极限运算法则两个重要极限.docx
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极限运算法则两个重要极限
复习旧课:
1•无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系
导言:
前面我们介绍了极限的定义,为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限
2.3极限的运算法则
2.3.1极限的性质
定理1:
(唯一性)如果极限limf(x)存在,则它只有一个极限。
即若
limf(x)A,limf(x)B,则AB
定理2:
(有界性)若极限limf(x)存在,则函数f(x)在x0的某一空心邻
X
域内有界
定理3:
(局部保号性)如果limf(x)A,并且A0(或A0),则
Xx0
在x0的某一空心邻域内,有f(x)0(或f(x)0)。
推论若在x0的某一空心邻域内有f(x)0(或f(x)0),且
limf(x)A,则A0(或A0)。
xxq
2.3.2极限的运算法则
定理1:
设limf(x)A,limg(x)B,则
(1)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)AB
(2)lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB
若g(x)C.(常数),则lim[Cf(x)]Climf(x)CA
f(x)limf(x)A“°、
(3)lim(B0)
g(x)limg(x)B
证明因为limf(x)A,limg(x)B,利用2。
2定理,它们可以分别写为:
f(x)=A(x),g(x)B(x)
其中(x),(x)均为无穷小量,则有:
讲述
我们先介绍极限的运算
法则
证明从略。
以上性质只对xx0
的情况加以叙述,其它的形式也有类似的结果。
⑴f(x)+g(x)=A+B+[(x)(x)]
由2.2定理知(x)(x)仍为无穷小量所以f(x)+g(x)以A+B为极限.
即lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)AB.
容易证明:
limP(x)P(x0)
Xx
limP(x)卩区)
xxoQ(x)Q(x0)
2
例1求lim(3xx5)
x2
解lim(3x2x5)=15
x2
Zl…x22x3
例2求lim3
x1xx5
2
_.x2x36
解lim3=
x1xx55
x1
例3求lim
x1x1
x1
解因为lim—1=0根据无穷大于无穷小的关系
x1x1
x1
所以有lim—
x1x1
注意:
求极限时,必须注意每一步的根据,否则会岀现错误。
八+「x21
例4求lim
x1x1
2
„..x1..(x1)(x1)八c
解lim—lim—lim(x1)2
x1x1x1x1x1
..x29
例5lim2
x3x27x12
设P(x)为多项式
当xX0时,
Q(X0)0
因为f(x)为多项
式,所以极限值等于在
x0处的函数值
因为f(x)为两个多项
式商的极限,且在x=1处分母的极限不为零,所以极限值等于函数值。
在x=-1处,分母为零,不能直接计算极限。
在x=-1处,分母为零,不能直接计算极限。
“-”型,先设法
0
约去非零因子。
解lim亠—二讪&3)(x3)二怙—6
x3x7x12x3(x3)(x4)x3x4
..3x3x
例6求lim―3
xx31
33312
解lim3x-limx3
xx31x11
13
x
虫,当mn,b00,
mm1b0
结论:
limnn10,当mn,
xb°xnb“xn1bn出
当mn.
12
例7求lim
(2)
x1x1x1
&,12...x121
解lim
(2)-lim2-
x1x1x1x1x12
小结:
1•极限运算法则
2•求极限方法
1)设P(x)为多项式,则limP(x)P(x0)。
Xx0
2)P(x)、Q(x)均为多项式,且Q(Xo)0,则
P(x)P(Xo)
lim
xx0Q(x)Q(x°)
3)若f(x)0,g(x)A0,则limg()
f(x)
4)若lim为“0”型时,用因式分解找出“零因子”。
f(x)0
”型,用无穷小
量分出法,即分子、分母同时除以x的最高次幂。
先通分,再计算。
色,当mn,b00,
mm1b°
5)结论:
lim—axn1am0,当mn,
xboxbixbn出
当mn.
6)若(x)0,f(x)有界,则lim(x)f(x)0
7)若lim[f(x)g(x)]为“”型时,一般是通分或有理化后再处
理。
2.4两个重要极限
2.4.1判别极限存在的两个准则
准则1(夹逼定理)设函数f(x),g(x),h(x)在x0的某一邻域U(x0,)内满足
g(x)f(x)h(x)
且有极限limg(x)limh(x)A,则有limf(x)A
Xxx,Xx0
准则2如果数列Xn单调有界,则limxn一定存在。
x
2.4.2两个重要极限
sinx_
1•极限lim1
X0X
tanx
例8计算lim
x0X
”..tanx..sinx1..sinx..1
解lim—lim•=limTim=1
x0Xx0XCOSXx0Xx0COSX
心、心1COSX
例9计算lim2
x0X2
2
o.2X.X
.2sin—.sin—
铲「1COSX「2..12
解lim2—lim—lim
x0x2x0x2x02x
2
一般
sinUlim1
U0U
证明略
例&例9结果可作
为公式使用。
彳o■2X
cosx12sin—
2
c2X,
2cos一1
2
可证得此结论。
1lim
2xo
2
.x
sin
2
例10计算limsin5x
x03x
sin5xsin5x55
解lim=lim
x03xx05x33
结论:
』趴晋1
例11计算limsin3xsinx
x0
x
加sin3xsinx2cos2xsinx
解lim=lim
x0x0
x
sinx
例12求lim一
x0tanx
2limcos2x
x
limsinx
x0x
和差化积公式
练习:
cosxcos3xlim
x0
因为当
时,
解limsinx=lim(s叫x0tanxx0x
产)
tanx
lim(si
x0'
1)tanx
limsin
x
例13求lim
x
sinx
解错误做法:
tanx
sinxlim
x
一般
正确做法:
lim
x
2•极限lim(1
x
例14计算
lim(1
x
解lim(1
x
lim(空^
tanxxx
sinxFim
t
tanx
sin(
0tan(
tan
sint
t)lim
t)t0tant
Uim(1
lim(1
U0
1
U)U
1)x
x
1x
1)2
x
1)2二[lim(1
xx
1丄门2x
1
e2
lim(1
x
例15计算
lim(1
x0
1
2x)x
解啊(1
1
2x)x
lim(1
x0
2x)
例16计算
lim(1
x
5x
)xx
解=lim(1
x
5)x
x
lim[1
x
(5)]
x
x
5(
5)
[lim(1
x
5)
x
x
5]5
例18,例19视情况选讲
2
例17计算lim(一
x3
2x、x
一)=
x
七广
x3
..ln(100
解lim(
x
lim(1
x
例18计算
解limln(1x)
x0
xm0ln(1
1
x)x
例19
lim
x
所以lim
x0
x)x
x
lim(1
x
lim(1
x
lim(1
x
x3)x
3)3
x)
ln(1
x)
lnlim(1
x-
1
x)xln
ex1则x
ln(1
u),当x
0时,
x
e1..
lim
0ln(1+u)
sinx,
小结:
i.lim1
0x
lim
f(x)
sinf(x)1.
0f(x)'
tanx“lim1;
x0x
1cosxlim2
x0x2
1X-
2.lim(1-)xe;iim(1x)Xe
xxx0
rln(1x)ex1
lim=1;lim=1
x0xx0x
作业P27——1(3)(6),P31——1
(1)(6)(9)——2
(1)(3)
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