新人教A版新教材学高中数学必修第一册第二章一元二次函数方程和不等式等式性质与不等式性质讲义.docx

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新人教A版新教材学高中数学必修第一册第二章一元二次函数方程和不等式等式性质与不等式性质讲义

最新课程标准：

梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．

知识点一　实数大小比较

１．文字叙述

如果a—b是正数，那么a>b；

如果a—b等于0，那么a＝b；

如果a—b是负数，那么a

２．符号表示

a—b>0⇔a>b；

a—b＝0⇔a＝b；

a—b<0⇔a

　比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a—b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a—b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．

知识点二　不等式的性质

性质

别名

性质内容

注意

１

对称性

a>b⇔b

可逆

２

传递性

a>b，b>c⇒a>c

３

可加性

a>b⇔a＋c>b＋c

可逆

４

可乘性

⇒ac>bc

c的符号

⇒ac

５

同向

可加性

⇒a＋c>b＋d

同向

6

同向同正

可乘性

⇒ac>bd

同向

7

可乘方性

a>b>0⇒an>bn

（n∈N，n≥２）

同正

　（１）性质３是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a＋b>c⇒a>c—Ｂ．性质３是可逆性的，即a>b⇔a＋c>b＋Ｃ．

（２）注意不等式的单向性和双向性．性质１和３是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．

（３）在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．

[教材解难]

教材P４0思考

等式有下面的基本性质：

性质１　如果a＝b，那么b＝a；

性质２　如果a＝b，b＝c，那么a＝c；

性质３　如果a＝b，那么a±c＝b±c；

性质４　如果a＝b，那么ac＝bc；

性质５　如果a＝b，c≠0，那么

＝

.

[基础自测]

１．大桥桥头竖立的“限重４0吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系（　　）

Ａ．T<４0　　　　　　　　Ｂ．T>４0

Ｃ．T≤４0Ｄ．T≥４0

解析：

“限重４0吨”是不超过４0吨的意思．

答案：

C

２．设M＝x２，N＝—x—１，则M与N的大小关系是（　　）

Ａ．M>NＢ．M＝N

Ｃ．M

解析：

因为M—N＝x２＋x＋１＝

２＋

>0，所以M>N.

答案：

A

３．已知x

Ａ．x２ax>a２

Ｃ．x２a２>ax

解析：

因为xa２；不等号两边同时乘x，则x２>ax，故x２>ax>a２.

答案：

B

４．若１≤a≤５，—１≤b≤２，则a—b的取值范围为________．

解析：

因为—１≤b≤２，所以—２≤—b≤１，

又１≤a≤５，所以—１≤a—b≤6．

答案：

—１≤a—b≤6

题型一　比较大小[教材P３8例１]

例１　比较（x＋２）（x＋３）和（x＋１）（x＋４）的大小．

【解析】　因为（x＋２）（x＋３）—（x＋１）（x＋４）

＝（x２＋５x＋6）—（x２＋５x＋４）

＝２>0，

所以（x＋２）（x＋３）>（x＋１）（x＋４）．

　通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系.

教材反思

用作差法比较两个实数大小的四步曲

跟踪训练１　若f（x）＝３x２—x＋１，g（x）＝２x２＋x—１，则f（x）与g（x）的大小关系是（　　）

Ａ．f（x）

Ｂ．f（x）＝g（x）

Ｃ．f（x）>g（x）

Ｄ．随x值变化而变化

解析：

f（x）—g（x）＝（３x２—x＋１）—（２x２＋x—１）

＝x２—２x＋２＝（x—１）２＋１>0，

所以f（x）>g（x）．故选Ｃ．

答案：

C

→

→

→

题型二　不等式的性质[经典例题]

→

例２　对于实数a、b、c，有下列说法：

１若a>b，则ac

２若ac２>bc２，则a>b；

３若aab>b２；

４若c>a>b>0，则

>

；

５若a>b，

>

，则a>0，b<0．

其中正确的个数是（　　）

Ａ．２　　　　　　　　　　　Ｂ．３

Ｃ．４Ｄ．５

【解析】　对于１，令c＝0，则有ac＝bc.１错．

对于２，由ac２>bc２，知c≠0，

∴c２>0⇒a>b.２对．

对于３，由a

两边同乘以a得a２>ab，

两边同乘以b得ab>b２，

∴a２>ab>b２.３对．

对于４，

⇒0

⇒

⇒

>

.４对．

对于５，

⇒

⇒a>0，b<0．５对．

故选Ｃ．

答案：

C

方法归纳

（１）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．

（２）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：

一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．

跟踪训练２　（１）已知a

A.４a<４b

Ｂ．—４a<—４b

Ｃ．a＋４

Ｄ．a—４

（２）对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（　　）

Ａ．若a>b，c≠0，则ac>bc

Ｂ．若a>b，则ac２>bc２

Ｃ．若ac２>bc２，则a>b

Ｄ．若a>b，则

<

解析：

（１）根据不等式的性质，a0⇒４a<４b，A项正确；a—４b，B项错误；a

利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件．

（２）对于选项A，当c<0时，不正确；对于选项B，当c＝0时，不正确；对于选项C，∵ac２>bc２，∴c≠0，∴c２>0，∴一定有a>b.故选项C正确；对于选项D，当a>0，b<0时，不正确．

答案：

（１）B　（２）C

题型三　利用不等式性质求范围[经典例题]

例３　已知—２

（１）|a|；（２）a＋b；（３）a—b；（４）２a—３b.

