全等三角形专项训练及答案解析之令狐文艳创作.docx
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全等三角形专项训练及答案解析之令狐文艳创作
初中数学专项训练:
全等三角形
令狐文艳
一、选择题
1.如图,四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是
A.AB=ADB.AC平分∠BCD
C.AB=BDD.△BEC≌△DEC
2.如图,在△ABC和△DEB中,已知AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC,不能添加的一组条件是
A.BC=EC,∠B=∠EB.BC=EC,AC=DC
C.BC=DC,∠A=∠DD.∠B=∠E,∠A=∠D
3.如图,已知OP平分∠AOB,∠AOB=
,CP
,CP∥OA,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点,则DM的长是
A.
B.
C.
D.
4.如图,在四边形
中,对角线AB=AD,CB=CD,若连接AC、BD相交于点O,则图中全等三角形共有【】
A.1对B.2对C.3对D.4对
5.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC上,连接AD、AE,如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC,则添加的条件不能为()
A.BD=CEB.AD=AEC.DA=DED.BE=CD
6.如图,已知AE=CF,∠AFD=∠CEB,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ADF≌△CBE的是()
A.∠A=∠CB.AD=CBC.BE=DFD.AD∥BC
7.如图,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l1,l2,l3上,且l1,l2之间的距离为1,l2,l3之间的距离为2,则AC的长是()
A.
B.
C.
D.7
二、填空题
8.如图,已知∠C=∠D,∠ABC=∠BAD,AC与BD相交于点O,请写出图中一组相等的线段.
9.如图,在Rt△ABC中,∠A=Rt∠,∠ABC的平分线BD交AC于点D,AD=3,BC=10,则△BDC的面积是。
10.如图,已知BC=EC,∠BCE=∠ACD,要使△ABC≌△DEC,则应添加的一个条件为.(答案不唯一,只需填一个)
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交AC于E,交BC的延长线于F,若∠F=30°,DE=1,则BE的长是.
12.如图,△ABC中,AD是中线,AE是角平分线,CF⊥AE于F,AB=5,AC=2,则DF的长为.
13.如图,在△ABC和△DEF中,点B、F、C、E在同一直线上,BF=CE,AC∥DF,请添加一个条件,使△ABC≌△DEF,这个添加的条件可以是.(只需写一个,不添加辅助线)
14.如图,点O是△ABC的两条角平分线的交点,若∠BOC=118°,则∠A的大小是。
15.如图,AB=AC,要使△ABE≌△ACD,应添加的条件是(添加一个条件即可).
16.如图,点D、E分别在线段AB,AC上,AE=AD,不添加新的线段和字母,要使△ABE≌△ACD,需添加的一个条件是(只写一个条件即可).
17.如图,已知∠B=∠C.添加一个条件使△ABD≌△ACE(不标注新的字母,不添加新的线段),你添加的条件是;
18.如图,点B、E、C、F在一条直线上,AB∥DE,BE=CF,请添加一个条件,使△ABC≌△DEF.
19.如图,△ABC和△FPQ均是等边三角形,点D、E、F分别是△ABC三边的中点,点P在AB边上,连接EF、QE.若AB=6,PB=1,则QE=.
20.如图,△ABC≌△DEF,请根据图中提供的信息,写出x=.
21.如图,△ABD、△ACE都是正三角形,BE和CD交于O点,则∠BOC=__________.
22.如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠C=90º,AB=AD,AE⊥BC于E,若线段AE=5,则S四边形ABCD=。
三、解答题
23.已知:
如图,AD,BC相交于点O,OA=OD,AB∥CD.
求证:
AB=CD.
24.如图,已知,EC=AC,∠BCE=∠DCA,∠A=∠E;
求证:
BC=DC.
25.课本指出:
公认的真命题称为公理,除了公理外,其他的真命题(如推论、定理等)的正确性都需要通过推理的方法证实.
(1)叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS;
(2)证明推论AAS.
要求:
叙述推论用文字表达;用图形中的符号表达已知、求证,并证明,证明对各步骤要注明依据.
26.如图,△ABC与△DCB中,AC与BD交于点E,且∠A=∠D,AB=DC.
(1)求证:
△ABE≌DCE;
(2)当∠AEB=50°,求∠EBC的度数。
27.已知,如图,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACD=∠DCE=90°,D为AB边上一点.求证:
BD=AE.
