北师大版初中数学第二章《有理数及其运算》例题复习.docx
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北师大版初中数学第二章《有理数及其运算》例题复习
第二章有理数及其运算
下列给出的各数,哪些是正数?
哪些是负数?
哪些是整数?
哪些是分数?
哪些是有理数?
-8.4,22,+,0.33,0,-,-9
由于实际生活中存在着许多具有相反意义的量,因此产生了正数与负数.正数是大于0的数,负数就是在正数前面加上“-”号的数.0既不是正数,也不是负数,0可以表示没有,也可以表示一个实际存在的数量,如0℃.
在小学里我们已经学过自然数0,1,3,4,5…自然数是人类历史上最早出现的数。
自然数在计数和测量中有着广泛的应用,如5年后建成通车,日通车量为8万辆,全长36千米等。
人们还常常用自然数来给事物标号和排序,如城市的公共汽车路线,门牌号码,邮政编码,上述报道中的2003年,第一座跨海大桥等。
计数简单的理解,可以看成用来统计的结果的自然数。
而测量的结果的自然数是用工具测量。
让学生举出一些实际生活的例子,并说明这些自然数起的作用。
练习:
请学生回答
做一做:
下列语句中用到的数,哪些属于计数?
哪些表示测量结果?
哪些属于标号和排序?
(1)2002年全国共有高等学校2003所;
(2)小明哥哥乘1425次列车从北京到天津;
(3)香港特别行政区的中国银行大厦高368米,地上70层,至1993年为止,是世界第5高楼。
数轴
在此基础上,给出数轴的定义,即规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
进而提问学生:
在数轴上,已知一点P表示数-5,如果数轴上的原点不选在原来位置,而改选在另一位置,那么P对应的数是否还是-5?
如果单位长度改变呢?
如果直线的正方向改变呢?
通过上述提问,向学生指出:
数轴的三要素——原点、正方向和单位长度,缺一不可.
(四)运用举例,变式练习
例1、指出数轴上A,B,C,D,E各点分别表示什么数.
ADECB
-4-3-2-1012345
例2、画一个数轴,并在数轴上画出表示下列各数的点:
(1)0.5,-,0,-0.5,-4,,1.4;
(2)200,-150,-50,100,-100.
想一想:
-4与4有什么相同和不同之处?
它们在数轴上的位置有什么关系?
-与,-0.5与0.5呢?
(五)介绍相反数的概念和性质。
如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。
比如,-的相反数是,4是-4的相反数。
注意,零的相反数是零。
观察归纳得到相反数性质:
在数轴上,表示互为相反数(零除外)的两个点,位于原点的两侧,并且到原点的距离相等。
例如,表示-100和100的点分别位于原点的左侧和右侧,到原点的距离都是100个单位长度。
例:
求5,0,-的相反数,并把这些数及其相反数表示在数轴。
问题:
大于0的数在数轴上位于原点的哪一侧?
小于0的数呢?
1、在温度计上显示的两个温度,上边的温度总比下边的温度高,例如,5℃在-2℃上边,
5℃高于-2℃;-1℃在-4℃上边,-1℃高于-4℃.
下面的结论引导学生把温度计与数轴类比,自己归纳出来:
(1)在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.
(2)正数都大于零,负数都小于零,正数大于负数。
2、运用举例,变式练习。
例1、观察数轴,能否找出符合下列要求的数,如果能,请写出符合要求的数:
(1)最大的正整数和最小的正整数;
(2)最大的负整数和最小的负整数;
(3)最大的整数和最小的整数;
(4)最小的正分数和最大的负分数.
在解本题时应适时提醒学生,直线是向两边无限延伸的.
3、课堂练习。
例2.在数轴上画出表示下列各数的点,并用“<”把它们连接起来。
4.5,6,-3,0,-2.5,-4
通过此例引导学生总结出“正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数”的规律.要提醒学生,用“<”连接两个以上数时,小数在前,大数在后,不能出现5>0<4这样的式子.
