AB，∠CAB可以自由变化，因此点C的轨迹是以点A为圆心、2为半径的圆．通过构造全等图形找出点D的运动轨迹．利用圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题．

拓展本题的解法较多，对于“定点＋动点”的最值问题，探究动点的轨迹图形时直接的方法．

11.如图3.8所示，AB=3，AC=2，以BC为腰（点B为直角顶点）向上构造等腰直角三角形BCD，则AD的取值范围为；

解答：

以AB为腰做等腰直角△ABE（∠ABE=90°），连接DE，如图4.19所示，

∴AE=2AB=32，∠ABC=∠EBD=90°－∠CBE，

在△ABC和△EBD中

AB=BE∠ABC=∠EBDCB=BD

∴△ABC≌△EBD（SAS）

∴ED=AC=2

∴点D的轨迹为以点E为圆心、2为半径的圆

∴AE－ED≤AD≤AE＋ED

如图4.20和图4.21所示，当且仅当A，E，D三点共线时取得最值，

∴32－2≤AD≤32＋2

思路点拨：

解题方法基本同上题，也是通过构造全等图形找出点D的运动轨迹上，再利用圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题

12.如图3.9所示，AB=4，AC=2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，则AD的取值范围为，

解答：

以AB为底边构造等腰直角△AEB（∠AEB=90°），连接DE，如图4.22所示，

∴AE=22AB=22，∠EBA=∠CBD=45°

∵ABEB=CBDB=2∠ABC=∠EBD=45°－∠CBE

∴△ABC∽△EBD

∴DE=22AC=2

∴点D的轨迹为以点E为圆心、2为半径的圆

AE－ED≤AD≤AE＋ED

如图4.23和图4.24所示，当A、E、D三点共线时取得最值

∴2≤AD≤32

思路点拨：

与前面两题不同的是，由于旋转中心不再是等腰三角形顶角的顶点，因此构造全等图形变成构造相似图形，从而找出点D的运动轨迹，最后根据圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题

13.如图3.10所示，AB=4，AC=2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD=PD，则PB的取值范围为，

解答：

以AB为底边构造等腰直角△AEB（∠AEB=90°），连接DE，如图4.25所示，

∴AE=22AB=22，∠EBA=∠CBD=45°

∵ABEB=CBDB=2∠ABC=∠EBD=45°－∠CBE

∴△ABC∽△EBD

∴DE=22AC=2

∴点D的轨迹为以点E为圆心、2为半径的圆

延长AE至点Q，使AE=EQ，连接PQ、BQ，

∵AD=DP，∴DQ=2DE=22

如图4.23和图4.24所示，当A、E、D三点共线时取得最值

∵BE垂直平分AQ，∴AB=BQ

∵∠QAB=45°，∴△ABQ为等腰直角三角形，∴BQ=AB=4

∴BQ－PQ≤PB≤BQ＋PQ

如图4.26和图4.27所示，当B、P、Q三点共线时取得最值

∴4－22≤PB≤4＋22

思路点拨：

注意到点P的产生与中点有关，点P的运动与点D“捆绑”在一起，故可通过构造中位线来判断点P的运动轨迹，再利用圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题

14.如图3.11所示，正六边形ABCDEF的边长为2，两顶点A、B分别在x轴和y轴上运动，则顶点D到坐标原点O的距离的最大值和最小值的乘积为；

解答：

取AB的中点G，连接DG、OG，如图4.28所示，

∵∠AOB=∠xOy=90°，∴OG=12AB=1，

连接DB、OD

∴△DCB为等腰三角形

∵∠C=120°，∴∠DBC=30°，DB=3DC=23，

∴∠DBA=120°－30°=90°

在Rt△DGB，GB=1，∴DG=DB2+GB2=232+12=13

∴DG－OG≤OD≤OG＋DG

当且仅当O、G、D三点共线时取得最值

D、G在点O同侧时取得最大值，在点O异侧时取最小值，如图4.29所示，

∴13－1≤OD≤13＋1

∴OD的最大值和最小值乘积为13-113+1=12

思路点拨：

这个是“墙角”型问题，类似于梯子在墙角滑动，将墙角变为平面直角坐标系，这样移动的范围能扩大到负方向；利用“墙角”产生的直角，以及AB边长不变的特点，作出AB的中点G，利用斜边上的中线OG和位置固定的两点D、G来构造两条大小不变、位置变化的线段OG、DG；利用两边之和与两边之差得到OD的最大值和最小值；

另辟蹊径：

利用相对运动的知识，我们假设正六边形是不变的，坐标系可以绕着正六边形运动；利用∠AOB=90°，AB=2，判断出点O的运动轨迹为一个圆，如图4.30所示，

利用圆外一点到圆周上的距离最值解得OD的最大值和最小值；读者可以自行计算验证

15.如图3.12所示，AB=4，点O为AB的中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，△PBC是以PB为直角边的等腰直角三角形（点P、B、C按逆时针方向排列），则AC的取值范围为；

