高中数学第一章导数及其应用113导数的几何意义课时作业新人教版选修9.docx
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高中数学第一章导数及其应用113导数的几何意义课时作业新人教版选修9
1.1.3 导数的几何意义
明目标、知重点
1.了解导函数的概念;了解导数与割线斜率之间的关系.
2.理解曲线的切线的概念;理解导数的几何意义.
3.会求曲线上某点处的切线方程,初步体会以直代曲的意义.
1.导数的几何意义
(1)割线斜率与切线斜率
设函数y=f(x)的图象如图所示,AB是过点A(x0,f(x0))与点B(x0+Δx,f(x0+Δx))的一条割线,此割线的斜率是=.
当点B沿曲线趋近于点A时,割线AB绕点A转动,它的极限位置为直线AD,这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线.于是,当Δx→0时,割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k,即k=f′(x0)=.
(2)导数的几何意义
函数y=f(x)在点x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.也就是说,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f′(x0).相应地,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
2.函数的导数
当x=x0时,f′(x0)是一个确定的数,则当x变化时,f′(x)是x的一个函数,称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数).f′(x)也记作y′,
即f′(x)=y′=.
[情境导学]
如果一个函数是路程关于时间的函数,那么函数在某点处的导数就是瞬时速度,这是函数的实际意义,那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数,它具有怎样的几何意义呢?
这就是本节我们要研究的主要内容.
探究点一 导数的几何意义
思考1 如图,当点Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,割线PPn的变化趋势是什么?
答 当点Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线,该切线的斜率为,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k=f′(x0).
思考2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点?
答 不一定.曲线的切线和曲线不一定只有一个交点,和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切.如图,曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线.其图象特征是:
切点附近的曲线均在切线的同侧,如l2.
思考3 曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与曲线过某点(x0,y0)的切线有何不同?
答 曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点,只要求出k=f′(x0),利用点斜式写出切线即可;而曲线f(x)过某点(x0,y0)的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,既使在曲线上也不一定是切点.
小结 曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k=f′(x0),欲求斜率,先找切点P(x0,f(x0)).
思考4 如何求曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程?
答 先确定切点P(x0,f(x0)),再求出切线的斜率k=f′(x0),最后由点斜式可写出切线方程.
例1 已知曲线y=x2,
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.
解
(1)设切点为(x0,y0),
∵y′|x=x0=
==2x0,
∴y′|x=1=2.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为
y-1=2(x-1),即y=2x-1.
(2)点P(3,5)不在曲线y=x2上,设切点为(x0,y0),
由
(1)知,y′|x=x0=2x0,
∴切线方程为y-y0=2x0(x-x0),
由P(3,5)在所求直线上得
5-y0=2x0(3-x0),①
再由A(x0,y0)在曲线y=x2上得y0=x,②
联立①,②得,x0=1或x0=5.
从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25).
当切点为(1,1)时,
切线的斜率为k1=2x0=2,
此时切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,
当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10,
此时切线方程为y-25=10(x-5),
即y=10x-25.
综上所述,过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程为y=2x-1或y=10x-25.
小结
(1)求曲线上某点处的切线方程,可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率,然后利用点斜式写出切线方程;
(2)求曲线过某点的切线方程,要先求出切点坐标,再按
(1)完成解答.
跟踪训练1 已知曲线y=2x2-7,求:
(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x-y-2=0?
(2)曲线过点P(3,9)的切线方程.
解 y′=
=
=(4x+2Δx)=4x.
(1)设切点为(x0,y0),则4x0=4,x0=1,y0=-5,
∴切点坐标为(1,-5).
即曲线上点(1,-5)的切线平行于直线4x-y-2=0.
(2)由于点P(3,9)不在曲线上.
设所求切线的切点为A(x0,y0),则切线的斜率k=4x0,
故所求的切线方程为y-y0=4x0(x-x0).
将P(3,9)及y0=2x-7代入上式,
得9-(2x-7)=4x0(3-x0).
解得x0=2或x0=4,所以切点为(2,1)或(4,25).
从而所求切线方程为8x-y-15=0和16x-y-39=0.
跟踪训练2 若曲线y=x3+3ax在某点处的切线方程为y=3x+1,求a的值.
解 ∵y=x3+3ax.
∴y′=
=
=[3x2+3xΔx+(Δx)2+3a]=3x2+3a.
设曲线与直线相切的切点为P(x0,y0),
结合已知条件,得
解得
∴a=1-.
