二次根式基础专题.docx

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二次根式基础专题

二次根式

知识梳理

二次根式：

形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义.

二次根式的性质

1.

非负性

:

a（a0）是

个非负数.

2、

（、.a）2

a（a0）.

3.

a2

,a（a0）|a|

a（a0）

4.

公式

a2|a|'

0）与C.a）2a（a0）的区别与联系

a（a

0）

（1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的围是一切实数.

（2）（..a）2表示一个数的算术平方根的平方，a的围是非负数.

（3a2和（,a）2的运算结果都是非负的.

最简二次根式：

①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式.

同类二次根式（可合并根式）：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。

分母有理化：

把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

有理化因式：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：

1单项二次根式：

利用aaa来确定，如：

、.a与、,a,.ab^■ab,

等分别互为有理化因式。

2②两项二次根式：

利用平方差公式来确定。

如a\b与ab，-、a与、、a,

a.xb：

y与a.xb、._y分别互为有理化因式。

例.写出一个无理数，使它与3返的积为有理数;

分母有理化的方法与步骤：

先将分子、分母化成最简二次根式；

将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；

③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

二次根式的乘除

1•积的算术平方根的性质：

积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

Tab•庄（a>0,b>0）

2•二次根式的乘法法则：

两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

、a•、,b=.ab.（a>0,b>0）

3•商的算术平方根的性质：

商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根

a八a（a>0,b>0）■bb

4•二次根式的除法法则：

两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。

需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方

数不变。

二次根式的混合计算与求值

1、确定运算顺序；

2、灵活运用运算定律；

3、正确使用乘法公式；

4、大多数分母有理化要及时；

5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；

根式比较大小

1、根式变形法当a0,b0时，①如果ab，则｛ab；②如果ab，则Ja\b。

5、倒数法

6、媒介传递法

适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：

①ab

a

1ab

&求商比较法它运用如下性质：

当a>0,b>0时，则：

①b

二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：

在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：

因

，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，

例1.下列各式一定不是二次根式的是（）

A、a2B、.5C、..4x24x1D、.a26

例2.下列与2是同类二次根式的是（）

A.3B.12C.8D.2-1

1.判断下列各式哪些是二次根式（）

（1）.16；

（2）x24x4;（3）.3x（x0）；（4）44x

2

.写出下列各等式成立的条件

、（x2）2

（5）

1.下列根式中不是最简二次根式的是（）

A..10B..8C..6D.2

2.如果最简二次根式屆二与7^2!

是同类二次根式，那么a的值是;

取值围

1.二次根式有意义的条件：

由二次根式的意义可知，当a仝0时，有意义，是二次根式，所以要使

二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.

二次根式无意义的条件：

因负数没有算术平方根，所以当

a<0时，没有意义。

例.

若（x2）2

（.x2）2，则x的取值围是

1.

当X时，

3x5有意乂。

2.

当xV2时，.

（x2）2=

3•若一J1，则a应是（）

A、负数B

、正数C

、非零实数

D、

有理数

4.二次根式

•、a1中，字母a

的取值围是（

）

A、av1B

、aw1C、

a>1D

、a>1

5•若使代数式

■：

■/x2

有意义，

3

则x的取值围是（

）

A、xm2B

、x>2C、

x>2D、

xw4

6•若化简丨1-x|-x28x16的结果为2x-5，则x的取值围是（）

A、x为任意实数B、11D、x<4

7.x为何值时，下列各式在实数围有意义

（1）4x

（2）4|x|⑶x（4）-2x61（5）'3x1

2|x|v2x<1x

8.二次根式.1-a中，字母a的取值围是（）

A.av1B.a<1C.a>1D.a>1

9.已知12-n是正整数，则实数n的最大值为（）

A.12B.112,2）C.8D.3

10.使式子p4-x无意义的x取值的是;

二次根式（）的非负性

0（）°

（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即

注：

因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所

以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（）,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、

偶次方类似。

则a=

b=

例.

若,

1.

若,

则a=

b=

2.

若

x-2=;3-x

x-2

成立，则x

3-x

满足

3.已知x、y是实数，且满足y=,x-6+6-x+1

（1）求x和y的值；

（2）求寸x+2y的值。

二次根式（）的性质

（）

文字语言叙述为：

一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：

二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：

若,则.