28.如图,
与
关于O点中心对称,点E、F在线段AC上,且AF=CE。
求证:
FD=BE。
29.如图,已知线段AB。
(1)用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线l(保留作图痕迹,不要求写出作法);
(2)在
(1)中所作的直线l上任意取两点M、N(线段AB的上方),连接AM、AN。
BM、BN。
求证:
∠MAN=∠MBN。
30.如图,两条公路OA和OB相交于O点,在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建
一个货站P,使货站P到两条公路OA、OB的距离相等,且到两工厂C、D的距离相等,用尺规作出货站P的位置.(要
求:
不写作法,保留作图痕迹,写出结论.)
31.两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示,电信部门需在C处修建一座信号反射塔,要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等,到两条公路l1,l2的距离也必须相等,那么点C应选在何处?
请在图中,用尺规作图找出所有符合条件的点C.(不写已知、求作、作法,只保留作图痕迹)
32.如图,C是AB的中点,AD=BE,CD=CE.
求证:
∠A=∠B.
33.如图,在△ABC中,∠ACB=900,∠B>∠A,点D为边AB的中点,DE∥BC交AC于点E,CF∥AB交DE的延长线于点F.
(1)求证:
DE=EF;
(2)连接CD,过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G,求证:
∠B=∠A+∠DGC.
34.如图:
已知D、E分别在AB、AC上,AB=AC,∠B=∠C,求证:
BE=CD.
35.如图,∠AOB=90°,OA=0B,直线
经过点O,分别过A、B两点作AC⊥
交
于点C,BD⊥
交
于点D.
求证:
AD=OD.
36.已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.
(1)如图1,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是,QE与QF的数量关系式;
(2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;
(3)如图3,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时
(2)中的结论是否成立?
请画出图形并给予证明.
37.如图,点B、F、C、E在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,
求证:
AC=DF.
38.如图,CD=CA,∠1=∠2,EC=BC,求证:
DE=AB.
39.如图,已知△ABC≌△ADE,AB与ED交于点M,BC与ED,AD分别交于点F,N.请写出图中两对全等三角形(△ABC≌△ADE除外),并选择其中的一对加以证明.
40.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3
(1)求证:
BN=DN;
(2)求△ABC的周长.
41.如图,△ABC与△CDE均是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,D在AB上,连结BE.请找出一对全等三角形,并说明理由.
42.如图,△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=90°,∠DAE=90°,B,C,D
在同一条直线上.求证:
BD=CE.
43.如图,AB=AE,∠1=∠2,∠C=∠D.
求证:
△ABC≌△AED.
44.如图,把一个直角三角形ACB(∠ACB=90°)绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点,BF=BG,延长CF与DG交于点H.
(1)求证:
CF=DG;
(2)求出∠FHG的度数.
45.已知等腰三角形ABC中,∠ACB=90°,点E在AC边的延长线上,且∠DEC=45°,点M、N分别是DE、AE的中点,连接MN交直线BE于点F.当点D在CB边上时,如图1所示,易证MF+FN=
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(1)当点D在CB边上时,如图2所示,上述结论是否成立?
若成立,请给与证明;若不成立,请写出你的猜想,并说明理由.
(2)当点D在BC边的延长线上时,如图3所示,请直接写出你的结论.(不需要证明)
46.如图,点B在AE上,点D在AC上,AB=AD.请你添加一个适当的条件,使△ABC≌△ADE(只能添加一个).
(1)你添加的条件是.
(2)添加条件后,请说明△ABC≌△ADE的理由.
47.如图,AD=BC,AC=BD,求证:
△EAB是等腰三角形.
48.我们知道,两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等.那么在什么情况下,它们会全等?
(1)阅读与证明:
对于这两个三角形均为直角三角形,显然它们全等.
对于这两个三角形均为钝角三角形,可证它们全等(证明略).
对于这两个三角形均为锐角三角形,它们也全等,可证明如下:
已知:
△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形,AB=A1B1,BC=B1C1,∠C=∠C1.
求证:
△ABC≌△A1B1C1.(请你将下列证明过程补充完整)
证明:
分别过点B,B1作BD⊥CA于D,B1D1⊥C1A1于D1.
则∠BDC=∠B1D1C1=90°,
∵BC=B1C1,∠C=∠C1,
∴△BCD≌△B1C1D1,
∴BD=B1D1.
______________________________。
(2)归纳与叙述:
由
(1)可得到一个正确结论,请你写出这个结论.
49.有一块不规则的鱼池,下面是两位同学分别设计的能够粗略地测量出鱼池两端A、B的距离的方案,请你分析一下两种方案的理由.