【解析】　（１）|a|∈[0,３]；（２）—１

（３）依题意得—２

（４）由—２

由１≤b<２得—6<—３b≤—３　２，

由１２得，—１0<２a—３b≤３．

　运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向.

方法归纳

利用不等式性质求范围的一般思路

（１）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；

（２）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；

（３）结合不等式的传递性进行求解．

跟踪训练３　已知实数x，y满足：

１

（１）求xy的取值范围；

（２）求x—２y的取值范围．

解析：

（１）∵１

（２）由（１）知１

　（１）根据不等式的性质6可直接求解；

（２）求出—２y的取值范围后，利用不等式的性质５即可求x—２y的取值范围.

课时作业7

一、选择题

１．若A＝a２＋３ab，B＝４ab—b２，则A、B的大小关系是（　　）

Ａ．A≤B　　　Ｂ．A≥B

Ｃ．ABＤ．A>B

解析：

因为A—B＝a２＋３ab—（４ab—b２）＝

２＋

b２≥0，所以A≥B.

答案：

B

２．已知：

a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是（　　）

Ａ．若a>b，c>b，则a>cＢ．若a>—b，则c—a

Ｃ．若a>b，c

>

Ｄ．若a２>b２，则—a<—b

解析：

选项A，若a＝４，b＝２，c＝５，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0b>0时才可以．否则如a＝—１，b＝0时不成立．

答案：

B

３．若—１<α<β<１，则下列各式中恒成立的是（　　）

Ａ．—２<α—β<0Ｂ．—２<α—β<—１

Ｃ．—１<α—β<0Ｄ．—１<α—β<１

解析：

∵—１<β<１，∴—１<—β<１．

又—１<α<１，∴—２<α＋（—β）<２，

又α<β，∴α—β<0，即—２<α—β<0．故选Ａ．

答案：

A

４．有四个不等式：

１|a|>|b|；２ab３.若

<

<0，则不正确的不等式的个数是（　　）

Ａ．0Ｂ．１

Ｃ．２Ｄ．３

解析：

由

<

<0可得bb，２不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋bb３，４正确．故不正确的不等式的个数为２．

答案：

C

二、填空题

５．已知a，b均为实数，则（a＋３）（a—５）________（a＋２）（a—４）（填“>”“<”或“＝”）．

解析：

因为（a＋３）（a—５）—（a＋２）（a—４）＝（a２—２a—１５）—（a２—２a—8）＝—7<0，所以（a＋３）（a—５）<（a＋２）（a—４）．

答案：

<

6．如果a>b，那么c—２a与c—２b中较大的是________．

解析：

c—２a—（c—２b）＝２b—２a＝２（b—a）<0．

答案：

c—２b

１a>b⇒a２>b２；２a２>b２⇒a>b；３a>b⇒

<１；４a>b，c>d⇒ac>bd；５a>b，c>d⇒a—c>b—d.

其中错误的命题是________（填写相应序号）．

解析：

由性质7可知，只有当a>b>0时，a２>b２才成立，故１２都错误；对于３，只有当a>0且a>b时，

<１才成立，故３错误；由性质6可知，只有当a>b>0，c>d>0时，ac>bd才成立，故４错误；对于５，由c>d得—d>—c，从而a—d>b—c，故５错误．

答案：

１２３４５

三、解答题

8．已知x<１，比较x３—１与２x２—２x的大小．

解析：

x３—１—（２x２—２x）＝x３—２x２＋２x—１

＝（x３—x２）—（x２—２x＋１）＝x２（x—１）—（x—１）２

＝（x—１）（x２—x＋１）＝（x—１）·

，

因为x<１，所以x—１<0，

又因为

２＋

>0，

所以（x—１）

<0，

所以x３—１<２x２—２x.

9．若bc—ad≥0，bd>0．求证：

≤

.

证明：

因为bc—ad≥0，所以ad≤bc，

因为bd>0，所以

≤

，

所以

＋１≤

＋１，所以

≤

.

[尖子生题库]

１0．设f（x）＝ax２＋bx,１≤f（—１）≤２,２≤f（１）≤４，求f（—２）的取值范围．

解析：

方法一　设f（—２）＝mf（—１）＋nf（１）（m，n为待定系数），

则４a—２b＝m（a—b）＋n（a＋b）＝（m＋n）a＋（n—m）b，

于是得

，解得

∴f（—２）＝３f（—１）＋f（１）．

又∵１≤f（—１）≤２,２≤f（１）≤４．

∴５≤３f（—１）＋f（１）≤１0，

故f（—２）的取值范围是[５,１0]．

方法二　由

，得

，

∴f（—２）＝４a—２b＝３f（—１）＋f（１）．

又∵１≤f（—１）≤２,２≤f（１）≤４，

∴５≤３f（—１）＋f（１）≤１0，

故f（—２）的取值范围是[５,１0].