高考一本解决方案高考数学理科新课标版考题训练专题二十 推理与证明.docx
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高考一本解决方案高考数学理科新课标版考题训练专题二十推理与证明
1.(2016·北京,8,难)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
1.B 若袋中只有2个球,则一个红球,一个黑球,只用一次就能摸完,放入的情况可能有两种:
甲红,则乙黑,丙0个;甲黑,则乙0个,丙红,排除选项A,D.若袋中有4个球,两个红球和两个黑球,假设第一次取到两个红球,则结果为甲:
1个红球,乙:
1个红球.第二次只能取到两个黑球,则结果为甲:
红球和黑球各1个,乙:
1个红球,丙:
1个黑球.排除选项C.
综合选项知,只有B正确.
2.(2015·广东,8,中)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值( )
A.至多等于3B.至多等于4
C.等于5D.大于5
2.B (排除法)当n=4时,4个点可以看作正四面体的4个顶点,显然符合题意.排除A,C,D.故选B.
3.(2014·北京,8,中)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合适”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( )
A.2人B.3人C.4人D.5人
3.B 由已知,各同学之间语文成绩、数学成绩各不相同,当有三名同学时,设三名同学分别为A,B,C,优秀、合格、不合格分别为1,2,3,由于三名同学两科成绩各不相同,设B的语文成绩介于A和C的语文成绩之间,不妨设A
4.(2012·江西,6,中)观察下列各式:
a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=( )
A.28B.76C.123D.199
4.C 从给出的式子特点观察推知,等式右端的值,从第三项开始,后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和,照此规律,得a10+b10=123.
5.(2016·课标Ⅱ,15,中)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:
“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:
“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:
“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________.
5.【解析】 由丙卡片上的数字之和不是5,知丙不能拿2和3卡片.若甲拿2和3卡片,由于甲与乙卡片上相同的数字不是2,故乙只能拿1和3卡片,此时丙只能拿1和2卡片,矛盾.
若乙拿2和3卡片,由于甲与乙卡片上相同数字不是2,故甲只能拿1和3卡片,此时丙拿1和2卡片,符合要求.
【答案】 1和3
6.(2014·课标Ⅰ,14,易)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,
甲说:
我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
乙说:
我没去过C城市;
丙说:
我们三人去过同一城市.
由此可判断乙去过的城市为________.
6.【解析】 由丙可知,乙至少去过一个城市.由甲可知,甲去过A,C且比乙多,且乙没有去过C城市,故乙只去过A城市.
【答案】 A
7.(2013·陕西,14,中)观察下列等式
12=1
12-22=-3
12-22+32=6
12-22+32-42=-10
……
照此规律,第n个等式可为___________________________________________.
7.【解析】 观察给出的式子可得出如下规律:
12=1,
12-22=-(1+2),
12-22+32=1+2+3,
12-22+32-42=-(1+2+3+4),
所以有
12-22+32-42+…+(-1)n+1n2
=(-1)n+1(1+2+…+n)
=(-1)n+1
.
【答案】 12-22+32-42+…+(-1)n+1·n2=(-1)n+1
8.(2015·福建,15,中)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*),其中xk(k=1,2,…,n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).
已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组:
其中运算⊕定义为:
0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于________.
8.【解析】 设a,b,c,d∈{0,1},在规定运算法则下满足:
a⊕b⊕c⊕d=0,可分为下列三类情形:
①4个1:
1⊕1⊕1⊕1=0,②2个1:
1⊕1⊕0⊕0=0,③0个1:
0⊕0⊕0⊕0=0,因此,错码1101101通过校验方程组可得:
由x4⊕x5⊕x6⊕x7=0,
∴1⊕1⊕0⊕1≠0;
由x2⊕x3⊕x6⊕x7=0,
∴1⊕0⊕0⊕1=0;
由x1⊕x3⊕x5⊕x7=0,
∴1⊕0⊕1⊕1≠0.
由已知仅在第k位发生码元错误,
∴错码出现在x5上,
若x5=0,则检验方程组都成立,故k=5.