方案一:
小明想出了这样一个方法,如图①所示,先在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A、C、E在同一条直线上,测得DE的长就是AB的长.你能说明一下这是为什么吗?
方案二:
小军想出了这样一个方法,如图②所示,先在平地上取一个可以直接到达鱼池两端A、B的点C,连结AC并延长到点D,使CD=CA,连结BC并延长到E,使CE=CB,连结DE,量出DE的长,这个长就是A、B之间的距离.你能说明一下这是为什么吗?
50.MN、PQ是校园里的两条互相垂直的小路,小强和小明分别站在距交叉口C等距离的B、E两处,这时他们分别从B、E两点按同一速度沿直线行走,如图所示,经过一段时间后,同时到达A、D两点,他们的行走路线AB、DE平行吗?
请说明你的理由.
初中数学专项训练:
全等三角形参考答案
1.C
【解析】
试题分析:
∵AC垂直平分BD,∴AB=AD,BC=CD,
∴AC平分∠BCD,平分∠BCD,BE=DE。
∴∠BCE=∠DCE。
在Rt△BCE和Rt△DCE中,∵BE=DE,BC=DC,
∴Rt△BCE≌Rt△DCE(HL)。
∴选项ABD都一定成立。
故选C。
2.C
【解析】
试题分析:
根据全等三角形的判定方法分别进行判定:
A、已知AB=DE,加上条件BC=EC,∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC,故此选项不合题意;
B、已知AB=DE,加上条件BC=EC,AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC,故此选项不合题意;
C、已知AB=DE,加上条件BC=DC,∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC,故此选项符合题意;
D、已知AB=DE,加上条件∠B=∠E,∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC,故此选项不合题意。
故选C。
3.C
【解析】
试题分析:
∵OP平分∠AOB,∠AOB=
,∴∠AOP=∠POB=
。
∵CP∥OA,∴∠OPC=∠AOP=
。
又∵PE⊥OB,∴∠OPE=
。
∴∠CPE=∠OPC=
。
∵CP=2,∴PE=
。
又∵PD⊥OA,∴PD=PE=
。
∴OP=
。
又∵点M是OP的中点,∴DM=
OP=
。
故选C。
4.C。
【解析】∵AB=AD,CB=CD,AC公用,∴△ABC≌△ADC(SSS)。
∴
BAO=
DAO,
BCO=
DCO。
∴△BAO≌△DAO(SAS),△BCO≌△DCO(SAS)。
∴全等三角形共有3对。
故选C。
5.C。
【解析】根据全等三角形的判定与性质,等边对等角的性质对各选项解析判断后利用排除法求解:
A、添加BD=CE,可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等,再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC,故本选项错误;
B、添加AD=AE,根据等边对等角可得∠ADE=∠AED,然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB=∠EAC,故本选项错误;
C、添加DA=DE无法求出∠DAB=∠EAC,故本选项正确;
D、添加BE=CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等,再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC,故本选项错误。
故选C。
6.B
【解析】
试题分析:
∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF。
∴AF=CE。
A.∵在△ADF和△CBE中,
,∴△ADF≌△CBE(ASA),正确,故本选项错误。
B.根据AD=CB,AF=CE,∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE,错误,故本选项正确。
C.∵在△ADF和△CBE中,
,∴△ADF≌△CBE(SAS),正确,故本选项错误。
D.∵AD∥BC,∴∠A=∠C。
由A选项可知,△ADF≌△CBE(ASA),正确,故本选项错误。
故选B。
7.A
【解析】本题考查的是两平行线间的距离
过A作AE⊥
于E,过C作CF⊥
于F,求出∠AEB=∠CFB,∠EAB=∠CBF,根据AAS证△AEB≌△BFC,推出AE=BF=2,BE=CF=3,由勾股定理求出AB和BC,再由勾股定理求出AC即可.
过A作AE⊥
于E,过C作CF⊥
于F,
则∠AEF=∠CFB=∠ABC=90°,
∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°,
∠EAB+∠ABE=90°,
∴∠EAB=∠CBF,
∵在△AEB和△BFC中
∴△AEB≌△BFC(AAS),
∴AE=BF=2,BE=CF=2+1=3,
由勾股定理得:
,
由勾股定理得:
,
故选A.
