八上 一次函数与方程组不等式 知识点+例题+练习 非常好 分类全面.docx
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八上一次函数与方程组不等式知识点+例题+练习非常好分类全面
教学内容
一次函数的应用、一次函数与二元一次方程组、不等式的关系
教学目标
掌握一次函数的应用、一次函数与二元一次方程组、不等式的关系
重点
一次函数与二元一次方程组、不等式的关系
难点
一次函数与二元一次方程组、不等式的关系
教学过程
6.4用一次函数解决问题
一、温故知新
知识点1建立一次函数解决问题
1.建立函数表达式有以下三种方法:
根据基本的数量之间存在的关系列函数表达式,如长方形的面积=长*宽;路程=速度*时间。
若题目中明确给出两变量之间存在的函数关系,则可用待定系数法列函数表达式。
若题目中明确给出两变量变化关系的图像,则由图像分辨出函数类型,进而用待定系数法列函数表达式。
注:
在运用一次函数解决实际问题时,首先判断问题中的两变量之间的关系是不是一次函数关系,若是,则可求出表达式,并用一次函数的性质解决问题。
例1从2014年起,中国的鞋号已“变脸”,新的国家标准要求鞋号用毫米数标注.据了解大多数市民还不了解此新标准,小明对新旧鞋号的标注变化进行了对比研究,发现新标准鞋子毫米数y与旧鞋号x之间存在着一次函数关系,并得到相关数据如下:
旧鞋号x
36
38
40
新标准毫米数y
230
240
250
(1)请你帮助小明根据上述数据归纳出新标准毫米数与旧鞋号标注之间的换算关系式,并用一句简明的数学语言来表示;
(2)如果小明的爸爸穿的一双42号凉鞋坏了,准备买一双同样尺寸的新凉鞋,那么应买一双多少毫米数的新凉鞋?
例2某种拖拉机的油箱可储油40L,加满油并开始工作后,油箱中的余油量y(L)与工作时间x(h)之间为一次函数关系,如图所示.
(1)求y与x的函数解析式.
(2)一箱油可供拖位机工作几小时?
知识点2图像法解决实际问题
注:
读图时一定要明确横纵坐标表示的量所代表的意义。
例3某公司推销一种产品,设x(件)是推销产品的数量,y(元)是推销费,如图表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案,看图解答下列问题:
(1)求yl与y2的函数表达式;
(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的;
(3)如果你是推销员,应如何选择付费方案.
2、典型例题
题型1运用一次函数的关系解决生活中的实际问题
例1如图,两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上,请根据图中给的数据信息,解答下列问题:
(1)求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y(cm)与饭碗数x(个)之间的一次函数表达式;
(2)若桌面上有12个饭碗,整齐叠放成一摞,求出它的高度;
(3)若桌面上有若干个饭碗,整齐叠放成一摞,已测得它的高度为37.5cm,
你能求出此时有多少个饭碗吗?
题型2利用图表信息解决实际问题
例2某厂家生产两种款式的布质环保购物袋,每天共生产4500个,两种购物袋的成本和售价如下表,设每天生产A种购物袋x个,每天共获利y元.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)如果该厂每天最多投入成本10000元,那么每天最多获利多少元?
题型3建立一次函数模型解决实际问题
例3某下岗职工购进一批苹果到农贸市场零售,已知买出的苹果数量x(kg)与收入y(元)的关系如下表:
在平面直角坐标系中描点,观察点的分布情况,探求收入y(元)与买出数量x(kg)之间的函数关系式。
题型4运用一次函数的性质设计最佳方案问题
例4甲、乙两个仓库要向A、B两地运送水泥,已知甲库可调出100吨水泥,乙库可调出80吨水泥,A地需要70吨水泥,B地需110吨水泥,两库到A、B两地的路程和运费如下表(表中运费栏“元/吨•千米”表示每吨水泥运送1km所需人民币)
项目
路程(km)
运费(元/吨•千米)
地点
甲库
乙库
甲库
乙库
A地
20
15
12
12
B地
25
20
10
8
(1)设甲库运往A地水泥x吨,求总运费y(元)关于x(吨)的函数关系式.
(2)当甲、乙两库各运往A、B两地多少吨水泥时,总运费最省?
最省的总运费是多少?
例5.暑假期间,小刚一家乘车去离家380公里的某景区旅游,他们离家的距离y(km)与汽车行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示.
(1)从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间?
(2)求线段AB对应的函数解析式;
(3)小刚一家出发2.5小时时离目的地多远?
例6.小李是某服装厂的一名工人,负责加工A,B两种型号服装,他每月的工作时间为22天,月收入由底薪和计件工资两部分组成,其中底薪900元,加工A型服装1件可得20元,加工B型服装1件可得12元.已知小李每天可加工A型服装4件或B型服装8件,设他每月加工A型服装的时间为x天,月收入为y元.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)根据服装厂要求,小李每月加工A型服装数量应不少于B型服装数量的,那么他的月收入最高能达到多少元?
6.5一次函数与二元一次方程
1、温故知新
知识点1二元一次方程与一次函数的关系
1.关系:
一般地,一次函数的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程______________的解,以二元一次方程______________的解为坐标的点都在一次函数的图像上。
例1若点A(2,a),B(b,3),C(c,-4)在直线上,试求出a,b,c的值,并判断这三个点的坐标是方程的解吗?
知识点2二元一次方程组与一次函数的关系(重点)
1.关系:
一般地,如果两个一次函数的图像有一个交点,那么交点的坐标就是相应的__________________的解。
例2如图,两直线的交点坐标可以看作是方程组_______________的解,这两条直线的交点坐标是________.