绝对值
(一)复习提问:
1、下列各数中:
+7,-2,,-8.3,0,+0.01,-,1,
哪些是正数?
哪些是负数?
哪些是非负数?
2、什么叫做数轴?
画一条数轴,并在数轴上标出下列各数:
-3,4,0,3,-1.5,-4,,2
3、问题2中有哪些数互为相反数?
从数轴上看,互为相反数的一对有理数有什么特点?
4、怎样表示一个数的相反数?
(二)绝对值概念
+5的绝对值是5,在数轴上表示+5的点到原点的距离是5;
-4的绝对值是4,在数轴上表示-4的点到原点的距离是4;
+0.01的绝对值是0.01,在数轴上表示+0.01的点到原点的距离是0.01;
-0.02的绝对值是0.02,在数轴上表示-0.02的点它到原点的距离是0.02;
0的绝对值是0,表明它到原点的距离是0.
一般地,一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点到原点的距离.
为了方便,我们用一种符号来表示一个数的绝对值,约定在一个数的两旁各画一条竖线来表示这个数的绝对值。
如
+5的绝对值记作|+5|,显然有|+5|=5;
-0.02的绝对值记作|-0.02|,显然有|-0.02|=0.02;
0的绝对值记作|0|,也就是|0|=0.
a的绝对值记作|a|,(提醒学生a可以是正数,也可以是负数或0)
例2:
求下列各数的绝对值:
-1.6,,0,-10,+10.
由例2学生自己归纳出:
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
这也是绝对值的代数定义,把绝对值的代数定义用数学符号语言如何表达?
把文字叙述语言变换成数学符号语言,这是一个比较困难的问题,教师应帮助学生完成这一步。
1、用a表示一个数,如何表示a是正数,a是负数,a是0?
由有理数大小比较可以知道:
a是正数:
a>0;a是负数:
a<0;a是0:
a=0.
2、怎样表示a的本身,a的相反数?
a的本身是自然数还是a,a的相反数为-a.
现在可以把绝对值的代数定义表示成.
如果a>0,那么=a;如果a<0,那么=-a;如果a=0,那么=0
由绝对值的代数定义,我们可以很方便地求已知数的绝对值了.
练习:
求8,-8,,-,0,6,-π,π-5的绝对值.
例3:
求绝对值等于4的数。
分析:
因为数轴到原点的距离等于4个单位长度的点有两个,即表示+4的点和表示-4的点,所以绝对值等于4的数是+4和-4.
(三)课堂练习
1、下列哪些数是正数?
-2,,,,-,-(-2),-
2、计算下列各题:
|-3|+|+5|;|-3|+|-5|;|+2|-|-2|;|-3|-|-2|;
|-|×|-|;|-|÷|-2|;÷|-|。
(四)师生共同探索利用绝对值比较负数大小的法则。
1、利用数轴我们已经会比较有理数的大小。
由上面数轴,我们可以知道-4<-3<0.4<3,其中-4,-3都是负数,它们的绝对值哪个大?
显然>|—3|引导学生得出结论:
两个正数比较,绝对值大的数大;两个负数比较,绝对值大的反而小。
这样以后在比较负数大小时就不必每次再画数轴了.
2、运用举例,变式练习:
①、比较-4与-|—3|的大小.
②、已知a>b>0,比较a,-a,b,-b的大小.
③、比较-与-的大小.
(五)课堂练习
(1)比较下列每对数的大小:
与;|2|与;-与;与.
(2)比较下列每对数的大小:
-与-;-与-;-与-;-与-.
1、填空:
(1)+3的符号是_____,绝对值是______;
(2)-3的符号是_____,绝对值是______;
(3)-的符号是____,绝对值是______;(4)10-5的符号是_____,绝对值是____.