8.AC=BD(答案不唯一)
【解析】
试题分析:
利用“角角边”证明△ABC和△BAD全等,再根据全等三角形对应边相等解答即可:
∵在△ABC和△BAD中,
,
∴△ABC≌△BAD(AAS)。
∴AC=BD,AD=BC。
由此还可推出:
OD=OC,AO=BO等(答案不唯一)。
9.
。
【解析】如图,过点D作DE⊥BC于点E,则
∵∠A=Rt∠,BD是∠ABC的平分线,AD=3,
∴根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,得DE=3。
又∵BC=10,∴△BDC的面积是
。
10.AC=CD(答案不唯一)。
【解析】∵∠BCE=∠ACD,∴∠ACB=∠DCE。
又∵BC=EC,
∴根据全等三角形的判定,若添加条件:
AC=CD,则由SAS可判定△ABC≌△DEC;若添加条件:
∠B=∠E,则由ASA可判定△ABC≌△DEC;若添加条件:
∠A=∠D,则由AAS可判定△ABC≌△DEC。
答案不唯一。
11.2
【解析】∵∠ACB=90°,FD⊥AB,∴∠ACB=∠FDB=90°。
∵∠F=30°,∴∠A=∠F=30°(同角的余角相等)。
又AB的垂直平分线DE交AC于E,∴∠EBA=∠A=30°。
∴Rt△DBE中,BE=2DE=2。
12.
【解析】
试题分析:
如图,延长CF交AB于点G,
∵在△AFG和△AFC中,∠GAF=∠CAF,AF=AF,∠AFG=∠AFC,
∴△AFG≌△AFC(ASA)。
∴AC=AG,GF=CF。
又∵点D是BC中点,∴DF是△CBG的中位线。
∴DF=
BG=
(AB﹣AG)=
(AB﹣AC)=
。
13.AC=DF(答案不唯一)
【解析】
试题分析:
由BF=CE,根据等量加等量,和相等,得BF+FC=CE+FC,即BC=EF;由AC∥DF,根据平行线的内错角相等的性质,得∠ACB=∠DFE,△ABC和△DEF中有一角一边对应相等,
∴根据全等三角形的判定,添加AC=DF,可由SAS得△ABC≌△DEF;添加∠B=∠E,可由ASA得△ABC≌△DEF;添加∠A=∠D,可由AAS得△ABC≌△DEF。
14.56°
【解析】
试题分析:
∵∠BOC=118°,∴∠OBC+∠OCB=62°。
又∵点O是△ABC的两条角平分线的交点,∴∠ABC+∠ACB=124°。
∴∠A=56°。
15.AE=AD(答案不唯一)。
【解析】要使△ABE≌△ACD,已知AB=AC,∠A=∠A,则可以添加AE=AD,利用SAS来判定其全等;或添加∠B=∠C,利用ASA来判定其全等;或添加∠AEB=∠ADC,利用AAS来判定其全等。
等(答案不唯一)。
16.∠B=∠C(答案不唯一)。
【解析】由题意得,AE=AD,∠A=∠A(公共角),可选择利用AAS、SAS、ASA进行全等的判定,答案不唯一:
添加,可由AAS判定△ABE≌△ACD;
添加AB=AC或DB=EC可由SAS判定△ABE≌△ACD;
添加∠ADC=∠AEB或∠BDC=∠CEB,可由ASA判定△ABE≌△ACD。
17.AB=AC(答案不唯一)。
【解析】已知∠B=∠C.加上公共角∠A=∠A.要使△ABD≌△ACE,只要添加一条对应边相等即可。
故可添加
AB=AC或AD=AE或BD=CE或BE=CD等,答案不唯一。
考点:
开放型,全等三角形的判定。
18.AB=DE(答案不唯一)
【解析】
试题分析:
可选择利用AAS或SAS进行全等的判定,答案不唯一,写出一个符合条件的即可:
∵BE=CF,∴BC=EF。
∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF。
∴在△ABC和△DEF中,已有一边一角对应相等。
∴添加AB=DE,可由SAS证明△ABC≌△DEF;添加∠BCA=∠F,可由ASA证明△ABC≌△DEF;添加∠A=∠D,可由AAS证明△ABC≌△DEF;等等。
19.2
【解析】
试题分析:
如图,连接FD,
∵△ABC为等边三角形,∴AC=AB=6,∠A=60°。
∵点D、E、F分别是等边△ABC三边的中点,AB=6,PB=1,
∴AD=BD=AF=3,DP=DB﹣PB=3﹣1=2,EF为△ABC的中位线。
∴EF∥AB,EF=
AB=3,△ADF为等边三角形。
∴∠FDA=60°,∴∠1+∠3=60°。
∵△PQF为等边三角形,∴∠2+∠3=60°,FP=FQ。
∴∠1=∠2。
∵在△FDP和△FEQ中,FP=FQ,∠1=∠2,FD=FE,∴△FDP≌△FEQ(SAS)。
∴DF=QE。
∵DF=2,∴QE=2。
20.20
【解析】
试题分析:
如图,∠A=180°﹣50°﹣60°=70°,
∵△ABC≌△DEF,∴EF=BC=20,即x=20。
21.120°
【解析】本题主要考查全等三角形的判定(SAS)与性质:
全等三角形的对应角相等.