探究点二 导数与函数的单调性
思考1 观察下边两个图形,在曲线的切点附近(Δx→0时)曲线与那一小段线段有何关系?
答 能在曲线的切点附近,曲线与切线贴合在一起,可用切线近似代替曲线.
思考2 按照切线近似代替曲线的思想,切线的单调性能否表示曲线的变化趋势?
如上左图,若在某一区间上曲线上各点的切线斜率均为负,则可判定在该区间上曲线的单调性如何?
答 在连续区间上切线斜率的正负,对应了曲线的单调性.
思考3 如上右图,当t在(t0,t2)上变化时,其对应各点的导数值变化吗?
会怎样变化?
答 会.当t变化时h′(t)便是t的一个函数,我们称它为h(t)的导函数.
例2 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象.根据图象,请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近的变化情况.并讨论在(t0,t1)和(t1,t2)两个区间上函数的单调性.
解 用曲线h(t)在t0,t1,t2处的切线,刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.
(1)当t=t0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行于t轴.所以,在t=t0附近曲线比较平坦,几乎没有升降.
(2)当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0.所以,在t=t1附近曲线下降,即函数h(t)在t=t1附近单调递减.
(3)当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0.所以,在t=t2附近曲线下降,即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.
(4)从图中可以看出,直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度,这说明曲线h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢.在(t0,t1)和(t1,t2)上各个切点处的斜率均为负,故函数在这两个区间上均为减函数,在(t1,t2)上函数下降的更快.
反思与感悟 1.导数与函数图象升降的关系:
(1)若函数y=f(x)在x=x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零),则函数y=f(x)在x=x0附近的图象是上升的;若f′(x0)<0(即切线的斜率小于零),则函数y=f(x)在x=x0附近的图象是下降的.
(2)导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢.
2.导数与函数单调性的关系:
(1)若函数y=f(x)在区间[a,b]恒有f′(x)>0,则y=f(x)在区间[a,b]上是增函数;若恒有f′(x)<0,则y=f(x)在区间[a,b]上是减函数.
(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]是增函数,则f′(x)≥0;若函数y=f(x)在区间[a,b]是减函数,则f′(x)≤0.
跟踪训练3
(1)根据例2图象,描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况.
解 函数h(t)在t3、t4处的切线的斜率h′(t)>0,所以,在t=t3,t=t4附近单调递增,且曲线h(t)在t3附近比在t4附近递增得快.
(2)若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是( )
答案 A
解析 依题意,y=f′(x)在[a,b]上是增函数,则在函数f(x)的图象上,各点的切线的斜率随着x的增大而增大,观察四个选项的图象,只有A满足.
1.已知曲线y=f(x)=2x2上一点A(2,8),则点A处的切线斜率为( )
A.4B.16C.8D.2
答案 C
解析 f′
(2)=
==(8+2Δx)=8,即k=8.
2.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则( )
A.a=1,b=1B.a=-1,b=1
C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1
答案 A
解析 由题意,知k=y′|x=0
==1,
∴a=1.
又(0,b)在切线上,∴b=1,故选A.
3.已知曲线y=f(x)=2x2+4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为________.
答案 (3,30)
解析 设点P(x0,2x+4x0),
则f′(x0)=
==4x0+4,
令4x0+4=16得x0=3,∴P(3,30).
[呈重点、现规律]
1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k==f′(x0),物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.
2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值,不是变数,“导函数”是一个函数,二者有本质的区别,但又有密切关系,f′(x0)是其导数y=f′(x)在x=x0处的一个函数值.
3.利用导数求曲线的切线方程,要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上,则以该点为切点的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);若已知点不在切线上,则设出切点(x0,f(x0)),表示出切线方程,然后求出切点.
一、基础过关
1.下列说法正确的是( )
A.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处就没有切线
B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f′(x0)必存在
C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在
D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f′(x0)有可能存在
答案 C
解析 k=f′(x0),所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在,而当斜率不存在时,切线方程也可能存在,其切线方程为x=x0.
2.已知y=f(x)的图象如图所示,则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A.f′(xA)>f′(xB)
B.f′(xA) C.f′(xA)=f′(xB) D.不能确定 答案 B 解析 由导数的几何意义,f′(xA),f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率,由图象可知f′(xA) 3.在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是( ) A.(0,0)B.(2,4) C.(,)D.(,) 答案 D 解析 ∵y′= =(2x+Δ
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- 高中数学 第一章 导数 及其 应用 113 几何 意义 课时 作业 新人 选修