解答：

如图4.31所示，以OB为腰向上构造等腰直角△OBQ，连接OP、CQ、AQ；

在等腰直角△OBQ和等腰直角△BPC中，CBBP=QBBO=2，∠QBO=45°，

∴∠CBQ=45°－∠QBP=∠PBO，∴△CBQ∽△PBO

∴OPCQ=OBBQ=22，∴CQ=2

∴点C在以点Q为圆心，2为半径的圆上，

∵OQ=OB=OA=2，∠QOB=90°

∴AQ=AQ2+OQ2=22

∴AQ－QC≤AC≤AQ＋QC

如图4.32和图4.33所示，当且仅当A、C、Q三点共线时取得最值，

∴2≤AC≤32

思路点拨：

由于△PBC形状固定，两个动点P、C到点B的距离之比始终不变，这是比较典型的位似旋转，也可理解为点P、C“捆绑”旋转；旋转过程中，点C的轨迹与点P的轨迹图形相似，相似比为2:

1；利用相似找出动点C轨迹的圆心，AC的最值即定点A到定圆上一动点的距离的最值

16.如图3.13所示，⊙O的半径为3，Rt△ABC的顶点A、B在⊙O上，∠B＝90°，点C在⊙O内，且tanA＝.当点A在圆上运动时，OC的最小值为（）

A.B.C.D.

答案：

连接OB，过点B向下作BD⊥OB，取BD＝OB，连接AD，如图4.34所示.

∵∠CBA＝∠OBD＝90°，∴∠OBC＝90°－∠OBA＝∠DBA.

∴＝＝，∴△OCB∽△DAB，∴＝.

∵AD≥OD－OA＝－OA＝2，当且仅当O、A、D三点共线时取得最值，

∴OC＝AD≥×2＝.

思路点拨

又是比较典型的位似旋转问题，我们利用相似的性质将OC的最值问题转化为AD的最值问题.通过旋转型相似构造Rt△OBD，其中∠OBD＝90°，∠ODB＝∠CAB，因此点D为定点.另外，由△OCB∽△DAB得到OC和AD之间的固定比例，从而可利用AD的最值求解OC的最值.AD的最值即为圆外一点到圆周上一点的距离最值.

另辟蹊径根据直径所对的圆周角为90°，找到直径AD，而∠ACD＝180°－∠ACB为定值，因此由定弦定角得出点C的轨迹为圆弧，可根据图4.35所示计算OC的最小值.

17.如图3.14所示，在平面直角坐标系中，Q（3，4），点P是以Q为圆心、2为半径的⊙Q上一动点，A（1，0），B（－1，0），连接PA、PB，则PA2＋PB2的最小值是___________.

答案：

连接OP、QP、OQ，如图4.36所示.设P（x，y）.

根据两点距离公式得

∴PA2＝（x－1）2＋y2，PB2＝（x＋1）2＋y2，

∴PA2＋PB2＝2x2＋2y2＋2＝2（x2＋y2）＋2.

∴OP＝，∴OP2＝x2＋y2，∴PA2＋PB2＝2OP2＋2，

要求PA2＋PB2的最小值，即求OP2的最小值，也就是求OP的最小值，∴OP≥OQ－PQ，

如图4.37所示，当且仅当O、P、Q三点共线时取得最值，

∴OP＝5－2＝3，∴PA2＋PB2＝2OP2＋2≥2×32＋2＝20.

思路点拨

根据PA2＋PB2这样的形式，产生两个联想，一是勾股定理，二是坐标公式.要使用勾股定理，就得把PA和PB构造为两条直角边，在题图中难以实现，所以转而利用坐标公式表达，我们便发现PA2＋PB2与OP2的联系，而OP的最小值即圆外一点到圆周上一点的距离最小值.

弦外之音我们会发现，虽然点P在动，但OP始终是△ABP边AB上的中线，且AB是个定值，我们可以直接利用中线长公式得到PA2＋PB2＝2OP2＋，接下来的计算和上面是一致的.公式的应用有助于对思路的拓展，因此学有余力的同学可以自行推导中线长公式（仅用勾股定理即可）.

18.如图3.15所示，两块三角尺的直角顶点靠在一起，BC＝3，EF＝2，G为DE上一动点.将三角尺DEF绕直角顶点F旋转一周，在这个旋转过程中，B、G两点的最小距离为___________.

答案：

在Rt△DEF中，CE＝2，∠CDE＝30°，∴DF＝2，DE＝4.

如图4.38所示，当点G与点D重合时，CGmax＝DF＝2，

当CG⊥DE时，CGmin＝h＝＝＝，

∴≤CG≤2.

当CG＝3时，以C为圆心、CG为半径的圆恰好经过点B.

在△DEF旋转的过程中，点G会经过点B.

因此，当BG恰好重合时，BG取得最小值为0.

思路点拨

这是个“特别”的题，点G是DE上一动点，因此在转动的过程中，点G的轨迹不是线而是面，这个面的形状为以点C为圆心、分别以CGmin和CGmax为半径的同心圆环，点B也在这个“面轨迹”中，因此BG的最小值为0.