∵△ABD、△ACE都是正三角形
∴AD=AB,AC=AE∠DAB=∠CAE=60°
∴∠DAC=∠BAE
∴△ADC≌△ABE(SAS)
∴∠ADC=∠ABE
∴∠DAB=∠BOD=60°∠BOC=180-∠BOD=60°
22.25
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质.过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点,由AE⊥BC,AF⊥CF,∠C=90°可得四边形AECF为矩形,则∠2+∠3=90°,而∠BAD=90°,根据等角的余角相等得∠1=∠2,加上∠AEB=∠AFD=90°和AB=AD,根据全等三角形的判定可得△ABE≌△ADF,由全等三角形的性质有AE=AF=5,S△ABE=S△ADF,则S四边形ABCD=S正方形AECF,然后根据正方形的面积公式计算即可.解:
过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点,如图,
∵AE⊥BC,AF⊥CF,
∴∠AEC=∠CFA=90°,
而∠C=90°,
∴四边形AECF为矩形,
∴∠2+∠3=90°,
又∵∠BAD=90°,
∴∠1=∠2,
在△ABE和△ADF中
∠1=∠2,∠AEB=∠AFD,AB=AD
∴△ABE≌△ADF,
∴AE=AF=5,S△ABE=S△ADF,
∴四边形AECF是边长为5的正方形,
∴S四边形ABCD=S正方形AECF=52=25.
故答案为25.
23.证明:
∵AB∥CD,∴∠B=∠C,∠A=∠D。
∵在△AOB和△DOC中,∠B=∠C,OA=OD,∠A=∠D,
∴△AOB≌△DOC(SSA)。
∴AB=CD。
【解析】
试题分析:
首先根据AB∥CD,可得∠B=∠C,∠A=∠D,结合OA=OD,可证明出△AOB≌△DOC,即可得到AB=CD。
24.证明:
∵∠BCE=∠DCA,
∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE,即∠ACB=∠ECD。
在△ABC和△EDC中,
∵
,
∴△ABC≌△EDC(ASA)。
∴BC=DC
【解析】
试题分析:
先求出∠ACB=∠ECD,再利用“角边角”证明△ABC和△EDC全等,然后根据全等三角形对应边相等证明即可。
25.解:
(1)三角形全等的判定方法中的推论AAS指的是:
两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等。
(2)已知:
在△ABC与△DEF中,∠A=∠D,∠C=∠F,BC=EF。
求证:
△ABC≌△DEF。
证明:
如图,在△ABC与△DEF中,∠A=∠D,∠C=∠F(已知),
∴∠A+∠C=∠D+∠F(等量代换)。
又∵∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°(三角形内角和定理),
∴∠B=∠E。
∴在△ABC与△DEF中,
。
∴△ABC≌△DEF(ASA)。
【解析】
试题分析:
(1)两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等。
(2)根据三角形内角和定理和全等三角形的判断定理ASA来证明。
26.解
(1)证明:
∵在△ABE和△DCE中,
,
∴△ABE≌△DCE(AAS)。
(2)∵△ABE≌△DCE,∴BE=EC。
∴∠EBC=∠ECB。
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°,∴∠EBC=25°。
【解析】
(1)根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等。
(2)根据三角形全等得出EB=EC,推出∠EBC=∠ECB,根据三角形的外角性质得出∠AEB=2∠EBC,代入求出即可。
27.证明:
∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∴AC=BC,CD=CE。
∵∠ACD=∠DCE=90°,∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD,∴∠ACE=∠BCD。
在△ACE和△BCD中,
,
∴△ACE≌△BCD(SAS)。
∴BD=AE。
【解析】根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC,CD=CE,再根据同角的余角相等求出∠ACE=∠BCD,然后利用“SAS”证明△ACE和△BCD全等,然
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