【答案】 5
9.(2012·湖南,16,难)设N=2n(n∈N*,n≥2),将N个数x1,x2,…,xN依次放入编号为1,2,…,N的N个位置,得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前
和后
个位置,得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN,将此操作称为C变换.将P1分成两段,每段
个数,并对每段作C变换,得到P2;当2≤i≤n-2时,将Pi分成2i段,每段
个数,并对每段作C变换,得到Pi+1.例如,当N=8时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于P2中的第4个位置.
(1)当N=16时,x7位于P2中的第________个位置;
(2)当N=2n(n≥8)时,x173位于P4中的第________个位置.
9.【解析】
(1)当N=16时,
P0=x1x2x3x4x5x6…x16,
P1=x1x3x5x7…x15x2x4x6…x16,
P2=x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10x14x4x8x12x16,
所以x7位于P2中的第6个位置.
(2)根据题意可知P4将这2n个数分成24段,每段有2n-4个数,每段数下标分别构成公差为16的等差数列.第1段的首项下标为1,其通项公式为16n-15,当16n-15=173时,n=
∉N*;第2段的首项下标为9,其通项公式为16n-7,当16n-7=173时,n=
∉N*;第3段的首项下标为5,其通项公式为16n-11,当16n-11=173时,n=
∉N*;第4段的首项为13,其通项公式为16n-3,当16n-3=173时,n=11∈N*.故x173位于P4中的第3×2n-4+11个位置.
【答案】
(1)6
(2)3×2n-4+11
10.(2012·福建,17,13分,中)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;
②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;
③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;
④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;
⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
(2)根据
(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
10.解:
(1)选择②式,计算如下:
sin215°+cos215°-sin15°cos15°
=1-
sin30°=1-
=
.
(2)方法一:
三角恒等式为
sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=
.
证明如下:
sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)
=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+
sin30°sinα)
=sin2α+
cos2α+
sinαcosα+
·sin2α-
sinαcosα-
sin2α
=
sin2α+
cos2α=
.
方法二:
三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=
.
证明如下:
sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)
=
+
-
sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)
=
-
cos2α+
+
(cos60°cos2α+sin60°sin2α)-
sinαcosα-
sin2α
=
-
cos2α+
+
cos2α+
sin2α-
sin2α-
(1-cos2α)
=1-
cos2α-
+
cos2α=
.
在高考中,归纳推理常以填空题的形式呈现,以新定义背景来考查演绎推理问题常以选择题的形式呈现,而求解往往与证明相结合,先猜出结果,再利用直接证明或间接证明来证明结论的正确性,试题难度中档偏上.
1
(1)(2015·山东,11)观察下列各式:
C
=40;
C
+C
=41;
C
+C
+C
=42;
C
+C
+C
+C
=43;
……
照此规律,当n∈N*时,
C
+C
+C
+…+C
=________.
(2)(2014·陕西,14)观察分析下表中的数据:
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是______________.
(3)(2016·河南开封二模,14)下面图形由小正方形组成,请观察图1至图4的规律,并依此规律,写出第n个图形中小正方形的个数是________.
【解析】
(1)当n=1时,C
=40=41-1;当n=2时,C
+C
=41=42-1;当n=3时,C
+C
+C
=42=43-1;
……
∴C
+C
+…+C
=4n-1.
(2)三棱柱中5+6-9=2,五棱锥中6+6-10=2,立方体中6+8-12=2,由此归纳可得F+V-E=2.
(3)由图知图1中小正方形个数是1;图2中小正方形个数是1+2;图3中小正方形个数是1+2+3;图4中小正方形个数是1+2+3+4;……
故第n个图形中小正方形的个数为1+2+3+…+n,所以总个数为
.
【答案】
(1)4n-1
(2)F+V-E=2 (3)
题
(1)观察每行等式的特点,每行等式的右端都是幂的形式,底数均为4,指数与等式左端最后一个组合数的上标相等.
题
(2)观察三棱柱、五棱锥和立方体的面数、顶点数和棱数可发现其中的数量关系.
观察题(3)知,从第一个图形开始,下一个图形是在上一个图形的
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