2、填空:
(1)符号是+号,绝对值是7的数是_____;
(2)符号是-号,绝对值是7的数是_____;
(3)符号是“-”号,绝对值是0.35的数是_______;(4)符号是+号,绝对值是1的数是______;
3、
(1)绝对值是的数有几个?
各是什么?
(2)绝对值是0的数有几个?
各是什么?
(3)有没有绝对值是-2的数?
数轴及绝对值作业讲评提纲
1、画数轴时不能忘记正方向,单位长度要取成一致,负数的排列要正确,数轴的三要素缺一不可。
2、相反数的表示不正确,如:
3的相反数是-3错误的表示为:
3=-3.
3、相反数与倒数混淆了。
4、错误地认为,推出。
5、对绝对值的定义和求法以及用字母表示数掌握不好。
如误认为:
①若,则>0(为正数);事实上≥0(为正数或0)。
②若,则<0(为负数);事实上≤0(为负数或0)。
③表示正数,-表示负数。
事实上、-都可表示任意有理数,即:
可以是正数、0、负数。
练一练
1、计算下列各式:
(1)(-25)+(-7);
(2)(-13)+5;
(3)(-23)+0;(4)45+(-45)。
判断:
绝对值最小的数是0。
()
一个数的绝对值一定是正数。
()
一个数的绝对值不可能是负数。
()
互为相反数的两个数,它们的绝对值一定相等。
()
一个数的绝对值越大,表示它的点在数轴上离原点越近。
()
选择:
任何一个有理数的绝对值一定()
、大于、小于、小于或等于、大于或等于
一个数在数轴上对应的点到原点的距离为,则这个数为()
、、、、
3、填空:
|2|=____,|-2|=____.
若,则.
若|a|=0,则a=____
|-(1/2)|的倒数是,的相反数是.
的相反数的绝对值是.
有理数的加法
探究有理数的加法法则并加以应用
知识点一:
有理数的加法法则
法则:
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加
(2)异号两数相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
(3)一个数同0相加,仍得这个数
解读:
用数字符号表示法则:
(1)若a>0,b>0,则a+b=
(2)若a<0,b<0,则a+b=
(3)若a>0,b<0,且,则a+b=
(4)若a>0,b<0,且,则a+b=
(5)若a>0,b<0,且,则a+b=0
(6)若a=0,则a+b=b
知识点二有理数的加法步骤
解读:
(1)确定和的符号
(2)求加数的绝对值;(3)确定两个数的绝对值的和或差;
例题解析:
例1计算下列各题;
(1)(+2)+(+10)
(2)(-2)+(+10)(3)(+2)+(-10)
(4)(-2)+(+10)(5)(-10)+0(6)(-2)+(+2)
(7)180+(-10)(8)(-10)+(-1)(9)5+(-5)
例2计算:
教学反思:
在有理数的加法法则的探究中,对异号两数相加的算理是有理数加法的难点,在进行有理数的加法运算时,应先判断两个加数是同号还是异号,在确定用哪一条法则进行计算。
有理数加法的运算律
知识点一有理数加法的运算律
运算律:
(1)加法交换律:
a+b=b+a
(2)加法结合律:
(a+b+c=a+(b+c)=(a+c)+n
解读:
灵活运用加法的运算律,可以使运算简便,通常有下列情形:
(1)互为相反数的两个数,可先相加得0;
(2)几个数相加得整数时,可先相加0;
(3)同分母的分数可以先相加;
(4)符号相同的数可以先相加
(5)若有小数,能凑整的先加;
(6)两个带分数相加,可以把整数部分与分数部分分别要加。
例题解析:
例1计算:
(1)(-18)+12+(-15)+18+6+3
(2)(-3.6)+(+2.7)+(-0.4)++(+1.3)+()
例2检修小组从A地出发,在东西路上检修线路,如果规定向东行驶为正,向西行驶为负,一天中行驶记录如下(单位:
km)
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