例.女口，则3;,52

1.已知一个正数的平方根是2x-6和x+3，则这个数是;

2.把二次根式3寸1中根号外的因数移到根号，结果是;

二次根式的性质

文字语言叙述为：

一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若

a是负数，则等于a的相反数-a,即；

例•22=

1•中的a的取值围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；

2•化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

3•如果x22xyy2|x3|0，求y-2x的算术平方根。

2I2

4.已知x10x2544xx7，求x的取值围。

5.若§（3-b）2=3-匕，则（）

A.b>3B.bv3C.b>3D.b<3

与的异同点

1、不同点：

与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平

方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0,负实数。

但与都是非负数，即，。

因而它的运算的结果是有差别的，，而

2、相同点：

当被开方数都是非负数，即时，=;时，无意义，而

例.若av0，则.a2b化简为（）

A、a.bB、-a.bC、a,bD、-a.b

1.当a时，a2（a）2

二次根式的乘除法

基础知识

1.计算：

J2苗；J36~9

2.10xy30xy（x0,y0）

3.计算：

3j5a2扌丽.

4.使等式x1x1x1gx1成立的条件是

5.当a0,bp0时，

6、若x3+3x2=—xx+3，则x的取值围是

7•化简二次根式’5）3得

8•若A.a24，则A

9.下列名式中计算正确的是（

C.3242

3

47d....412402

.4140.4140919

10.

若a

1,

则

1a3化简后为（

）

A.

a1

a

1

b.1a,1aC.

a11aD.1a.a1

11.

计算：

能力提升

14.当a八3时，则A，15a

16.

已知..x3

3x2=-xx3，则（

）

（A）

x<0

（B）xw—3

（C）x>—3

（D）—3

17.

23和

3,2的大小关系是（

）

A.

23f32B.2.3p3、2

C.2,33.2

D.不能确定

18.

计算：

（1

）■2a8a（a>0）

（2）.10x101xy

（x>0,y>0）

的根号外的因式移到根号等于

O

26xy1.32xy2

（3）4（x>0,y>0）

19.化简:

（1）4a2b3（a>0,b>0）

（2）xxy&>o,y>0）（3）-a4b2a2b4（ab>0）

能力拓展与探究

二次根式的加减

基础知识1

1.把下列各式化成最简二次根式：

（1）8=

（2）25a=（3）.80=

（4）3屁=（5）6石=（6）418=

2.判断正误：

对的画“V”，错的画“X”.

⑴.,2+、、3=；5；（）

⑵、、8-J3=-、5;（）

⑶2^2=2.2;（）

⑷3』2-..2=3;（）

⑸2•..2+、、2=2、、2;（）

⑹4.3-.3=3.3.（）

3.计算：

（1）27-6.7

（2）,50+、,32

⑶屁+6£

⑷、、2x-、、8x

基础知识2

1.填空：

二次根式，再将

二次根式加减法的法则是：

二次根式加减时，可以先将二次根式化成

相同的二次根式进行合并•

2.计算:

⑴，20-5

3.计算：

⑴x80^.20+,5

⑵..18+、,98-..27

⑶724+^/0^-上-y/6

基础知识3

1.计算：

阿-5曆10、

I.计算：

（1）5、2+、7

⑶,12-3,752、3

3.计算：

（1）\3+2,/3+3

⑵2、,2+13、2-2

基础知识4

1.计算：

（1）2.12-.62、.3

⑵5+,65、2-2、,3

2.填空：

（1）平方差公式：

（a+b）（a-b）=

（2）完全平方公式：

（a+b）=,

（a-b）2=.

3.计算：

（1）4+、_74-,7

⑵■.10+32■10-3：

2

、3+2

2.6-2

二次根是综合

1.如图所示，实数a、b在数轴上的位置，化简：

a2-,b2-（a-b）2

.2+1=

（,2+1）（2-1）=

1

-I®2

3+2

（*3+；2）（3-2）

1

护-逗

②

③.4+.3_

解答下列问题:

（,4+<3）（4-3）=4-3；

⑴写出一个无理数，使它与3-2的积为有理数。

你认为这样的无理数可以是

1

⑵利用你观察到的规律，化简：

，，-,一

1

⑶计算：

去+存丙十丽+…+

3+.10°