知识点3二元一次方程组的图像解法(难点)
1.含义:
用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为____________________________________.
注:
由图像法得到的方程组的解是否正确,关键取决于图像画得是否准确。
例3用作图的方法解方程组.
15.当自变量x取何值时,函数y=x+1与y=5x+17的值相等?
这个函数值是多少?
16.已知直线y=x与y=-x+4,求:
(1)这两条直线的交点;
(2)这两条直线与y轴围成的三角形面积.
2、典型例题
题型一利用图像判断方程组解的情况
例1如图,直线l1:
y=x+1与直线l2:
y=mx+n相交于点P(1,b).
(1)求b的值;
(2)不解关于x,y的方程组y=x+1,请你直接写出它的解;
y=mx+n
(3)直线l3:
y=nx+m是否也经过点P?
请说明理由.
题型2用图像解决实际生活中的问题
例3如图所示,直线l1与l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y(费用=灯的售价+电费,单位:
元)与照明时间x(h)的函数关系图像,假设两种灯的使用寿命都是2000h,照明效果一样。
(1)根据图像分别求出L1,L2的函数关系式。
(2)当照明时间为多少时,两种灯的费用相等?
6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
一、温故知新
知识点1一次函数与一元一次方程(重点)
1.直线与坐标轴的交点坐标的求法:
(1)直线与轴交点的横坐标是一元一次方程的解。
(2)直线与轴交点的纵坐标是一元一次方程的解。
例1当自变量的取值满足什么条件时,函数的值满足下列条件?
(1)
(2)(3)
知识点2一次函数与一元一次不等式的关系(难点)
1.一般地,一元一次不等式的解集,就是使一次函数取正值或(负值)时的取值范围。
2.从图像上看,解集是直线位于轴上方部分相应的的取值范围或(位于轴下方部分相应的的取值范围)。
总结:
用图像解一元一次方程、一元一次不等式的步骤:
1.将一元一次方程转化为的形式,一元一次不等式转化为的形式;
2.将一元一次方程或一元一次不等式转化为相应的一次函数,并画出该函数的图像;
3.观察图像,得出结论。
例2已知一次函数图像过点A(1,4)、B(-1,0)两点,求函数表达式并画出它的图像,利用图像求:
(1)当x为何值时,y>0,y=0,y<0
(2)当-3<x<0时,求y的取值范围
(3)当-2≤y≤2时,求x的取值范围
二、典型例题
题型1利用一次函数图像解决方程和不等式问题
例1画出函数图像的图像,利用函数图像求:
(1)方程2x+1=0的根
(2)不等式2x+1≥0的解集
(3)当x≤3时,求y的取值范围
(4)当-3≤y≤3时求x的取值范围
例2.如图,已知函数y=x+b和y=ax+3的图像交点为P,则不等式x+b>ax+3的解集为_______.
题型2一次函数与一元一次方程、一元一次不等式关系的应用
例3某种摩托车油箱最多可储油10升,加满油后,油箱中剩余油量y(升)与摩托车行驶路程x之间关系如图所示,据图象回答:
(1)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米?
(2)摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油?
(3)油箱中剩余油量小于1升时摩托车将自动报警,行驶多少千米后,摩托车将自动报警?
题型3建立函数模型解决实际问题
例4育才中学需要添置某种教学仪器,方案1:
到商家购买,每件需要8元;方案2:
学校自己制作,每件4元,另外需要制作工具的租用费120元;设需要仪器x件,方案1与方案2的费用分别为y1、y2(元).
(1)分别写出y1、y2的函数表达式;
(2)当购制仪器多少件时,两种方案的费用相同?
(3)若学校需要仪器50件,问采用哪种方案便宜?
请说明理由.
题型4新情境题
例5药品研究所开发一种抗菌素新药,经过多年的动物实验之后,首次用于临床人体试验,测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药后时间x(时)之间的函数关系如图所示,
(1)根据图像说出服药后多长时间血液中药物浓度最高?
(2)根据图像分析,求出血液中药物浓度上升和下降阶段的函数表达式;
(3)若血液中药物浓度为4微克/毫升或4微克/毫升以上时对治疗疾病史有效的,那么这个有效时间是多长?
练习:
一、填空题
1.若方程x﹣y=1有一个解为,则一次函数y=x﹣1的图象上必有点______.
2.若一次函数y=2x﹣4上有一点的坐标是(3,2),则方程2x﹣y﹣4=0必有一个解为______.
3.把二元一次方程2x﹣y﹣3=0写成一次函数y=______.
4.若一次函数y=﹣x﹣2与y=2x﹣7的图象交点为(2,﹣3),则二元一次方程组的解为______.
5.因为的解是,所以一次函数y=﹣x+4与y=2x+1的图象交点坐标为______.
6.直线y=3x﹣2和y=﹣2x+3图象的交点坐标为______.
7.直线y=x+3与y=﹣3x﹣1的交点坐标为______.
8.已知一次函数和的图象交于A(﹣2,0)且与y轴的交点分别为B、C两点,那么△ABC面积是______.
9.在图中的两直线l1、l2的交点坐标可以看作方程组______的解.
10.当自变量x_______时,函数y=5x+4的值大于0;当x_______时,函数的值小于0.
11.已知函数y1=x-2,y2=2x-4,当_______时,y1-y2<0.
12.如图,直线l是一次函数y=kx+b的图像,观察图像,可知:
(1)b=_______,k=_______;
(2)当y>2时.x_______.
13.甲骑自行车、乙骑
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