19.如图3.16所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为（）

A.1B.C.D.2

答案：

连接BD，如图4.39所示.

∵△ADC与△ABC关于AC对称，∠ACB＝30°，∴BC＝CD，∠BCD＝60°，

∴△BDC是等边三角形，∴BD＝CD，∠BDC＝∠BCD＝60°.

在△BDE和△DCF中，BD＝CD，∠BDC＝∠BCD，DE＝CF，

∴△BDE≌△DCF（SAS），∴∠BED＝∠DFC.

∵∠BED＋∠PEC＝180°，∴∠PEC＋∠DFC＝180°，

∴∠DCF＋∠EPF＝∠DCF＋∠BPD＝180°.

∵∠DCF＝60°，∴∠BPD＝120°.

∵点P在运动中保持∠BPD＝120°，

∴点P的运动路径为以A为圆心、AB为半径的120°的弧.

当C、P、A三点共线时，CP能取到最小值，如图4.40所示，

∴CP≥AC－AP＝2，即线段CP的最小值为2.

思路点拨

需要熟悉等边三角形中的常见全等图形.因为点P在运动中保持∠BPD＝120°，BD又是定长，所以点P的路径是一段以点A为圆心的弧，于是将CP的最小值转化为圆外一点到圆上一点的距离最小值.

20.如图3.17所示，sinO＝，长度为2的线段DE在射线OA上滑动，点C在射线OB上，且OC＝5，则△CDE周长的最小值为___________.

答案：

过点C作CC'∥DE且CC'＝DE，连接C'E，如图4.41所示，

∴四边形CC'ED为平行四边形，∴C'E＝CD.

作点C关于OA的对称点C″，连接C″E、C″D、C″C，∴CE＝C″E，

∴CD＋CE＝C'E＋CE＝C'E＋C'″E≥C'C"，

当且仅当C'、E、C"三点共线时取得最值，如图4.42所示.

∵CC"关于OA对称，∴OA垂直平分CC"，

∴CC"＝2CF＝2OC·sinO＝6.

在Rt△CC'C"中，C'C"＝＝2，

∴△CDE周长的最小值为2＋2.

思路点拨

因为DE为定值，所以△CDE周长的最小值问题转变为CD＋CE的最小值问题.似“饮马”非“饮马”，注意观察，这是一定两动问题.利用平移将动线段DE“压缩”为一个动点；轴对称后根据两点之间线段最短找到最小值线段，再根据勾股定理计算即可解决问题.

21、如图3.18所示，在矩形ABCD中，AB=6，MN在边AB上运动，MN=3，AP=2，BQ=5，则PM+MN+NQ的最小值是______________。

解：

作，作点关于直线AB的对称点，连接，连接、，作于点H，如图4.43所示，四边形MNQQ’为平行四边形，，

，如图4.44所示，当P、M、三点共线时，取得最小值。

关于AB对称，，AH=BQ=5，PH=AP+AH=2+5=7。

在Rt△PH中，=3，，PM+MN+NQ的最小值为3+。

思路点拨：

作∥，使得，作点关于AB的对称点，连接，当P、M、三点共线时，PM+MN+NQ的值最小。

作，利用勾股定理求出即可解决问题。

22、如图3.19所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=900，AB=6，D为AB的中点，E为CD上的点，且CE=2DE，PQ为AB上的动线段，PQ=1，F为AC上的动点，连接EQ、FP，则EQ+FP的最小值为__________。

解：

过点E作EE’∥PQ，取EE’=PQ=1，作点E’关于AB的对称点E’’，连接E’P、E’’P，如图4.45所示，四边形EE’PQ为平行四边形，E’P=E’’P，E’P=EQ，EQ+FP=E’P+FP=E’’P+FPE’’F，如图4.46所示，当且仅当E’’、P、F三点共线且E’’F⊥AC时取到最小值。

当E’’F⊥AC时，设E’E’’与AD的交点为G，E’’F与AD的交点为H，如图4.47所示。

E’与E’’关于AB对称，E’’G=E’G=ED=1，AG=2，∠A=450，∠FHA=∠E’’HG=450，HG=E’’G=1，AH=AG－HG=1。

在等腰直角△AFH和△HGE’’中，AH=1，HG=1，FH=，E’’H=，E’’F=E’’H+FH=，当E’’F⊥AC时，E’’F取得最小值为。

思路点拨：

作EE’∥PQ，取EE’=PQ，构造平行四边形，将EQ+FP的长度转化为E’P＋FP的长度来找最小值。

作对称点，构造“将军饮马”模型，再利用“垂线段最短”求出最小值。

与题21类似，本题也要将线段PQ“压缩”为一个点，属于平移后求垂线段长度的问题。

23、如图3.20所示，在正方形ABCD中，AB=4，E、F分别为AB、AD的中点，MN和PQ分别是边BC、CD上的线段，MN=PQ=1，依次连接EM、NP、QF、EF，则六边形EMNPQF周长的最小值为________